Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Deseamos hacer una tabla con datos agrupados a partir de datos, cuyos valores extremos son 9 y. a) Si queremos que sean 0 intervalos de amplitud, cuáles serán esos intervalos? b) Haz otra distribución en intervalos de la amplitud que creas conveniente. a) 9 = 6. Para que sea múltiplo de 0 0 0 6 = Una unidad menos que el menor y una más que el mayor: [, ); [, ); [, 69); [69, 6); [6, 0); [0, 0); [0, ); [, ); [, ); [, ]. b) 6 : = exacto. Amplitud = : [9, ); [, ); [, 6); [6, ); [, 9); [9, 0); [0, ); [, ); [, ); [, 9); [9, ); [, ]. La altura, en centímetros, de un grupo de alumnos y alumnas de una misma clase es: 0, 69,,,,,,,, 9, 6,, Calcula la mediana, los cuartiles, p y p 90. Primero los ordenamos: 0,, 69,,,,, 6,,,,, Me =, Q = Es el valor que deja por debajo de él al 0% de la población, y por encima, al otro 0%. Es el valor que deja por debajo de él al % de la población, y por encima, al %. Q = Es el valor que deja por debajo al % de la población, y por encima, al %. p 00 =,. Es el. p = 69 p 90 90 00 =,6. Es el. p 90 = 6
UNIDAD Los gastos mensuales de una empresa A tienen una media de 00 000 euros y una desviación típica de 00 euros. En otra empresa B la media es 000 euros y la desviación típica 00 euros. Calcula el coeficiente de variación y di cuál de las dos tiene mayor variación relativa. q A C.V. (A) = 00 =,% x A q B C.V. (B) = 00 = 6,6% x B Tiene mayor variación relativa la B. El peso medio de los alumnos de una clase es, kg y su desviación típica, kg. El de las alumnas de esa clase es, kg y su desviación típica es, kg. Calcula el coeficiente de variación y compara la dispersión de ambos grupos., C.V. (chicos) = 00 =,%,, C.V. (chicas) = 00 = 9,%, Hay mayor dispersión en el peso de las alumnas. En una población de familias se ha observado la variable X = número de coches que tiene la familia y se han obtenido los siguientes datos: 0,,,, 0,,,,,,,,,,,,,,,, a) Construye la tabla de frecuencias. b) Haz el diagrama de barras. c) Calcula la media y la desviación típica. d) Halla la mediana y los cuartiles. e) Haz un diagrama de caja. a) x b) i 0 0 6 0 x i
c) x =,6 d) Me = e) q = 0,9 Q = ; Q = * 0 6 En la distribución de pesos de 00 personas se han obtenido los siguientes parámetros de posición: Q = 6 kg, Me = kg, Q = kg Di el número de personas cuyo peso: a) Es menor que kg. b) Está comprendido entre 6 kg y kg. c) Es inferior a 6 kg. a) El % de 00, es decir, personas pesan menos de kg. b) % de 00 = personas. c) % de 00 = personas. Al preguntar a un grupo de personas cuánto tiempo dedicaron a ver televisión durante un fin de semana, se obtuvieron estos resultados: TIEMPO (en horas) [0; 0,) [0,;,) [,;,) [,; ) [, ) N.º DE PERSONAS 0 0 Dibuja el histograma correspondiente y halla la media y la desviación típica. Observa que los intervalos tienen distintas longitudes y recuerda que en un histograma las frecuencias han de ser proporcionales al área. 0 0 6 HORAS x =,; q =,9
UNIDAD Este es el polígono de porcentajes acumulados de la distribución del CI (cociente intelectual) de un colectivo de 00 personas: % 00 0 9 00 0 0 0 a) Trabajando sobre el gráfico, asigna, aproximadamente, los valores de: Q, Me, Q, p, p 0, p, p 0, p 90, p 9 b) Cuántas personas (aproximadamente) de este colectivo tienen un CI comprendido entre 0 y 6? Cuántas personas tienen un CI superior a? c) Qué percentil tiene una persona con un CI de? a) Q = 0,; Me = 0,; Q = p = 9, p 0 = 0, p = 09, p 0 =, p 90 = 6, p 9 =, b) 0 = p 0 6 = p 90 Hay un 0% (90 0 = 0) El 0% de 00 personas son 0 personas. = p Hay un % (00 = ). El % de 00 personas son personas. c) = p 6 9
Página PARA RESOLVER 9 Estos son los pesos (en kg) de 0 recién nacidos:,,,,,,,9,6,,,0,6,,,9,,,,,9,9,,0,,,,,9,0,9,,,0,6,,,,9,0,,9,,,,0,,,6,9, a) Haz una tabla con los datos agrupados en 6 intervalos de amplitud 0, kg, comenzando en,6. Representa esta distribución. b) Calcula la media y la desviación típica. c) Calcula, a partir del polígono de porcentajes acumulados, Q, Me, Q, p, p 90, p 9. a) INTERVALOS FRECUENCIAS [,6; ) [;,) 0 [,;,) 0 [,;,) 0 0 [,;,6) [,6; ) 9 0,6,,,,6 PESO (kg) b) x =,9; q = 0,9 c) EXTREMO INTERVALO,6 PORCENTAJE ACUMULADO 0 6 % 00 0, 6 60, 6,,6 6 9 0 00,6,,,,6 Q =,; Me =,; Q =, p =,; p 90 =,; p 9 =,6 0
UNIDAD 0 En una fábrica se ha medido la longitud de 000 piezas de las mismas características y se han obtenido estos datos: LONGITUD (en mm) 6, -,, -,, -,, -,, - 9, NÚMERO DE PIEZAS 9 90 00 0 a) Representa el histograma correspondiente. b)se consideran aceptables las piezas cuya longitud está en el intervalo [, 6]. Cuál es el porcentaje de piezas defectuosas? Del segundo intervalo habrá que rechazar las que midan entre, y. Calcula qué tanto por ciento de la amplitud representa la diferencia, y halla el porcentaje de la frecuencia correspondiente. Procede análogamente en el cuarto intervalo. a) NÚMERO DE PIEZAS 00 00 600 00 0 00 00 00 6,,,,, 9, LONGITUD (mm) b) En el intervalo,-,:, =, 9, =, piezas defectuosas En el intervalo,-,:, 6 =, 00, = 0 piezas defectuosas En total el número de piezas defectuosas será: +, + 0 + 0 = 9, que representa el 9,% del total.
Se ha pasado un test de 0 preguntas a 600 personas. El número de respuestas correctas se refleja en la siguiente tabla: RESPUESTAS CORRECTAS [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, ) [, 0) [0, 60) [60, 0) [0, 0) N.º DE PERSONAS 60 90 0 0 6 a) Calcula la mediana, los cuartiles y los percentiles 0 y. b) Cuál es el percentil de una persona que tiene 6 respuestas correctas? c) Halla x, q y C.V. a) Hacemos las tablas de frecuencias: INTERVALO EN % EXTREMOS F i EN % [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, ) [, 0) [0, 60) [60, 0) [0, 0) 6,6 60 0,00,0 90,00 0,0, 0, 6 0, 600 00,00 0 0 0 0 0 60 0 0 0 00 6 0 600 0,00 6,6 6,6 9,, 6,6, 9, 00,00 Me = + 0,, (0 ) =, Q = 0 + 6,6, (0 0) = 6,66 6,6 Q = 0 + (60 0) = 9,, p 0 = 0 + 0 6,6, (0 0) =,66, p = 60 +, (0 60) = 66, b) 6 = 60 + k,, (0 60) k =, c) x =,6; q = 0,; C.V. = 0,
UNIDAD En la fabricación de un vino, se le añade un compuesto químico. En la tabla aparece la concentración de este compuesto en 00 botellas. a) Calcula la media y la desviación típica. b) Se estima que el vino no se debe consumir si la concentración de ese compuesto es superior a 0,9 mg/l. CONCENT. (mg/l ) [0; 0,) [0,; 0,) [0,; 0,6) [0,6; 0,) [0,, ) NÚMERO DE BOTELLAS 6 Según esto, qué porcentaje de botellas no es adecuado para el consumo? a) x = 0, q = 0, b) 0,9 = ( 0,) Son = botellas de cada 00, un,%. De una muestra de pilas eléctricas, se han obtenido estos datos sobre su duración: TIEMPO (en horas) [, 0) [0, ) [, ) [, ) [, ) [, 0) N.º DE PILAS 6 a) Representa los datos gráficamente. b) Calcula la media y la desviación típica. c) Qué porcentaje de pilas hay en el intervalo ( x q, x + q)? d) Calcula Q, Me, Q, p 0, p 60, p 9. a) 0 0 0 0 0 60 6 0 HORAS
b) x =,6; q =,9 c) x q =,6; x + q = 0,6 En el intervalo [0, ):,6 = 0, 0, = 0, En el intervalo [, ): 0,6 =,6,6 0 = 6, En total: 0, + + + 6, = 6,0 Por tanto, en el intervalo (x q, x 6,0 + q) hay un 00 =,% del total de pilas. d) Q =,; Me =,; Q =,; p 0 =,; p 60 =,6; p 9 = 60,6 Las estaturas de los alumnos de una clase vienen dadas en la siguiente tabla: INTERVALOS, - 6, 6, - 6, 6, -,, -,, -,, -, N.º DE ALUMNOS 6 a) Calcula la media y la desviación típica. b) Di el valor de la mediana y de los cuartiles. c) Qué centil corresponde a una estatura de 0 cm? a) n =, Sx = 6 90 x =, Sx = 9 0 q =, b) Me =,6; Q = 0,; Q =, c) A 0 cm le corresponde el centil. Página CUESTIONES TEÓRICAS En la distribución de las notas de un examen el primer cuartil fue. Qué significa esto? Por debajo de quedaron un %.
UNIDAD 6 La nota media de los aprobados en un examen de Matemáticas ha sido 6,, y la de los suspensos,,. Calcula la nota media de la clase sabiendo que hubo aprobados y suspensos. 6, = +, = 90,, =, 90, : ( + ) = 90, : 0 =, La nota media fue de,. La estatura media de los alumnos y alumnas de una clase es de 6 cm. Las chicas, que son, miden 6 cm de media. Calcula la estatura media de los chicos. 6 = 6 = 60 6 = 6 60 : ( ) = 60 : =, La estatura media de los chicos es, cm. Justifica que la suma de las frecuencias relativas es siempre igual a. f S fr i = S i = S = n = n n n 9 Completa la tabla de esta distribución en la que sabemos que su media es,. x i + f + + =, + f + + + f =, + f =, +,f, = 0, f f = + f Luego la tabla queda: x i 0 Dos distribuciones estadísticas, A y B, tienen la misma desviación típica. a) Si la media de A es mayor que la de B, cuál tiene mayor coeficiente de variación? b) Si la media de A es doble que la de B, cómo serán sus coeficientes de variación? a) B. b) El coeficiente de variación de A es la mitad que el de B.
Página AUTOEVALUACIÓN. Las estaturas de los componentes de tres equipos infantiles de baloncesto, A, B, C, se distribuyen según las gráficas y con los parámetros que se dan a continuación: x q A 6, B C,,,, 0 0 6 0 0 6 0 0 Qué gráfica corresponde a cada equipo? Contesta razonadamente. A B C. Los pesos de alumnos de una clase se distribuyen del siguiente modo: a) Representa gráficamente (histograma) y estima x y q. b) Calcula numéricamente x y q y obtén el porcentaje de chicos que hay en el intervalo (x q, x + q). c) Calcula la mediana y los cuartiles y estima el centil que corresponde a cada una de las siguientes medidas: kg, 0 kg, 60 kg, 0 kg. INTERVALOS, -,, - 9, 9, - 6, 6, - 6, 6, - 0, 0, -, N.º DE ALUMNOS 9 a) 0 x, kg 6 q kg,, 9, 6, 6, 0,, 6
UNIDAD b) MARCAS DE CLASE 9 6 60 6 9 x i 06 69 0 x i 0 6 6 0 6 0 9 x = q = 6 =,0 kg 9 6,0 =,6 kg 6 9 6 (x q, x + q) = (,69; 6,) Hay un 6% de la población en dicho intervalo. c) INTERVALOS x i F i EN %, -,, - 9, 9, - 6, 6, - 6, 6, - 0, 0, -, 9 6 60 6 9 6, 6, 9 00 Me está en el intervalo [9,; 6,). x, = x =, 0, 6,, Me = 9, +, =, kg Q está en el intervalo [,; 9,). x 0 = x =,09,, Q =, +,09 =,9 kg Q está en el intervalo [6,; 6,): x 0 = x =, 6, 6, Q = 6, +, = 9,6 kg A kg le corresponde el centil, aproximadamente. A 0 kg le corresponde el centil, aproximadamente. A 60 kg le corresponde el centil 6, aproximadamente. A 0 kg le corresponde el centil 9, aproximadamente.
. En una fábrica de tornillos se mide la longitud (en mm) de algunos de ellos y se obtiene:, 0,,, 9, 6, 9,,,,,, 0,,,,,, 9, 9, 0,,,, 0 9,,,, 0, 9,, 0, 9, 0,,, 9, 0,,, 9 a) Haz una tabla de frecuencias con datos aislados:, 6,,,,. Calcula x, q, Q, Me, Q. b) Haz una nueva tabla agrupando los valores en seis intervalos de extremos,-6,-,-0,-,-,-6,. Vuelve a calcular x, q, Q, Me, Q. c) Qué centil corresponde a mm en cada una de las dos distribuciones? a) x i x i x i F i 6 9 0 9 6 6 6 60 6 6 9 00 0 6 6 0 9 0 x = 00 0 = 0, mm 0 66 q = 0, =, mm 0 Me = 0 mm Q = 9 mm Q = mm 0 00 0 66 b) INTERVALOS x i x i x i F i EN %, - 6, 6, -,, - 0, 0, -,, -,, - 6,,, 9,,,, 9,, 0 6,,, 6, 6 6, 6, 6, 60, 9 0 6 9 00 0 0 0 6, x = 0 0 = 0, mm 0 6, q = 0, 0 =, mm
UNIDAD La mediana está en el intervalo [,; 0,). x = x =,6 0 6 Me =, +,6 = 0, mm Q está en el intervalo [,; 0,). x = x = 0, 6 Q =, + 0, =,6 mm Q está en el intervalo [0,;,). x 9 = x =,6 6 6 Q = 0, +,6 =,6 mm c) Con datos aislados. Si x = F i = 9 le corresponde un porcentaje acumulado del 9%. Por tanto: p 9 = mm Con datos agrupados. Nos fijamos en el intervalo [,;,): x,, = x = = 0, 9 El percentil correspondiente a mm es: + 0, = 9, 9