DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD BINOMIAL

Ejemplo de repaso Use la siguiente distribución de probabilidad para contestar las preguntas. X P(x).22 1.8 2? 3.35 4.15 5.15 a. P(x = 2) = b. P(x < 3) = P() + P(1) + P(2) c. P(x 3) = 1 P(3) d. P(x < 5) = =.85 e. P(x es al menos 2) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) P()+P(1)+P(2)+P(3)+P(4) Copyright 21, 27, 24 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved. 4.1-2

Criterios para un experimento de probabilidad binomial Un experimento se dice que es un experimento binomial si 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. Cada repetición del experimento se llama un ensayo. 2. Los ensayos son independientes. 3. Para cada ensayo, hay dos resultados mutuamente excluyentes: el éxito o el fracaso. 4. La probabilidad de éxito es fijo para cada ensayo del experimento. 21 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 6-3

Notación usada en la distribución de probabilidad binomial Número de ensayos independientes del experimento se denota n Nombramos p la probabilidad de éxito en el experimento y 1 p, la probabilidad de fracaso. Si X es una variable aleatoria binomial que denota el número de éxitos en n pruebas independientes de un experimento binomial, entonces los valores posibles de x están entre,1,2,, n. 21 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 6-4

EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no (b) En una clase de 3 estudiantes, 55% son mujeres. El instructor selecciona al azar a 4 estudiantes. Se registra el número X de mujeres que fueron seleccionadas. Solución: 21 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

La distribución de probabilidad binomial usando un árbol En una escuela superior se ha determinado, que el 8% de los estudiantes ha copiado alguna tarea de otro alumno durante sus años de estudio en la Secundaria. Se eligen 3 estudiantes al azar. Sea C = Estudiante se copió. Suponiendo que cada elección es independiente de los anteriores, use un diagrama de árbol para construir una distribución de probabilidad para X = número de estudiantes seleccionados que se copiaron. Solución: X es una variable aleatoria discreta. número de ensayos = 3 P(copia)=.8 P(no-copia)=.2

(cont.) P(éxito)=.8 P(no-éxito)=.2 CCC CCC CCC CCC CCC CCC CCC CCC valor de X 3 La distribución de probabilidad para X es: X 1 2 3 P(x).128+.128+.128=.384 2 2 1 2 1 1

La distribución de probabilidad binomial con fórmula La probabilidad de obtener x número de éxitos en n ensayos independientes en un experimento de probabilidad binomial es P x = ( nc x )( p x ) 1 p n x donde x =, 1, 2,, n p es la probabilidad de éxito nc x es el número de combinaciones de n objetos tomando x a la vez. 21 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 6-9

EJEMPLO Usar la probabilidad binomial Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen al menos 3 automóviles. (a)en una muestra aleatoria de 2 hogares con automóviles, cuál es la probabilidad de que exactamente 5 tienen al menos 3 autos? n = 2, x = 5, p =.35, 1-p =.65 P x = C x p x n 1 p n x Interpretación: La probabilidad de elegir aleatoriamente exactamente 5 hogares con al menos 3 autos es.1272 Si se eligen 5 hogares en 1 ensayos diferentes, se espera que en aproximadamente 13 ensayos se encontrarán 5 hogares que poseen al menos de 3 autos. 6-1

EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación) Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o más automóviles. (b) En una muestra aleatoria de 2 hogares con automóviles, cuál es la probabilidad de que menos de 4 tienen tres o más coches?? P x = C x p x n 1 p n x P X < 4 = P X = 3 ó P X = 2 ó P X = 1 ó P X = P X < 4 = P X = 3 + P X = 2 + P X = 1 + P X = P X < 4 = 2C (.35).65 2 + 2C 1 (.35) 1.65 19 + 2C 2 (.35) 2.65 18 + 2C 3 (.35) 3.65 17 6-11

EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación) Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o más automóviles. (b) En una muestra aleatoria de 2 hogares con automóviles, cuál es la probabilidad de que al menos 4 tienen tres o más coches? P x = C x p x n 1 p n x P X 4 = P X = 4 + P X = 5 + P X = 6 P X 4 = 1 P X 3 6-12

Ejemplo usando fórmulas En una escuela superior se ha determinado, que el 8% de los estudiantes se han copiado alguna tarea de otro alumno durante sus años de estudio en la Secundaria. Se eligen 3 estudiantes al azar. Sea C = Estudiante se copió. Suponiendo que cada elección es independiente de los anteriores, use un diagrama de árbol para construir una distribución de probabilidad para X = número de estudiantes seleccionados que se copiaron. Solución: Este es un experimento binomial: número de ensayos = 3 P(éxito)=.8 P(no-éxito)=.2 X 1 2 3 P(x) = 3 C.8.2 3 = = 3 C 1.8 1.2 2 = = 3 C 2.8 2.2 1 = = 3 C 3.8 3.2 =.8.96.384.512

EXAMPLE Constructing Binomial Probability Histograms a)construir una distribución de probabilidad binomial con n = 8 y p =.15. P x = C x p x n La probabilidad de éxito es:.15 La probabilidad de fracaso es:.85 1 p n x Probabilidad de éxitos en 8 ensayos: P() = 8 C.15.85 8 =.2725 Probabilidad de 1 éxito en 8 ensayos: P(1) = 8 C 1.15 1.85 7 =.3847 X 1 2 3 4 5 6 7 8 P(X).2725.3847.2376.839.185.26.2 6-14

EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación) Suponer que para una distribucion binomial de una variable discreta n = 8 y p =.15 b) En una muestra aleatoria de 8 ensayos, cuál es la probabilidad de que x < 4? P X = x = C x p x n 1 p n x P X < 4 = P X = 3 ó P X = 2 ó P X = 1 ó P X = P X < 4 = P X = 3 + P X = 2 + P X = 1 + P X = P X < 4 = 8C (.15).85 8 + 8C 1 (.15) 1.85 7 + 8C 2 (.15) 2.85 6 + 8C 3 (.15) 3.85 5 =.9787 X 1 2 3 4 5 6 7 8 P(X).2725.3847.2376.839.185.26.2 6-15

Media y desviación estándar de una variable Un experimento de probabilidad binomial, con n ensayos independientes y una probabilidad de éxito de p, tiene una media y una desviación estándar dada por las siguientes fórmulas μ x = np y σ x = np(1 p). 21 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 6-16

EJEMPLO Hallar la media y la desviación estándar de una variable aleatorio binomial Según informes de una compañía de automóviles, el 35% de los hogares tienen al menos 3 automóviles. En una muestra aleatoria simple de 4 hogares que tienen autos, determine la media y la desviación estándar de los hogares que tendrán al menos 3 autos. 21 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 6-17