Transformada de Laplace

Capítulo 3 Tranformada de Laplace 3.. Introducción En general, una tranformada integral e una aociación de la función Z F () K(, t)f(t) dt A con la función f para alguna función fija K llamada núcleo y algún rango fijo A de integración. Tale operacione on comune en la fíica matemática. Aí, la tranformada de Fourier e una tranformada integral con núcleo K(, t) e it 2π Otra tranformada integral común e la tranformada de Laplace, con núcleo K(, t) e t y rango (, + ). La tranformada de Laplace tienen importante aplicacione en matemática pura y aplicada. Por ejemplo, on importante en lo problema de valore iniciale que e refieren a ecuacione diferenciale lineale con coeficiente contante ya que en término de la tranformada, lo problema paan a er problema algebraico. En eta ección introduciremo y etudiaremo primeramente la tranformada de Laplace, dearrollando alguna de u propiedade má báica y útile. Depué veremo u aplicación a la reolución de ecuacione diferenciale. 3.2. Definicione y ejemplo Dada la función f :[, + ) R, conideremo la variable real yla función F definida por F () 235 e t f(t) dt (3.)

236 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE para todo aquello valore de para lo que eta integral impropia e convergente. La función F definida por (8.2) e llama tranformada de Laplace (o L tranformada) de la función f. En general, denotaremo tanto por L(f) como por L[f(t)] la tranformada de Laplace de f. Deetemodo,podemo ecribir L[f(t)]() e t f(t) dt El dominio de L(f) e el conjunto de lo valore de R para lo cuale exite la integral impropia. Se llama abcia de convergencia de L(f) al número real c definido por c infdom L(f) Ejemplo 99 Determinar L(f), abiendoquef(t),paratodot. Solución: Aplicando la definición, para > e tiene L[]() lím e t dt Z p e t dt p + p e t lím p + µ lím p + e p E claro que dom L(f) (, + ) y c infdom L(f) Cuando, laintegralimpropiaedivergente. Ejemplo Calcular L(f), abiendoquef(t) e at para todo t, dondea e una contante arbitraria. Solución: Aplicando la definición, para >ae tiene L[e at ]() lím e t e at dt e ( a)t dt Z p e ( a)t dt p + p e ( a)t lím p + lím p + a a e ( a)p a a

3.3. CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA 237 E claro que y dom L(f) (a, + ) c infdom L(f) a Cuando a, la integral impropia e divergente. 3.3. Condicione uficiente de exitencia La integral que define la tranformada de Laplace no converge neceariamente. Por ejemplo, L[/t] ni L[e t2 ] exiten. La condicione uficiente que garantizan la exitencia de L[f(t)] on que f eacontinuaatrozoyqueeade orden exponencial. 3.3.. Continuidad a trozo Definición 23 Una función f e dice que e continua a trozo en un intervalo [a, b] i f e continua en cada punto del intervalo alvo poiblemente en un número finito de punto en lo que hay dicontinuidad de alto, e decir, en cada uno de eto punto exiten lo límite laterale pero on ditinto. Una función f e dice continua a trozo en [, + ) i f econtinuaatrozoen[,b] para todo b>. Ejemplo Probar que la función f definida por x i x< f(x) 2 i <x<2 (x 2) 2 i 2 x e continua a trozo en el intervalo [, 3]. Econtinuaatrozoen[, + )? Solución: E claro que f e continua a trozo en [, 3], puef tiene ólo do punto de dicontinuidad de alto en dicho intervalo. En efecto, en x hay dicontinuidad de alto ya que lím x y también en x 2,pue f(x) lím 22 y lím f(x) lím x + x + x x lím f(x) lím x 2 + x 2 +(x 2)2 y lím f(x) lím x 2 En la figura iguiente e repreenta gráficamente la función f x 2 22

238 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE E claro también que f econtinuaatrozoen[, + ), yaquef e continua a trozo en cualquier intervalo [,b] para todo b>. Ejemplo 2 Probar que la función f definida por f(t) /t no e continua a trozo en cualquier intervalo que contenga el origen. Solución: E evidente que f tiene una dicontinuidad aintótica en t, pue lím + y lím t + t t t Obervación 33 Si una función e continua a trozo en un intervalo cerrado, entonce e integrable en dicho intervalo, ya que f poee a lo umo un número finito de dicontinuidade imple. 3.3.2. Orden exponencial Definición 24 Se dice que una función f e de orden exponencial i exite una contante α y contante poitiva t y M tale que para todo t>t. f(t) Me αt Obervación 34 Si, por ejemplo, f e una función creciente entonce la condición f(t) Me αt

3.3. CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA 239 para todo t>t, implemente exprea que la gráfica de f en el intervalo (t, + ) no crece má rápidamente que la gráfica de Me αt, donde ahora α e una contante poitiva. Por ejemplo, la función definida por f(x) e x2 no e de orden exponencial ya que, como e muetra en la iguiente figura, u gráfica crece má rápidamente que cualquier e αx para α>. Obérvee también que la función e x2 no e de orden exponencial ya que e x2 lím x + e αx lím x + ex(x α) + para cualquier α R. Ejemplo 3 Probar que la función f(t) e 5t in 2t e de orden exponencial. Solución: En efecto, e cumple e 5t in 2t e 5t en donde la contante de la definición on α 5, M y t e cualquier número real poitivo. 3.3.3. Teorema de exitencia Se han definido lo do concepto anteriore, continuidad a trozo y orden exponencial de una función, periguiendo la convergencia de la integral que define la tranformada de Laplace. Para una función f la continuidad a trozo aegura u integración, y el orden exponencial indica que u producto por e t etá

24 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE acotado. Eta do condicione on uficiente para que exita la tranformada de Laplace de una función. Teorema 6 Si la función f econtinuaatrozoen[, + ) y de orden exponencial α, exiteutranformadadelaplacel[f(t)] para valore de >α. Demotración: Neceitamo probar que la integral converge para >α. Sabemo que e t f(t) dt Z t e t f(t) dt e t f(t) dt + e t f(t) dt (3.2) t donde t ha ido elegido de manera que e cumple la deigualdad f(t) Me αt para todo t>t. La primera integral en (8.3) exite porque f e continua a trozo en [, + ) y, en conecuencia, e t f(t) econtinuaatrozoenelintervalo [,t ] para cualquier valor fijo de. Paraprobarquelaegundaintegral en (8.3) e convergente, utilizaremo el criterio de comparación para integrale impropia. Pueto que f e de orden exponencial α, tenemo para t t f(t) Me αt ydeaquí e t f(t) e t f(t) Me ( α)t para todo t t.ahorabien,para>α,etiene t Me ( α)t dt M lím k + e ( α)t dt t k Me ( α)t α M α e ( α)t t o Al er eta integral una mayorante convergente de t e t f(t) dt por el criterio de comparación, eta última también e convergente para >α. Finalmente, como la do integrale en (8.3) on convergente la tranformada de Laplace exite para >α.

3.3. CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA 24 Obervación 35. En realidad, no ólo hemo demotrado que L(f) exite para >α,inoque,ademá,tambiénexitel( f ) para >α,edecir, que e t f(t) dt e abolutamente convergente para >α. 2. Hay que recordar que la condicione para f decrita en la hipótei del teorema no on necearia para la exitencia de L(f). Enotrapalabra, exiten funcione que no atifacen la hipótei del teorema y, en cambio, poeen tranformada de Laplace. Por ejemplo, la función f definida por f(t) t /2 no e continua a trozo para t pero u tranformada de Laplace exite. Ejemplo 4 ComprobarlaexitenciadelatranformadadeLaplacedela función definida por i <t<5 f(t) 2 i 5 <t<7 i t>7 y calcularla. Solución: La función f atiface la condicione del teorema. En efecto, la función e continua a trozo, ya que tiene do dicontinuidade de alto en t 5 y t 7, iendo ademá de orden exponencial pue cualquier función contante igual a k lo e, ya que k (k +) e t para cualquier t R. Para hallar u tranformada, decomponemo la integral de definición en lo trozo en lo que lo hace la función: L[f(t)]() 2 2 Z 5 Z 7 e t f(t) dt e t f(t) dt + e t dt 5 7 e t 2 (e 5 e 7 ) 5 Z 7 5 e t f(t) dt + 7 e t f(t) dt

242 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE 3.4. Tabla de tranformada de Laplace f(t) L[f(t)]() 2 e at a 3 in bt b 2 +b 2 4 co bt 2 +b 2 5 inh bt b 2 b 2 6 coh bt 2 b 2 7 t n (n, 2,...) n! n+ 8 t n at n! e ( a) n+ 9 t in bt 2b ( 2 +b 2 ) 2 t co bt 2 b 2 ( 2 +b 2 ) 2 e at in bt b ( a) 2 +b 2 2 e at co bt a ( a) 2 +b 2 En la tabla anterior aparecen la tranformada de alguna funcione elementale. E importante familiarizare con eta tabla ya que aparecen muy a menudo. Lo reultado de eta tabla pueden deducire de la definción de la tranformada de Laplace (ver ejemplo 7), aunque má adelante daremo alguna propiedade báica de la tranformada que permitirán deducir alguno de eto reultado de forma inmediata. Ejemplo 5 Probar que. L[t n ]() n! n+ (n, 2,...) 2. L[in bt]() b 2 +b 2

3.5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE243 Solución: () Para >, tenemo que L[t n ]() n e t t n dt n+ e t t + n e t t n dt n L[tn ]() (n, 2,...) De aquí, por iteración e obtiene L[t]() L[]() 2 e t t n dt L[t 2 ]() 2 L[t]() 2 3 L[t 3 ]() 3 L[t2 ]() 3! 4. (2) Para >, tenemo que L[in bt]() L[t n ]() n L[tn ]() n lím k + lím k + lím k + e t in bt dt Z k e t in bt dt e t b 2 + b 2 (n )! n n! n+ 2 ( in bt + b co bt) + b2 k b 2 + b 2 e k 2 ( in bk + b co bk) + b2 3.5. Propiedade báica de la tranformada de Laplace 3.5.. L e un operador lineal Teorema 6 Dada do funcione f y g cuya tranformada de Laplace exiten para > α y ea c una contante real arbitraria. Se cumplen la do

244 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE propiedade iguiente:. L(f + g) L(f)+L(g) 2. L(cf) cl(f) Demotración: La demotración e inmediata y e baa en utilizar la propiedade lineale de la integración. Obervación 36 Según ete teorema, entonce e cumple para todo a, b R. L(af + bg) al(f)+bl(g) Ejemplo 6 Calcular L[ + 5e 4t 6in2t](). Solución: Aplicando la propiedade lineale de L, para >4 tenemo L + 5e 4t 6in2t () L [] ()+5L e 4t () 6L [in 2t]() + 5 4 2 2 +4 3.5.2. Propiedade de tralación No e conveniente uar la definición cada vez que queramo calcular la tranformada de Laplace de una función. Por eto a continuación preentamo do teorema que permiten ahorrar trabajo a la vez que no permiten contruir una lita má extena de tranformada in que ea neceario recurrir a la definición. Teorema 62 Supongamo que f e una función tal que L(f) exite para >α y L [f(t)] () F () Entonce, i a e cualquier número real, entonce L e at f(t) () F ( a) para >α+ a. Demotración: E inmediato ya que por la definición tenemo L e at f(t) () F ( a) e t e at f(t) dt e ( a)t f(t) dt

3.5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE245 Obervación 37 Por coniguiente, i ya conocemo L[f(t)]() F () podemo calcular L [e at f(t)] () in má que traladar, o cambiar, F () por F ( a). Ejemplo 7 Calcular L [e ax in bx](). Solución: Según el ejemplo 7, para > tenemo De aquí, por el teorema 3, tenemo para >+a a. L [in bt]() F () L e at in bt () F ( a) Función ecalón unitario o de Heaviide b 2 + b 2 b ( a) 2 + b 2 Definición 25 Se llama función ecalón unitario o de Heaviide, lafun- ción H(x) definida por ½ i x < H(x) i x yugráfica e Obérvee que por tralación, la función puede mover u ecalón a otra poición. Aí H(x a), denotada también como H a (x), tralada u ecalón a la poición x a ½ i x < a H a (x) H(x a) i x a

246 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE Al multiplicar la función ecalón por un número k, puede cambiare la altura del ecalón k H a (x) ½ i x < a k i x a Al multiplicar la función ecalón k H a por una función f, hace cero la parte de f hata la poición x a y multiplica por k la parte retante. Aí la función f definida por f(x) H 2π (x)inx viene definida como igue f(x) ½ i x < 2π in x i x 2π y u repreentación gráfica e Ejemplo 8 Dibujar la gráfica de la función f(x) x 3 H(x 2). Solución: E evidente que la función e f(x) ½ i x < 2 x 3 i x 2 y, por tanto, la gráfica de f e

3.5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE247 Multitud de funcione con dicontinuidad de alto pueden expreare como combinación lineal de funcione ecalón. Aí por ejemplo, la función 3 i x < 2 f(x) 2 i 2 x<5 i x 5 cuya gráfica e

248 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE puede expreare en término de la función ecalón en la forma iguiente f(x) 3 5H 2 (x)+3h 5 (x) Tranformada de la función ecalón La traformada de Laplace de la función ecalón H a para a y >, e Obérvee que L [H a (t)] () a e a e t H a (t) dt e t dt e t + a L [H(t)] () L [] () ya que H(t) para t. E encillo ahora hallar la tranformada de una función con dicontinuidade de alto. En efecto, tomando como ejemplo la iguiente función 3 i <t<2 f(t) 2 i 2 t<5 i t 5 entonce abemo que puede expreare como igue y, por tanto, tenemo f(t) 3 5H 2 (t)+3h 5 (t) L [f(t)] () 3L [] () 5L [H 2 (t)] ()+3L [H 5 (t)] () 3 5 e 2 + 3 e 5 para >. En el teorema 3 vimo que al multiplicar una función por una exponencial, genera un cambio o tralación de la tranformada. Con el próximo teorema veremo que cada vez que e multiplica la tranformada por una función exponencial apropiada, la gráfica de la función no ólo e tralada ino que ademá una parte de la mima queda truncada. Teorema 63 Si a>, entonce L [H a (t)f(t a)] () e a L[f(t)]()

3.5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE249 Demotración: De la definición, tenemo L [H a (t)f(t a)] () Z a a e t H a (t)f(t a) dt e t dt + a e t f(t a) dt e t f(t a) dt Mediante el cambio u t a e obtiene a e t f(t a) dt Por tanto, tenemo lo que queríamo probar. e (u+a) f(u) du e a e u f(u) du e a L[f(t)]() Ejemplo 9 Hallar la traformada de la función g definida por ½ i t<3 g(t) t i t 3 Solución: Para poder aplicar el teorema 4, definimo f como igue ½ i t< f(t) t +3 i t Entonce e cumple ½ g(t) i t<3 f(t 3) i t 3 Expreamo ahora eta función en término de la función ecalón de la iguiente manera g(t) H 3 (t)f(t 3) Aplicando ahora el teorema 4, tenemo L[g(t)]() L [H 3 (t)f(t 3)] () e 3 L[t +3]() e 3 [L[t]()+3L[]()] µ e 3 2 + 3

25 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE Ejemplo Determinar la tranformada de g(t) t 2 H (t). Solución: Para aplicar el teorema 4, obervamo primero que ½ i <t< g(t) t 2 i t ydefinimo ½ i t< f(t) (t +) 2 i t Entonce, e evidente que ½ i <t< g(t) f(t ) i t oea, g(t) H (t)f(t ) Ahora, aplicando el teorema 4, tenemo L[g(t)]() L [H (t)f(t )] () e L[(t +) 2 ]() e L[t 2 +2t +]() µ 2 e 3 + 2 2 + 3.5.3. Tranformada de la derivada Para reolver determinado tipo de ecuacione diferenciale, neceitamo calcular expreione como L [f (t)] () o L [f (t)] (). En ete apartado indicamo cómo e calculan eta expreione. Teorema 64 Supongamo que f e una función continua en [, + ) ydeorden exponencial α. Supongamo también que f econtinuaatrozoen[, + ). Entonce exite L(f ) para >αyecumple L[f (t)]() L[f(t)]() f() (3.3) Demotración: Por hipótei, en cualquier intervalo [,k] e cumple que f poee a lo umo un número finito de dicontinuidade imple. Supongamo que t,t 2,...,t m on tale dicontinuidade y que e tiene Podemo entonce ecribir Z k e t f (t) dt Z t <t <t 2 < <t m <k e t f (t) dt + Z t2 t e t f (t) dt + + Z k t m e t f (t) dt

3.5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE25 El integrando de cada una de la integrale del egundo miembro e continuo, por lo que podemo integrar cada una por parte. De ete modo, obtenemo Z k e t f (t) dt e t f(t) t + Z t Z t2 + t Pueto que f e continua en [, + ), etiene e t f(t) dt + e t f(t) t 2 t + e t f(t) dt + + e t f(t) k + t + m f(t )f(t+ ),f(t 2 )f(t+ 2 ),...,f(t m)f(t + m) y, en conecuencia, de (8.) deducimo Z k e t f (t) dt f() + e t f(k)+ Z k Z k (3.4) t m e t f(t) dt e t f(t) dt (3.5) Ahora bien, por hipótei, f e de orden exponencial α y, por tanto, exiten contante poitiva M y t tale que obien, f(t) Me αt e αt f(t) M para todo t>t. Por lo tanto, en particular, e cumple para k>t.deaquí,ededuce e k f(k) Me ( α)k lím k + e k f(k) para >α. Entonce, de (8.4) tenemo Z Ã + e t f (t) dt lím f() + e t f(k)+ k + f() + f() + L[f(t)]() e t f(t) dt por lo que L[f (t)]() exite para >αyecumple(8.5). Ejemplo Uando el hecho de que L [in bt]() b 2 + b 2 Z k! e t f(t) dt

252 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE determinar L [co bt](). Solución: Sea f(t) cobt, entoncef() y f (t) b in bt. Deaquí, aplicando el teorema 5, tenemo De donde, L [f (t)] () L [f(t)] () f() L [ b in bt]() L [co bt]() b2 2 + b 2 L [co bt]() L [co bt]() µ b2 2 + b 2 2 + b 2 Gereralizamo ahora el teorema 5 y obtenemo el iguiente reultado. Teorema 65 Supongamo que f e de clae C n en [, + ) yquef,f,..., f (n ) on de orden exponencial α. Supongamo también que f (n) econtinuaatrozo en [, + ). Entonce,exiteL(f (n) ) para >αyecumple h i L f (n) (t) () n L [f(t)] () n f() n 2 f () f (n ) () Demotración: Se procede en primer lugar como en la demotración del teorema5paraprobarquel(f (n) ) exite para >αyvienedadapor L[f (n) (t)]() L[f (n ) (t)]() f (n ) () Entonce, la prueba e completa por inducción. Obervación 38 Ete teorema conduce al hecho por el cual la tranformada de Laplace e una herramienta útil para tratar problema de valore iniciale. En efecto, ete teorema permite decir que al aplicar la tranformada de Laplace podemo reemplazar la derivación repecto a t por la multiplicación por, convirtiendo la ecuación diferencial en una ecuación algebraica. 3.5.4. Tranformada de la integral Teorema 66 Si L(f) F (), entonce Z t L f(u) du F () Demotración: Por definición Z t L f(u) du e t µz t f(u) du dt

3.5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE253 Integrando por parte, haciendo R t f(u) du g(t) f(t) g (t) e t h (t) e t h(t) reulta Z t L f(u) du Z t e t f(u) du F () + + e t f(t) dt Ejemplo 2 Calcular Z t L co tdt Solución: Según el teorema 7, tenemo Z t L[co t]() L co tdt y, egún el ejemplo 3, e tiene Z t L co tdt 2 + 3.5.5. Derivada de la tranformada En el iguiente teorema veremo que la derivada de la tranformada de f e la tranformada de otra función g definida por g(t) tf(t). Teorema 67 Supongamo que f e una función continua a trozo en [, + ) y de orden exponencial α y, por tanto, exite u tranformada que denotamo por F () e t f(t) dt (3.6) Entonce, para >αe cumple L [t n f(t)] () ( ) n dn F d n () y, en conecuencia, la tranformada de f tiene derivada de todo lo órdende para >α.

254 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE Demotración: Pueto que la función ubintegral en (8.6) y u derivada parcial repecto de on continua y e t tf(t) dt e convergente uniformemente para > α,yaquef e de orden exponencial α. Entonce F e derivable en >αyecumple µz d + e t f f(t) dt d t [e t f(t)] dt o de forma equivalente, df d () e t tf(t) dt L[tf(t)]() Por el mimo razonamiento, también e cumple d 2 F d 2 () e t t 2 f(t) dt ( ) 2 L[t 2 f(t)]() Entonce, por inducción e inmediato comprobar que e cumple lo que queríamo probar. Ejemplo 3 Determinar L [t in bt](). Solución: Según el ejemplo 7, e cumple que Por derivación, tenemo L [in bt]() F () df d () 2b ( 2 + b 2 ) 2 b 2 + b 2 y de aquí, utilizando el teorema 8, e obtiene L [t in bt]() df d () 2b ( 2 + b 2 ) 2 Ejemplo 4 Determinar L [bt co bt + inbt](). Solución: Evidentemente, d L [bt co bt +inbt]() L (t in bt) () dt

3.5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE255 Aplicando ahora el teorema 5, e obtiene d L (t in bt) () L [t in bt]() dt Según el ejemplo 5, tenemo Por lo tanto, tenemo L [t in bt]() L [bt co bt +inbt]() 2b 2 ( 2 + b 2 ) 2 2b 2 ( 2 + b 2 ) 2 3.5.6. Límite en el infinito de la tranformada El iguiente reultado probará que hay funcione que no pueden er tranformada de ninguna función. Teorema 68 Si una función f econtinuaatrozoparat ydeorden exponencial α, entonce lím L [f(t)] () + Demotración: Al er f de orden exponencial α, exiten do número reale poitivo M y t tale que f(t) Me αt para todo t>t.deaquí,obtenemo De aquí, e t f(t) Me ( α)t e t f(t) dt para >α.ahorabien,como L[f(t)]() M Me ( α)t dt (3.7) + e ( α)t M α α e t f(t) dt (3.8) e t f(t) dt

256 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE De (8.7) y (8.8), obtenemo L[f(t)]() M α (3.9) para >α.de(8.9),eevidenteque lím L[f(t)]() + y, por tanto, lím L[f(t)]() + Ejemplo 5 Probar que la función F () 2 no e la tranformada de Laplace de ninguna función. Solución: Si exitiera una función f tal que L(f) 2 entonce, egún el teorema 9, debería ocurrir que el límite lím + 2 eríaceroloquenoepoible.portanto,noexitetalfunción. 3.5.7. Tranformada del cociente de una función por t Teorema 69 Supongamo que f e una función con tranformada L(f) F (). Siexite f(t) lím t + t entonce Z f(t) + L () F (u) du t Demotración: Definimo g de manera que Entonce, egún el teorema 8, tenemo f(t) t g(t) F () L[f(t)]() L[t g(t)]() dg d () G ()

3.5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE257 iendo G la función tranformada de g. Entonce, por integración, tenemo Z [G(u)] + F (u) du + F (u) du e decir, G() lím G() F (u) du + Ahora bien, egún el teorema 9, lím G() + y, por tanto, Z f(t) + L () G() F (u) du t Aunque no hemo uado la condición de que f(t) lím t + t exite, éta e necearia para que la tranformada f(t) L () t eté bien definida. Obervación 39 E obvio que la expreión Z f(t) + L () F (u) du t e equivalente a Z t f(t) + e dt L[f(t)](u) du t Si ahora hacemo tender a cero, e obtiene Z f(t) + dt L[f(t)](u) du t Eta última expreión e válida para calcular integrale de eta forma iempre que exitan. Por ejemplo, Z in t + dt L[in t]() d t + 2 d [arctan ] + π 2

258 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE Ejemplo 6 Calcular in t L () t Solución: Según el teorema, tenemo Z in t + L () L[in t](u) du t +u 2 du [arctan u] + π 2 arctan 3.5.8. Tranformada de una función periódica Si una función real de variable real tiene período T, iendo T>, entonce f(t + T )f(t), paratodot R. El iguiente reultado prueba que la tranformada de una función periódica puede obtenere integrando obre un período. Teorema 7 Sea f una función continua a trozo en [, + ) ydeordenexponencial. Si f e periódica de período T,entonce L[f(t)]() Demotración: E claro que L[f(t)]() Z T e T Z T e t f(t) dt + e t f(t) dt T e t f(t) dt (3.) Haciendo el cambio t u + T, la última integral en (4.2) e tranforma en T e t f(t) dt De aquí y (4.2), obtenemo e (u+t ) f(u + T ) du e T e u f(u) du e T L[f(t)]() y, por tanto, L[f(t)]() Z T L[f(t)]() e t f(t) dt + e T L[f(t)]() Z T e T e t f(t) dt

3.6. LA TRANSFORMADA INVERSA 259 Ejemplo 7 Hallar la tranformada de la función periódica f cuya gráfica e Solución: En el intervalo [, 2] la función puede definire por ½ x i x< f(x) i x<2 yfueradelintervaloporf(x +2)x, edecir,uperíodoet 2. Aplicando el teorema e integrando por parte, tenemo L[f(x)]() e 2 e 2 e 2 Z 2 e x f(x) dx Z e x xdx+ µ e ( +)e 2 ( e 2 ) + e 2 Z 2 e x dt 3.6. La tranformada invera La utilización práctica de la tranformada de Laplace requiere no ólo el cálculo de la mima a partir de una función dada, ino también el problema invero, e decir, encontrar una función f conocida u tranformada de Laplace L(f). En ete apartado no ocuparemo de ete problema. Tre cuetione e

26 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE plantean inmediatamente: () Dada una función F, exite iempre una función f cuya tranformada ea F? (2) Suponiendo que una tal función exite, e única? (3) Cómo e halla una tal función? En repueta a la primera pregunta debemo decir NO neceariamente, ya que exiten funcione F que no on tranformada de ninguna función f. Enel ejemplo 7 hemo dado una función F con dicha propiedad. En relación a la egunda pregunta debemo decir NO neceariamente, pue do funcione que difieran ólo en un punto tienen la mima tranformada. En efecto, abemo que la tranformada de f(t) t e F () / 2, pero también lo e de la función no continua g definida por ½ t i t 6 g(t) i t ya que la tranformada e una integral y el área a la cual equivale e la mima i la función e continua o i tiene un número finito de punto de punto de dicontinuidad imple, que e lo que le ucede a g repecto a f. Puede comprobare de la mima manera que la función ½ t i t 6 2 h(t) i t 2 lo e también. En conecuencia, e pueden elegir infinita funcione diferente. Sin embargo, obérvee que de toda eta funcione una ola de ella e continua. Eta e la razón del iguiente reultado que enunciamo in demotración: Si f,g on do funcione continua en [, + ) tale que L[f(t)] L[g(t)], entonce f(t) g(t) para todo t. Ete reultado jutifica en parte la iguiente definición. Definición 26 Se llama tranformada invera de F, denotándoe L [F ()], la única función continua f en [, ) que atiface L [f(t)] () F () (3.) En el cao de que toda la funcione f que atifacen (4.3) ean dicontinua en [, + ), elegiremo como tranformada invera una función continua a trozo en [, + ) que atiface (4.3). Obervación 4 E claro que a partir de la propiedade de la tranformada de Laplace, pueden deducire alguna propiedade báica de la tranformación invera. Aí, por ejemplo, e inmediato comprobar la linealidad de la tranformada invera L [af ()+bg()] al [F ()] + bl [G()] con tal que L [F ()] y L [G()] exitan y ean continua en [, + ), iendo a, b R. Aimimo,tenemo dn L F d n () (t) ( t) n f(t) donde L [F ()](t) f(t).

3.6. LA TRANSFORMADA INVERSA 26 Finalmente, conideremo la tercera cuetión. Suponiendo una única tranformada invera continua, cómo podemo calcularla? El cálculo directo de tranformada invera no erá tratado aquí (En realidad, bajo cierta condicione la tranformada invera viene dada por otra integral que para evaluarla e neceario uar variable compleja). En u lugar, haremo uo de la propiedade de la tranformada y de la tabla de tranformada o de cualquier otra má completa. Ejemplo 8 Calcular L [F ()], abiendoque () F () 2 3 (2) F () 3 2 (3) F () +9 2 2 +5 Solución: () Según la tabla de tranformada, e tiene 2 2! L 3 (t) L 3 (t) t 2 (2) Según la tabla de tranformada, e tiene L 3 2 (t) L 3 +9 2 +3 2 (t) in3t (3) Según la tabla de tranformada, e tiene L 2 (t) L 2 +5 ( ) 2 +2 2 (t) e t co 2t Ejemplo 9 Calcular L [F ()], abiendoque () F () 3 25 + ( 3) 2 (2) F () Solución: () Recordando que y, egún el teorema 3, tenemo L[co 5t]() L[e 3t co 5t]() Por tanto, L 3 25 + ( 3) 2 (2) Obervamo que ( 2 +) 2 (3) F () 25 + 2 3 25 + ( 3) 2 (t) e 3t co 5t µ d 5 d 2 + ( 2 +) 2 2 ( 2 +) (4) F () e 2

262 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE y L[5 in t]() 5 2 + Entonce, egún el teorema 8, tenemo L[5t in t]() ( 2 +) Por tanto, L ( 2 +) 2 (t) 5t in t (3) Obervamo que e cumple 2 ( 2 +) 2 + Como conecuencia, tenemo L ( 2 (t) L +) Aplicando la tabla, e obtiene L (4) Obervamo que Según el teorema 4, tenemo Por tanto ( 2 +) (t) L (t) co t e 2 e 2 e L[t]() e L[t]() L[H (t)(t )]() L e 2 (t) H (t)(t ) 2 (t) + Tranformacione invera de funcione racionale Para calcular la tranformada invera de funcione racionale uaremo el método de decompoición de la mima en fraccione imple. Sin embargo, para que podamo calcular la tranformada invera de una función racional F () p() q() el grado de p ha de er etrictamente menor que el de q, yaqueegúnelteorema 9 toda tranformada de Laplace ha de tender a cero cuando tiende a infinito.

3.6. LA TRANSFORMADA INVERSA 263 Ejemplo 2 Calcular L [F ()], abiendoque () F () 3 +5 2 +2 8 (2) F () + 2 ( +2) 3 (3) F () 3 2 3 ( 2 +4) Solución: () En ete cao la decompoición en fraccione imple e 3 +5 2 +2 8 /5 + /6 +2 + / +4 Por tanto, por linealidad y la tabla de tranformada tenemo L 3 +5 2 (t) +2 8 5 L (t) 6 L +2 5 et 6 e 2t + e 4t (t)+ L +4 (2) En ete cao la decompoición en fraccione imple e + 2 ( +2) 3 /6 + /8 2 + /6 +2 + /4 ( +2) 3 Por tanto, por linealidad y la tabla de tranformada tenemo L + 2 ( +2) 3 (t) 6 L (t)+ 8 L 2 (t) + 6 L (t) 4 +2 L 6 + 8 t + 6 e 2t 8 t2 e 2t (3) En ete cao la decompoición en fraccione imple e 3 2 3 ( 2 +4) /8 + 3/4 2 + /2 3 + 8 3 4 2 +4 ( +2) 3 (t) (t) Por tanto, por linealidad y la tabla de tranformada tenemo 3 2 L 3 ( 2 (t) +4) 8 L (t)+ 3 4 L 2 (t) 2 L 3 (t) 8 L 2 (t) 34 +4 L 2 (t) +4 8 + 3 4 t 4 t2 8 co 2t 3 in 2t 8

264 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE 3.7. La convolución de funcione Definición 27 Sean f y g do funcione continua a trozo en [, + ), e define la convolución de f y g, denotándoe por f g, a la función definida por (f g)(t) Z t f(t u)g(u) du Ejemplo 2 Calcular la convolución de f y g, iendof(t) t y g(t) t 2. Solución: t t 2 (f g)(t) Z t (t u)u 2 du 3 tu 3 u4 4 t Z t (tu 2 u 3 ) du t4 3 t4 4 t4 2 La convolución de funcione, aunque e ditinta a la multiplicación de do funcione, atiface propiedade emejante. 3.7.. Propiedade de la convolución Teorema 7 Sean f, g y h tre funcione continua a trozo en [, + ). Se cumplen la iguiente propiedade:. f g g f 2. f (g + h) (f g)+(f h) 3. (f g) h f (g h) 4. f Demotración: () En efecto, mediante el cambio v t u, tenemo (f g)(t) Z t Z t Z t (g f)(t) f(t u)g(u) du f(v)g(t v) dv g(t v)f(v) dv

3.7. LA CONVOLUCIÓN DE FUNCIONES 265 (2) En efecto, tenemo (f (g + h)) (t) Z t Z t f(t u)(g + h)(u) du f(t u)g(u) du + (f g)(t)+(f h)(t) (3)Sudemotracióneanálogaalaanterior. (4)Eobvio,yaque (f )(t) Z t Z t f(t u) du f(t u)h(u) du 3.7.2. Tranformada de la convolución En el iguiente reultado veremo que e poible obtener la tranformada de Laplace de la convolución de do funcione in que e tenga que evaluar la integral. Teorema 72 Sean f y g do funcione continua a trozo en [, + ) yde orden exponencial α, yeaf () L [f(t)] () y G() L [g(t)] (). Entonce para >α, o de forma equivalente, L [(f g)(t)] () F ()G() L [F ()G()] (t) (f g)(t) para t, e decir, la tranformada invera del producto de la tranformada de do funcione e la convolución de la mima. Demotración: Por definición de la tranformada de Laplace, tenemo L [(f g)(t)] () e t (f g)(t) dt e t µz t f(t u)g(u) du Eta última integral puede expreare como una integral iterada µz t e t f(t u)g(u) du dt (3.2) y, en conecuencia, (4.4) e igual a la iguiente integral doble Z Z R e t f(t u)g(u) dudt (3.3) dt

266 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE donde R e el recinto limitado por la recta u y t u Ahora efectuamo el iguiente cambio de variable τ t u σ u (3.4) para tranformar la integral doble (4.5). El cambio de variable (4.7) tiene jacobiano J y tranforma el recinto R del plano u, t en el primer cuadrante del plano τ,σ. Por lo tanto, la integral (4.5) e tranforma en Z Z e (τ+σ) f(τ)g(σ) dσdτ (3.5) R 2 donde R 2 e el cuadrante definido por τ> y σ>. Entonce, la integral doble (4.8) e igual a la iguiente integral iterada e (τ+σ) f(τ)g(σ) dσdτ pero eta integral puede expreare en la forma iguiente e τ f(τ) dτ e σ g(σ) dσ F ()G() Obérvee que la integrale que hemo coniderado on abolutamente convergente para >αy, por tanto, toda la operacione que hemo realizado quedan jutificada. Obervación 4 Cuando g(t) y G() /, el teorema de la convolución implica el teorema 7 Z t L f(u) du F ()

3.7. LA CONVOLUCIÓN DE FUNCIONES 267 Ejemplo 22 Calcular Z t L e t in(t u) du () Solución: Según la definición 5, tenemo Z t e t in(t u) du e t in t Por tanto Z t L e t in(t u) du () L[e t in t]() Aplicando ahora el teorema 3, e tiene L[e t in t]() L[e t ]() L[in t]() 2 + ( )( 2 +) Ejemplo 23 Calcular L ( 2 +) 2 (t) Solución: Ecribimo ( 2 +) 2 2 + 2 + Pueto que L [in t]() 2 + del teorema 3 obtenemo L ( 2 +) 2 (t) int in t Z t 2 in(t u)inudu Z t [co t co(t 2u)] du u co t + 2 in t t co t 2 t in(t 2u) 2

268 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE 3.8. La delta de Dirac En divero itema fíico e poible encontrar fuerza de actuación muy intena de duración muy corta. E el cao de un golpe eco con un martillo, o el de una decarga eléctrica. Una manera formal de exprear mediante un modelo matemático ete fenómeno puede er por una función de valor cero excepto en un intervalo muy corto de tiempo, que e cuando actúa, y que u integral en dicho intervalo ea un número dado I, que erá la magnitud de la fuerza. La funcione de ete tipo e llaman funcione de impulo iendo preciamente el valor I el impulo. En la iguiente figura e muetra una típica función de ete tipo, donde el centro del impulo e ha ituado en el origen. Su ecuación e la iguiente ½ I δ t (t) 2t i t <t i t >t Deplazando a unidade a la derecha eta función, reulta la función ½ I δ t (t a) 2t i t a <t i t a >t que indica que el impulo e realiza en el punto t a. Si el valor de I e la unidad, la función e llama función de impulo unitario. En eta función el área encerrada dentro del rectángulo que indica la gráfica vale, e decir, e cumple δ t (t a) Conideremo ahora ditinta funcione de impulo unitario, centrada en t a y con ditinto tiempo de actuación.el límitedeetafuncionedeimpulounitario cuando t tiende a cero e llama delta de Dirac δ(t a) lím t δ t (t a)

3.8. LA DELTA DE DIRAC 269 Figura 3.: La delta de Dirac δ no e una función en el entido propio de la palabra, ino lo que e denomina una "ditribución". Se caracteriza por la do propiedade iguiente:. 2. δ(t a) ½ i t 6 a + i t a δ(t a) dt De una forma má precia, δ puede definire como una funcional lineal (obre una cierta clae de funcione continua) mediante la expreión f(t)δ(t a) dt f(a) de la cual pueden deducire la do propiedade anteriore. Obervación 42 Si la delta de Dirac fuera una función en el entido habitual, entonce la propiedad () implicaría δ(t a) dt en lugar de (2). En la teoría de ditribucione o de funcione generalizada, (2) no e una definición aceptable de δ, nitampocoehabladeunafuncióncuyo valore on + y. Aunqueetateoríaetáfueradenuetroalcanceaquí, para nuetro propóito e uficiente decir que la delta de Dirac e define en término de u efecto o acción obre cierta clae de funcione, e decir, como

27 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE una funcional. Para ver eto, upongamo que f e una función continua en R. Entonce, por el teorema del valor medio para integrale, e tiene Z a+t f(t)δ t (t a) dt f(t) dt a t 2t 2t f(c) 2t f(c) en donde c e un valor intermedio del intervalo (a t,a+t ).Cuandot tiende acero,c ha de tender hacia a, demaneraquetenemo f(t)δ(t a) dt lím f(t)δ t (t a) dt t lím f(c) f(a) t A pear de que hemo uado la definición intuitiva de la delta de Dirac δ(t a) lím δ t (t a) t para llegar f(t)δ(t a) dt f(a) (3.6) no obtante, ete reultado e válido y e puede obtener de manera riguroa. La expreión (4.2) puede tomare como definición de la delta de Dirac y e la conoce como la propiedad de eparación, ya que δ(t a) tiene el efecto de eparar el valor f(a) de lo valore de f. Tranformada de la delta de Dirac La tranformada de la delta de Dirac e puede obtener eneguida a partir de la propiedad f(t)δ(t a) dt f(a) En efecto, dado que δ(t a) para t 6 a y tomando f(t) e t, entonce para a tenemo e t δ(t a) dt De aquí, para a, etiene L [δ(t a)] () e a queenelcaodeera,etiene L[δ(t)]() e t δ(t a) dt e a lo que detaca el hecho de que la delta de Dirac no ea una función ordinaria, ya que la tranformada de Laplace de una función ha de tender a cero cuando tiende a infinito.

3.9. APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS DIFERENCIALES27 Delta de Dirac y la función ecalón Como conecuencia de la propiedad δ(t a) dt y del hecho de que δ(t a) ea cero para t<ay t>a,etiene Z t δ(u a) du ½ i t < a i t > a H a (t) (3.7) Derivando ambo miembro de la igualdad (4.6) repecto a t, obtenemo δ(t a) H a(t) De ete modo hemo obtenido otra definición de la delta de Dirac. 3.9. Aplicación a la reolución de ecuacione y itema diferenciale 3.9.. Ecuacione diferenciale lineale con coeficiente contante Vamo a ver ahora cómo puede aplicare la tranformada de Laplace para reolver un problema de valore iniciale que conta de la ecuación diferencial lineal de orden n con coeficiente contante ½ a y (n) (t)+a y (n ) (t)+ + a n y (t)+a n y(t) g(t) y() c,y () c,..., y (n ) () c n Tomemo ahora la tranformada de Laplace de ambo miembro de la ecuación. Según el teorema 2, tenemo h i h i a L y (n) (t) ()+a L y (n ) (t) ()+ + a n L [y(t)] () L [g(t)] () (3.8) Aplicando ahora el teorema 6 y uando la condicione iniciale, utituiremo la tranformada de la derivada por la expreione iguiente h i L y (k) (t) () k L [y(t)] () c k c k 2 c k (k, 2,..., n) Si deignamo L [y(t)] por Y y L [g(t)] por G, la ecuación (4.9) e tranforma en una ecuación algebraica en Y (). Pueto que g e una función conocida, la función G, uponiendo que exita, puede determinare y, en conecuencia, e una función conocida. Una vez e ha hallado Y (), encontramo la olución única del problema de valore iniciale, mediante y(t) L [Y ()] (t)

272 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE utilizando la tabla de tranformada. El procedimiento e reume como igue:. Se toma la tranformada de Laplace en ambo miembro de la ecuación diferencial. Aplicando el teorema 6 y uando la condicione iniciale, e obtiene una ecuación algebraica cuya incógnita e Y (). 2. Se reuelve la ecuación algebraica aí obtenida para determinar Y (). 3. Una vez hallada Y (), e toma la tranformada invera y e utiliza la tabla de tranformada para determinar la olución y(t) del problema de valore iniciale dado. Ejemplo 24 Reolver ½ y (t) 3y(t) e 2t y() Solución: Primero aplicamo la tranformada a cada miembro de la ecuación diferencial dada, L [y (t)] () 3L [y(t)] () L e 2t () Luego uamo que L [y (t)] () L [y(t)] () y() Y () y L e 2t () 2 Por lo tanto, tenemo Y () 3Y () 2 ( 3)Y () 2 Y () ( 2)( 3) Mediante la decompoición en fraccione imple, e obtiene L 2 (t) L (t)+l (t) ( 2)( 3) 2 3 e 2t +2e 3t luego e tiene y(t) L (t) ( 2)( 3) e 2t +2e 3t

3.9. APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS DIFERENCIALES273 3.9.2. Ecuacione diferenciale con coeficiente variable De la mima forma pueden obtenere olucione a problema de valore iniciale de ecuacione diferenciale con coeficiente variable. Ejemplo 25 Reolver ½ y (t)+2ty(t) 4y(t) y() y () (3.9) Solución: Tomando la tranformada a ambo miembro de la ecuación e obtiene L [y (t)] ()+2L [ty (t)] () 4L [y(t)] () L [] () Por lo teorema 6 y 8, tenemo y L [ty (t)] () d d (L[y (t)]()) d (L[y(t)]() y()) d d (Y ()) d Y () Y () L [y (t)] () 2 L[y(t)]() y() y () 2 Y () Sutituyendo eto reultado en la ecuación (4.2), tenemo 2 Y () 2Y () 6Y () obien, Y ()+( 3 )Y () 2 2 2 que e una ecuación lineal de primer orden cuya olución e Y () 3 + c 3 e 4 2 La contante c puededeterminarerecordandoquetodatranformadadelaplace ha de tender a cero cuando tiende a infinito. Eto e poible ólo cuando c. Por tanto, reulta Y () 3 Luego y(t) L 3 (t) t2 2

274 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE 3.9.3. Ecuacione íntegro-diferenciale Mediante el teorema de la convolución e poible también hallar la olución de alguno tipo de ecuacione en la que la función incógnita aparece bajo el igno de integral como, por ejemplo, f(t) g(t)+ Z t f(u)h(t u) du iendo g y h do funcione conocida. Eta ecuacione e llaman íntegrodiferenciale. Ejemplo 26 Reolver y(t)+ Z t Solución: Primero obervamo que Z t (t u)y(u) du t (t u)y(u) du t y(t) Tomando ahora tranformada a ambo miembro de la ecuación, e tiene L [y(t)] ()+L [t y(t)] () L [t]() (3.2) Por el teorema de la convolución, tenemo L [t y(t)] () L[t]() L[y(t)]() Y () 2 Sutituyendo ete reultado en (4.22), tenemo De donde reulta Por lo tanto Y ()+ Y () 2 2 Y () + 2 y(t) L + 2 int 3.9.4. Sitema lineale con coeficiente contante Cuando e epecifican condicione iniciale, la tranformada de Laplace reduce un itema de ecuacione diferenciale lineale con coeficiente contante a un itema lineal de ecuacione algebraica.

3.9. APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS DIFERENCIALES275 Ejemplo 27 Reolver 2x (t)+y (t) y(t) t x (t)+y (t) t 2 ¾ ujeto a x(),y(). Solución: Deignamo por X e Y la tranformada de x e y, repectivamente. Tomando tranformada a ambo lado de cada ecuación, e tiene Entonce, como 2L[x (t)]()+l[y (t)]() L[y(t)]() L[t]() L[x (t)]()+l[y (t)]() L[t 2 ]() L[x (t)]() L[x(t)]() x() X() L[y (t)]() L[y(t)]() y() Y () L[t]() 2 L[t 2 ]() 2 3 ¾ el itema queda como igue 2(X() ) + Y () Y () 2 X() +Y () 2 3 ¾ obien ¾ 2X()+( )Y () 2+ 2 X()+Y () + 2 3 Multiplicando la egunda ecuación (4.23) por 2 y umando, reulta (3.2) ( )Y () 2 4 3 de donde Y () 4 3 ( +) Decomponiendo en fraccione imple, obtenemo Por tanto, 4 y(t) L 3 ( +) 5L 4 3 ( +) 5 5 2 + 4 3 5 + (t) (t) 5L 2 5 5t +2t 2 5e t 2 (t)+2l 3 (t) 5L (t) +

276 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE De la egunda ecuación de (4.23), e tiene X() Y ()+ + 2 4 dedondeededuce x(t) L [Y ()](t)+l + 2 3! 3! L 4 5+5t 2t 2 +5e t ++ 3 t3 4+5t 2t 2 + 3 t3 +5e t Por coniguiente, la olución del itema dado e x(t) 4+5t 2t 2 + 3 t3 +5e t y(t) 5 5t +2t 2 5e t