Cineátic y dináic EJECICIOS POPUESTOS. Un poyectil se uee de fo que su ecto de posición en cd instnte es: 375t cos 5º i + (375t sen 5º 4,9 t ) j Clcul l elocidd en cd instnte, el lcnce y el tiepo de uelo. d P detein l elocidd se hce l deid de l posición: 375 cos 5º i + (375 sen 5º 9,8 t) j El oiiento se coesponde con un tyectoi pbólic con elocidd inicil 375 s y un celeción de l gedd de 9,8 s. El tiepo de uelo se obtiene clculndo el tiepo p el que y ; y 375t sen 5º 4,9t Ls soluciones son: t y 375 sen 5º t 3,3 s 4,9 El lcnce se obtiene sustituyendo este lo en l coponente hoizontl: x 375 t cos 5º 375 3,3 cos 5º, 4. Obtén l expesión del ódulo de l elocidd en un cu y copueb que es constnte en el tiepo, po lo que l celeción tngencil es ceo. L elocidd de un ptícul con cu cuy posición iene definid po: cos ωt i + sen ωt j d Su elocidd es: ω sen ωt i + ω cos ωt j Su ódulo seá: ω sen ωt + ω cos ωt ω ω d d( ω) L celeción tngencil es l deid del ódulo de l elocidd: t El ódulo de l elocidd no í con el tiepo, sí que l celeción tngencil seá nul..3 Del techo de un ten que ij con u un elocidd de 8 k h, cuelg un láp. Cundo el ten coienz fen, el cble que l sujet fo un ángulo de º con l eticl, que se ntiene constnte dunte tod l fend. Qué distnci h ecoido el ten ients se detení? esoliendo el poble desde el siste inecil exteio l ten, se puede peci que se obsen dos fuezs: l tensión del cble y el peso de l láp. Coo se puede obse en l figu, l su de bs se coespondeá con el poducto de l s po l celeción que ctú en sentido contio su elocidd. tg α g tg º,73 s g L elocidd inicil del ten es: 8 k h 5 s El oiiento del ten seá: t; sustituyendo los loes, se tiene: 5,73 t 5 Cundo se deteng se tendá:, sí que: t 8,9 s,73 L distnci ecoid seí: t t 5 8,9,73 8,9 7 g α α
.4 Deuest que, si el oento de ls fuezs que ctún sobe un ptícul es ceo, su tyectoi está contenid en un plno. Si el oento de ls fuezs que ctún es ceo, se tiene que el oento ngul seá constnte. Ddo que L es pependicul l plno fodo po l elocidd y po l posición de l ptícul, se tiene que l tyectoi no podá sli de este plno..5 Clcul el oento de ineci con especto l cento de ss de un siste de cuto ss igules de 5 kg cd un, colocds en los étices de un cuddo de 4 de ldo. El oento de ineci de un siste se define coo: I i i i En l figu se puede e que ls ss y distncis son igules, sí que el oento de ineci seá: I 4 5 ( 8 ) 6 kg 5 kg 5 kg 8 8 4 C.M. 5 kg 4 5 kg.6 Clcul el oento de ineci de un esfe ciz de c de dio y 75 g que gi en tono su eje de sietí. Aplicndo l expesión del oento de ineci de un esfe lededo de un diáeto, se tiene: 3 Iesfe,75, 4,4 kg 5 5.7 Los ciclists en lguns puebs utilizn l ued tdicionl de llnt y dios, que se puede seej un nillo, peo en ots utilizn l ued lenticul, ás pecid un disco. Si bs tienen l is s, cuál seá ás fácil de pone en oiiento? El oento de ineci de un disco es eno que el de un nillo de igul s, po lo que l ued lenticul seá ás fácil de pone en oiiento..8 Sobe l llnt de un ued de biciclet de g de s y 3 de dio, que está gindo 36 p, ctún ls zpts de feno, de ne que se detiene en, s. Clcul l fuez de oziento que l h fendo. Aplicndo l ecución fundentl de l dináic de otción, se tiene: M Ffendo I α π 36 ω ω Se clcul l celeción ngul de l ued teniendo en cuent que: 6 α 3,4 s t, El oento de ineci de l ued es: I,,3,9 kg,9 3,4 El ódulo de l fuez de fendo seá: F,94 N,3.9 L pltfo de un tioio de 5 kg de s y 3 de dio puede considese coo un gn disco gindo 6 p. Con el oto desconectdo y en usenci de oziento, un peson de 7 kg de s slt dilente desde el exteio l bode de l pltfo. Cuál seá l nue elocidd del cusel? Puesto que no hy oentos exteioes, el oento ngul del siste h de penece constnte; po lo tnto, se tiene: Iplt Iplt ω Iplt+ ope ωf ωf ω Iplt+ ope El oento de ineci de l pltfo es: I plt 5 3 5 kg El oento de ineci con el opeio es: I I plt + 5 + 7 3 755 kg 5 Sustituyendo los loes, se tiene: ω f 6 3, 85 p 755
onio. Un ptindo sobe hielo, cuyo oento de ineci áxio (bzos en cuz) es de kg, está gindo con un elocidd ngul de 6π d s. Clcul l elocidd de gio cundo dopt un posición cuyo oento de ineci es de 5,4 kg. En este siste se conse el oento ngul, de ne que se cuple l siguiente elción: I ω If ωf ωf ω 6π 3,3 π d s If 5,4 I EJECICIOS Y POBLEMAS CINEMÁTICA. Un ptícul se uee lo lgo del eje x, de tl ne que su posición en cd instnte está dd en uniddes del SI po l expesión: x 3t 5t 8. Clcul: ) El tiepo tnscuido hst que l ptícul dquie un elocidd de s. b) L posición que lcnz en ese oento. c) L celeción que lle en ese instnte. ) L elocidd en cd instnte se obtiene deindo el ecto posición: d ( 6t 5)i Cundo l elocidd se hce igul s -, se tiene: 6 t 5 t, s b) L posición se obtiene sustituyendo: x 3, 5, 8 9,7 c) L celeción se obtiene deindo l elocidd: d 6 i ( s ). Un ptícul que se uee según un tio pbólico, tiene l siguiente ecución de oiiento: 7t i + (7t 4,9t ) j Clcul: ) L celeción nol en el punto ás lto de su tyectoi. b) El dio de cutu de l is, en ese instnte. ) L elocidd de l ptícul es: d 7 i + (7 9,8t) j d L celeción seá: 9,8 j ( s ) En el punto ás lto de l tyectoi, l elocidd en el eje eticl es nul, sí que l elocidd y l celeción de l gedd son pependicules, lo que indic que tod l celeción seá nol. b) Ddo que se cuple que: n n Sustituyendo l elocidd en el punto ás lto, se tiene: 7 5 9,8
.3 En un oiiento cicul de dio 6,5 l elocidd ngul iene dd po ω + 3t (en uniddes del SI). ) Se tt de un oiiento cicul unifoeente celedo? Po qué? b) Clcul l celeción tngencil y l celeción nol del punto óil en el instnte t 3 s. c) Detein l longitud del co ecoido en los dos pieos segundos del oiiento. ) Sí, poque l elocidd ngul cece linelente con el tiepo: dω α 3 d s b) L celeción tngencil es: t α 3 6,5 9,5 s L celeción nol es: n ω ω Sustituyendo p t 3 s: n ( + 3 3) 6,5 786,5 s c) El co ecoido es igul l poducto del ángulo bido po l longitud del dio: l ϕ Donde: ϕ ϕ + ωt + αt + + 3 d Sustituyendo: l 6,5 65.4 El electón de un átoo de hidógeno en estdo fundentl descibe lededo del núcleo un óbit cicul de 5 de dio con un peíodo de,43 6 s. Clcul l celeción de su oiiento. De l expesión de l celeción nol, se tiene: n ω 4π ω T 4π 6 (,43 ) 5 9,65 s.5 Un óil se uee sobe el eje x de tl ne que su posición iene dd po l ecución: x,5 + 4t t ) En qué instnte está pdo? b) Cuándo ps po el oigen? c) Cuál es el lejiento áxio en el sentido positio del eje? ) Se clcul l elocidd deindo l ecución del ecto de posición: dx x 4 t Despejndo, se tiene que el óil se pá en: 4 t t s b) Ps po el oigen (x ) en el instnte:,5 + 4t t L ecución de segundo oden tiene dos soluciones: t,5 s y t 4,5 s Psó po el oigen,5 s ntes de inici l edid del tiepo y uele ps en el instnte 4,5 s. c) L distnci áxi se tendá cundo l elocidd se nul, sí que t s. Sustituyendo: x,5 + 4 6,5 3
onio.6 Un ptícul descibe un cicunfeenci de dio de tl ne que l longitud del co ecoid en cd instnte es l t t, donde y son constntes. Clcul: ) L celeción tngencil y nol en el instnte t. b) L celeción ngul en función del tiepo. ) El ódulo de l elocidd es: Po tnto, l celeción tngencil seá: L celeción nol seá: n t d t ( t ) b) L celeción tngencil está elciond con l celeción ngul po: t α α t.7 Un óil tiene un ecución de oiiento definid po: 5t i + j + (3t 7)k Estudindo ls coponentes intínsecs de l celeción, se copueb que se tt de un oiiento ectilíneo. Se clcul l elocidd y l celeción: t i + 6t k L celeción tngencil es: 36 t s d t i + 6k 36 s 36 s Ddo que l celeción tngencil es igul l celeción totl, se tiene que n. Un óil en el que l celeción nol es nul no í de diección y, po tnto, descibiá un oiiento ectilíneo. PINCIPIOS DE LA DINÁMICA.8 Un ián de 5 g de s y un clip de, g se ten con un fuez que depende de l distnci que los sep. Si bos están sobe un plno hoizontl sin oziento, cundo están 5 c, el clip se poxi l ián con un celeción instntáne de 5 s. Con qué celeción se poxi el ián hci el clip? Po plicción del tece pincipio de l dináic, l fuez de tcción ente el ián y el clip es l is en los dos eleentos inteccionntes. Es deci: F ián F clip. Po tnto: i i c c Despejndo y sustituyendo, se tiene: cc i i, 5 5,6 s 4
.9 Un peson de 65 kg de s penece sobe un blnz que se poy en el suelo de un scenso que sube con:. Velocidd constnte.. Aceleción de, s. 3. Aceleción de, s. Contest ls siguientes pegunts, p cd cso nteio: ) Qué lectus hce l peson sobe l blnz?, se coesponden con su peso? b) A qué se deben ls difeencis de peso obseds po el ijeo? c) Cóo ls intepet un peson que penece en eposo en el exteio del scenso? ) Ls lectus de l blnz seán:. p g 65 9,8 637 N. p (g + ) 65 (9,8 +,) 75 N 3. p (g + ) 65 (9,8,) 559 N b) Ls difeencis que obse el ijeo ls justificá po l pesenci de fuezs de ineci, debido l celeción l que está soetido en su siste de efeenci. c) Un peson en el exteio ls intepetá coo el esultdo de l celeción el l que está soetido el ijeo, que es l su de l de l gedd y l del scenso.. Un péndulo cuelg del techo de un tní que ij 36 k h. Qué ángulo foá el hilo con l eticl si el tní descibe un cu de 5 de dio? En l figu, se puede obse que: n tgα g g α L celeción nol seá: n 5 s Po lo tnto, el ángulo seá: α ctg,5 º 9,8 _ n g α. Sobe un plnch cudd ígid ctún tes fuezs, tl y coo se indic en l figu. Si F 3 N, clcul F y F p que l plnch penezc en equilibio. F F F 3 L condición de equilibio es que l su de ls fuezs y de los oentos se ceo. L su de los oentos es ceo, puesto que ls fuezs son concuentes en el cento, de ne que los oentos de cd un son ceo. P que l su de ls fuezs se ceo, es necesio que se cupl el equilibio en el eje y: F y F 3y, po tnto: F F 3 Po ot pte, se tiene que cupli el equilibio en l coponente x que: F F 3 cos 45º + F cos 45º F 3 cos 45º,77 4 N Po tnto: F N y F 4 N 5
onio. Un gnizo de g de s se despende de l nube y coienz ce con celeción constnte igul g. L fuez de oziento del gnizo con el ie uentndo con l elocidd del iso, de ne que, supedo un lo ínio, lleg l suelo con un elocidd constnte de 3 s. Independienteente de l ltu desde l que cig, cuánto le l fuez de oziento del gnizo con el ie es elocidd? Si el gnizo lleg con elocidd constnte l suelo, independienteente de cul se l áltuo debido que l fuez de oziento con el ie igul l peso del gnizo. Po tnto: F oz g, 9,8 9,8 3 N.3 Un pied está td en el exteo de un cued de,5 de longitud y gi en un plno eticl con un oiiento que se puede conside coo cicul unifoe. Clcul l elocidd ngul áxi que se puede d l pied si se sbe que l cued se ope cundo l tensión es eces el peso de l pied. El punto ás cítico p l cued es el punto infeio, en el que debe sopot el peso de l pied y deás popocion l celeción centípet necesi p el oiiento cicul. Luego: Se tiene, pues: T áx g + F N g. Po tnto: F n 9 g y n 9g n ω ω áx 9g 3,3 d s T g.4 Se dispone de un pole y tes cuepos de ss 3 kg y 3 kg, dispuestos tl y coo indic l figu. Si se considen despecibles ls ss de ls cueds y de l pole, y no hy oziento: ) Dibuj ls fuezs ejecids sobe cd cuepo. b) Clcul l celeción de cd uno de los tes cuepos. c) Clcul ls tensiones de ls cueds en los puntos A, B y C. ) b) L celeción qued deteind po l su de fuezs diidid po l su de ss, de ne que teneos un celeción: T T A B T T T g g C T 3 3 g g g g (3 ) 9,8 3 s + + 3 3 + + c) Ls tensiones se pueden detein con l segund ley de Newton yuddos po l figu. P el punto A, hy que utiliz l ecución de oiiento p. g T ; T (g ) 3 ( ) 4 N Po sietí, l tensión en B tiene que se tbién 4 N. Nuéicente, se obtiene que: T ( + 3 ) g ( + 3 ) ; T ( + 3 ) (g + ) T ( + ) ( + ) 4 N Finlente, p el punto C teneos l siguiente ecución: T 3 g 3 ; T 3 (g + ) ( + ) N 6
.5 Un uelle de constnte k 5 N y longitud ntul l está tdo l techo de un scenso. Si colgos del exteo libe del uelle un cuepo de 3 kg, cuál seá l longitud del uelle en los siguientes csos? ) Cundo el scenso sub con un celeción igul s en el sentido del oiiento. b) Cundo el scenso sub un elocidd constnte. ) Al subi el scenso, l celeción de l gedd y l del scenso se suán p uent l cg (g + ) 3 (9,8 + ) plicd l uelle, de ne que se tendá: Δ l,7 l,7 k 5 b) Cundo sub elocidd constnte, l celeción seá nul y l longitud del uelle seá: g 3 9,8 Δ l,6 l,6 k 5.6 Un pinto de fchds está subido sobe un pltfo que está sujet po un cued que un pole, coo se uest en ls figus. A B Antes de coenz pint, debe t el exteo de l cued l punto A de l pltfo o l punto B de l fchd. L cued tiene un esistenci de 35 N y el peso del pinto ás l pltfo es de 4 N. Dónde se tí l cued, l punto A o l B? P esole este poble, hy que nliz ls dos situciones posibles. En el cso de l figu A, l ecución que indic l tensión es l siguiente: T g; po tnto, l tensión es: T 4 N T N En este cso, l esistenci de l cued de 35 N es suficiente p que no se op. En el cso de l figu B, teneos que T g 4 N, y po tnto se opeá. MOMENTO LINEAL Y MOMENTO ANGULA.7 El ecto posición de un ptícul de 4 kg iene ddo po (t) 3i + t j ( ), donde t se expes en segundos. Clcul en función del tiepo ls siguientes gnitudes. ) L fuez que ctú sobe ell. b) El oento linel de l ptícul en el instnte t 3 s. ) d d Se clcul l elocidd y l celeción de l ptícul: 4tj ( s ); 4 j ( s ) Po lo tnto, l fuez que ctú sobe ell es: F 6 j (N) b) En el instnte t 3 s, su elocidd es j ( s ) y su oento linel es: p 4 j 48 j (kg s ) 7
onio.8 Un fuez ible en el tiepo F + t i ctú sobe un cuepo de 3 kg de s que se uee po el eje x con un elocidd 3i ( s ). ) Clcul cuánto le l ición del oento linel del cuepo en el pie segundo de ctución. b) Cuánto le l ición del oento ngul con especto l oigen. ) dp d d Teniendo en cuent que en sistes de s constnte: F Luego dp F dp F Δp F 3 ( + t ) i t + t i 3 7 i 3 ( kg s ) b) Coo el oiiento es ectilíneo y lo lgo del eje x, el oento ngul es siepe ceo, ddo que en todo punto el ecto oento linel es plelo l ecto posición y. Po tnto: L ΔL.9 Clcul l elocidd de etoceso de un fusil que tiene, kg de s cundo disp un poyectil de g un elocidd de 7 s. Puesto que no hy fuezs exteioes l siste fusil-bl, el oento linel del iso se conse. Coo inicilente el siste está en eposo, el oento totl seá siepe nulo. Po tnto: b b b, b + f f f f 7, 6,4 s.3 L posición con especto l oigen de coodends de un ptícul de g iene dd po el ecto i + t j + k. Clcul: ) El oento ngul de l ptícul especto l punto P (,, ). b) El oento de l fuez que ctú especto l iso. ) Se clcul l elocidd deindo el ecto de posición: d t j s p, t j,4 t j (kg s ) El oento ngul con especto l punto ddo seá: L p ( i + t j),4t j,4t k (kg s ) b) El oento de l fuez seá: dl M,4 k (N ).3 En l po de un bc inicilente en eposo y cuyo oziento con el gu despecios, se encuent un peson que lnz un fdo de 5 kg con un elocidd hoizontl de 6 s hci l pop, donde l ecoge ot peson. L s totl de l bc y ls dos pesons es de 3 kg. Clcul l elocidd que dquiee l bc ients que el fdo está en el ie y cundo l ot peson lo ecoge. El oento linel del siste se conse en todo oento, de ne que ients el fdo está en el ie se tiene: b b f f b f b f 5 6, s 3 L bc nzá hci po y cundo l segund peson lo ecoj el siste oleá su estdo inicil en eposo. 8
.3 Un poyectil de g de s lle un elocidd hoizontl de 3 s y se epot en un bloque de,5 kg que está inicilente en eposo. Clcul l elocidd de conjunto ineditente después del ipcto. Del pincipio de conseción del oento linel en el choque ente l bl y el bloque, se puede exte l siguiente ecución: p b+ p p + b b p p + b b+ p b+ p b b+ p, 3,5 3,95 s.33 Un ionet cuy s totl es de 3 kg se uee hoizontlente un elocidd de 6 k h cundo lnz un s de 4 kg con un elocidd (efeid l ionet) de 6 k h en sentido contio l de su oiiento. Clcul: ) L elocidd de l ionet ineditente después de lnz l s. b) L elocidd de l s los 5 s de se lnzd. ) L s lnzd se encuent pd especto un punto fijo en tie, sí que, del pincipio de conseción del oento, se detein que: p pf + + + + + 3 6 67,6 k h 36 b) Ddo que l s inici su oiiento en eposo, solo sufiá l celeción de l gedd, y su elocidd ts 5 s seá: g t 9,8 5 49 s.34 Sobe un deteindo cuepo ctú un fuez cuyo oento especto del eje es: M k (N ) Cuál seá l ición del oento ngul del cuepo si l s de este es de kg y l fuez se plic dunte s? Ddo que el oento de un fuez es l deid del oento ngul, se puede indic que: ΔL t t M ΔL k k ( ) k (N s) MOMENTO DE INECIA.35 Sobe l llnt de un ued de biciclet de g de s y 35 de dio, se colocn diez contpesos de 3 g cd uno equidistntes ente sí. Clcul el oento de ineci de l ued lstd con especto un eje pependicul que ps po su cento. El oento de ineci en l ued lstd seá igul l su del oento de ineci de l ued ás el de los lstes colocdos. Considendo l ued coo un nillo, se tiene: I sist I eued + I lste I sist ued + n lstes lste,,35 +,3,35 I sist,8 kg 9
onio.36 Clcul el oento de ineci de un cículo de chp hoogéne de dio que tiene un pefoción de dio, coo se uest en l figu, especto un eje pependicul él y que ps po el cento del disco gnde. Se esuele sundo l contibución de l ued inicil estándole el oento de ineci de l s eliind. En este cso, seí el oento de ineci de un disco especto un eje que ps po su cento enos el del tldo, que seí el de un disco especto un eje que ps po su exteo. El oento de ineci de un disco especto su cento: I disco M Moento de ineci del tldo especto su cento: I tldo P clcul el oento de ineci especto su exteo, se utiliz el teoe de Steine: I tldo + 3 Finlente, si se tiene en cuent que ls ss del disco y del tldo son: M σπ y σπ, 3 4 4 el oento de ineci seá: I σπ σπ σπ( 3 ) totl.37 Ls áquins ltentis, tles coo penss, pefodos, copesoes, otoes de explosión, etc., llen p ntene un oiiento cicul unifoe un olnte de ineci coo el de l figu. Est piez puede considese constituid po un disco de dio y s, M y un nillo exteio, tbién de dio, que cuul el 8% de l s totl M. Clcul el oento de ineci de este olnte con especto l eje centl. El oento de ineci seá l su de los dos oentos de ineci: I olnte Idisco + Inillo disco + nillo Iolnte, M +,8 M,9 M ECUACIÓN DE LA DINÁMICA DE OTACIÓN.38 L tubin de un entildo centífugo tiene un oento de ineci de 5 kg. Clcul qué fuez se debe eliz sobe l pole de su eje, de 3 c de dio, p que, ptiendo del eposo, esté gindo p los 3 inutos de ponelo en ch. Aplicndo l ecución fundentl de l dináic de otción se tiene: M F Iα Iα Si l fuez es pependicul l dio, se tiene: F I α F El ódulo de l celeción seá: ω ω α t π 6 3 6,7 d s 5,7 Sustituyendo en l ecución nteio, se tiene: F 58 N,3 3
.39 P elu el oento de ineci del oto de un oto eléctico se pone este en funcioniento y, cundo está gindo l elocidd de égien, 5 p, se desconect y plic un feno cuyo oento es conocido con uch exctitud. Al plic un p de fendo de 5,4 N, el oto se detiene los 3,3 s. Clcul su oento de ineci. Aplicndo l ecución fundentl de l dináic de otción: M F Iα Si l fuez es pependicul l dio, se tiene: El ódulo de l celeción seá: ω ω α t F F I α I α π 5 6 3,3 6,74 d s Sustituyendo en l ecución nteio, se tiene: 5,4 I,8 kg 6,74.4 Un cilindo hueco de teil pesdo tiene l is s y diensiones que oto cizo de un teil ás ligeo. Si bos cilindos se dejn ce siultáneente po un plno inclindo, cuál llegá ntes l pte bj del iso? El cilindo, en el plno inclindo con un ángulo β, se encuent soetido dos fuezs, l de l gedd y l fuez de oziento que le hce od plno bjo sin desliz. Si plicos l ecución fundentl de l dináic l cilindo, se tiene: Sustituyendo un ecución en l ot: g sen β F oz donde F oz Iα I Foz I g sen β I g sen β I + El oento de ineci del cilindo hueco (I ) es yo que el del cilindo cizo (I,5 ) de igul s, de ne que l celeción del cilindo hueco seá eno..4 Un nillo de c de diáeto y 3 g de s se dej ce odndo sin desliz po un plno inclindo º y de 5 c de longitud. Cuánto tdá en ecoelo? Aplicndo l ecución de l celeción: g sen β I + Teniendo en cuent que I ; sustituyéndolo, se tiene: Sustituyendo, se tiene: g sen β g sen β g sen β I + + 9,8 sen º,68 s L distnci que ecoe un óil unifoeente celedo es: d t t d,5,68,77 s 3
onio.4 L figu uest un pole, que puede se consided efectos del oento de ineci coo un disco, de dio, y s 5 g. De cd exteo de un cued que ps po su ggnt se cuelgn ss de 3 y 7 kg, y el siste se dej eolucion. Clcul: ) L celeción de ls ss. b) El oento ngul del siste con especto l eje de l pole, cundo ls ss se uen con un elocidd de 5 s. M ) El pejo es un áquin de Atwood en el que el oento de ineci de l pole no es despecible. En este cso, l tensión de l cued es difeente cd ldo de l pole, lo que cus su gio. Aplicndo l ecución fundentl de l dináic cd ldo de l pole, se tiene: M g T M T Mg M T g T g + L ecución fundentl de l otción plicd l pole es: I T T I α I T T p Sustituyendo: p Mg M g p g (M ) 9,8 (7 3) 3,8 s p,5 + M + + 7 + 3 T T g M M g b) El oento ngul del siste es igul l su del de l pole ás los de ls ss. El de l pole es L p I ω, ients el de ls ss seá, coo se e en l figu: L sen α Po tnto, el oento totl es: L I ω + + M Sustituyendo: pole + + M pole + + M α α M L,5 + 3 + 7 5, 5,kg s 3
MOMENTO ANGULA DE UN SÓLIDO ÍGIDO.43 Sobe un disco de, kg de s que se encontb gindo 33 p en sentido de ls gujs del eloj, se dej ce eticl y coxilente oto disco de igul dio y s doble y que gi en sentido contio p. Po oziento ente ellos, los discos teinn coplándose y gindo l is elocidd. ) Cuál es l elocidd cundo los discos están copldos? b) Cuánto le su oento ngul en este estdo? c) Dunte lgún oento del cople, uno de los discos h debido est en eposo, puesto que h cbido su sentido de gio. A qué elocidd se oí entonces el oto? ) Po l conseción del oento ngul, se tiene que: I ω + I ω (I + I ) ω F ω + ω ω + ω, 33,4 ω F +, +,4 + b) El oento ngul es: L (I + I ) ω F + ωf 4,3,33 p,4 d s kg s c) Si el de eno oento de ineci está pdo, todo el oento ngul lo popocion el oto, de ne que: ( 4,3 ) 4 ω 9 ω,36 d s,4.44 Un tbl de,5 kg de s y,8 de longitud puede gi libeente lededo de un eje pependicul ell que ps po su cd. L tbl, inicilente en eposo, ecibe pependiculente,5 del eje de gio el ipcto de un poyectil de 5 g de s y un elocidd de 4 s que se epot en ell. Clcul l elocidd ngul que dquiee el siste. En el ipcto se conse el oento ngul del siste. Los oentos de ineci son: I tbl ML,5,8,675 kg I tbl+ poyectil ML +,675 +,5,5,68 kg L conseción del oento de ineci se tiene: L L f L I tbl ω tbl + p +,5,5 4 5 kg s L I f p ω f t+ p ωt + p t+ p It+ p,68 L 5 7,3 d s.45 Sobe un disco de g de s y, de dio se dejn ce eticlente bolits de plstilin que se quedn dheids l iso un distnci de,5 del cento. Cundo hn cído 5 bols, l elocidd del disco se h educido en un 9% de l inicil. Cuál es l s de ls bolits de plstilin? Se conse el oento ngul del siste ts l incopoción de ls bolits de plstilin l disco: ω Ifωf ω + 5 ωf,, ω,, + 5,5, I ω Despejndo:,,,, 5,5,,3 kg 33
onio POBLEMAS DE SÍNTESIS.46 L pltfo de un tioio, que puede considese coo un disco de 6 de dio y 5 kg de s, está gindo zón de 5 uelts po inuto. El encgdo de ecoge los billetes, de 7 kg de s, que estb,5 del cento, se uee hst el bode de l pltfo. ) Clcul l fuez centífug que expeient el opeio cundo está 3 del cento. b) En l pltfo, es ás fácil desplzse dilente hci dento o hci fue? c) Clcul l nue elocidd de l tcción. d) Clcul el ángulo con que el opeio tiene que inclinse p penece de pie en el bode de l pltfo. e) El opeio se pone ch ho en sentido contio l de gio, de tl ne que penece en el iso punto p los obsedoes exteioes l tcción. Cuál es el nueo oento ngul del siste? f) Cuál es l elocidd de l tcción? g) En ests condiciones ctú el feno y detiene l tcción en 5 segundos. Cuánto le el oento de fendo? ) L pltfo es un siste no inecil, po lo que el opeio expeient un fuez de ineci igul l fuez centípet necesi p ntene el cu. Est fuez es: 6 5 π Fc ω 7 3 57,6 N 6 b) Es ás fácil desplzse hci fue dejándose lle po l fuez de ineci. Aunque en este cso no se nliz l enegí cinétic de otción, se puede deost que, l desplzse hci fue, el oento ngul de l pltfo disinuye, ddo que uent el del opeio. c) En este cso, se conse el oento ngul, de ne que: Iω Ifωf + ω + ωf 958 ω 5 ωf 5 π 958 6 ω F,4 d s 5 d) P pode ntenese en pie, el opedo debe inclinse hci el eje del tioio, de ne que pte del peso ctúe coo fuez centípet, coo se uest en el dibujo. El ángulo se clcul coo: Fc 57,6 tg α,84 α 4,8º g 7 9,8 e) Ddo que no existen oentos exteioes, el oento linel del siste no puede i: 5 π L Iω + ω 958 4795 kg s 6 f) Aunque el oento ngul se nteng constnte, l est quieto el opeio, todo el oento ngul se debe l tioio. Po tnto: L Iω ω L L I 4795 5 6,53 d s g) El oento de fendo se clcul, teniendo en cuent l siguiente elción: ΔL 4795 M 9 Δt 5 N 34
.47 El exteo de un cued de 3 de longitud y s despecible se fij y enoll lededo de un cilindo cizo de 3 kg de s y 8 c de dio. El oto exteo de l cued se t l techo y se suelt el cilindo según uest l figu. ) Clcul l tensión de l cued. b) Clcul el oento ngul del cilindo con especto su eje en el punto ás bjo de su tyectoi. c) Po qué no se conse el oento ngul del cilindo? d) Clcul l ición del oento ngul con especto l tiepo. e) Descibe el oiiento del cilindo pti del oento en que tod l cued está desenolld. P ) Sobe el cilindo ctún dos fuezs, el peso y l tensión de l cued. Aplicndo l ecución fundentl de l dináic de otción, se tiene: T Iα T Iα I T I g T g T g g g I + I + Sustituyendo en l segund ecución: g 3 g T g g g g 3 9,8 9,8 N 3 3 3 b) En el punto ás bjo de l tyectoi, su elocidd seá: T P h g h 3 4 9,8 3 3 6,6 s Po tnto, su elocidd ngul seá: ω Su oento ngul seá: L Iω ω 6,6,8 3 78,3 d s,8 78,3,75 kg c) El oento ngul del siste no se conse, poque sobe él ctún fuezs exteioes, que son l tensión y l fuez de l gedd. Adeás, el oento que genen ésts fuezs no es nulo. d) L ición del oento ngul con especto l tiepo seá: Desollndo y sustituyendo, se tiene: dl g 3 dl g 3 d(iω) dω I Iα I dl 3 3 9,8,8 s,78 kg e) Cundo tod l cued está desenolld, se tiene un enegí cinétic de otción y un oento ngul de otción que hcen que l cued uel enollse en sentido contio, coo sucede en un yoyó. Dunte l scensión, el oento de l tensión se opone l oiiento de gio del cuepo, lo que hce que se fene. Desde un pespecti enegétic, l enegí cinétic se coniete en enegí potencil y, en usenci de oziento, el sólido lcnzá l ltu desde l que ptió. s 35