Expresiones algebraicas 1 MONOMIOS Conceptos Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Partes de un monomio: o Coeficiente: número que aparece multiplicando a las variables. o Parte literal: está constituida por las letras (variables) y sus exponentes El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman, o bien, el número de factores que forman su parte literal. s: 1) El grado del monomio 6x 2 es 2, ya que su parte literal es x 2 = x x 2) El grado del monomio 2x 2 y es 3 ( 2 + 1 = 3, o bien, x 2 y = x x y ) Se dice que dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal : 4x 3 y -x 3 son semejantes porque tienen idéntica parte literal. Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números y hacer las correspondientes operaciones. : 12 Expresión algebraica Valor de las letras Operaciones Valor numérico x 2 + 2y x = -2, y = 3 (-2) 2 +2 3 = 4 +6 = 10 10 Operaciones con monomios La suma, o la resta, de dos monomios sólo se puede efectuar cuando ambos son semejantes, es decir, tienen la misma parte literal. En tal caso, se suman los coeficientes dejando la parte literal igual. Cuando no son semejantes, la operación se queda indicada. s 1) -3x 2 + 7x 2 = (-3 + 7) x 2 = 4x 2 2) 4x + 3 x 3 = No se puede sumar porque no son semejantes. El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base. s 1) 5x 2x 2 = 10 x 3 2) 3a 2 4ab = 12a 3 b La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base. s 1)10x 3 : 2x 2 = 5x 2) 6a 2 b 3 : 3ab =2ab 2 Para realizar la potencia de un monomio se calcula la potencia del coeficiente y multiplicamos el exponente de la potencia por el exponente de cada las variable. s 1) ( 2x 2 ) 3 = 2 3 (x 2 ) 3 = 8x 6 2) (-3ab 2 ) 2 = (-3) 2 a 2 (b 2 ) 2 = 9a 2 b 4
Expresiones algebraicas 2 POLINOMIOS Conceptos Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de monomios no semejantes. Cada uno de los sumandos que componen un polinomio se denomina término. Un binomio es el polinomio formado por dos términos. Si hay algún sumando en el que sólo aparece el coeficiente, recibe el nombre de término independiente. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo componen. 1) x 2 + 5x - 2 es un polinomio de tres términos: Términos x 2 5x -2 Grado 2 1 0 El grado del polinomio es 2 Un polinomio se dice que está ordenado si los grados de sus términos están ordenados en orden decreciente, es decir, de mayor a menor grado. El valor numérico de un polinomio para x = a se obtiene al sustituir la x por a y efectuar las operaciones indicadas. Calcular el valor numérico del polinomio x 2 + 5x 2 para x = 2: o Sustituimos en el polinomio x por 2: 2 2 + 5 2 2 o Realizamos las operaciones obtenidas: 4 + 10 2 = 12 Suma o resta de polinomios. Para sumar dos polinomios se suman los monomios que sean semejantes y el resto de los monomios se dejan igual. 1) (3x 2 - x + 2) + (4x 2 + 3x - 3) = (3x 2 + 4x 2 ) + (-x + 3x) + (2-3) = 7x 2 + 2x - 1 2) (4x 3 2x 2 + 5x + 7 ) + (x 2 2x 4) = 4x 3 + ( 2x 2 + x 2 ) + (5x 2x) + (7 4) = 4x 3 x 2 + 3x + 3 Opuesto de un polinomio El opuesto de un polinomio es el que se obtiene al cambiar de signo todos sus monomios. El opuesto de P(x) = 5x 2 7x + 1 es P(x) = -5x+2+ + 7x 1 Para restar dos polinomios, cambiamos de signo todos los términos del 2º polinomio y a continuación agrupamos los monomios semejantes. (2x 2 + 5x 4) (x 2 + 3x 2) = 2x 2 + 5x 4 x 2 3x + 2 = (2x 2 x 2 ) + (5x 3x) + (-4 + 2) = x 2 + 2x 2
Expresiones algebraicas 3 Producto de polinomios. Para multiplicar un número por un polinomio se multiplica dicho número por el coeficiente de cada monomio que compone dicho polinomio. 2 (x 3-5x+ 3) = 2 x 3 2 5x + 2 3 = 2x 3 10x + 6 Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica dicho monomio por cada uno de los monomios que componen el polinomio. 2x 2 (x 2-5x + 3) = 2x 2 x 2-2x 2 5x + 2x 2 3 = 2x 4-10x 3 + 6x 2 Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo y a continuación se agrupan los monomios semejantes obtenidos. (4x - 3) (x 2-2x + 1) = 4x (x 2-2x + 1) + (-3) (x 2-2x + 1) = 4x 3-8x 2 + 4x - 3x 2 + 6x - 3 = 4x 3-11x 2 + 10x - 3 Actividades propuestas 1.- Calcula el valor numérico del polinomio M(x) = x 5 3x 2 5x 3 para x = -1. 2.- Haz las operaciones que se indican: a) (3x 3 x 2 + 2x) + (3x 3 + x 2 3x 4) b) (2y 3 3y 2 + 4y 5) (y 3 + y 2 + 6y 2) c) (3x 4 4x 3 5x 2 + 6) + (-x 3 + 6x + 4) d) (3t 3 5t + 8) (2t 2 3t + 4) e) 4 (x 3 3x 2 + 2x 1) f) (x 3 2x 2 + x 1) (-3x 2 ) g) (x + 2) (x 5) h) (x 2 + x + 5) (x 4) 3.- Efectúa las siguientes operaciones con polinomios: a) (x 3 2x + 1) + (-2x) (x 2 3x + 2) b) 2x (x 2 2x + 3) (x 2 5x 3) c) 3x (5x 1) 4x (3 x) d) 2x (x 3 3x 2 5) 3x 2 (x 7) e) (3x + 1) (x + 1) ( 3x 2 2x + 2) f) (3x 2) (5x 2 ) 3x (2x 2 x) g) (2x 3) (x + 1) + (x 3) (2x- 5) h) (x 2 + 8x 7) (x + 2) (x 2 4) (x + 3)
Expresiones algebraicas 4 IDENTIDADES NOTABLES Conceptos Se llaman igualdades notables a unas expresiones algebraicas que aparecen de forma frecuente en álgebra. Son las siguientes: o Cuadrado de una suma : (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2 a b (x + 3y) 2 = (x) 2 + (3y) 2 + 2 x 3y = x 2 + 9y 2 + 6xy o Cuadrado de una diferencia: (a b) 2 = a 2 + b 2 2 a b (3x - y) 2 = (3x) 2 + (y) 2-2 3x y = 9x 2 + y 2-6xy o Producto de una suma por una diferencia: (a b) (a + b) = a 2 b 2 (x + 2y) (x - 2y) = x 2 - (2y) 2 = x 2-4y 2 Actividades propuestas 1.- Desarrolla utilizando la identidad notable: (a + b)² = a² + 2ab + b² : (x + 3) 2 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 = x 2 + 6x + 9 a) (x + 5 ) 2 b) (2x + 7) 2 c) (3x + y) 2 d) (x + 4x 2 ) e) (2x + 3y) 2 f) (3x + 1) 2 g) (x + 4y) 2 h) (5 + 3x)² i) (x 2 + 7) 2 j) (2x² + 1)² 2.- Desarrolla utilizando la identidad notable: (a b)² = a² 2ab + b² : (x 3) 2 = x 2 2 x 3 + 3 2 = x 2 6x + 9 a) (4x 1) 2 b) (5x 3) 2 c) (5 2x) 2 d) (1 3x) 2 e) (7 2x) 2 f) (x 2 2) 2 g) (4x y) 2 h) (3x 2y) 2 i) (3x 2) 2 j) (3x 7) 2 3.- Desarrolla utilizando la identidad notable: (a b)(a + b) = a² b² : (2x 3)(2x + 3) = (2x) 2 3 2 = 4x 2 9 a) (x 3)(x + 3) b) (x 6)(x + 6) c) (3x + 4)(3x 4) d) (2x 5)(2x + 5) e) (x 2 2)(x 2 + 2) f) (7a + 5b)(7a 5b) g) (2 + 5x)(2 5x) h) (3x² + 2)(3x² 2) i) (7x 2)(7x + 2) j) (4x 7) (7 + 4x)
Expresiones algebraicas 5 4.- Efectúa las siguientes operaciones con polinomios, respetando el orden en las operaciones: a) x 3 5x + 4 ( x 3 )( x 2 + 3) b) (2x 2 1) (3x + 2 ) 2x ( x 2 7x + 1) c) (x 2 3x) (x 3) (x 3 7x 3) d) (3x 2 x) (6x 1) (10x 3 9x 2 + 1) e) (2x 4 5x 2 + 3) (1 2x 2 ) 2 f) 3x 2 x + 5 (2x + 8) (2x 8) g) (2x 2 + 5x 7) (2x 3) 2 h) (-4x 2 ) ( 3 2x) 2 i) (2x 5) 2 + (x 3) 2 j) 2x ( x 2 2x + 3 ) ( x + 2 ) 2 k) (4x 2 3x ) 2 5x 3 ( 2x 7) l) (x 2 5x)(x 2 + 5x) (x 2 3 ) 2 m) 2x ( 3x 2 5x + 1 ) ( x 3 )(x + 3) n) (-3x 2 ) (2x 2 3x + 5) (x 2 5) 2 o) (2x + 3) (2x 3) 3x (2x + 4) p) (2x 3) 2 (x 3) (2x 7) q) (2x 1) 2 (3x + 2) 2 r) (2x 1)(2x + 1) ( 5x 2 7x + 1)
Expresiones algebraicas 6 DIVISIÓN DE POLINOMIOS Mientras que la suma, resta y producto de polinomios es otro polinomio, el cociente puede no serlo ya que la división puede no ser exacta. Para dividir dos polinomios procedemos del siguiente modo: 1º.- Se colocan los dos polinomios ordenados en sentido creciente. Se aconseja dejar espacios en blanco en el polinomio dividendo si falta algún término. 2º.- Se divide el monomio de mayor grado del dividendo entre el primer monomio del divisor, obteniendo así el primer término del cociente. 3º.- Este término se multiplica por el divisor y el producto resultante se resta del dividendo. Normalmente para que la resta resulte más cómoda, al multiplicar el término por el divisor se le cambia el signo y se le suma al dividendo. 4º.- Al polinomio resultante de la resta se le vuelve a aplicar los pasos anteriores 2 y 3 sucesivamente, hasta que el grado del dividendo sea menor que el grado del divisor. s: x 3 4x 2 8x + 6 x 2 1 -x 3 + x x - 4-4x 2 7x + 6 +4x 2 + 4-7x + 10 Observa que el cociente: Está ordenado según potencias decrecientes de x Su grado es inferior en una unidad al del dividendo Cociente: x 4 Resto: -7x + 10 x 4 4x 2 + 4 x 2 2x + 1 -x 4 + 2x 3 x 2 x 2 + 2x 1 Cociente: x 2 + 2x 1 2x 3 5x 2 + 4 Resto: x + 5-2x 3 + 4x 2 2x x 2 2x + 4 + x 2 + 3x + 1 x + 5 Actividades propuestas 1.- Efectuar las siguientes divisiones a) (6x 4 9x 3 + 15x 2 ) : (-3x 2 ) b) (14x 8 2x 6 + 12x 5 4x 4 ) : (2x 3 ) c) (x 6 4x + 3x 3 3) : (x 3 2x 2 ) d) (x 4 57x + 8) : (x 4) e) (x 5 3x 4 + 4x) : (x 3 4x) f) ( x 3 6x 2 + 3x 2) : (x 3) g) (x 4 x 3 40x 2 12x 13) : (x 7) h) (x 4 4x 3 4) : (x 3) i) (4x 3 5x 2 +4x 8) : (x 2) j) (2x 7 x 5 6x + 1 ) : (x 4 x + 4)