Teorema Π de Buckingham. Aplicación al cálculo de pérdida de carga en tuberías Mecánica del Continuo 16 de mayo de 2008
Introducción Nos referimos al análisis dimensional como aquellos procedimientos que basados en el análisis de las variables y parámetros que gobiernan un fenómeno, y más especícamente en las magnitudes físicas que dichas variables involucran, permiten encontrar relaciones entre las variables que forman parámetros adimensionales. El problema físico queda entonces descripto, con el mismo grado de delidad, por este nuevo conjunto reducido de parámetros adimensionales. Enfatizamos la palabra reducido, dado que esta es una de las ventajas del análisis dimensional. Al ser menor el número de variables o parámetros, es posible organizar y expresar más ecientemente los resultados de la experimentación. La otra gran ventaja es que permite identicar con más facilidad, aquellos sistemas que son similares. Aunque el concepto de similaridad requiere un análisis más profundo, 1 diremos que básicamente la similitud es lo que permite que los resultados y mediciones obtenidos sobre un modelo a escala sea extrapolables a prototipos de tamaño real. Existen dos conceptos fundamentales en los cuales se basa el análisis dimensional. El primer concepto es en realidad un postulado o axioma y establece que cualquier ecuación que represente en forma correcta un fenómeno físico, tiene que ser invariante ante un cambio en el sistema de medición (unidades). Algunos autores han mostrado que para que este axioma se cumpla, la ecuación que representa el fenómeno debe ser un monomio como el siguiente v a 1 1 v a 2 2... v an N = 1 (1) De acuerdo a esto, cualquier ecuación que represente un fenómeno físico involucrando las variables/parámetros (v 1, v 2, v 3,..., v N ) se debería poder expresar en la forma de (1). El segundo concepto, es en realidad una consecuencia del postulado de invariancia dimensional. Es decir, para que una ecuación que representa un 1 Ver transparencias de la clase teórica 1
fenómeno físico sea invariante ante un cambio en el sistema de medida (o unidades), la misma debe cumplir con el principio de homogeneidad dimensional : Si una ecuación verdaderamente expresa una relación apropiada entre variables en un fenómeno físico, entonces cada uno de sus términos aditivos, deben necesariamente tener las mismas dimensiones o unidades. Entonces, se dice que la ecuación es dimensionalmente homogénea. Un ejemplo de este principio lo podemos ver en el balance macroscópico de cantidad de movimiento d ρvdv + ρv(v w) nda = ρgdv + t (n) da (2) dt V (t) A e(t) V (t) A(t) La expresión anterior no es otra cosa que el principio del momento lineal aplicado a un volumen de control arbitrario. Así vemos que cada término de la ecuación tiene dimensiones o unidades de fuerza ([F ] = [ML/T 2 ]) y además tiene un signicado físico claro (fuerzas de volumen, fuerzas de contacto, etc.). Supongamos que trabajamos en el sistema MKS y por lo tanto todos los términos de la ecuación tendrán unidades de Newton (1[N] = 1[Kg m/s 2 ]). Ahora si cambiamos al sistema CGS, donde la unidad de fuerza en la dyna (1[dyn] = 1[gr cm/s 2 ] = 10 5 [N]), el factor 10 5 aparecerá en todos los términos y por lo tanto se puede eliminar de la ecuación. De esta forma la ecuación queda invariante ante un cambio de sistema de unidades. Con el mismo concepto, si en una relación con términos aditivos y dimensionalmente homogénea realizamos una operación que deje sin dimensiones uno de sus términos, entonces necesariamente la misma operación eliminará las dimensiones de cualquiera de los términos restantes de la ecuación. Entendemos como magnitudes físicas fundamentales a la masa (M), la longitud (L), el tiempo (T ), la temperatura (C), la carga eléctrica (Coulomb), etc. En los problemas que habitualmente abordamos en este curso, basta con 2
considerar solamente las primeras tres. Por ejemplo, las unidades dimensionales de la variable (o parámetro) densidad (ρ) se expresan a partir de las magnitudes fundamentales masa y longitud, esto es [ρ] = [ML 3 T 0 ]. Una herramienta muy valiosa en el análisis dimensional es el conocido teorema Π de Buckingham. Mediante este teorema, es posible reducir el número de parámetros o variables de los cuales depende un fenómeno físico, mediante la generación de grupos adimensionales que involucran dichas variables. Resulta particularmente valioso cuando no se conoce la ecuación que gobierna un fenómeno y se busca encontrar dicha relación mediante la experimentación de laboratorio. En las secciones siguientes vamos a enunciar el teorema, establecer un método para su aplicación y mostraremos su utilización a través del ejemplo clásico e ilustrativo de la pérdida de carga en tuberías de sección cilíndrica. Teorema Π Consideremos un fenómeno físico, el cual depende de N variables y/o parámetros (v 1, v 2, v 3,..., v N ), las cuales a su vez involucran K magnitudes físicas fundamentales (o básicas). Supongamos que existe una relación funcional entre las N variables, del tipo F (v 1, v 2, v 3,..., v N ) = 0 (3) Luego, el teorema Π nos asegura que es posible representar el mismo fenómeno físico mediante otra relación funcional equivalente, que depende de m = N K parametros adimensionales π i, es decir, de un número reducido de parámetros φ(π 1, π 2, π 3,..., π m ) = 0 (4) Es importante aclarar que el teorema no aporta ninguna información acerca de la relación funcional F o φ. Es decir que si no se conoce la ecuación que gobierna el fenómeno, mediante la aplicación del teorema no podremos determinarla. El mismo sólo nos mostrará que grupos adimensionales se pueden 3
formar a partir de las variables dimensionales originales. La metodología para encontrar estos π j grupos adimensionales se puede detallar así: Seleccionar K de las variables v i dimensionales originales, que llamaremos variables núcleo. Entre las K variables deben estar contenidas las K magnitudes físicas fundamentales y no se debe poder formar un grupo adimensional al realizar un producto de potencias entre ellas. Cada grupo adimensional π j se formará como un producto de potencias entre las K variables núcleo y una (y solo una) de las restantes m variables físicas no usadas. Como el producto de potencias de todas las variables del grupo debe resultar en una cantidad sin dimensiones, las potencias incógnitas a la que está elevada cada variable dimensional se determinan resolviendo un sistema algebraico, planteado con la condición que la suma de potencias de cada magnitud física debe ser nula. Esta metodología que, en primera instancia, parece bastante críptica y complicada, es muy sencilla de aplicar y resultará clara al resolver el siguiente ejemplo. Para completar la comprensión de porqué se aplica dicha metodología, se debería ver la demostración del teorema que se incluye en el Apéndice. Cálculo de la pérdida de carga en tuberías cilíndricas Consideremos un tubo recto de sección cilíndrica (diámetro D) y longitud l, por el cual circula en estado estacionario y con velocidad media V, un uido de densidad ρ y viscosidad µ, gracias a una diferencia de presión entre las secciones de entrada y salida ( p = p e p s ). Mediante algunos experimentos, se pudo determinar que existe una relación funcional el gradiente de presión 4
(denido como p/l), las variables anteriores y además la rugosidad de la pared del tubo ɛ. Es decir, existe alguna F desconocida tal que F ( p/l, V, ρ, µ, D, ɛ) = 0 (5) Supongamos que deseamos realizar experimentos para determinar la forma de dicha función. En la forma como está planteada la relación, si jamos una variable y cambiamos cada una de las otras en forma independiente, (digamos en 10 valores por cada una, es fácil ver que necesitaríamos 10 5 experimentos para encontrar la función F. Una tarea claramente imposible, pero a la vez innecesaria. Como hemo propuesto, podemos aplicar al teorema Π para encontrar un número reducido de parámetros adimensionales, en base a los cuales se podrá conducir una experimentación más razonable y ordenada. Para este caso tenemos N = 6 y K = 3 (masa, longitud y tiempo), con lo cual podremos encontrar m = 3 parámetros o grupos adimensionales. Siguiendo con los pasos de aplicación del teorema Π, primero expresamos todos los parámetros y variables en función de las unidades fundamentales involucradas [ρ] = [ ML 3 T 0] [µ] = [ ML 1 T 1] [ p/l] = [ ML 2 T 2] [V ] = [ M 0 LT 1] (6) [D] = [ M 0 LT 0] [ɛ] = [ M 0 LT 0] Ahora seleccionamos m = 3 variables núcleo que contengan las 3 magnitudes fundamentales y que no formen un grupo adimensional al multiplicarlas entre sí. Por simple inspección, vemos que el grupo (ρ, V, d) cumple con dichos requisitos. Obviamente este no es el único grupo posible, por ejemplo (ρ, V, ɛ) también lo cumple y otros también. No obstante, dependiendo del 5
grupo núcleo elegido, será la forma que adopten los parámetros adimensionales y aquí es donde la práctica y pericia es importante. Tomando el grupo (ρ, V, d) entonces, ahora formaremos los 3 grupos adimensionales de la siguiente forma π 1 = ρ x 1 V y 1 D z 1 µ π 2 = ρ x 2 V y 2 D z 2 p/l (7) π 3 = ρ x 3 V y 3 D z 3 ɛ En la expresión anterior, los exponentes (x i, y i, z i ) son incógnitas que se deben determinar de tal forma que cada producto de un resultado sin dimensiones. Para ello, debemos plantear y resolver un sistema de ecuaciones para cada parámetro adimensional, el cual consistirá de tres ecuaciones, una por cada magnitud física fundamental. El caso del número adimensional π 3 es obvio que la única solución posible es (x i, y i, z i ) = (0, 0, 1). De esta forma, el parámetro quedará π 3 = ɛ/d, el cual se conoce como rugosidad relativa ɛ r y es un parámetro fundamental para el cálculo de pérdida de carga en tuberías. Desarrollemos con más detalle el procedimiento para el caso del parámetro π 1. Si escribimos los sistemas de ecuaciones para las magnitudes físicas, tendremos π 1 = ρ x 1 V y 1 D z 1 µ [π 1 ] = [ ML 3 T 0] x 1 [ M 0 LT 1] y 1 [ M 0 LT 0] z 1 [ ML 1 T 1] (8) Como el lado izquierdo de la ec. 8 no tiene dimensiones y las magnitudes físicas fundamentales son independientes entre sí, se deben vericar las siguientes tres relaciones en forma simultánea 6
Para M : 0 = x 1 + 1 Para L: 0 = 3x 1 + y 1 + z 1 1 (9) Para T : 0 = y 1 1 La solución del sistema es (x i, y i, z i ) = ( 1, 1, 1), con lo cual el parámetro adimensional queda π 1 = µ/(ρv D) = 1/Re, donde Re es sin duda el grupo adimensional más conocido de la mecánica de uidos y se lo conoce como número de Reynolds. Este número relaciona las fuerzas de inercia con las viscosas en un problema dado y para el caso particular de ujo en tuberías cilíndricas, si Re < 2300 el régimen del ujo será laminar, mientras que para Re mayores el ujo será turbulento. Con un procedimiento equivalente al previo, el parámetro adimensional restante queda π 2 = ( p/l)d/(ρv 2 ). Luego, el teorema nos asegura que existe una nueva relación funcional φ(1/re, ( p/l)d/(ρv 2 ), ɛ r ) = 0 (10) que representa el fenómeno físico de manera equivalente a la función F, pero que obviamente depende de menos parámetros. Para poner la relación (10) en una forma más familiar y útil, podemos pensar que así como existe φ, también existe una función ψ con la siguiente forma ( p/l)d/(ρv 2 ) = ψ(re, ɛ r ) (11) Si de la ec. (11) despejamos p, dividimos ambos miembros por ρg y multiplicamos y divimos por 2 el lado derecho, podemos reescribir la misma como h f = p/(ρg) = 2ψ(Re, ɛ r ) V 2 /(2g)(l/D) (12) } {{ } f(re,ɛ r) En la expresión anterior, la igualdad h f = p/(ρg) se obtiene muy fácilmente realizando un balance de energía entre las secciones de entrada y 7
salida de un tubo horizontal, considerando que el ujo se encuentra en estado estacionario y que no existen bombas (o turbinas) en el tramo considerado. Es decir, la caida de presión se produce debido a la pérdida viscosa por fricción. La nueva variable f = f(re, ɛ r ) es el conocido factor de fricción y para el cálculo del mismo existen varios métodos. Sin duda, el método más famoso para su obtención es el denominado diagrama de Moody, que puede ser consultado en cualquier libro de mecánica de uidos básica. Este diagrama contiene los valores del factor de fricción obtenidos el forma experimental en función del Re, para diferentes rugosidades relativas del material de la tubería. Vemos así que con la ayuda del análisis dimensional, fue posible reducir a la mitad el número de parámetros del problema original y así expresar en un sólo y elegante gráco, un volumen enorme de información. Gracias al principio de similitud, sistemas muy diferentes entre sí (diferentes tuberías, caudales, líquidos, etc.) tendrán el mismo factor de fricción, si las rugosidades relativas y el Re de todos ellos coinciden. Por lo tanto, cada punto de la gráca de Moody no corresponde a un sólo resultado físico posible, sino a muchos. 8
Apéndice: Demostración del teorema Π Consideremos una función F que expresa en forma adecuada la relación entre las N variables y parámetros que gobiernan un fenómeno físico F (v 1, v 2,..., v N ) = 0 (13) Mediante la palabra adecuada, damos a entender que para la ecuación se verica el principio de homogeneidad dimensional y por lo tanto todos sus términos aditivos tienen las mismas dimensiones físicas fundamentales. Supongamos que el número de dichas dimensiones fundamentales es K y que las dimensiones de cada variable v j se puede expresar respecto a las dimensiones fundamentales como [v j ] = [a j1 a j2... a jk ] (14) Esta es una forma compacta y unicada de representar las unidades de un variable particular. Es decir, el coeciente a jk es la potencia a la que se encuentra elevada la magnitud fundamental k en las dimensiones del parámetro v j. 2 Luego, en la ec. 14 si variamos j = 1... N formaremos una matriz de coecientes A = a jk, siendo cada columna j la representación dimensional de la variable v j con respecto a la base fundamental de tamaño K; supongamos también que el rango de dicha matriz es r K. Entonces, la hipótesis establece que la ec. 13 es reducible a la forma φ(π 1, π 2,..., π N r ) = 0 (15) siendo π 1,..., π N r, (N r) monomios adimensionales formados por productos de la potencias de las variables v j, tomados como se verá durante la demostración del teorema. 2 Por ejemplo, la densidad [ρ] = [ ML 3 T 0] tiene la representación (coecientes) [ρ] = [1 3 0] en el sistema fundamental [MLT ]. 9
Demostración Formemos primero la matriz de coecientes de las variables con respecto a la base de K magnitudes fundamentales del problema A = a jk = a 11 a 12... a 1r... a 1K a 21 a 22... a 2r... a 2K...... a r1 a r2... a rr... a rk.......... a j1 a j2... a jr... a jk...... (16) a N1 a N2... a Nr... a NK Como se mencionó antes, la ec. 16 es una forma compacta de representar el hecho de que las unidades de cada variable v j se pueden representar con respecto a las unidades fundamentales o base de acuerdo con el vector la de coecientes a j = a jk e k, donde hemos usado notación indicial para indicar la sumatoria para k = 1,..., K y e k es el k-ésimo versor de la base ortonormal estándar. Luego, dada la hipótesis que la matriz tiene rango r, debe existir una submatriz de orden r, que podría ser la indicada en la ec. 16 mediante una permutación adecuada de los índices. Entonces, cualquier la j > r de la matriz -en total habrá (N r)- se podra escribir como una combinación lineal de las las i r de la submatriz r r, esto es a j = λ ji a i a jk e k = λ ji a ik e k a jk = λ ji a ik a jk = λ j1 a 1k + λ j2 a 2k +... + λ jr a rk (17) 10
siendo los λ ji constantes y con k = 1,..., r. El signicado de la ec. 17 es muy importante, ya que indica que el siguiente producto de variables será adimensional π j = v j v λ j1 1 v λ j2 2... v λ jr r (18) Por lo tanto, de aquí resulta claro como se deberán formar los parámetros adimensionales y su explicación. Dado que por hipótesis la ecuación es dimensionalmente homogénea, si en la ec. 13 agrupamos las variables originales de tal forma que aparezcan los monomios π j dados por 18, la ecuación quedará adimensional y se eliminará la dependencia con las variables v j originales. De esta forma, se tendrá una nueva relación que solo dependerá de los π j grupos adimensionales. φ(π 1, π 2,..., π N r ) = 0 (19) Conforme a lo demostrado, cada monomio o grupo adimensional involucra r+1 variables, correspondientes a aquellas variables cuyos coecientes forman una submatriz de rango r -no reducible- de la matriz del sistema completo, y uno de las restantes (N r) variables. De esta manera, la implentación práctica del teorema queda claramente establecida. Como aclaración nal, en esta demostración se ha considerado por generalidad que el rango de la matriz del sistema completo es r K; no obstante, en la práctica nos encontraremos con que r = K, ya que al tener K magnitudes fundamentales e independientes, el tamaño de la base o rango de la matriz debe ser necesariamente r = K. 11