Universidad de Talca Cálculo (Contador público y auditor) Instituto de Matemática y Física Mayo de 2015 Guía - Funciones de Varias Variables (II) Regla de la cadena 1. En los siguientes problemas, obtenga las derivadas que se señalan apliacando la regla de la cadena. (a) z = 5x + 3y, x = 2r + 3s, y = r 2s; z r, z (b) z = e x+y, x = t 2 + 3, y = t 3 ; dz/dt. (c) w = 3x 2 y + xyz 4y 2 z 3, x = 2r 3s, y = 6r + s, z = r s; w r, w (d) z = x 2 + 3xy + 7y 3, x = r 2 2s, y = 5s 2 ; z r, z (e) z = 8x + y, x = t 2 + 3t + 4, y = t 3 + 4; dz/t. (f) w = ln(x 2 + y 2 + z 2 ), x = 2 3t, y = t 2 + 3, z = 4 t; dw/dt. (g) w = x 2 + xyz + y 3 z 2, x = r s 2, y = rs, z = 2r 5s; w (h) w = e xyz, x = r 2 s 3, y = r s, z = rs 2 ; w r. (i) y = x 2 7x + 5, x = 15rs + 2s 2 t 2 ; y r (j) y = 4 x 2, x = 2r + 3s 4t; y t 2. Para un fabricante de cámaras fotográficas y películas el costo total C de fabricar q C cámaras y q F unidades de películas, está dado por C = 30q C + 0.015q C q F + q F + 900 La funciones de demanda para las cámaras y para las películas están dadas por q C = 9000 p C pf y q F = 2000 p C 400p F en donde p C es el precio por cámara y p F es el precio por unidad de película. Encontrar la tyasa de variación del costo total con respecto al precio de la cámara cuando p C = 50 y p F = 2. 3. La producción de trigo W, en un año dado, depende del promedio de temperatura T y la cantidad de lluvia anual R. Los expertos estiman que el promedio de temperatura está subiendo a razón de 0.15 C/año y la lluvia está decreciendo a razón de 0.1 cm/año. También estiman que, a los niveles actuales de producción, W W T = 2 y R = 8. Estime la actual razón de cambio de la producción de trigo, dw/dt.
Máximos y mínimos 1. Localice los puntos críticos de las funciones. Determine, mediante la prueba de la segunda derivada, si cada punto crítico corresponde a un máximo relativo, a un mínimo relativo, o a niguno de ellos. (a) f(x, y) = 2x 2 + y 2 2xy + 5x 3y + 1 (b) f(x, y) = x 2 4x + 2y 2 + 4y + 7 (c) f(x, y) = x 3 + y 3 xy (d) f(x, y) = y 2 x 2 (e) f(x, y) = x 2 + 3y 2 + 4x 9y + 3 (f) f(x, y) = 2x 3 6xy + 3y 2 (g) f(x, y) = xye (x2 +y 2 )/2 2. Un minorista vende dos productos que se hacen competencia, y cuyos precios son p 1 y p 2. Encontrar p 1 y p 2 de forma que los ingresos sean máximos, siendo Resp: p 1 = 1760/3 y p 2 = 840 I = 500p 1 + 800p 2 + 1, 5p 1 p 2 1, 5p 2 1 p 2 2 3. Sea P una función de producción dada por P = f(l, k) = 0.54l 2 0.02l 3 + 1.89k 2 0.09k 3, en donde l y k son las cantidades de mano de obra y capital, respectivamente, y P es la cantidad de productos que se fabrican. Calcular los valores de l y k que maximizan P. 4. Un fabricante de alimentos produce dos tipos de golosinas, A y B, cuyos costos promedio de producción son constantes $2 y $3 (dólares) por libra, respectivamente. Las cantidades q A, q B (en libras de A y B) que pueden venderse cada semana están dadas por las funciones de demanda conjuntas q A = 400(p B p A ) y q B = 400(9 + p A 2p B ) en donde p A y p B son los precios de venta (en dólares por libra) de A y B, respectivamente. Determinar los precios de venta que maximizan las utilidades P =(utilidad por libra)+(libras vendidas) del fabricante. Resp: El fabricante debe vender la golosina A a $5.50 por libra y la golosina B a $6.00 por libra. 5. El beneficio que se obtiene produciendo x unidades del modelo A e y unidades del modelo B se aproxima mediante el modelo P (x, y) = 8x + 10y (0, 001)(x 2 + xy + y 2 ) 10000
Hallar el nivel de producción que reporta un beneficio máximo. Resp: El nivel de producción de x = 2000 unidades y y = 4000 unidades conduce a un beneficio máximo. 6. En cierto proceso automatizado de manufactura, se utilizan las máquinas M y N durante m y n horas, respectivamente. Si la producción diaria Q es función de m y n, es decir, Q = 4.5m + 5n 0.5m 2 n 2 0.25mn Determinar los valores de m y n que maximizan Q. 7. Una empresa fabrica dos tipos de zapatillas, para correr y para baloncesto. El ingreso total de x 1 unidades para correr y x 2 unidades para baloncesto es R = 5x 2 1 8x2 2 2x 1x 2 + 42x 1 + 102x 2, donde x 1 y x 2 están en miles de unidades. Hallar las x 1 y x 2 que maximizan el ingreso. 8. El único almacén de comestibles de una pequeña comunidad rural vende dos marcas de jugo de naranja helado: una marca local, que obtiene a un costo de $300 por lata, y una marca nacional, muy conocida, que obtiene a un costo de $400 la lata. El vendedor calcula que si la marca local se vende a x pesos la lata y la marca nacional se vende a y pesos la lata, cada día venderá aproximadamente 70 5x + 4y latas de la marca local y 80 + 6x 7y latas de la marca nacional. Qué precio debería fijar el vendedor a cada marca para maximizar las utilidades obtenida de la venta del jugo? Resp: x = 53 e y = 55 9. Una tienda al por menor vende dos tipos de cortadoras de césped, los precios son p 1 y p 2. Hallar las p 1 y p 2 que maximicen el ingreso total, donde R = 515p 1 + 805p 2 + 1.5p 1 p 2 1.5p 2 1 p2 2. 10. Una caja de cartón sin tapa debe tener un volumen de 32000 cm 3. Encuentre las dimensiones que hagan mínima la cantidad de cartón utilizado. Resp: x = 40, y = 40 y z = 20 11. Una empresa fabrica velas en dos lugares. El costo de producción de x 1 unidades en el lugar 1 es C 1 = 0.02x 2 1 + 4x 1 + 500 y el costo de producción de x 2 unidades en el lugar 2 es C 2 = 0.05x 2 2 + 4x 2 + 275. Las velas se venden a $15 por unidad. Hallar la cantidad que debe producirse en cada lugar para aumentar el máximo el beneficio P = 15(x 1 + x 2 ) C 1 C 2. 12. Piense en un experimento en el que un sujeto desarrolla una tarea mientras está expuesto a dos estímulos diferentes (por ejemplo, sonido y luz). Ante niveles bajo de estímulo, el desempeño del sujeto puede mejorar, pero a medida que los estímulos aumentan se convierten en una distracción y el desempeño comienza a desmejorar. Si en cierto experimento en el que se aplican x unidades del estímulo A e y unidades del estímulo B, el desempeño de un sujeto se mide por la función f(x, y) = C + xye 1 x2 y 2
donde C es una constante positiva, cuántas unidades de cada estímulo provocan el máximo desempeño? Resp: x = 2/2 e y = 2/2 Multiplicadores de Lagrange 1. Determine, mediante el método de los multiplicadores de Lagrange, los puntos críticos de la funciones sujetas a las restricciones dadas. (a) f(x, y) = x 2 y 2 ; x 2 + y 2 = 1 Resp: f(±1, 0) = 1 es el valor máximo y f(0, ±1) = 1 es el valor mínimo de f. (b) f(x, y) = 4x + 6y; x 2 + y 2 = 13 Resp: f(2, 3) = 26 es el valor máximo y f( 2, 3) = 26 es el valor mínimo de f. (c) f(x, y, z) = xyz; x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 6. Resp: f( 2, ±1, 2/3) = 2/ 3, f( 2, ±1, 2/3) = 2/ 3 son los valores máximos y f( 2, ±1, 2/3) = 2/ 3, f( 2, ±1, 2/3) = 2/ 3 son los valores mínimos de f. (d) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 ; x 4 + y 4 + z 4 = 1. (e) f(x, y, z) = x + 2y; y 2 + z 2 = 4; x + y + z = 1. (f) f(x, y, z) = 3x y 3z; x 2 + 2z 2 = 1; x + y z = 0. Resp: f( 6/3, 6/2, 6/6) = 2 6 es el valor máximo y f( 6/3, 6/2, 6/6) = 2 6 es el valor mínimo de f. (g) f(x 1, x 2,..., x n ) = x 1 + x 2 +... + x n ; x 2 1 + x2 2 +... + x2 n = 1 Resp: f(1/ n, 1/ n, 1/ n) = n es el valor máximo y f( 1/ n, 1/ n, 1/ n) = n es el valor mínimo de f. 2. Hállese las dimensiones de una caja rectangular de volumen máximo sujeto a la restricción de que la suma de la longitud y el perímetro transversal no excedan de 108 pulgadas. (Maximizar V = xyz sujeto a la restricción x + 2y + 2z = 108.) 3. Para surtir un pedido de 100 unidades de su producto, una empresa desea distribuir la producción entre sus dos plantas, la 1 y la 2. La función de costos totales está dada por c = f(q 1, q 2 ) = 0.1q 2 1 + 7q 1 + 15q 2 + 1000 en donde q 1 y q 2 son los números de unidades fabricadas en las plantas 1 y 2, respectivamente. Cómo se debe distribuir la producción con el objeto de minimizar los costos?. Resp: f(40, 60) = 2340 4. La función de producción de una empresa esta dada por f(l, k) = 12l + 20k l 2 2k 2. El costo para la compañia es de 4 y 8, por unidad de l y k, respectivamente. Si la empresa desea que el costo total de los insumos se 88, calcule la máxima producción posible, sujeta a esta restricción presupuestal. Resp: f(8, 7) = 74
5. La función de produción de Cobb-Douglas para un fabricante concreto viene dada por f(x, y) = 100x 3/4 y 1/4 donde x representa las unidades de trabajo (a $150 por unidad) e y las unidades de capital (a $250 por unidad). El costo total de trabajo y capital está limitado a $50000. Calcular el nivel máximo de producción para esta fabricante. Resp: f(250, 50) 16719 unidades producidas. 6. Una sonda espacial con forma de elipsoide 4x 2 + y 2 + 4z 2 = 16 entra en la atmósfera de la Tierra y su superficie comienza a calentarse. Después de una hora, la temperatura en el punto (x, y, z) sobre la superficie de la sonda es T (x, y, z) = 8x 2 + 4yz 16z + 600. Determine el punto más caliente sobre la superficie de la sonda. Resp: (±4/3, 4/3, 4/3) 7. En economía, la utilidad de las cantidades x e y de dos bienes G 1 y G 2 en ocasiones se mide mediante una función U(x, y). Por ejemplo, G 1 y G 2 podrían ser dos sustancias químicas requeridas por una compañia farmacéutica y U(x, y) la ganancia al fabricar un producto cuya síntesis requiere diversas cantidades de las sustancias, dependiendo del proceso utilizado. Si G 1 cuesta a dólares, entonces los administradores de la compañia quieren maximizar U(x, y) dado que ax + by = c. Entonces, necesitan resolver un problema típico de multiplicadores de Lagrange. Suponga que y la ecuación ax + by = c se simplifica como U(x, y) = xy + 2x 2x + y = 30. Determine el valor máximo de U y los valores correspondientes de x e y sujetos a esta última restricción. Resp: U(8, 14) = $128 8. Usted debe construir un radiotelescopio en un planeta recién descubierto. Para minimizar la interferencia, requiere colocarlo donde el campo magnético del planeta es más débil. El planeta es esférico, con un radio de 6 unidades.con base en un sistema de coordenadas cuyo origen es el centro del planeta, la fuerza del campo magnético está dada por M(x, y, z) = 6x y 2 + xz + 60. Dónde debe colocar el radiotelescopio? 9. La temperatura en un punto (x, y) de una placa de metal es T (x, y) = 4x 2 4xy + y 2. Una hormiga camina sobre la placa alrededor de una circunferencia de radio 5 con centro en el origen. Cuáles son las temperaturas máxima y mínima encontradas por la hormiga? Resp: Mínimo 0 y máximo 125. 10. A un editor le han asignado 60000 dólares para invertir en desarrollo y promoción de un nuevo libro. Se estima que si se invierte x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en promoción, se venderán aproximadamente f(x, y) = 20x 3/2 y ejemplares del libro. Cuánto dinero debería asignar el editor a desarrollo y cuánto a promoción para maximizar las ventas? Resp: f(36, 24) = 103680