El espacio n Consideremos el conjunto de todas las n adas ordenadas de números reales, denotado por n : n = {(x 1,x,, x n ) / x 1,x,, x n } A cada uno de los números reales x 1,x,, x n que conforman la n ada (x 1,x,, x n ) n, se le llama componente o cooordenada de la n-ada correspondiente. Al elemento x i, de la n ada (x 1,x,, x n ), lo denominaremos la i - ésima coordenada de (x 1,x,, x n ), donde i = 1,,..., n. Ejemplos: a) 1 = no es más que el conjunto de los números reales b) = {(x,y) / x, y } c) 3 = {(x,y,z) / x, y, z } Igualdad en n Dos n adas de n, se dicen ser iguales, cuando todos y cada una de sus coordenadas son iguales, es decir: (x 1,x,, x n ) = (y 1,y,, y n ) x 1 = y 1, x = y,..., x n = y n OPERACIONES EN n Las operaciones que definiremos en n son: a. Suma de n-adas ordenadas Si (x 1, x,, x n ), (y 1, y,, y n ), son dos elementos de n, definimos la suma, denotada por (x 1, x,, x n ) + (y 1, y,, y n ), como: (x 1, x,, x n ) + (y 1, y,, y n ) = (x 1 + y 1, x + y,, x n + y n ) b. Producto de una n-ada ordenada por un escalar El producto de una n-ada (x 1, x,, x n ) n por el escalar c, denotado por c(x 1, x,, x n ), se define por: c(x 1, x,, x n ) = ( c x 1, c x,, c x n ) PROPIEDADES 1. La suma es conmutativa, es decir (x 1, x,, x n ) + (y 1, y,, y n ) =(y 1, y,, y n ) + (x 1, x,, x n ). La suma es asociativa, es decir (x 1, x,, x n) + [ (y 1, y,, y n) +(z 1, z,, z n)] =[(x 1, x,, x n) + (y 1, y,, y n)] +(z 1, z,, z n) 3. Existe un elemento en n, llamado cero =(,,...,), que actua de manera neutra para la suma: (x 1, x,, x n ) + (,,, ) = (x 1, x,, x n ) 4. Cada n-ada de n tiene un inverso aditivo, el cual es un elemento de n que tiene la propiedad de que, sumado con la n-ada original, produce el cero de n. El inverso aditivo de (x 1, x,, x n ), es (- x 1, -x,,- x n ), pues: (x 1, x,, x n ) + (- x 1, -x,,- x n ) = (,,, ) 5. Si λ es un escalar, se tiene que: λ [ (x 1, x,, x n ) + (y 1, y,, y n )] = λ (x 1, x,, x n )+ λ (y 1, y,, y n ) 6. Si λ, µ son escalares, se tiene que: (λ+ µ) (x 1, x,, x n ) = λ (x 1, x,, x n ) + µ (x 1, x,, x n ) 7. Si λ, µ son escalares, se tiene que: (λ µ) (x 1, x,, x n ) = λ[ µ (x 1, x,, x n )] = µ [λ (x 1, x,, x n )] 8. 1(x 1, x,, x n ) = (x 1, x,, x n ) 1
SISTEMA CARTESIANO EN EL ESPACIO BOLAS ABIERTAS (a,,c) (a,,) (,,c) (a,b,) (,b,c) (,b,) Sea x n y r >. La bola abierta de centro en x y radio r, denotada por B(x,r), es el conjunto de puntos de n que distan de x en menos de r, es decir: B(x,r) = { x n / 7 x- x 7 < r } REPRESENTACION GRAFICA DE LAS BOLAS ABIERTAS EN : B(X o,r) : B(X o,r) 3 : B(X o,r) NORMA Y DISTANCIA y z La norma euclideana de un vector x n, denotada por 7x7, se define como: 7x7= x + x + + x 1 n x y x En el presente curso, nos referiremos como norma a la norma euclideana. La distancia entre los vectores x, y n, denotada por d(x,y), se define como: d(x,y)= 7x- y7 Ejemplos: Calcular la distancia entre los puntos: i) P(-1) y Q(1.5) ii) P(-, ) y Q(1,1.5) iii) P(1.5,-1,1) y Q(,,3) En : En : En 3 : Q CONJUNTO ABIERTOS Se dice que el conjunto U n es un conjunto abierto en n, si para cada x U existe un r > tal que B(x,r) U. CONJUNTOS CERRADOS Se dice que el conjunto U n es cerrado, si el complemento de U es un conjunto abierto en n. Ejemplos Indicar si el conjunto es abierto ó cerrado en: i) A = <-,5 > ii) A = [-5, 6 ] iii) A = [-5, 6 > P d(p,q) Q P iv) A = {(x,y) / x>, y> } v) A ={(x,y) / x, y } 3 4
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES La explicación ó descripción del mundo real y social han planteado, la necesidad de considerar funciones de más de una sola variable. Por ejemplo, considere la temperatura T en un punto de la superficie de la tierra depende en todo momento de la longitud x y la latitud y del punto. Podemos pensar en T como una función de dos variables x e y ó como una función del par (x,y). Esta dependencia funcional lo representaremos por T= f(x,y). Una función f de n variables f: D n, es una regla que asigna a cada elemento (x 1, x,, x n ) de D un único número real f(x 1, x,, x n ). Al conjunto D se conoce como dominio de f. A menudo escribimos z = f(x 1, x,, x n ) para hacer explícito el valor que toma f en el punto general (x 1, x,, x n ). Las variables x 1, x,, x n son las variables independientes y z es la variable dependiente. El rango de f, denotado por Rg(f), es el conjunto de valores que toma f, es decir: Rg(f) ={ f(x 1, x,, x n )/ (x 1, x,, x n ) D} Ejemplo: Determinar el dominio, rango de la función f(x,y)= 16 x y Sea f: D n, una función con dominio D. La gráfica de f, es el conjunto: G(f) = { (x 1, x,, x n, z)/ z = f(x 1, x,, x n ), (x 1, x,, x n ) D)} (x,y,z) (x,y) Ejercicios: Encontrar el dominio de las siguientes funciones: i) f(x,y) = x + y iv) f(x,y,z) = x + y ii) f(x,y) = x + y 1 v) f(x,y,z) = cos(x) + cos(y) + z iii) f(x,y)= x + y vi) f(x,y) = x ln(y - x) Observación: i) Si f: D, su gráfica se encuentra en ii) Si f: D, su gráfica se encuentra en 3 Ejemplo: Obtener la gráfica de la función f, definida por: f(x,y) = 4 5 6
CONJUNTO DE NIVEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES Sea f: D n, una función y k. Entonces el conjunto de nivel de valor k, se define como: { x D/ f(x, y) = k } n Si: n =, el conjunto de nivel será una curva de nivel (de valor k) Si: n = 3, el conjunto de nivel será una superficie de nivel (de valor k) y Lámina de metal (a, b) (x, y) Temperatura L f(x, y) NOTA. Las curvas de nivel se usan frecuentemente en la elaboración de mapas hidrográficos, meteorológicos, etc. x Ejemplo Dibujar las curvas de nivel de la función f(x,y) = x y Ejercicio Graficar la función f(x,y) = x + y 4 Si la temperatura f(x,y) se acerca a un valor fijo L, cuando (x,y) se aproxima cada vez más a un punto fijo (a,b), entonces esto se denotará como: lim f(x,y) = L (x,y) (a,b) y puede leerse: el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (a,b) es L - -4-4 - 4 DEFINICIÓN FORMAL DE LIMITE OPERACIONES CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Sean f, g: D n, funciones de n variables con dominios D f y D g, f respectivamente, entonces f + g, f - g, f. g,, se definen como: g Sea f una función de n variables definida en alguna bola abierta B(p,r) excepto posiblemente en el punto p n. Entonces, lim f(x) = L para cada ε>, existe δ >, tal que f(x) L <ε, x p siempre que <7 x- p 7 < δ i) (f + g )(x) = f(x) + g(x), D f+g = D f D g ii) (f - g )(x) = f(x) - g(x), D f-g = D f D g iii) (f. g )(x) = f(x) g(x), D f.g = D f D g f f(x) iv) ( )(x) =, Df./ g g = {x D f D g / g(x) } g(x) Ejemplo: Determinar el dominio de la función: f(x,y) = x y + 9 ln (1- x) Ejemplo Demostrar que lim (7 x+ y) (,,) (1,,3) = 9 xyz Prueba Para ε>, debemos encontrar δ > tal que: 7x + y 9 <ε, siempre que <7 x- p 7 < δ. Como: 7 (x, y, z) (1,,3)7= ( x 1) + ( y ) + ( z 3) < δ 7 8
pero x -1 = ( x 1) ( x 1) + ( y ) + ( z 3) < δ y - = ( y ) ( x 1) + ( y ) + ( z 3) < δ 7x + y 9 = 7(x-1) + (y ) 7 x 1 + y 7δ + δ= 8δ = ε El número buscado es δ = 8 ε Ejercicio 1. Analizar si Ejercicio. Analizar si Ejercicio 3. Analizar si xy lim = x y (x,y) (,) + 3 4 xy lim = x y (x,y) (,) 4 4 + 7x y lim = x y (x,y) (,) + CALCULO DE LIMITES MEDIANTE OPERACIONES ALGEBRAICAS Ejemplo: Calcular los siguientes límites: TEOREMA DEL ENCAJE Dadas las funciones f,h,g tal que f(x) h(x) g(x), x D R n. Si lim f(x)= lim g(x), entonces, lim h(x)= lim f(x)= lim g(x) x x x x x x x x x x TEOREMA DE LA ACOTACIÓN Si f es una función tal que x x lim f(x)= ; g(x) una función acotada (es decir existe una constante k> de modo que: -k g(x) k ), entonces, lim f(x)g(x)= x x Este teorema nos indica que si una función tiene límite cero en un punto, y otra función está acotada en los alrededores del punto, entonces, su producto también tiene límite cero en dicho punto. Ejemplo: Calcular: i) lim (x + y )cos ii) (x,y) (,) xy (x,y) (,) 1 x lim x +y 3 1. 3. + lim x y. lim x y x (x,y) (,) x + y 3 4 ( x 1)( y 16) x + y lim 4. lim ( x 1)( y 4) (x,y) (,) x + y + 4 (x,y) (1,5) (x,y) (1,) 9 1
PUNTO DE ACUMULACIÓN Se dice que p es un punto de acumulación de un conjunto D n, si toda bola abierta reducida B (p,r):= B(p,r) { p } contiene infinitos puntos de D, es decir: B (p,r) D. Ejemplo Analizar si el punto (,) es un punto de acumulación de S= {(x,y) / x >, y > } REGLA DE LA TRAYECTORIA Sea S 1 y S conjuntos de n que tienen al punto p como un punto de acumulación. Si lim f(x) lim f(x), entonces, lim f(x), no existe. x p x p x p x S1 x S Ejemplo. Calcular: i) lim xy (, xy) (,) x + y, si existe. ii) xy lim, si existe ( xy, ) (,) x + 3xy 4 3 x + yx + z x iii) lim, si existe. ( xyz,, ) (,,) 4 x + y z CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Sea f es una función de n variables y sea p un punto en n Se dice que f es continua en el punto p si se cumplen la tres condiciones: i) f(p) esta definida ii) lim f(x) existe iii) x p lim f(x) = f(p) x p Si alguna de estas tres condiciones no se cumple, entonces, se dirá que la función no es continua en el punto p. Sea f una función de n variables, definida en el conjunto abierto D de Ñ n. Se dice que f es continua en D (o simplemente que f es continua) si f es continua en cada uno de los puntos x o D. 7 x+ y si ( x, y, z) (1,,3) Ejemplo Si f(x,y,z) =, determine si f es 8.99 si ( x, y, z) = (1,,3) continua en (1,,3) 11 1