50 Problemas de Teoría de Circuitos
50 Problemas de Teoría de Circuitos
50 PROBLEMAS DE TEORIA DE CIRCUITOS EXÁMENES RESUELTOS Y PROBLEMAS ADICIONALES. César Fernández Peris M.Asunción Vicente Ripoll 50 Problemas de Teoría de Circuitos 3
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INDICE Prefacio...pág.3 Problemas resueltos de exámenes...pág.5 Tema :Análisis de Circuitos en DC...pág.7 Tema :Análisis Transitorio...pág.37 Tema 3:Análisis en Régimen Estacionario Senoidal...pág.97 Tema 4:Resonancia...pág.49 Tema 5:Acoplamiento magnético...pág.8 Problemas propuestos...pág.09 Tema :Análisis de Circuitos en DC...pág. Tema :Análisis Transitorio...pág.5 Tema 3:Análisis en Régimen Estacionario Senoidal...pág.3 Tema 4:Resonancia...pág.37 Tema 5:Acoplamiento magnético...pág.4 Soluciones a los problemas propuestos...pág.45 50 Problemas de Teoría de Circuitos 5
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PREFACIO El presente libro de problemas ha sido elaborado con la intención de servir de complemento a las clases recibidas. Está enfocado fundamentalmente a la asignatura Teoría de Circuitos y Sistemas de segundo curso de Ingeniería Industrial, pero es también perfectamente válido para cualquier asignatura introductoria a la teoría de circuitos. El objetivo es el estudio autónomo del alumno, y para ello el libro incluye ejercicios resueltos paso a paso, que enseñan de un modo práctico las principales técnicas y procedimientos a emplear en el análisis de circuitos de todo tipo. También se ofrece un conjunto de ejercicios propuestos que han de servir para la ejercitación de los conceptos previamente aprendidos. Como método de comprobación, en el último capítulo se ofrece el resultado correcto de todos estos ejercicios propuestos Todos los problemas resueltos provienen de exámenes realizados en la asignatura previamente mencionada en la Universidad Miguel Hernández desde el curso 998 999 hasta el curso 003004 y, por tanto, se ciñen completamente al temario de la asignatura. Tanto los problemas resueltos como los problemas planteados se estructuran en los siguientes bloques temáticos: Análisis de circuitos en corriente continua. El dominio de las técnicas de análisis de circuitos en DC es fundamental para la comprensión del resto de temas que engloba la asignatura. En este apartado se presenta una amplia colección de problemas que recopilan múltiples ejemplos prácticos de todas estas técnicas de análisis: leyes de nodos y mallas, y los teoremas de Thévenin y de máxima transferencia de potencia. Antes de estudiar cualquier otro bloque temático es necesario que el alumno haya practicado con estos métodos y se maneje con soltura en el análisis DC de cualquier configuración de circuito eléctrico. 50 Problemas de Teoría de Circuitos 7
Análisis transitorio. Este apartado recopila ejercicios de análisis en regimen transitorio de primer y segundo orden. En este tipo de problemas aparecen ecuaciones diferenciales lineales, siendo ésta la principal dificultad a la que se enfrentan los alumnos puesto que han de conocer previamente los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, también es posible enfrentarse a este tipo de problemas haciendo uso del método de análisis paso por paso, que permite resolver circuitos en regimen transitorio sin necesidad de plantear la ecuación diferencial. De esta manera, dentro de los problemas resueltos, existen soluciones realizadas mediante la reducción del circuito y el planteamiento de su ecuación diferencial y otras que siguen el método de análisis paso por paso. Así el alumno puede entrenarse con ambas técnicas. Análisis en régimen estacionario senoidal. En este bloque temático se recogen diversos problemas relativos al análisis de circuitos en AC. Las técnicas de análisis que se utilizan son las mismas que en DC pero con la dificultad que ahora los valores de las magnitudes eléctricas pertenecen al dominio de los números complejos, complicando ligeramente la resolución de las ecuaciones del circuito. El alumno dispone de numerosos ejemplos resueltos siguiendo siempre los mismos pasos con el fin de sistematizar el análisis de los circuitos en regimen AC. Resonancia. En este apartado se presentan problemas referentes a este caso particular de análisis en frecuencia. Otros aspectos relativos a la respuesta en frecuencia de circuitos no son contemplados en esta asignatura y por tanto tampoco han sido incluidos en el presente libro de problemas. Acoplamiento magnético. Este último bloque recoge algunos ejemplos de circuitos eléctricos donde existe acoplamiento magnético. Se presentan problemas generales con bobinas acopladas magnéticamente y con el caso particular del transformador ideal. En conjunto, esta colección de problemas pretende ser una herramienta práctica para el estudio de la asignatura de Teoría de Circuitos puesto que permite el entrenamiento del alumno con el planteamiento y resolución de diversos problemas tipo de cada bloque temático. 50 Problemas de Teoría de Circuitos 8
PROBLEMAS RESUELTOS DE EXÁMENES cursos 99899 : 00304 50 Problemas de Teoría de Circuitos 9
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TEMA : ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN DC 50 Problemas de Teoría de Circuitos
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Febrero 999 PROBLEMA : Sobre un circuito desconocido, que sólo contiene resistencias y fuentes de tensión continua hacemos los siguientes experimentos: Conectamos un voltímetro entre dos de sus terminales y observamos que hay una diferencia de tensión de V. Conectamos una resistencia de 4Ω entre esos mismos terminales y comprobamos que disipa una potencia de 6W. Qué potencia disiparía una resistencia de Ω conectada entre los mencionados terminales? Razónese la respuesta. SOLUCIÓN : Cualquier circuito puede ser representado por su equivalente Thévenin entre ambos terminales: R TH R TH V TH V V TH I 4Ω (consume 6W) Los V a circuito abierto se corresponden directamente con V TH : V TH V La intensidad que recorre el circuito se deduce a partir de la información de potencia: 6W I *4Ω; I 4A; I A Y R TH se obtiene a partir de esa intensidad: I V TH /(R TH 4Ω); R TH 4Ω 6Ω; R TH Ω Conocido el equivalente completo se puede obtener el dato pedido: Ω Con la resistencia de Ω: V Ω (W?) I V/4Ω 3A P I *Ω 8W 50 Problemas de Teoría de Circuitos 3
Junio 999 PROBLEMA : Sobre el circuito de la figura: k 3I 0 3V A I 0 4k k B ma Se pide: Obtener el equivalente Thevenin del circuito entre los terminales A y B Sobre el circuito anterior se añade una resistencia entre los terminales A y B. Qué valor debe tener esa resistencia si queremos que consuma la máxima potencia posible? SOLUCIÓN : Obtención del equivalente Thevenin: VTH VTH VCA I N ICC R TH I N Se calculará en primer lugar la tensión de circuito abierto V CA : Sin resolver completamente el circuito, podemos ver que V AB será igual a los 3V de la fuente de tensión más la caída de tensión en la resistencia de k. Como por esta resistencia circulan los ma de la fuente de intensidad, tendremos: V CA 3V ma*kω 7V 3I 0 I 0 k 4k 3V k ma V CA A continuación se calculará la intensidad de cortocircuito I CC : De nuevo sin resolver el circuito podemos ver que I CC será igual a los ma de la fuente de intensidad más la intensidad que circule por la resistencia de k. Como esta resistencia se encuentra en paralelo con la fuente de tensión de 3V, entre sus terminales habrá 3V. Por tanto, I CC ma 3V/k 3,5mA 3I 0 I 0 k 4k 3V k ma I CC 50 Problemas de Teoría de Circuitos 4
El equivalente será: k V I N R TH I TH V CC CA V I 7V 4.5mA TH N 7V 3.5mA kω 7V Según el teorema de máxima transferencia de potencia, para lograr un consumo máximo de potencia la resistencia de carga debe tener el mismo valor que la resistencia Thevenin: 7V k R L k R L kω 50 Problemas de Teoría de Circuitos 5
Septiembre 999 PROBLEMA 3: Dado el circuito de la figura: c 0Ω 60i a 60Ω 4A 80Ω 40Ω d i b Se pide: Obtener el equivalente Thevenin del circuito entre los terminales a y b Obtener el equivalente Thevenin del circuito entre los terminales c y d SOLUCIÓN 3: Como primer paso se hace una transformación de fuente, con lo que el circuito queda: c 0Ω 60i a 60Ω 80Ω 40Ω i 40V d b Primer equivalente Thévenin: calculamos la tensión a circuito abierto y la intensidad de cortocircuito entre a y b. i i V CA Tensión a circuito abierto: se resuelve por mallas, 40 I *60 I *060*I (I I )*800 (I I )*80I *400 I 5mA I 750mA V CA 30V i I CC Intensidad de cortocircuito: toda la corriente circula por el cortocircuito: 40I *60I *060*00 I 3A I CC 3A 50 Problemas de Teoría de Circuitos 6
Primer equivalente Thévenin 0Ω V TH V CA 30V R TH V CA /I CC 0Ω 30V Segundo equivalente Thévenin: calculamos la tensión a circuito abierto y la intensidad de cortocircuito entre c y d. V CA i i Tensión a circuito abierto: se resuelve por mallas 40 I *60 I *060*I (I I )*800 (I I )*80I *400 I 5mA I 750mA V CA 7.5V I CC i Intensidad de cortocircuito: la parte derecha del circuito no aporta corriente, nos fijamos sólo en la malla de la izquierda: I 40/60 I 4A I CC 4A Segundo equivalente Thévenin 43.5Ω V TH V CA 7.5V R TH V CA /I CC 43.5Ω 7.5V 50 Problemas de Teoría de Circuitos 7
Diciembre 999 PROBLEMA 4: Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figura entre los terminales A y B: 4k V X A 4k V _ 0.5V X 6k B SOLUCIÓN 4: Para la obtención del equivalente Thévenin se calculan la tensión de circuito abierto y la intensidad de cortocircuito: 4k V V X V 4k _ 0.5V X 6K V CA V CA : por análisis de nodos V 0.5Vx V V 3 3 4 0 4 0 6 0 V V x 3 Se obtiene V V CA 36/3 V 0 4k I CC : por análisis de nodos: I V X V I 4k _ 0.5V X I 3 6k I CC I I V CC CC X I I 4 0 V 3 I 3 0.5V 3 4 0 Se obtiene I CC 3/ ma X 0 4/3k Por tanto: V TH V CA 36/3 V R TH V CA /I CC 4/3 kω 36/3V 50 Problemas de Teoría de Circuitos 8
Febrero 000 PROBLEMA 5: En la figura, el cuadrado representa una combinación cualquiera de fuentes de tensión e intensidad y resistencias. Se conocen los siguientes datos: Si la resistencia R es de 0,5Ω la intensidad i es de 5A Si la resistencia R es de,5ω la intensidad i es de 3A Se pide calcular el valor de la intensidad i si la resistencia R es de 5Ω 3Ω fuentes y resistencias 5Ω R i SOLUCIÓN 5: Se sustituye el conjunto de fuentes y resistencias más las resistencias de 3Ω y 5Ω por su equivalente Thévenin: 3Ω Rth fuentes y resistencias 5Ω R i Vth R i Sobre el equivalente Thévenin se cumplirá: i VTH R R TH Con lo cual se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: VTH 5 R 0.5 TH V 3 R TH TH.5 V R TH TH 5V.5Ω 50 Problemas de Teoría de Circuitos 9
Conocidos V TH y R TH se puede obtener el valor pedido: VTH 5 i A R R.5 5 TH NOTA: el problema también se puede resolver sustituyendo por su equivalente Thévenin sólo la parte correspondiente al bloque desconocido. 50 Problemas de Teoría de Circuitos 0
Junio 000 PROBLEMA 6: En el circuito de la figura, todos los elementos son conocidos salvo la resistencia R. R 7Ω Ω Ω V X 3Ω 0.5 Vx 440V 0V Se pide: Valor de R que hace que la potencia consumida por la resistencia sea la máxima posible. Cuál es esa potencia? SOLUCIÓN 6: Se obtiene el equivalente Thévenin del circuito entre los extremos de la resistencia (terminales A y B): Tensión de circuito abierto (por nodos) Intensidad de cortocircuito (por nodos) A V CA B A I CC B 440V Ω 7Ω V Ω V 440V Ω 7Ω V Ω 440V I V X V X I 3Ω 0.5 Vx 3Ω 0.5 Vx 440V 0V 440V 0V 50 Problemas de Teoría de Circuitos
V Tensión de circuito abierto (por nodos) V 440 V V V 0 0 3 V 440 V V 0.5VX 0 7 V 440 V X... resolviendo... V 99. V 55. CA 440 V 84.8V Intensidad de cortocircuito (por nodos) V 440 V 440 V... resolviendo... V 400V I I CC CC I I 0.5V 440 400 0 0.5 X 0 0 3 ( 440 400) 60A Con lo que el equivalente Thévenin queda: V TH V CA 84.8V R TH V CA /I CC 3.08Ω 3.08Ω 84.8V A B Por lo tanto: 3.08Ω Resistencia que absorbe máxima potencia: R3.08Ω Intensidad: I V/R 84.8/6.6 30A Potencia consumida: P I R 900 3.08 77W 84.8V R 3.08Ω I 30A 50 Problemas de Teoría de Circuitos
Septiembre 000 PROBLEMA 7: Dado el circuito de la figura: 0Ω.8kΩ A 0V 900Ω 00Ω _ 0 3 I B 5Ω I B B Se pide obtener su equivalente Thevenin y su equivalente Norton entre los terminales A y B. SOLUCIÓN 7: Dado que hay fuentes dependientes, se obtendrá el equivalente Thévenin mediante el cálculo de la tensión de circuito abierto e intensidad de cortocircuito: 0Ω V V.8kΩ A 0V 900Ω 00Ω I B 0 3 I B _ 5Ω B Tensión de circuito abierto: Se aplica análisis de nodos en la parte izquierda del circuito: V 0 V V 0 0 900 00 Con V se pueden hallar I B y V : V 9V V 3 IB 90mA V 0 IB 90V 00 Y la tensión de circuito abierto se obtiene mediante un divisor de tensión: 5 VCA VAB 90 0V 800 5 50 Problemas de Teoría de Circuitos 3
Intensidad de cortocircuito: 0Ω V V.8kΩ 0V 900Ω 00Ω _ 0 3 I B 5Ω I CC I B Se aplica análisis de nodos en la parte izquierda del circuito: V 0 V V 0 900 00 0 V 9V Con V se pueden hallar I B y V : V 3 I B 90mA V 0 I B 90V 00 Y la intensidad de cortocircuito se obtiene directamente considerando que por la resistencia de 5Ω no circula intensidad al estar en paralelo con un cortocircuito: 90 I CC 800 50mA Por lo tanto, los equivalentes quedan: V TH R TH A B I N R N A B V I N R TH I TH V CC R CA 0V 50mA N V I CA CC 00Ω 50 Problemas de Teoría de Circuitos 4
Febrero 00 PROBLEMA 8: Dado el circuito de la figura, se pide: Calcular el equivalente Thévenin del circuito entre los puntos A y B. Calcular la potencia que disiparía una resistencia de 60kΩ colocada entre los puntos A y B. 00k 00k 30μA 600k 00V X V X 00k 00k 00k A B SOLUCIÓN 8: Cálculo del equivalente Thévenin: Dado que existen fuentes dependientes e independientes, se calcularán la tensión de circuito abierto y la intensidad de cortocircuito. Tensión de circuito abierto V CA : 00k 00k 30μA i X 600k 00V X V X 00k 00k 00k V CA _ La intensidad i X que pasa por la resistencia de 00k se obtiene mediante un divisor de intensidad: 600k i X 30μA 0μA 600k 300k Por tanto la tensión V X en esa resistencia será: V X 0μA 00K V La tensión V CA se obtiene por divisor de tensión una vez conocido V X : 00k //00k 50k VCA 00 VX 00 40V 00k (00k //00k) 50k 50 Problemas de Teoría de Circuitos 5
Intensidad de cortocircuito I CC : 00k 00k 30μA i X 600k 00V X V X 00k 00k 00k I CC V X e i X se obtienen igual que antes llegando al mismo resultado: i X 0μA; VX V I CC se obtiene teniendo en cuenta que por las resistencias de 00K no circula intensidad al estar en paralelo con un cortocircuito: 00 VX 00 I CC ma 00K 00K Con lo que el equivalente Thevenin queda: V R TH TH V CA V I CA CC 40V 40 0.00 40kΩ 40V 40K A Si se coloca una resistencia de 60k entre A y B: 40k i A 40V 60k La intensidad que circulará por la resistencia será: 40V i 0.4mA 00k Y la potencia consumida: 3 3 P i R (0.4 0 ) 60 0 9.6mW 50 Problemas de Teoría de Circuitos 6
Febrero 00 PROBLEMA 9: Dado el circuito de la figura, se pide: el valor de las fuentes de tensión V y Vg en el circuito, sabiendo que Vo 5V. el valor de la resistencia de carga R L a situar entre los terminales A y B para que consuma máxima potencia. Cuál es el valor de la potencia consumida por R L? I Vg 60Ω 5I 60Ω 0Ω 80Ω V I 40I 40Ω 0Ω Vo A B SOLUCIÓN 9: Valor de las fuentes de tensión V y Vg en el circuito, sabiendo que Vo 5V? Para hallar el valor de la fuente de tensión Vg y la tensión en el nodo V, se resolverá el circuito de izquierda a derecha: Se aplica análisis de nodos en el siguiente subcircuito, situando la tierra en el nodo B: 40I 40Ω V O I B 0Ω A B I A Nodos en V O : I B I A 40I 0 VO 0 VO 0 40I 40 0 0 si V O 5V, entonces I 0.0565 A I es la corriente que circula por la resistencia de 80 Ω, por tanto para hallar la tensión en V se aplica la ley de Ohm a la resistencia de 80 Ω: V I 80.5 V 50 Problemas de Teoría de Circuitos 7
Ahora se hallará el valor de I, aplicando nodos en el siguiente subcircuito: V.5V Nodos en V : I I I x 5I 0 5I 0Ω I x V 80Ω V 0 80 V 0 5I 0 0 si V.5V, entonces I 0.0035 A Y por último en la malla de la derecha se obtiene el valor de Vg: I Vg 60Ω 60Ω Vg I (60 60) si I 0.0035 A, entonces Vg V Valor de la resistencia de carga R L a situar entre los terminales A y B para que consuma máxima potencia. Cuál es el valor de la potencia consumida por R L? Por el teorema de máxima transferencia de potencia, la resistencia de carga R L que consumirá máxima potencia en la resistencia de Thevenin vista desde los terminales A y B. V Por lo tanto, se ha de calcular R TH : R TH I Ya sabemos V TH : V TH V O 5V, falta hallar I N : TH N A La I N es la corriente entre A y B en cortocircuito, por tanto: 40I 40Ω 0Ω I N B I N 40 I 40 (0.0565)0.65 A R TH VTH 5 8Ω R L 8Ω I 0.65 N Y la potencia consumida: VTH 5 5 P 0.785W 4R 4 8 3 TH 50 Problemas de Teoría de Circuitos 8
Junio 00 PROBLEMA 0: Calculad el valor de la tensión Vo en el circuito siguiente: Vx R 4 kω kω R R 5 I ma R 6 kω R Vo Vx I kω kω R 3 kω 4mA I 3 SOLUCIÓN 0: Para hallar la tensión Vo, primero se calculará el valor de la corriente que circula por la resistencia R. Para ello, se resolverá el circuito utilizando la ley de mallas, y utilizando el sistema de unidades V, ma, kω: Vx R 4 R I i 3 i 4 V Y ma R 5 R 6 R Vo malla : i V X malla : i 4mA malla 3: i 3 (i 3 i ) V Y 0 malla 4: i 4 i 4 V Y (i 4 i ) 0 Además, se cumplen las relaciones: Vx I i R 3 i 4mA I 3 V X i 4 i 3 i 4 I Resolviendo las ecuaciones anteriores, se obtiene Por tanto: Vo R i 4 7 V 4 7 i 4 4 ma 50 Problemas de Teoría de Circuitos 9
También es posible hallar Vo utilizando la ley de nodos: V4 Vx V i i I ma V i 5 V3 Vo Nodo V: i i I 0 Nodo V: I i 3 i i 4 Nodo V3: i 4 I 3 i 5 Nodo V4: i 5 i I Vx I i 3 i 4 4mA I 3 0V Nodo V: i i I 0 V4 V3 I V x (R 4 i 5 ) V4 V V V V4 V3 0 Nodo V: I i 3 i i 4 0 V V V V V3 Nodo V3: i 4 I 3 i 5 V V3 4 V3 V4 Nodo V4: i 5 i I V3 V4 V4 V Resolviendo el sistema anterior de 4 ecuaciones, se obtiene que 3 V 3 V y V4 V, 4 4 por tanto: 3 V3 V4 4 4 4 i 5 8 7 4 ma V4 R 4 i 5 R Vo V3 7 Vo R i 5 V 4 50 Problemas de Teoría de Circuitos 30
Junio 003 PROBLEMA : Para el circuito de la figura, obtened los circuitos equivalentes de Norton y de Thévenin entre los terminales AB: Datos: k 0.05 Vg 0V R 5Ω p 00 R 0.5Ω R V g I X kv _ pi X R V A B SOLUCIÓN : Cálculo de la corriente de Norton, I N : I N (I AB ) cortocircuito R V g I X _ kv pi X R V A I N B Si se cortocircuitan los terminales AB, la resistencia R queda también cortocircuitada, por tanto V 0, y la fuente de tensión kv también se anula. De esta forma, la corriente de Norton es igual a la corriente de la fuente pi X pero en sentido opuesto: I N pi X V p R g 0 00 00A 5 Cálculo de la resistencia de Norton (de Thévenin), R N R TH : Para calcular la resistencia de Thévenin se utilizará el método test, para ello se anulan las fuentes independientes del circuito y se coloca una fuente test entre los terminales A B, en este caso, se utiliza una fuente de corriente como fuente test: 50 Problemas de Teoría de Circuitos 3
R I X _ kv pi X I R V I test V test Del circuito anterior, se deduce que: V V I x test 0 kv R kv R test y aplicando análisis de nodos en el nodo V test : pi I I X test Sustituyendo el valor de la corriente I X en esta última ecuación: kv p R R TH test V I V R test test test I k p R test k p R R R V 0.05 00 5 test 0.5 I test R TH V I test test k p R R Y por último, a partir de los valores de R TH e I N, se obtiene la V TH : I N R V 00A TH TH Ω I N R TH 00V R TH A A V TH B I N R N B THEVENIN NORTON 50 Problemas de Teoría de Circuitos 3
Septiembre 003 PROBLEMA : Sobre el circuito de la figura: R 3 4Ω V x R 4 4Ω R R 4Ω 4Ω V x A 00V V 0V V R B Encuentra el valor de R que permite que el circuito que se muestra en la figura suministre la máxima potencia a los terminales A y B. Determina la máxima potencia administrada a R Qué porcentaje de la potencia total generada por las fuentes se suministra a la resistencia de carga R? SOLUCIÓN : Encuentra el valor de R que permite que el circuito que se muestra en la figura suministre la máxima potencia a los terminales A y B. Por el teorema de máxima transferencia de potencia se ha de cumplir que RR TH, por tanto se debe calcular la resistencia de Thévenin entre los terminales AB, para ello se aplica el método test, anulando las fuentes independientes del circuito y colocando una fuente test entre los terminales AB, en este caso, se utiliza una fuente de tensión como fuente test: Vtest R TH I test I test Y se obtiene el valor de I test analizando el circuito por mallas: Malla VX 4I 4(I I test ) 4(I I ) Malla 0 4(I I) 4(I I test ) Malla 3 4(I I test ) 4(I I test ) y además V 4(I I ) X test 50 Problemas de Teoría de Circuitos 33
R 3 V x I R R 4Ω A I 4Ω R 4 4Ω 4Ω V x I test I test V test V B Resolviendo el sistema anterior de 4 ecuaciones, se obtiene que I test A, por tanto: R Vtest Ω I I TH test test R R TH Ω También es posible hallar el valor de R TH calculando la tensión en circuito abierto (V TH 60V) y la corriente de Norton (I N 30A), siendo R TH V TH / I N. Cálculo de V TH : V x R I 3 R R 4Ω A I 4Ω R 4 4Ω 4Ω V x 00V V 0V V B Utilizando la ley de mallas, Malla VX 4I 4I 4(I I ) Malla 00 0 4(I I) 4I...resolviendo: I 0A y I 0A y además V X 4I Luego, V TH 0 VX 4I 0 0 4 60V 50 Problemas de Teoría de Circuitos 34
Cálculo de I N : R 3 V x I R R 4Ω A I 4Ω R 4 4Ω 4Ω V x I N I N 00V V 0V V B Utilizando la ley de mallas, Malla VX 4I 4(I IN) 4(I I) Malla 00 0 4(I I) 4(I IN)...resolviendo: I N 30A Malla 3 0 4(IN I) 4(IN I) y además V 4(I I ) X N Determina la máxima potencia administrada a R: 60V Ω RΩ V P 4R TH TH P 450W 60 4 450W Qué porcentaje de la potencia total generada por las fuentes se suministra a la resistencia de carga R? Para responder a esta pregunta hay que averiguar la potencia que generan o consumen las fuentes con el circuito original cargado con R Ω. Por lo tanto, se debe analizar el siguiente circuito: 50 Problemas de Teoría de Circuitos 35
V x I 3 R 4Ω R 3 R A I 4Ω R 4 4Ω 4Ω V x 00V V 0V V I R TH Ω B Utilizando la ley de mallas, Malla 00 0 4(I I3) 4(I I) Malla 0 4(I I) 4(I I3) I Malla 3 V X 4(I3 I) 4(I3 I) 4I3 y además 4(I I ) VX...resolviendo: I.5A, I 5A, I 3 0A. Cálculo de la potencia en las resistencias (elementos PASIVOS): P P P P P R R R R R TH 3 4 I I 3 (I R R I ) (I I ) (I I ) TH 5 450W 0 4 400W 3 3 R R R (5 0) 4 00W (.5 0) 4 65W (.5 5) 4 5W Cálculo de la potencia en las fuentes, según el criterio de signos pasivo:.5a V 00V P 00V V (I ) 00.5 50 W fuente ACTIVA I I 7.5A V 0V P 0V V (I I ) 0 7.5 50 W fuente PASIVA V X I 3 0A P Vx V X I 3 30 0 300 W fuente PASIVA 50 Problemas de Teoría de Circuitos 36
Sólo hay una fuente que produce potencia, V, por tanto el total de potencia generada es 50W y la potencia consumida por R TH es 450W, y con estos dos valores se calcula el porcentaje pedido: %P suministrada a la carga 00 450 / 50 0% 50 Problemas de Teoría de Circuitos 37
Junio 004 PROBLEMA 3: Calculad el valor de la tensión V 0 en el circuito siguiente: k V k V g 000I X I X k k 5k V 0 SOLUCIÓN 3: Es posible simplificar el cálculo de V 0 en el circuito anterior, obteniendo el equivalente Thévenin del circuito a la derecha de las resistencias de k y 5k. Por tanto, a continuación se realiza el cálculo de dicho circuito equivalente: NOTA: Se utiliza el sistema de unidades :V, ma, kω, así que V g I X con I X en ma. V TH : Tensión de circuito abierto I X k I Y k V I X I X k V TH Por mallas: V V g g (I I X Y I X I X (I ) I X Y I Y ) I X 3mA V TH k I X 3 6V I N : Corriente en cortocircuito I X k k V I X k I N Al cortocircuitar los terminales, la corriente I X se anula, y por tanto la fuente V g también y el circuito anterior se reduce al siguiente: 50 Problemas de Teoría de Circuitos 38
La resistencia equivalente al conjunto de las k k I N V resistencias en paralelo de k y k es tanto: I N 8mA 3 k, por 3 y la resistencia Thévenin: V R TH 6 TH 0.33kΩ I 8 3 N Se sustituye el equivalente Thévenin en el circuito original y se halla V 0 fácilmente mediante un divisor de tensión: 6V 0.33k k 5k V 0 V 5 45 0 6 4.09V 5 3 THEVENIN 50 Problemas de Teoría de Circuitos 39
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TEMA : ANÁLISIS TRANSITORIO 50 Problemas de Teoría de Circuitos 4
50 Problemas de Teoría de Circuitos 4
Febrero 999 PROBLEMA 4: En el circuito de la figura se desconocen los valores de C y R. Se pide obtener razonadamente los mencionados valores a partir de la curva de comportamiento descrita en la figura. 3kΩ kω 7 6 ma kω R C Vc Vc (voltios) 5 4 3 0 8 6 4 3 40 48 tiempo (segundos) SOLUCIÓN 4: En primer lugar obtenemos el equivalente Norton del circuito sin el condensador ni la resistencia: 3kΩ kω ma kω 6mA kω Añadimos ahora, sobre el equivalente, resistencia y condensador: 6mA kω R C 6mA kω R V (t ) Para t el condensador se comporta como un circuito abierto; por tanto: V(t ) 6mA*(kΩ*R)/( kωr) 6V (valor en régimen permanente) 50 Problemas de Teoría de Circuitos 43
...de donde se puede despejar el valor de R: R kω Para obtener el valor de C calculamos primero el equivalente paralelo de las dos resistencias: 6mA kω C... y utilizamos la pendiente en el origen dibujada en el gráfico: En un circuito RC la constante de tiempo τ es igual al producto RC y se muestra en el gráfico como el instante en que la pendiente en el origen corta a la asíntota del valor final de la tensión. Por tanto: τ RC kω*c 8s; C 8mF 50 Problemas de Teoría de Circuitos 44
Junio 999 PROBLEMA 5: En el circuito de la figura el interruptor ha estado en la posición izquierda desde t hasta t 0, y en t 0 pasa bruscamente a la posición de la derecha. 3k k A V 6k 50μF 50k B Se pide: Obtener el valor de la tensión V AB para t>0 Cuál es la constante de tiempo del sistema para t>0? Cuál sería el valor de la resistencia extra a colocar entre A y B para que esa constante de tiempo se reduzca a la mitad? SOLUCIÓN 5: Obtener el valor de la tensión V AB para t>0 V 3k 6k k Vc(0) _ Condiciones iniciales: tensión del condensador en t0. Consideramos que el circuito se encuentra en régimen permanente y sustituimos el condensador por un circuito abierto: Aplicando divisor de tensión: Vc(0) V*6k(3k6k) 8V 50μF 50k Circuito para t>0: el interruptor pasa a la posición derecha. Las ecuaciones del circuito serán: Resistencia: I V/R Condensador: I C*dV/dt 50 Problemas de Teoría de Circuitos 45
Dando valores e igualando queda: 50*0 6 *dv/dt V/50*0 3 0 O, lo que es lo mismo: dv(t)/dt 0.4V(t) 0 Resolución de la ecuación: Planteamos una solución estándar: V K K *e t/τ dv/dt K /τ*e t/τ Y sustituimos en la ecuación de nuestro circuito: K /τ*e t/τ 0,4* K 0,4*K *e t/τ 0 Igualando términos libres se obtiene: K 0 Igualando términos en e t/τ se obtiene: K /τ 0,4*K 0; K /τ 0,4*K ; τ.5 Sólo resta obtener el valor de K haciendo cumplir las condiciones iniciales que conocemos: V(0) K K *e 0 K K 8V; K 8 Por tanto, la tensión pedida es V AB (t) 8*e 0.4t V Lo cual representa un típico proceso de descarga de un condensador: UAB (V) 9 8 7 6 5 4 3 0 t (s) Cuál es la constante de tiempo del sistema para t>0? Cuál sería el valor de la resistencia extra a colocar entre A y B para que esa constante de tiempo se reduzca a la mitad? La constante de tiempo de un circuito RC es: τ R*C 50kΩ*50μF.5s Si deseamos reducir a la mitad la constante de tiempo, deberemos reducir a la mitad el valor de la resistencia: Rnueva R/ Como vamos a colocar una resistencia en paralelo: Rnueva R//Rañadida R*Rañadida/(RRañadida) Igualando ambas expresiones se llega a la conclusión: Rañadida R 50kΩ 50 Problemas de Teoría de Circuitos 46
Septiembre 999 PROBLEMA 6: En el circuito de la figura la corriente que circula por la bobina en t 0 es de i L 0A. Determinar la expresión de la corriente i L y de la tensión v L, ambas para t>0. Representar gráficamente de forma aproximada estas funciones 5Ω 0A 5Ω 6mH v L i L _ SOLUCIÓN 6: Se plantean las ecuaciones del circuito por mallas: 0A 5Ω 5Ω I 6mH v L Malla : I 0A Malla : (I I )*5 I *5 6*0 3 *di /dt0 I i L _ 6*0 3 *di L /dt0*i L 50 Se propone la solución estándar para la ecuación diferencial: I L K K *e t/τ Sustituyendo: 6*0 3 *K /τ*e t/τ 0*K 0*K *e t/τ 0 Igualando términos: 0K 50 6*0 3 *K /τ0*k 0 K.5 τ /50 Aplicando las condiciones iniciales: I L (0) 0.5 K K 7.5 I L.57.5*e 50t A La tensión se obtiene a través de la ecuación de comportamiento de la bobina: V L L*dI L /dt V L 6*0 3 *(9375)*e 50t V L 50*e 50t V 50 Problemas de Teoría de Circuitos 47
0 9 8 intensidad (A) 7 6 5 I L.57.5*e 50t A 4 3 0 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 tiempo (sg) x0 3 0 50 tension (V) V L 50*e 50t V 00 50 0 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 tiempo (sg) x 0 3 50 Problemas de Teoría de Circuitos 48
Septiembre 999 PROBLEMA 7: Los circuitos, y 3 parten de las mismas condiciones iniciales. Indique a qué circuito corresponde cada una de las curvas de comportamiento representadas para V C y justifíquense las respuestas Step Response Step Response Step Response.5.5.5 Amplitude 0.5 Amplitude 0.5 Amplitude 0.5 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 5 0 5 0 Time (sec.) 0 5 0 5 0 Time (sec.) 0 5 0 5 0 Time (sec.) respuesta respuesta respuesta 3 R L C v C R L C v C 4R L C v C _ circuito A circuito B circuito C SOLUCIÓN 7: Planteamos la ecuación de V C para unos valores genéricos de R, L y C: VC dvc V dt C 0 R L C dt dvc d VC VC C 0 R dt L dt d VC dvc VC 0 dt RC dt LC Si expresamos la ecuación en el formato estándar: d dt V C ξω n dv dt C ω n V C 0 50 Problemas de Teoría de Circuitos 49
Podemos obtener el valor del coeficiente de amortiguamiento ξ en función de R,L,C: ωn LC ξωn RC L ξ R C Luego cuanto mayor sea R menor será el coeficiente de amortiguamiento. A la vista de las gráficas, puede verse como: Por tanto: ξ respuesta < ξ respuesta < ξ respuesta3 el circuito B corresponde a la respuesta 3 el circuito A corresponde a la respuesta el circuito C corresponde a la respuesta 50 Problemas de Teoría de Circuitos 50
Diciembre 999 PROBLEMA 8: En el circuito de la figura, el interruptor lleva mucho tiempo abierto y se cierra en el instante t 0. Se pide calcular el tiempo que tardará la tensión V AB en alcanzar 0V. 0Ω 0Ω A 5V 0,5H 5V 0Ω B SOLUCIÓN 8: Se calculará en primer lugar la expresión para la corriente que circula por la bobina i L (t): 0Ω 5V 0Ω i L (t0 ) A Condiciones iniciales: i L (t0 ) El interruptor está abierto y la bobina es un cortocircuito (régimen permanente) i L (t0 ) 30V/30Ω A 5V 0Ω B 5V 0Ω 0Ω i L (t) 0,5H A Circuito para t 0: El interruptor está cerrado di L (t) 0 i L (t) 0,5 5V dt i (0) A L Resolviendo para i L (t) se obtiene: 5V 0Ω B i L (t) 0,5 0,75 e 40t 50 Problemas de Teoría de Circuitos 5
El dato pedido es V AB : di L (t) v AB (t) 0 i L (t) 0,5 dt,5 7,5 e 40t 0,5 40t 40t ( 30 e ),5 7,5 e Buscamos el instante en que V AB se iguala a cero: 40t v AB (t),5 7,5 e 0 t 7.5ms 50 Problemas de Teoría de Circuitos 5
Febrero 000 PROBLEMA 9: En el circuito de la figura, el interruptor lleva mucho tiempo cerrado y se abre en el instante t 0. Se pide obtener la expresión de la intensidad i(t) para t > 0.,5kΩ kω mf 8V,5kΩ 0,5kΩ i(t) SOLUCIÓN 9: Resolvemos en primer lugar para la tensión en el condensador. a) Valor inicial: valor estabilizado antes de abrir el interruptor:,5kω 8V,5kΩ kω Vc(0) 0,5kΩ i(t) Por divisor de tensión:.5 V C (0) 8 4V.5.5 b) Valor en t : valor estabilizado una vez abierto el interruptor:,5kω kω Vc( ) 8V,5kΩ 0,5kΩ i(t) V C ( ) 0 c) Constante de tiempo: representamos el circuito para t>0 (interruptor abierto) y agrupamos resistencias: kω mf mf,5kω Vc(t) 0,5kΩ 5kΩ τ RC 5 0 3 0 3 0s i(t) i(t) 50 Problemas de Teoría de Circuitos 53
Con lo que la expresión para la tensión en el condensador queda: V (t) V ( ) C C τ 0,t ( V (0) V ( ) ) e 4 e C C La intensidad pedida se obtiene a partir de la tensión en el condensador: i(t) V C / (5 0 3 ) 0.8 e 0.t ma t 50 Problemas de Teoría de Circuitos 54
Junio 000 PROBLEMA 0: En el circuito de la figura, la tensión V C del condensador vale 4V en t 0: 6Ω R 7.5V 3Ω 7.5V 8Ω 0A 5mF V C Se pide: Si R Ω, calcular el tiempo que tardará la tensión V C en el condensador en alcanzar 4V Qué valor debería haber tenido R para que ese tiempo hubiera sido la mitad? SOLUCIÓN 0: Para facilitar los cálculos, se obtiene el equivalente Thévenin para todo el circuito salvo el condensador y la resistencia R (entre los terminales A y B): 6Ω A 7.5V 3Ω 8Ω 0A 7.5V B Dado que no existen fuentes dependientes, puede obtenerse el Thévenin a partir de la resistencia equivalente y de la tensión de circuito abierto: 6Ω resistencia equivalente A 6Ω tensión de circuito abierto A 3Ω 8Ω 7.5V 3Ω 8Ω 0A B 7.5V B R EQ 6Ω // 3Ω // 8Ω.6Ω Por nodos, V AB V 50 Problemas de Teoría de Circuitos 55
El equivalente y el circuito completo serán, por tanto:.6ω.6ω R V A V 5mF V C B Sobre el circuito de la derecha podemos obtener la expresión de V C (t): Valor inicial: V C (0) 4V Valor final: V C ( ) V Constante de tiempo: τ R EQ C (.6R) 5 0 3 V (t) V ( ) C C ( V ( ) V (0)) C C e t τ 6 e t (.6 R) 5 0 3 Si R Ω, el tiempo en alcanzar 4V se puede despejar de la expresión anterior: 4 6 e t 3.6 5 0 3 t.5ms t.5ms Para que ese tiempo se reduzca a la mitad, debe reducirse a la mitad la constante de tiempo: τ nueva τ (.6 R nueva ) 5 0 3 3.6 5 0 3 R nueva 0.Ω R nueva 0.Ω 50 Problemas de Teoría de Circuitos 56
Septiembre 000 PROBLEMA : En el circuito de la figura, el interruptor lleva mucho tiempo abierto y se cierra en el instante t 0. i L 48mH v L 6kΩ,4kΩ 5V 4kΩ 4V Se pide: expresión de la intensidad en la bobina i L (t) para t>0. Expresión de la tensión en la bobina v L (t) para t>0 Representar aproximadamente ambas funciones SOLUCIÓN : a) Obtención de las condiciones iniciales: se busca la intensidad en la bobina en t 0 La intensidad en la bobina en t 0 será igual a la intensidad en t0 ; en ese instante nos encontramos en régimen permanente y por tanto la bobina equivale a un cortocircuito: i L (0),4kΩ (0) i L 4 4000 400 0.65mA 4kΩ 4V b) Comportamiento para t > 0: se busca el equivalente Thévenin del circuito entre los extremos de la bobina, a los que llamamos A y B: 6kΩ A B,4kΩ Tensión de circuito abierto: V A 0V (divisor de tensión) V B 4V V AB 04 6V 5V 4kΩ 4V Resistencia equivalente: R EQ 4//6.4 4.8kΩ 50 Problemas de Teoría de Circuitos 57
Por tanto, el equivalente Thevenin y el circuito equivalente una vez colocada la bobina quedan: 4.8kΩ 4.8kΩ i L 48mH v L 6V 6V Sobre el circuito equivalente es fácil calcular i L y v L : i L (t) i L ( ) τ [ i (0) i ( ) ] e L L Donde los datos que nos hacen falta son: 6 L i L (0) 0.65mA; i L ( ).5mA; τ 0 4800 R Con lo que la expresión de la intensidad queda: i L t (t).5.875e 5 0 t ma Se nos pide también la expresión de la tensión en la bobina, que será: di (t) 5 5 L 3 3 5 0 t 0 t v L (t) L 48 0.875 0 0 e 9e V dt v L (t) 9e 5 0 t Una representación aproximada de ambas funciones sería la siguiente: V 5 i L (t) v L (t) t t Donde se aprecia que i L (t) no presenta saltos bruscos pero v L (t) si presenta una discontinuidad en t 0. 50 Problemas de Teoría de Circuitos 58
Diciembre 000 PROBLEMA : En el circuito de la figura, el interruptor ha permanecido cerrado durante mucho tiempo, y se abre en el instante t 0. Se pide dimensionar el condensador C de modo que la tensión v C (t) en el mismo tome valor cero en el instante t ms. kω t 0 4 kω 8mA 4 kω 3 kω C v C (t) _ 6V SOLUCIÓN : En primer lugar se obtiene la tensión en el condensador en el instante cero, suponiendo que éste se comporta en régimen permanente (antes de mover el interruptor) como un circuito abierto: kω 4 kω 8mA 4 kω 3 kω v C (0) _ 6V Del análisis del circuito anterior se obtiene v C (0) 4V. A continuación planteamos la ecuación diferencial del circuito para t>0 (una vez abierto el interruptor): 4 kω C v C (t) _ 6V Al tratarse de un circuito sencillo es inmediato obtener la ecuación diferencial: dv c (t) 6 v c (t) 3 3 dt 4 0 C 4 0 C La solución de esta ecuación con la condición inicial v C (0) 4V queda: v c (t) 6 0 e t 3 4 0 C 50 Problemas de Teoría de Circuitos 59
Se debe cumplir que v C ( 0 3 ) 0V: v ( 0 c 3 ) 6 0 e 3 0 3 4 0 C 0 C.5μF 50 Problemas de Teoría de Circuitos 60
Febrero 00 PROBLEMA 3: En el circuito representado, el interruptor ha permanecido abierto durante mucho tiempo. En el instante t 0 el interruptor se cierra y se observa la evolución de i(t). Se miden los siguientes valores: En el instante t ms se toma una primera medida, en la que i(t) vale 7mA. Una vez se ha estabilizado i(t) se toma otra medida, en la que i(t) vale 0mA. 00Ω 00Ω i(t) V 00Ω L Se pide determinar el valor de la fuente de tensión V y de la bobina L. SOLUCIÓN 3: Cálculo de condiciones iniciales para t 0 Si el interruptor ha estado abierto durante mucho tiempo, la intensidad en la bobina será cero. i (0) 0 Planteamiento de la ecuación diferencial para t>0 Se debe simplificar el circuito hasta la forma estándar de un circuito RL. Para ello se puede hacer el equivalente Thevenin de todo el circuito salvo la bobina (calculando V CA y R EQ ) o bien se pueden hacer transformaciones sucesivas de fuentes. En cualquier caso, el resultado al que se llega es el siguiente: 00Ω 00Ω 50Ω V 00Ω V/ El circuito RL sobre el que hay que trabajar es, pues: 50Ω i(t) V/ L 50 Problemas de Teoría de Circuitos 6
La expresión para i(t) en este circuito estándar es conocida: i(t) V R K e R t L V 500 K e 50 t L El valor de K se obtiene a partir de las condiciones iniciales: V V i(0) 0 K K 500 500 Con lo que la expresión para la intensidad queda: 50 V t L i (t) e 500 A partir de esta expresión obtenemos los valores de V y de L: i( ) 0mA i(0.0) 7mA V ( 500 5 500 0) e 0.0 50 L V 5V L.5H 50 Problemas de Teoría de Circuitos 6
Junio 00 PROBLEMA 4: En el circuito de la figura, el interruptor ha permanecido abierto durante mucho tiempo, y se cierra en el instante t 0. Se pide obtener la expresión de v AB (t) para t > 0. t0 A 4Ω 6Ω.6Ω 0V V 0mF B SOLUCIÓN 4: Se solucionará para la tensión en el condensador y a partir de ella se obtendrá el dato pedido. Buscamos la tensión en el condensador en t 0 y en t ; en ambos casos consideramos el condensador como un circuito abierto dado que estamos en régimen permanente: A A 4Ω.6Ω 4Ω.6Ω 6Ω 0V Vc (t0) _ B 0V V Vc (t ) _ B Se obtiene: V C (0) 0V V C ( ) 6.8V (mediante divisor de tensión, por ejemplo) 50 Problemas de Teoría de Circuitos 63
Falta por conocer la constante de tiempo, para ello se simplifica el circuito para t>0 hasta la forma estándar de un circuito RC. Mediante transformaciones de fuentes se llega a: 5Ω 6.8V 0mF Con lo que la constante de tiempo será: τ RC 0. seg La expresión de la tensión en el condensador quedará: 0t 0t VC (t) 6.8 (0 6.8)e V 6.8 3.e V Para hallar la tensión pedida primero obtenemos la intensidad en el condensador: dvc (t) 0t IC (t) 0.64e A dt La tensión pedida será la tensión en la resistencia más la tensión en el condensador: V AB (t) R I (t) V ( t) 6.8.54e C C 0t V 50 Problemas de Teoría de Circuitos 64
Septiembre 00 PROBLEMA 5: Obtener la expresión de la tensión v(t) del condensador en el circuito de la figura: Dato v(0) 0V. 4Ω 0V Ω 0V 6Ω v(t) Ω A 0mF SOLUCIÓN 5: Mediante sucesivas transformaciones de fuentes se obtiene el siguiente circuito equivalente: 6,4Ω V _ v(t) 0mF Obtendremos la expresión de v(t) a partir del valor inicial, el valor final y la constante de tiempo: Valor inicial: v(0) 0V Valor final: v( ) V Cte. de tiempo: τ RC 0,064seg v τ 5,65 t ( t) v( ) [ v( ) v( 0) ] e ( e )V t 50 Problemas de Teoría de Circuitos 65
Diciembre 00 PROBLEMA 6: En el circuito de la figura, el interruptor ha permanecido abierto durante mucho tiempo, y se cierra en el instante t 0. Con ayuda de un osciloscopio se registra la tensión V AB y se obtiene la gráfica que se muestra en la figura. Se pide obtener los valores de R y de C en el circuito. kω t 0 A V AB (V) 0mA 3kΩ R R C C V AB (t) _ B 0 0 0 6 t SOLUCIÓN 6: Simplificaremos el circuito paso a paso comenzando por una transformación de fuentes y los equivalentes serie y paralelo de los condensadores y las resistencias respectivamente: t 0 3 kω kω A 30V R/ C/ V AB (t) _ B A continuación se calcula el equivalente serie de las resistencias y se hace una nueva transformación de fuentes: t 0 A 6mA C/ 5 kω R/ V AB (t) _ Sobre este circuito ya es posible calcular los valores de R y C. En primer lugar vemos a partir de la curva del enunciado cómo el valor final de la tensión (régimen permanente) es de 0V; en régimen permanente el condensador será un circuito abierto: B 50 Problemas de Teoría de Circuitos 66
A 6mA 5kΩ R/ 0V _ Sobre este circuito se calcula el valor de R: R eq I R 3 5 0 R 5000R 3 5 0 R 0000 R eq 0V 6 0 3 5000R 0000 R 0 Una vez calculado R, se obtiene el valor de C teniendo en cuenta que, según la respuesta mostrada en el gráfico, la constante de tiempo es de 6ms: 3 τ 6 0 R eq C 5000R 0000 R C B C 3.6mF R 0kΩ 50 Problemas de Teoría de Circuitos 67
Febrero 00 PROBLEMA 7: En el circuito de la figura, el interruptor ha estado en la posición desde t hasta t 0 y en t 0 pasa bruscamente a la posición. obtened el valor de la tensión V AB (t) para t > 0. calculad el tiempo que tardará el condensador en alcanzar la tensión de V. cuál sería el valor de la resistencia extra a colocar entre A y B para que alcanzara esos V en la mitad de tiempo? k k A 4V k 50μF 50k B SOLUCIÓN 7: Valor de la tensión V AB (t) para t>0.? El circuito anterior es un circuito de primer orden. La tensión V AB (t) es la tensión en el condensador V C (t). Transitorio en t 0: t / τ VC (t) VCfinal (VCinicial VCfinal ) e ; τ R eq C Vamos a hallar los parámetros: V Cfinal, V Cinicial y R eq Circuito para t<0: V Cinicial k k 50μF 4V k V C 50 Problemas de Teoría de Circuitos 68
El condensador es un circuito abierto en DC, por tanto la V Cinicial será: V Cinicial 4 6V Circuito para t>0: 50μF 50k R eq 50kΩ V Cfinal 0V Sustituyendo en la ecuación del transitorio: t / τ 3 6 VC (t) 0 (6 0) e ; τ 50 0 50 0.5s V AB (t) V C (t) 6e 0.4t V Tiempo que tardará el condensador en alcanzar la tensión de V? Utilizando la expresión de la tensión en el condensador para t>0: V (t) 6 e C 6 e M t 0.79s 0.4t 0.4t V Cuál sería el valor de la resistencia extra a colocar a colocar entre A y B para que alcanzara esos V en la mitad de tiempo? 50μF t ' t / 0.79 / 0.395s 50K R 50 Problemas de Teoría de Circuitos 69
Vamos a hallar la nueva constante de tiempo: 6 e τ' 0.8 τ' 0.8 R R C eq τ' 0.359 eq 5000Ω 5kΩ Si Re q R 50 R // 50kΩ 5kΩ, entonces R 50 R50 kω 50 Problemas de Teoría de Circuitos 70
Junio 00 PROBLEMA 8: En el circuito de la figura, el interruptor ha estado abierto desde t hasta t 0 y en t 0 se cierra. obtened el valor de la tensión en el condensador C para t>0. calculad el tiempo que tardará el condensador en alcanzar la tensión de V. si duplicamos el valor de la resistencia R, cuál será ahora el valor final de tensión alcanzado por el condensador? Cuánto tiempo tardará en alcanzar la tensión de V? 3kΩ R 0 V V I V C (t) _ 0.5 I kω R C F SOLUCIÓN 8: valor de la tensión en el condensador C para t>0? El circuito anterior es un circuito de primer orden. Transitorio en t 0: t / τ VC (t) VCfinal (VCinicial VCfinal ) e ; τ R Vamos a hallar los parámetros: V Cfinal, V Cinicial y R eq : Circuito para t<0: eq C 3kΩ R 0 V V I 0 V C (t) _ 0.5 I kω R C F Inicialmente el interruptor está abierto y no circula corriente por R (I 0), por tanto la tensión es nula los terminales del condensador, V Cinicial 0. 50 Problemas de Teoría de Circuitos 7
Circuito para t>0: 3kΩ R V R 0 V V I V C (t) _ 0.5 I kω R C es un circuito abierto en DC 0V V Cfinal V C ( ) V R En la malla de la izquierda: I V V 3 V V 3 C R Y en la derecha: 0 V V V M V R R R R 0.5 I 0.5 I V V 0.5 3 5.5V V Cfinal V C ( ) V R.5V R Para calcular la R eq utilizamos el método test: anulamos la fuente independiente V del circuito anterior (la sustituimos por un cortocircuito), añadimos una fuente de tensión de V (fuente test) y hallamos el valor de la corriente test (I test ) V test R eq I test I test 0 V 3kΩ V R I V C (t) _ 0.5 I kω I x V R R V test V I test 0V Ahora V R V test V, I 0 VC ma. 3 3 50 Problemas de Teoría de Circuitos 7
Aplicamos la ley de nodos en el subcircuito de la izquierda: 0.5I I V 0.5 3 3 R eq X I test test V R 0 V R R eq test 3 kω 500Ω Sustituimos los valores de V Cfinal, V Cinicial y R eq en la expresión de la tensión en el condensador: V (t).5 (0 /500 (.5) ) e t ; τ R C 500 500 C eq V (t).5 ( e C eq t/500 test eq ) V tiempo que tardará el condensador en alcanzar la tensión de V? V (t).5 ( e C.5 ( e M t 766s t /500 t /500 si duplicamos el valor de la resistencia R, cuál será ahora el valor final de tensión alcanzado por el condensador? Cuánto tiempo tardará en alcanzar la tensión de V? Si R kω, la tensión final en el condensador cambiará: ) ) 3kΩ R V R 0 V V I V C (t) _ 0.5 I kω R C es un circuito abierto en DC 0V 50 Problemas de Teoría de Circuitos 73
En la malla de la izquierda: I V V 3 V V 3 C R Y en la derecha: 0 V V V M V R R R R I 0.5 I VR 0 3 0V V Cfinal V C ( ) V R 0V La R eq también tendrá otro valor: V test R eq I test I test 0 V 3kΩ V R I V C (t) _ 0.5 I kω I x V R R V test V I test 0V Como antes, I 0 VC ma. 3 3 Aplicamos la ley de nodos en el subcircuito de la izquierda: 0.5I I I V R V test 0 V 0.5 3 R 3 R eq R 6kΩ 6000Ω eq X test test eq test eq 50 Problemas de Teoría de Circuitos 74
Sustituimos los valores de V Cfinal, V Cinicial y R eq en la expresión de la tensión en el condensador: V (t) 0 (0 C V (t) 0 ( e C ( 0) t / 6000 ) e ) V t / 6000 ; τ R eq C 6000 6000 Con R kω, el condensador tardará en alcanzar la tensión de V un tiempo algo menor: V (t) 0 ( e C 0 ( e M t 63s t /500 t /500 ) ) 50 Problemas de Teoría de Circuitos 75
Septiembre 00 PROBLEMA 9: En el circuito siguiente, Calculad el valor de la tensión en los extremos de la resistencia R4 y la potencia que consume. Si se sustituye la resistencia R4 por una capacidad, hallad la tensión final que alcanzará este elemento. Cuál ha de ser el valor de la capacidad para que alcance en sus extremos una tensión de V en segundos? (Suponed que la capacidad se halla inicialmente descargada, V C (0) 0) V 0 V ma I R 3 5kΩ 5kΩ R 5kΩ R 0kΩ R 4 V O SOLUCIÓN 9: Calculad el valor de la tensión en los extremos de la resistencia R4 y la potencia que consume. SOLUCION A: Un posible solución consiste en resolver el circuito mediante el análisis de nodos: 5kΩ R i 5kΩ i i 4 R i 3 R 3 V X ma V Y V Z I V 0 V 5kΩ i 5 0kΩ R 4 V O Nodo Vx: 0 VX i i i 5 Nodo V Y : VY 0 VY VZ i4 i3 5 5 Nodo V Z : i i 3 i 5 i V Y V 5 Z VZ 0 0 Además se cumple: V Z V X 0 50 Problemas de Teoría de Circuitos 76
La tensión que se nos pide es Vo, denominada V Z en el sistema de ecuaciones anterior, que si resolvemos correctamente da como resultado V Z.5V. Por tanto: Vo.5V y la corriente por la resistencia valdrá 0.5 ma, por lo que la potencia consumida será: P V*I.5 * 0.5 0.65 mw. SOLUCIÓN B: También es posible hallar la tensión Vo utilizando el teorema de Thevenin. Vamos a calcular el equivalente Thevenin del circuito visto desde los terminales de la resistencia R 4 : V 0 V ma I R 3 5kΩ R 5kΩ R 5kΩ A B Cálculo de R th : Anulamos las fuentes independientes (sustituyendo la fuente de corriente por un circuito abierto y la fuente de tensión por un cortocircuito) y el circuito resistivo que queda es el siguiente: R 3 R th R // (R 3 R ) 5 // 0 3.3kΩ 5 0 5 0 0 3 5kΩ R 5kΩ R 5kΩ A B 50 Problemas de Teoría de Circuitos 77
Cálculo de V th : 5kΩ R i 5kΩ i i 4 R i 3 R 3 V X ma V Y V Z I V 0 V 5kΩ A B Nodo Vx: 0 VX i i i 5 Nodo V Y : VY 0 VY VZ i4 i3 5 5 VY VZ Nodo V Z : i i3 0 i 0 5 Además se cumple: V Z V X 0 Si resolvemos correctamente el sistema de ecuaciones anterior, se obtiene V Z 3.3V. Por tanto V th 3.3V. Conocido el equivalente completo se puede obtener el dato pedido: 3.3kΩ Con la resistencia de 0kΩ: 3.3V 0kΩ I 3.3V/3.3kΩ 0.5mA Vo I 0kΩ.5V P V*I.5 * 0.5 0.65 mw Si se sustituye la resistencia R4 por una capacidad, hallad la tensión final que alcanzará este elemento. Cuál ha de ser el valor de la capacidad para que alcance en sus extremos una tensión de V en segundos? (Suponed que la capacidad se halla inicialmente descargada, V C (0) 0) Utilizando el equivalente Thevenin calculado en el apartado anterior, vemos que la tensión final alcanzada por el condensador será la tensión de Thevenin de 3.3V. La expresión del transitorio de la tensión en el condensador será : V (t) V C (V V (t) 3.3 (0 3.3) e C Cfinal Cinicial V t Cfinal / 3333C ) e t / τ ; 3.3 ( e τ R eq t / 3333C C 3333C Si queremos que el condensador alcance una tensión de V en segundos, sustituimos estos valores en la expresión de la tensión en el condensador: ) / 3333C VC (t) 3.3 ( e ) C0.007F.7mF 50 Problemas de Teoría de Circuitos 78
Diciembre 00 PROBLEMA 30: En el circuito siguiente, C a l c u 6 V l a V R 3kΩ K t 0 V 4V R 3kΩ t 3s K i A d el valor de la tensión V 0 (t), sabiendo que el interruptor K se cierra en t 0 y el interruptor K se abre en t 3s. Dibujad la gráfica de la tensión V 0 (t). R 3 00μF V 0 (t) 6kΩ C R 4 kω _ V 3 000 i A SOLUCIÓN 30: Se trata de un circuito RC de primer orden. Intervalos de tiempo a estudiar: t < 0 K abierto y K cerrado 0 t < 3 K cerrado y K cerrado 3 t < K cerrado y K abierto er Transitorio º Transitorio er Transitorio: Cambio en t 0, interruptor K se cierra. Hallaremos primero la tensión V C en extremos del C, y luego obtendremos la tensión V 0 (t). VC (t) VCfinal (VCinicial VCfinal)e t/ τ τ ; τ R eq C 50 Problemas de Teoría de Circuitos 79
Circuito para t<0 (K abierto y K cerrado): 6 V V R 3kΩ V 4V R 3kΩ 6kΩ i A R 3 A B R 4 kω _ V 3 i A A partir de este circuito calculamos el valor de V Cinicial. Utilizaremos el sistema kω, ma y V. Por tanto, la fuente dependiente V 3, V 3 i A, si i A se expresa en ma. VCinicial VA VB 9 3 6V V V i A A B V 6 6 9V 6 3 3 3 3V (VB ( 4 6) i A A 9 6 3 ma (circuito es igual a V 3 divisor de ya que al ser tension) un abierto no circula corriente) Circuito para 0 t < 3 (K cerrado y K cerrado): 6 V V R 3kΩ V 4V R 3kΩ 6kΩ i A R 3 A B R 4 kω _ V 3 i A A partir de este circuito calculamos el valor de V Cfinal y R eq. Cálculo de V Cfinal : 6 3 VCfinal VA VB 6 V 0.66V 3 3 50 Problemas de Teoría de Circuitos 80
V V i A A B 4 i V 6 A A Cálculo de R eq : 6 6V 6 3 8 6 V 3 3 6 8 ma 6 3 (circuito 5.3V (V divisor B de es igual a V tension) 3 ya que al ser un abierto no circula corriente) Utilizamos el método test para hallar el valor de la R eq vista desde los terminales del condensador, por tanto anulamos las fuentes independientes y colocamos una fuente de tensión test de valor V en los terminales AB: R V V test A B 3kΩ kω I 6kΩ test R 3 _ i A i A R 4 V 3 V test R eq Itest I test Si nos fijamos en el circuito anterior, podemos agrupar las resistencias R y R3 para hallar así más fácilmente I test : kω V V test I test R 4 kω _ V 3 i A Aplicando mallas: i ) I ( ) ( A test Y el valor de i A, lo obtenemos aplicando la relación entre corrientes en un divisor de corriente: 3 ia Itest 3 6 I 3 test A partir de las dos ecuaciones anteriores, obtenemos el valor de I test y R eq. (ia ) Itest ( ) 3 0 I I ma R kω test test eq ia 0 3/0 3 3 y con este ultimo resultado calculamos la constante de tiempo: τ R 0 3 C 0 00 0 3 6 eq s 3 50 Problemas de Teoría de Circuitos 8