Solución de sistemas de ecuaciones lineales c M Valenzuela 2007 (2 de agosto de 2007) Matrices Definición Una matriz n m es un arreglo rectangular de elementos con n filas (o renglones) y m columnas en el cual no sólo es importante el valor de los elementos sino también su posición en el arreglo Ejemplo: a 2 a m a 2 a 2m A =(a ij )= a n a n2 a nm Las matrices se denotan con mayúsculas (con negritas) y sus elementos con minúsculas () 2 Vectores Definición 2 Una matriz n, se le llama un vector renglón de n dimensiones Definición 3 Una matriz n, B = [ b b 2 b n ], (2) C = se le llama un vector columna de n dimensiones c c 2 c n Usualmente, los subíndices innecesarios se omiten, de manera que denota un vector renglón de m dimensiones, y, (3) y = [ y y 2 y m ], (4) x = x x 2 x n, (5) denota un vector columna de n dimensiones Los vectores se denotan con minúsculas y negritas La norma de un vector x se define de la siguiente manera: Nótese que ( n ) /p x p = x i p (6) i= x 2 = n x i 2 = x, (7) i=
0Ω 5Ω 0Ω 20V + R =5Ω 5Ω 5Ω Figura : Circuito elécitrico que puede ser descrito mediante un sistema de ecuaciones simultáneas es decir, la magnitud del vector Nótese también que ( n ) /p x = lim x i p =max( x i ), (8) p i es decir, el máximo de los valores absolutos de las componentes x i del vector i= 3 Por qué se requieren métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales Muchos problemas pueden ser descritos mediante un sistemas de ecuaciones lineales Por ejemplo, considere el circuito eléctrico mostrado en la figura Las ecuaciones de malla que describen a este circuito son las siguientes: 5i i 5i 2 = 20 5i + 5i 2 5i 3 = 0 (9) 5i 2 + 20i 3 = 0 A partir de las ecuaciones de malla se pueden obtener todas las corrientes, voltajes, y pontencial de los elementos del circuito Por ejemplo, la corriente de la resistencia R es i i 2 4 Representación de sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones lineales simulatáneas de la forma x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + x 2 + + a 2n x n = b 2 a n x + a n2 x 2 + + a nn x n = b n puede representarse mediante una matriz n (n +) A partir de la matriz A y el vector b a 2 a n a 2 a 2n A = a n a n2 a nn b b 2 b = (0) () b n c M Valenzuela, 2007 (2 de agosto de 2007) Página 2
seformalamatrizaumentada à = a 2 a n b a 2 a 2n b 2 (2) a n a n2 a nn b n Esta matriz aumentada representa la ecuación vectorial Ax = b 5 Ejemplo de circuitos eléctricos Definio R, i, y v: R = i = i i 2 i 3 5 5 0 5 5 5 0 5 20 v = 20 0 0 (3) (4) Podemos expresar el juego de ecuaciones como 5 5 0 Ri = v = 5 5 5 i i 2 = 20 0 (5) 0 5 20 i 3 0 Que puede representarse mediante la matriz aumentada: R = 5 5 5 0 (6) 6 Operaciones elementales de renglón Como la matriz aumentada à representa un sistema de ecuaciones simultáneas, es posible realizar las siguientes operaciones elementales de renglón mantenio las igualdades de las ecuaciones representadas: Multiplicar un renglón por una constante Multiplicar un renglón por una constante y sumarlo a otro renglón Los métodos de soluciones de sistemas de ecuaciones aplican estas operaciones sobre la matriz aumentada en forma ordenada y repetida En las siguientes secciones se explican los siguientes métodos: Eliminación gaussiana (Gauss) Gauss-Jordan Montante c M Valenzuela, 2007 (2 de agosto de 2007) Página 3
Function EGaussiana(A,b) 2 3 4 5 6 7 8 9 0 A [Ab] ; for i to n do // Hacer ceros abajo de pivote for j i + to n do A(i, :)A(j, i) A(j, :) A(j, :) ; A(i, i) for i n downto do // Hacer pivote A(i, :) A(i, :) A(i, i) ; // Hacer ceros arriba de pivote for j i downto do A(j, :) A(j, :) A(i, :)A(j, i) ; x A(:,n+); return x Figura 2: Pseudocódigo que implementa el método de eliminación gaussiana para solución de sistemas de ecuaciones lineales 7 Eliminación Gaussiana Eliminación gaussiana aplica operaciones de renglón para resolver un sistema de ecuaciones simulatáneas; su pseudocódigo se presenta en la figura 2, y en la figura 3 su implementación en MATLAB Para cada renglón, se define el elemento a i,i de la matriz aumentada como el pivote Eliminación gaussiana opera en dos fases Primero, para cada renglón empezando por el primer renglón, hace ceros en los elementos debajo del pivote (líneas 3 y 4) Segundo, para cada renglón empezando por el último renglón, hace el pivote igual a, y hace ceros arriba del pivote (líneas 5 a 8) La solución al sistema de ecuaciones queda en la última columna de la matriz aumentada (línea 9) A continuación se presenta la solución del ejemplo del circuito elécitrico mediante eliminación gaussiana R = 5 5 5 0 0 33333 5 66667 0 0 8250 25 0 33333 0 73563 0 0 0379 0 33333 5 66667 5 0 0 227586 0 0 0557 0 0 0379 0 33333 5 66667 0 0 0379 (7) 0 0 572 0 0 0557 0 0 0379 (8) (9) de donde se tiene que las corrientes de malla son: i = 572 0557 (20) 0379 c M Valenzuela, 2007 (2 de agosto de 2007) Página 4
function x=egauss(a,b) Implementacion del metodo de eliminacion gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales x = EGauss(A,b) Regresa x, la solucion del sistema Ax=b 22 enero 2007 Manuel Valenzuela Crear la matriz aumentada A=[Ab]; n=size(a,); for i=:n Hacer ceros en la columna i debajo de la fila i for j=i+:n A(j,:) = A(j,:) A(i,:) A(j,i)/A(i, i ); for i=n: : Hacerunoelelementoi,i A(i,:) = A(i,:)/A(i, i ); Hacer ceros en la columna i arriba de la fila i for j=i : : A(j,:) = A(j,:) A(i,:) A(j,i ); x = A(:,n+); Figura 3: Implementación en MATLAB del método de eliminación gaussiana para solución de sistemas de ecuaciones lineales 8 Método de Gauss-Jordan En la figuras 4 y 5 se presenta en la implementación del método Gauss-Jordan El método de Gauss-Jordan es similar a eliminación gaussiana, pero primero hace el pivote igual a, y luego hace ceros en toda la columna del pivote En el método de Gauss-Jordan primero se hace el pivote igual a se hace el pivote igual a (línea 3), Después se hacen cero los elementos arriba y abajo del pivote líneas 4 a 6) La solución al sistema de ecuaciones queda en la última columna de la matriz aumentada (línea 7) Acontiuaciónsemuestralasolución del ejemplo del circuito eléctrico mediante Gauss-Jordan R = 5 5 5 0 03333 0 3333 0 33333 5 66667 9 Pivote máximo 0 0250 5000 0 03750 05000 0 0 8250 25000 0 0 572 0 0 0557 0 0 0379 03333 0 3333 5 5 5 0 03333 0 3333 0 03750 05000 0 0250 5000 0 03750 05000 0 0 0379 (2) (22) (23) (24) Los algoritmos presentados pueden encontrar el problema de que el pivote sea cero, causando una división entre cero Para resolver este problema se pueden intercambiar renglones para colocar una elemento diferente de cero en la diagonal principal En la figura 6 se presenta la implementación de Gauss-Jordan donde se escoge el elemento de máximo valor abosluto como pivote c M Valenzuela, 2007 (2 de agosto de 2007) Página 5
Function GaussJordan(A,b) 2 3 4 5 6 7 8 A [Ab] ; for i to n do // Hacer pivote A(i, :) A(i, :) A(i, i) ; for j to n do if j i then // Hacer ceros arriba y abajo del pivote A(j, :) A(j, :) A(j, i)a(i, :) ; x A(:,n+); return x Figura 4: Pseudocódigo que implementa de método Gauss-Jordan para la solución de sistemas de ecuaciones lineales function x = GaussJ(A,b) Implementacion del metodo Gauss Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales x = GaussJordan(A,b) Regresa x, la solucion del sistema Ax=b 22 enero 2007 Manuel Valenzuela Se crea la matriz aumentada A=[Ab]; n=size(a,); for i=:n Dividir renglon entre el pivote A(i,:) = A(i,:)/A(i, i ); Hacer ceros en la columna i for j=:n if i =j A(j,:) = A(j,:) A(i,:) A(j,i ); x = A(:,n+); Figura 5: Implementación en MATLAB del método Gauss-Jordan para solución de sistemas de ecuaciones lineales c M Valenzuela, 2007 (2 de agosto de 2007) Página 6
Function GaussJordan(A,b) 2 3 4 5 6 7 8 9 0 A [Ab] ; for i to n do m max( A(i : n, i) ) ; k renglón de m en A ; Intercambiar renglones i y k de A ; // Hacer pivote A(i, :) A(i, :) A(i, i) ; for j to n do // Hacer ceros arriba y abajo del pivote if j i then A(j, :) A(j, :) A(j, i)a(i, :) ; x A(:,n+); return x Figura 6: Pseudocódigo que implementa el método de Gauss-Jordan con pivote máximo para solución de sistemas de ecuaciones lineales 0 Montante El métododemontante,quesepresentaenlasfiguras 7 y 8, resuelve un sistema de ecuaciones simultáneas hacio operaciones que mantienen el número de decimales que tiene los datos originales hasta el último paso, donde se realiza la división entre el determinante Ejemplo del método Montante: Ã = 5 5 5 0 200 0 25 300 0 200 75 00 0 0 3625 500 Matriz inversa 0 0 572 0 0 0557 0 0 0379 0 200 75 00 0 75 300 0 3625 0 0 5500 0 3625 0 2000 0 0 3625 500 (25) (26) (27) Los métodos de eliminación gaussiana, Gauss-Jordan, y Montante pueden ser utilizados para encontrar la inversa de una matriz En este caso, la matriz aumentada será la matriz de original y la matriz identidad 5 5 0 0 0 5 5 5 0 0 0 200 0 25 5 5 0 0 200 75 5 5 0 0 0 3625 25 75 200 5 5 0 0 0 0 200 75 5 5 0 0 75 300 0 0 5 3625 0 0 275 00 25 0 3625 0 00 300 75 0 0 3625 25 75 200 (28) (29) c M Valenzuela, 2007 (2 de agosto de 2007) Página 7
Function Montante(A,b) 2 3 4 5 6 7 8 9 0 A [Ab] ; pivant ; for i to n do piv A(k, k) ; for j to n do // Hacer ceros arriba y abajo del pivote if j i then A(j, :)piv A(i, :)A(j, i) A(j, :) ; pivant pivant piv ; x A(:,n+) ; piv det A(n, n) ; return x, det Figura 7: Pseudocódigo que implementa el método de Montante para la solución de sistemas de ecuaciones lineales function x=mont(a,b) Implementacion del metodo Montante para resolver sistemas de ecuaciones lineales x = Montante(A,b) Regresa x, la solucion del sistema Ax=b 22 enero 2007 Manuel Valenzuela Se crea la matriz aumentada A=[Ab]; n=size(a,); pivant = ; pivote inicial for i=:n pivoteactual piv = A(i,i ); Hacer ceros en la columna i for j=:n if j =i A(j,:) = (A(j,:) piv A(i,:) A(j,i))/pivAnt; Guardar el pivote anterior pivant = piv; Dividir entre el ultimo pivote (determinante) A=A/piv; x = A(:,n+); Figura 8: Implementación en MATLAB del método de Montante para la solución de sistemas de ecuaciones lineales c M Valenzuela, 2007 (2 de agosto de 2007) Página 8
0 0 00759 00276 00069 0 0 00276 00828 00207 0 0 00069 00207 00552 (30) La inversa son las últimas n columnas de la matriz aumentada: 00759 00276 00069 A = 00276 00828 00207 (3) 00069 00207 00552 2 Métodos Iterativos: Jacobi Dado un sistema de ecuaciones de la forma: x + a 2 x 2 + + a n x n = b (32) a 2 x + x 2 + + a 2n x n = b 2 (33) (34) a n x + a n2 x 2 + + a nn x n = b n (35) si se despeja la variable x i de cada ecuación se obtiene lo siguiente: x = a 2 x 2 a 3 x 3 a n x n + b (36) x 2 = a 2 x a 23 x 3 a 2n x n + b 2 (37) (38) x n = a n x a n2 x 2 a n,n x n + b n (39) a nn a nn a nn a nn El sistema anterior, puede usarse como una fórmula recursiva, es decir, x (t +) = a 2 x 2 (t) a 3 x 3 (t) a n x n (t)+ b (40) x 2 (t +) = a 2 x (t) a 23 x 3 (t) a 2n x n (t)+ b 2 (4) (42) x n (t +) = a n x (t) a n2 x 2 (t) a n,n x n (t)+ b n (43) a nn a nn a nn a nn puede usarse para obtener los valores de x i (t + ) en función de los valores de x i (t) Si definimos la matriz T y el vector c de la siguiente manera, 0 a 2 a 3 a n b a 2 0 a 23 a n b 2 T = a 3 a 32 0 a 3n c = b 3 (44) a 33 a 33 a 33 a 33 a n a n2 a n,n b n 0 a nn a nn a nn a nn c M Valenzuela, 2007 (2 de agosto de 2007) Página 9
Function Jacobi(A,b,x0) 2 3 4 5 6 7 8 Obtener matriz T ; Obtener vector c ; x x 0 ; repeat x ant x ; x Tx + c ; until x x ant <ε; x return x Figura 9: Pseudocódigo que implementa el método de Jacobi para resolver en forma iterativa sistemas de ecuaciones lineales En la línea 7 se ha tomado la norma infinita,, para definir el criterio de terminación, pero es posible tomar otra norma se pueden escribir las ecuaciones recursivas en forma matricial: x(t +)=Tx(t)+c (45) Para evitar el uso de la variable t podemos escribir la ecuación en forma de asignación: x Tx + c (46) Enlasfiguras9y0sepresentalaimplementación del método de Jacobi 3 Métodos Iterativos: Gauss-Seidel En las ecuaciones recursivas, es posible utilizar inmediatamente los valores obtenidos para calcular los siguientes valores, es decir, x (t +) = a 2 x 2 (t) a 3 x 3 (t) a n x n (t)+ b (47) x 2 (t +) = a 2 x (t +) a 23 x 3 (t) a 2n x n (t)+ b 2 (48) x 3 (t +) = a 3 a 33 x (t +) a 32 a 33 x 2 (t +) a 3n a 33 x n (t)+ b 3 a 33 (49) (50) x n (t +) = a n a nn x (t +) a n2 a nn x 2 (t +) a n,n a nn x n (t +)+ b n a nn (5) El uilizar los valores de x i que se acaban de calcular para calcular los siguientes valores permite que el método converja más rápidamente a una solución Las ecuaciones recursivas se pueden escribir en forma matricial de la siguiente manera: x i T(i, :)x + c i (52) donde T(i, :) representa la fila i de la matriz T, y la regla debe aplicarse en orden para i =, 2,n En las figuras y 2 se presenta la implementación del método de Gauss-Seidel c M Valenzuela, 2007 (2 de agosto de 2007) Página 0
function x = Jaco(A,b,x0) Implementacion del metodo Jacobi para la solucion de sistemas de ecuaciones, tomando como aproximacion inicial x0 x = Jaco(A,b,x0) Regresa x, la solucion del sistema Ax=b El criterio de terminacion es que norm(x xant,inf)/norm(x,inf)<eps 7 agosto 2007 Manuel Valenzuela n=size(a,); eps = 000; Seobtienenelvectorcy la matrizt c=b/diag(a); T=zeros(n); for i=:n T(i,:) = A(i,:)/A(i, i ); T= T eye(n); x=x0; xant = x; while x=t x +c; if (norm(x xant,inf)/norm(x,inf)<eps) break xant = x; Figura 0: Implementación en MATLAB del método de Jacobi para resolver en forma iterativa sistemas de ecuaciones lineales Function GaussSeidel(A,b,x0) 2 3 4 5 6 7 8 9 Obtener matriz T ; Obtener vector c ; x ant x 0 ; repeat for i n do x i T(i, :)x + c i ; x ant x ; until x x ant <ε; x return x Figur: Pseudocódigo que implementa el método de Gauss-Seidel para resolver en forma iterativa sistemas de ecuaciones lineales c M Valenzuela, 2007 (2 de agosto de 2007) Págin
function x = GaussS(A,b,x0) Implementacion del metodo Gauss Seidel para la solucion de sistemas de ecuaciones, tomando como aproximacion inicial x0 x = GaussSeidel(A,b,x0) Regresa x, la solucion del sistema Ax=b El criterio de terminacion es que norm(x xant,inf)/norm(x,inf)<eps 7 agosto 2007 Manuel Valenzuela n=size(a,); eps = 000; Seobtienenelvectorcy la matrizt c=b/diag(a); T=zeros(n); for i=:n T(i,:) = A(i,:)/A(i, i ); T= T eye(n); x=x0; xant = x; j = 0; while j = j+; for i=:n x(i) = T(i,:) x +c(i); if (norm(x xant,inf)/norm(x,inf)<eps) break xant = x; Figura 2: Implementación en MATLAB del método de Gauss-Seidel para resolver en forma iterativa sistemas de ecuaciones lineales 4 Ejemplo de Jacobi y Gauss-Seidel Para el ejemplo del circuito eléctrico se tiene que 0 03333 0 T = 03333 0 03333 c = 3333 0 0 02500 0 0 (53) Jacobi: 2 3 4 5 6 7 8 9 0 i 3333 3333 485 485 503 503 559 559 570 570 i 2 0 04444 04444 05309 05309 05477 05477 05509 05509 05509 i 3 0 0 0 0 0327 0327 0369 0369 0377 0377 Gauss-Seidel 2 3 4 5 i 3333 485 503 559 570 i 2 04444 05309 05477 05509 0556 i 3 0 0327 0369 0377 0379 En general, Gauss-Seidel es más rápido que Jacobi, es decir, converge en menos iteraciones a la solución correcta c M Valenzuela, 2007 (2 de agosto de 2007) Página 2