Tema 5: Diagonalización de matrices

Tema 5: Diagonalización de matrices La intención en este tema es dada una matriz cuadrada ver si existe otra matriz semejante a ella que sea diagonal Recordemos (ver Tema : Matrices determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Ejercicio 0) que dos matrices cuadradas de orden n A y D se dice que son semejantes cuando existe otra matriz cuadrada de orden n P invertible tal que A PDP El problema puede enfocarse desde el punto de vista de endomorfismos: dado un endomorfismo f de R n se trata de ver si existe una base del espacio respecto de la cual la matriz asociada sea diagonal Realmente ambos problemas son equivalentes pues en primer lugar dado podemos tomar f : R n R n A M B (f) la matriz asociada a cierta base B y dada A podemos tomar f de modo que A M B (f) (ver Tema 4: Aplicaciones lineales Propiedades de las aplicaciones lineales o propiedad) Entonces puede comprobarse que una matriz es semejante a A si y sólo si va asociada a f respecto de alguna base de R n Valores propios y vectores propios Sea A una matriz cuadrada de orden n λ un escalar del cuerpo y v un vector-columna no nulo del espacio vectorial R n Si se cumple que Av λv entonces se dirá que λ es un valor propio (o autovalor) de A yquev es un vector propio (o autovector) de A Esmássediráqueλ es un valor propio de A asociado al vector propio v yquev es un vector propio de A asociado al valor propio λ Sea f : V V un endomorfismo de un espacio vectorial V λ un escalar del cuerpo y v un vector no nulo del espacio vectorial Si se cumple que f(v) λv entonces se dirá que λ es un valor propio (o autovalor) de f yquev es un vector propio (o autovector) de f Es más se dirá que λ es un valor propio de f asociado al vector propio v yquev es un vector propio de f asociado al valor propio λ En las siguientes propiedades estaremos refiriéndonos a valores o vectores propios indistintamente para matrices o endomorfismos Observación Observemos que mientras un vector propio debe ser no nulo (el vector 0 no se considera vector propio) un valor propio sí puede ser nulo (el escalar 0 sí puede ser valor propio) Todo vector propio va asociado a un único valor propio (se dirá que es el valor propio asociado a ese vector propio)

3 Todo múltiplo no nulo de un vector propio es también un vector propio y además va asociado al mismo valor propio En general se cumple que toda CL no nula de vectores propios asociados al mismo valor propio resulta también un vector propio con el mismo valor propio asociado Ejemplo Comprobar que v es un vector propio de la matriz A y determinar cuál es su valor propio asociado Como Av 5 5 3 6 5 se tiene que v es un vector propio de A asociado al valor propio 5 Sea f el endomorfismo de R 3 cuya expresión analítica es f(x y z) (x +y z3y 4x y 4z) Comprobar que ( 0 ) es un vector propio del endomorfismo y hallar el valor propio correspondiente Como f( 0 ) (0 0 0) 0( 0 ) se tiene que el vector ( 0 ) es un vector propio de f asociado al valor propio 0 Observación 3 Sea f un endomorfismo de R n y A la matriz asociada a f respecto de la base canónica C de R n Entonceslosvalorespropios(ylosvectorespropios)def ydea son los mismos Esto se debe a que para todo vector-columna v R n se cumple que f(v) Av Si tenemos una matriz A de orden n n recordemos que se llamaba núcleo de A al siguiente conjunto de vectores ker A {v R n : Av 0} Éste es el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es precisamente A (de este modo este sistema tiene n ecuaciones y n incógnitas) Así vemos que ker A es un subespacio de R n cuyas ecuaciones implícitas tienen por matriz de coeficientes A Además por el teorema de Rouché-Fröbenius se tiene que dim ker A n r(a) Nota: Si f es un endomorfismo de R n tal que A es la matriz asociada a f respecto de la base canónica entonces ker A kerf

Polinomio característico Sea λ un escalar del cuerpo y A una matriz cuadrada de orden n Entonces λ es un valor propio de A si y sólo si existe un vector no nulo v R n tal que Av λv Ahora bien la igualdad anterior equivale a Av λv 0yéstaasuveza(A λi)v 0locualsignifica que v ker(a λi)) Así λ es un valor propio de A si y sólo si ker(a λi) 6 0 Y como dim ker(a λi) n r(a λi) lo anterior equivale a que r(a λi) <n Finalmente esta última condición puede traducirse en que A λi 0Endefinitiva obtenemos que λ R es un valor propio de la matriz A si y sólo si A λi 0 Si A es una matriz cuadrada de orden n se llama polinomio característico de A al polinomio φ A (λ) A λi (en el que denotamos por λ la variable) En consecuencia este polinomio es de grado n y sus raíces son precisamente los valores propios de la matriz Sea λ un valor propio de una matriz A Se llama multiplicidad de λ como valor propio de la matriz a la multiplicidad que tiene como raíz del polinomio característico Se denotará m(λ) Como la suma de las multiplicidades de todas las raíces de un polinomio es como mucho su grado la suma de las multiplicidades de los valores propios de la matriz es como mucho el grado del polinomio característico o sea el tamaño de la matriz Ejemplo Hallar el polinomio característico y los valores propios de las siguientes matrices: 0 5 5 A A 4 5 3 7 0 0 6 A 3 4i 4 8 0 7 0 0 0 6 i A 4 3 3 Para la primera se tiene que el polinomio característico vale 5 λ 5 φ A (λ) A λi (5 λ)(7 λ) 5 3 7 λ 35 λ + λ 5 0 λ + λ Susraícesvalen ± 44 80 ± 64 ±8 0 Así que los valores propios de A son y 0 Para la segunda se tiene que el polinomio característico vale φ A (λ) A λi (6 λ) λ 4 λ λ 4 λ 5 0 0 6 λ (6 λ)[( λ)( λ) 4] 3

(6 λ)(λ 4λ +4) λ 3 +0λ 8λ +4 Para hallar sus raíces fijémonos en la penúltima expresión que adoptaba el polinomio φ A (λ) (6 λ)(λ 4λ +4) de donde obtenemos que sus raíces son 6 y 4± 6 6 4± 0 4±0 Así que los valores propios de A son y 6 (odichodeotromodo con multiplicidad y 6 con multiplicidad ) Para la tercera se tiene que el polinomio característico vale φ A3 (λ) A 3 λi 4i λ 4 8 0 7 λ 0 0 0 6 i λ (4i λ)( 7 λ)(6 i λ) Ahora sus raíces (o lo que es lo mismo los valores propios de la matriz A 3 ) son de modo inmediato 4i 7 y 6 i Para la cuarta se tiene que el polinomio característico vale φ A4 (λ) A 4 λi 3 λ 3 λ 9 6λ + λ +43 6λ + λ (3 λ)(3 λ)+4 Sus raíces (o lo que es lo mismo los valores propios de la matriz A 4 )valen 6± 36 5 6±4i 3± i 6± 6 Observación Razonando como con la matriz A 3 del ejemplos (así podrá hacerse en las matrices C y E del ejercicio que viene a continuación) puede verse que los valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son los elementos de la diagonal principal Ejercicio 3 Hallar el polinomio característico y los valores propios de las matrices 0 9 A B 4 0 4 3 3 C 0 0 3 0 3 3 E 0 0 0 0 5 Solución: φ A (λ) λ λ 35 (los valores propios de A son 5 y 7) φ B (λ) λ 3 +7λ λ (los valores propios de B son 0 3 y 4) φ C (λ) (3 λ) ( λ) (los valores propios de C son 3 con multiplicidad y con multiplicidad ) yφ E (λ) ( λ) (5 λ) (los valores propios de E son con multiplicidad y 5 con multiplicidad ) 4

Proposición 4 Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico Del resultado anterior deducimos que matrices semejantes tienen los mismos valores propios y las mismas multiplicidades Además tiene sentido definir el polinomio característico de un endomorfismo como el de cualquiera de sus matrices asociadas ya que todas ellas son semejantes Ejemplo 5 Calcular los valores propios del endomorfismo de R 3 cuya expresión analítica es: f(x y z) ( x 3x y x +6y +4z) Basta calcular cualquiera los valores propios de sus matrices asociadas Tomaremos por sencillez la matriz asociada de f respecto de la base canónica Ésta es 0 0 A 0 M C (f) 3 0 6 4 y com hemos dicho con anterioridad los valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son los elementos de la diagonal principal en este caso 4 3 Subespacios propios Dado un valor propio λ de una matriz cuadrada A llamaremossubespacio propio de la matriz A asociado al valor propio λ a N λ ker(a λi) {v K n (A λi)v 0} {v K n Av λv} Cuando vimos que las raíces del polinomio característico son los valores propios de una matriz A deducimos que un vector no nulo v K n era un vector propio de A asociado al valor propio λ si y sólo si v ker(a λi) Deestemodoel subespacio propio de la matriz A asociado al valor propio λ está formado por todos los vectores propios de la matriz A asociados al valor propio λ además del vector 0 Proposición 3 Para cada valor propio λ de una matriz cuadrada A de orden n se tiene que: ker(a λi) 6 0(es decir dim(ker(a λi)) ) dim(ker(a λi)) m(λ) 3 dim(ker(a λi)) n r(a λi) 5

Proposición 3 Vectores propios asociados a distintos valores propios son LI; o dicho de otro modo la suma de los subespacios propios es directa Esto se traduce en que la unión de bases de cada subespacio propio resulta ser una base de la suma de los subespacios propios Ejemplo 33 Hallar los subespacios propios de la matrices A B C y E del Ejercicio 3 Solución: Para la matriz 9 A 4 cuyos valores propios eran 5 y 7 se tiene que ker(a +5I) x x x { : A 5 y y y ( ( } es decir ker(a +5I) x +9y 5x 4x + y 5y 6x +9y 0 4x +6y 0 ( y ker(a 7I) { x x 6x +9y 0 :(A 7I) 0} y y 4x 6y 0 Para la matriz B cuyos valores propios eran 0 3 y 4 se tiene que ker B ker(b 3I) ker(b 4I) 0 4 0 3 3 x + y 0 4x +y 0 3x +y +3z 0 x + y 0 4x y 0 3x +y 0 x + y 0 4x y 0 3x +y z 0 Para la matriz C cuyos valores propios eran 3 3 y se tiene que ker(c 3I) 0 0 3 0 3 3 x 0 x 0 3x +y 0 6

ker(c I) 00 x + y 0 3x +y + z 0 Para la matriz E cuyos valores propios eran y 5 se tiene que 0 0 0 0 5 ker[e ( )I] ker(e + I) ker(e 5I) 6x 0 6y 0 x + y 0 00 00 x + y +6z 0 4 Matrices diagonalizables Unamatrizcuadradasedicequeesdiagonalizable si es semejante a una matriz diagonal Un endomorfismo de R n se dice diagonalizable si la matriz asociada respecto de alguna base del espacio es una matriz diagonal En ambos casos la matriz diagonal se llamará matriz diagonal asociada y su diagonal principal estará formada por los valores propios de la matriz A (o del endomorfismo f) como veremos a continuación Esta matriz no tiene por qué ser única pues depende del orden en el que elijamos los valores propios (será única se elegimos un orden concreto para los escalares de la diagonal por ejemplo el orden natural de los números) Además como ya hemos visto al principio del tema dados un endomorfismo f de R n y A la matriz asociada a f respectodelabasecanónicader n setienequef es diagonalizable si y sólo si A es diagonalizable Proposición 4 Un endomorfismo (o una matriz) es diagonalizable si y sólo si existe una base del espacio vectorial (que para el caso de la matriz será R n ) formada por vectores propios del endomorfismo(odelamatriz) Cuando tengamos una matriz A diagonalizable tendremos A PDP donde D es una matriz diagonal y P es invertible A la matriz P y a su inversa las llamaremos matrices de paso o matrices cambio de base Entonces si tomamos el endomorfismo f de R n tal que M C (f) A 7

(con C la base canónica de R n ) para la descomposición A PDP pueden tomarse D M B (f) y P M B C con B una base de R n formada por vectores propios de A Ahora bien cómo podemos hallar esta base de vectores propios? Veamos el siguiente resultado Proposición 4 Una matriz cuadrada A de orden n con coeficientes sobre el cuerpo R es diagonalizable sobre el cuerpo si y sólo R n es la suma (directa) de todos los subespacios propios de la matriz si y sólo si la suma de las dimensiones de dichos subespacios propios es n Como consecuencia de este resultado obtenemos como ya adelantamos con anterioridad que la base de vectores propios se puede hallar uniendo bases de cada uno de los subespacios propios de A Teorema 43 Sea A una matriz cuadrada de orden n con coeficientes sobre el cuerpo R Entonces A es diagonalizable sobre el cuerpo si y sólo si se verifican las siguientes condiciones: Pueden extraerse sobre el cuerpo R las n raíces del polinomio característico φ A (esto se traduce en que la suma de las multiplicidades de todos los valores propios que la matriz tiene en el cuerpo es n) Para cada valor propio λ de la matriz A se tiene que dim(ker(a λi)) m(λ) Es una sencilla observación que si A es una matriz n n y λ es un valor propio de A tal que m(λ) entoncesdim(ker(a λi)) Esto es consecuencia de que dim(ker(a λi)) m(λ) Como consecuencia de esto obtenemos el siguiente criterio el cual nos proporciona una situación en la que una matriz es diagonalizable; esta situación no tiene por qué darse en todos los casos de matrices diagonalizables pero cuando se da es más sencillo observar que la matriz lo es Proposición 44 Sea A una matriz cuadrada de orden n con coeficientes sobre el cuerpo R Si A posee n valores propios de multiplicidad en R entonces A es diagonalizable sobre R Ejercicio 45 Ver si son diagonalizables o no (sobre R) las siguientes matrices hallando los subespacios propios (una base de cada uno) y en caso afirmativo la matriz diagonal asociada y las matrices de paso que dan la descomposición de la matriz inicial: Las del Ejercicio 3 8

F H L 0 0 0 0 0 8 3 0 0 0 0 0 5 3 0 0 0 0 4 3 G J M 0 0 3 0 0 4 0 0 0 0 8 0 3 0 0 4 0 0 6 3 N 4 3 3 0 Q 4 3 3 6 Solución: Valores propios (sobre R): De F son 0 0 3; deg es 4; deh son 0 3; dej son ; del son 3; dem son 0 3 3; de N son 3 0 6; deq son 0 0 9 Son diagonalizables (sobre R) las matrices H L N yq Vamos a hacerlo a modo de ejemplo con la matriz H Su polinomio característico es λ 0 0 φ H (λ) H λi λ 0 0 5 3 λ ( λ)( λ)(3 λ) de donde deducimos que los valores propios de H son 0 y 3 con multiplicidad cada uno de ellos Entonces según uno de nuestros criterios la matriz es diagonalizable pues es de orden 3 ytiene3 valores propios distintos Una matriz diagonal asociada es D 0 0 0 0 0 0 0 3 Hallemos una base de R 3 formada por vectores propios de la matriz Para ello tenemos que hallar unabasedecadaunodelossubespaciospropios: 9

En primer lugar tenemos que H 0I H luego ker H 0 0 0 0 0 5 3 x 0 x 0 5y +3z 0 y una base de este espacio vectorial es {(0 3 5)} Después tenemos que 0 0 0 H I H I 0 0 5 luego ker(h I) 00 x y 0 5y +z 0 y una base de este espacio vectorial es {( 5)} En último lugar tenemos que 0 0 H 3I 3 0 0 5 0 luego ker(h 3I) x 0 x 3y 0 5y 0 y una base de este espacio vectorial es {(0 0 )} Así tenemos la siguiente base de R 3 formada por vectores propios de H B {(0 3 5) ( 5) (0 0 )} Entonces denotando por C alabasecanónicader 3 se tiene la siguiente descomposición H PDP donde 0 0 P M B C 3 0 5 5 5 Aplicación de la diagonalización al cálculo de potencias de matrices Supongamos que prentendemos calcular diferentes potencias de la matriz 7 6 A 9 8 0

Entonces se tiene que A 5 9 6 0 A 3 9 7 8 6 A 4 9 45 30 46 Ahora bien qué ocurre si pretendemos calcular potencias altas de la matriz? O bien obtener deformagenéricalaexpresióndea k? La diagonalización puede ser empleada para resolver esta cuestión Veamos cómo: Si A es una matriz diagonalizable cuya descomposición es A PDP (donde D es la matriz diagonal asociada y P la matriz de paso) entonces se cumple para cada índice natural k que A k PD k P Además si D es una matriz diagonal con elementos {λ λ λ n } en la diagonal principal para cada k 3 se tiene que D k es también una matriz diagonal y los elementos de la diagonal principal son {λ k λ k λ k n} Ejemplo 5 En el ejemplo anterior para la matriz 7 A 9 6 8 hallemos A 00 Empecemos calculando su polinomio característico 7 λ A λi 9 6 8 λ ( 7 λ)(8 λ)+54λ λ (λ +)(λ ) luego los valores propios de A son λ λ Entonces es diagonalizable (dos valores propios distintos para una matriz de orden ) y una matriz diagonal asociada es 0 D 0 Los subespacios propios son ( ker(a + I) 6x +6y 0 9x +9y 0 conbase{( )}

y De este modo a partir de la base ( ker(a I) 9x +6y 0 9x +6y 0 B {( ) ( 3)} conbase{( 3)} de R formada por vectores propios puede obtenerse la matriz de paso P M B C 3 que nos permite tener la descomposición A PDP Enestecaso P 3 Entonces A 00 PD 00 P 3 ( ) 00 0 0 00 0 3 3 00 3 0 + 0 3 3 00 +3 00 P 6 Apéndice 6 Más aplicaciones de la diagonalización 6 Diagonalización de matrices simétricas reales Tiene especial interés la diagonalización de matrices simétricas Supongamos que tenemos una matriz cuadrada real A de orden n que es simétrica (recordemos que esto significa que A A t ) Vamos a considerar el espacio vectorial euclídeo R n en el que se considera el producto escalar euclídeo Entonces: A es siempre diagonalizable sobre R en particular sus valores propios son todos reales (no hay valores propios imaginarios) Vectores propios de la matriz asociados a distintos valores propios son ortogonales 3 Puede encontrarse una base ortogonal (e incluso ortonormal) de R n formada por vectores propios de la matriz

Recordemos que una matriz cuadrada A se dice que es ortogonal cuando es invertible y A A t En referencia a esto se tiene que una matriz cuadrada es ortogonal si y sólo si sus vectores-fila (o sus vectores columna) forman una base ortonormal de espacio R n para el producto escalar euclídeo y que la matriz cambio de base entre dos bases ortonormales (según el producto escalar euclídeo) es siempre una matriz ortogonal Sea A una matriz cuadrada real simétrica Según lo anterior A es diagonalizable y podemos encontrar una base ortonormal B de R n (respecto al producto escalar euclídeo) formada por vectores propiosdelamatriz(estoseharáescogiendo en cada subespacio propio una base ortonormal y uniendo dichas bases) Entonces en la descomposición A PDP de A dondep M BC siendo C la base canónica se tiene que P es una matriz ortogonal ya que es la matriz cambio de base entre dos bases ortonormales B y C conloquep P t En esto consiste lo que denominaremos la diagonalización ortogonal de la matriz real simétrica A en hacer la diagonalización mediante una matriz de paso ortogonal Ejercicio 6 Diagonalizar ortogonalmente la matriz A 3 0 0 0 4 0 hallando la matriz diagonal asociada los subespacios propios una base ortonormal de vectores propios y las matrices de paso que permiten la descomposición de la matriz inicial Como A λi 3 λ 0 0 0 4 λ 0 λ (3 λ) 4 λ λ (3 λ)[( 4 λ)( λ) 4] (3 λ)(λ +5λ) (3 λ)λ(λ +5) los valores propios son λ 3 0 5 La matriz diagonal asociada es 3 0 0 0 0 0 0 0 5 Hallemos una base ortonormal de cada subespacio propio Para el valor propio λ 3se tiene que 00 ker(a 3I) 7y +z 0 < ( 0 0) > y 4z 0 Para el valor propio λ 0se tiene que kera 3x 0 4y +z 0 y z 0 3 < (0 ) >

Para el valor propio λ 5 se tiene que ker(a +5I) 8x 0 y +z 0 y +4z 0 Luego las bases ortonormales de los subespacios propios son: ( 0 0) { } {( 0 0)} k( 0 0)k < (0 ) > (0 ) { k(0 )k } {(0 5 )} 5 (0 ) { k(0 )k } {(0 )} 5 5 Entonces una base ortonormal de R 3 formada por vectores propios de la matriz es {( 0 0) (0 5 5 ) (0 5 5 )} por tanto las matriz de paso son P 0 0 0 5 5 0 5 5 y P P t 0 0 0 5 5 0 5 5 6 Resolución de ecuaciones en diferencias Hay cierto tipo de problemas cuya resolución depende de la potencia de una matriz Es el caso de las ecuaciones en diferencias en las que a partir de una matriz cuadrada A y vectores de R n se cumple para cada índice natural k que Entonces la solución viene dada por la expresión x 0 x x x k+ Ax k x k A k x 0 Ejemplo 6 En una población de 0000 individuos se observa que de modo aproximado el 80% de los que eran donantes de sangre un año siguen siéndolo al siguiente y que el 70% de los que no eran donantes de sangre permanecen de nuevo sin donar a otro año Suponiendo que inicialmente hay 000 donantes hallar cuántos habrá después de 0 años 4

Denominemos d k y e k al número de donantes y no donantes que hay después de k años Entonces se verifican las siguientes ecuaciones en diferencias d k+ 08d k +03e k e k+ 0d k +07e k 08 03 d k Si ponemos A y u k setienequelasecuacionesanteriorespuedenponerse 0 07 e k del siguiente modo matricial equivalente u k+ Au k Si aplicamos reiteradamente dicha relación se obtiene que u k A k u 0 donde d 0 000 u 0 8000 e 0 DebemospueshallarA k Para ello calcularemos la diagonalización de la matriz A Sus valores propios son 05 y Los subespacios propios asociados son De este modo tomando ker(a 05I) < ( ) > ker(a I) < ( ) > D 05 0 0 P se tiene que A PDP En este caso el cálculo de la inversa sale P Finalmente se tiene que A k PD k P Entonces deducimos que (05) k (05) k u k A k u 0 (05) k 0 0 (05) k + (05) k + (05) k + (05) k + 3000(05) k +5000 3000(05) k +5000 (05) k + (05) k + (05) k + (05) k + 000 8000 por lo que el número de donantes después de pasar k años es d k 3000(05) k +5000yparak 5 se tiene que d 0 3000(05) 0 + 5000 3000 +5000' 4997 04 5

Ejemplo 63 Se propone construir una sucesión numérica a 0 a a tomando a 0 0a y de modo que cada uno de los siguientes números sea la media aritmética de los dos anteriores Dicha sucesión se llama la sucesión de Fibonacci Hallar a qué valor tienden dichos números cuando avanzamos suficientemente en este proceso Tengamos en cuenta que se tiene para cada k la relación a k a k +a k Si tenemos aplicamos esto para el índice k + se tendrá que a k+ a k + a k de donde obtenemos las ecuaciones en diferencias a k a k Poniendo a k+ a k + a k 0 A u k a k a k+ se tiene que las ecuaciones anteriores pueden ponerse del siguiente modo matricial equivalente u k+ Au k Si aplicamos reiteradamente dicha relación se obtiene que donde u 0 asociados son a 0 a 0 u k A k u 0 Los valores propios de A son 05 y Los subespacios propios ker(a +05I) < ( ) > ker(a I) < ( ) > De este modo tomando 05 0 D P 0 luegop 3 se tiene que A PDP Finalmente se tiene que A k PD k P 3 3 3 ( 05) k 0 0 ( 05) k ( 05) k ( 05) k ( 05) k ( 05) k ( 05) k 6

Entonces deducimos que por lo que u k A k u 0 3 ( 05) k ( 05) k ( 05) k ( 05) k 3 ( 05) k ( 05) k a k 3 [( 05)k ] 0 cantidad que tiende a 3 conforme k se hace suficientemente grande 7