Ejercicio 75 Si a los lados de un cuadrado se les aumenta el 10% de su medida. en qué porcentaje se incrementa su área? Respuesta Si el lado del cuadrado es x Area= lado por lado El área del nuevo cuadrado seria A= lado x lado, donde el lado =. A continuación sacaremos el área por dos diferentes maneras: 1. 2. se factoriza x en la ecuación x + x(.10) -> Forma 1 3. -> lado = x(1.10) ; área=lado por lado = x(1.10) por x(1.10) = [ ]
área = [ ] 4. INCREMENTO Factorizando Por lo tanto el porcentaje de incremento es 0.21 Forma 2 1. área= lado por lado lado = [ ] 2. haciendo el binomio al cuadrado Binomio al cuadrado: el primer término al cuadrado mas (o menos) El doble producto del primer término por el segundo termino mas El segundo término al cuadrado [ ]
Factorizando [ ] [ ] [ ] [ ] 3. INCREMENTO Factorizando Por lo tanto el porcentaje de incremento es 0.21
Ejercicio 76 En una tlapalería el litro de pintura azul cuesta $96 y el de amarilla $72. Se requiere mezcla de pintura verde que cueste $78 el litro. qué cantidad de pintura azul deberá llevar cada litro de pintura verde? Respuesta Se puede ver que se tendrán dos incógnitas (letras o literales) ya que se tiene pintura amarilla y pintura azul, y se quiere crear pintura verde Por lo tanto la primera ecuación sería: Donde que significa que un porcentaje de la pintura amarilla mas un porcentaje de la pintura azul formará UN LITRO de la pintura verde PERO para que el sistema tenga SOLUCIÓN UNICA, se debe de tener el mismo número de incógnitas y de ecuaciones: No. de incógnitas No. de ecuaciones 1 1 2 2 3 3 Como la ecuación tiene dos incógnitas significa que hace falta encontrar otra ecuación. La segunda ecuación en este problema seria la ecuación de los costos: Entonces, el ejercicio nos da el siguiente sistema de ecuaciones:.(1)..(2)
Este sistema podemos resolverlo por cualquiera de los 3 métodos algebraicos: igualación, sustitución, y sumas y restas; ya que cualquiera de los 3 nos llevara al mismo resultado. Nota: EL OBJETIVO DE Los 3 métodos se utilizan para eliminar por el momento una de las 2 incógnitas y así resolverlas una por una Método de Sustitución El método se utiliza para eliminar por el momento una de las 2 incógnitas. Mediante la SUSTITUCION. Despejamos una incógnita( la que sea) en este ejemplo escogeremos b de la ecuación 1, ya que es la ecuación más sencilla y aparte el ejercicio pide encontrar = cantidad de pintura azul y al momento de sustituir a la letra b quedara solo una ecuación con letras -> Ahora escribimos la ecuación 2 -> Sustituyendo b por Resolviendo la ecuación Como enseñan en secundaria, de un lado pones las incógnitas del otro lado pones los números. Si está restando pasa sumando y si está sumando pasa restando. Como enseñan en secundaria, todo lo que está multiplicando pasa dividiendo, todo lo que está dividiendo pasa multiplicando. Método de Sumas y Restas El método se utiliza para eliminar por el momento una de las 2 incógnitas. Mediante la SUMA (o resta). Escogemos una incógnita (puede ser cualquiera) para eliminar. En este ejemplo escogeremos a b para eliminar, ya que la incógnita que el problema pide encontrar es cantidad de pintura azul. El sistema de ecuaciones es:.(1)..(2) Como vamos a eliminar a la letra b, para logarlo se necesita que en la ecuación 1 haya un Así que multiplicando lados de la ecuación 1.(1.1) El nuevo sistema de ecuaciones es:.(1.1)..(2) Haciendo las Sumas y Restas por ambos Como enseñan en secundaria, todo lo que está multiplicando pasa dividiendo, todo lo
Simplificando (dividiendo entre 6 ambas partes de la fracción) que está dividiendo pasa multiplicando. Por lo tanto la cantidad de pintura azul que piden es ¼. Nota: hasta aquí termina las indicaciones del problema: encontrar la cantidad de pintura azul Para encontrar b= cantidad de pintura amarilla, se escoge cualquiera de las 2 ecuaciones, en este ejemplo escogeremos la ecuación 1 porque es la más sencilla:.(1) Sustituyendo Simplificando (dividiendo entre 6 ambas partes de la fracción) Por lo tanto la cantidad de pintura azul que piden es ¼. Nota: hasta aquí termina las indicaciones del problema: encontrar la cantidad de pintura azul Para encontrar b= cantidad de pintura amarilla, se escoge cualquiera de las 2 ecuaciones, en este ejemplo escogeremos la ecuación 1 porque es la más sencilla:.(1) Sustituyendo Por lo tanto la cantidad de pintura amarilla es igual a 3/4 Por lo tanto la cantidad de pintura amarilla es igual a 3/4
Método de igualación El método se utiliza para eliminar por el momento una de las 2 incógnitas. Mediante la igualación. Escogemos una incógnita (puede ser cualquiera de ellas) para eliminar. En este ejemplo escogeremos a b como la incógnita a eliminar (eso significa que igualaremos las b s de las 2 ecuaciones), ya que la incógnita que el problema pide encontrar es cantidad de pintura azul. El sistema de ecuaciones es:.(1)..(2) Despejando las b s en ambas ecuaciones 1) 2) 1 Como enseñan en secundaria, todo lo que está multiplicando pasa dividiendo, todo lo que está dividiendo pasa multiplicando. 1 Como enseñan en secundaria, de un lado pones las incógnitas del otro lado pones los números. Si está restando pasa sumando y si está sumando pasa restando.
Como enseñan en secundaria, todo lo que está multiplicando pasa dividiendo, todo lo que está dividiendo pasa multiplicando. Simplificando (dividiendo entre 6 ambas partes de la fracción) Por lo tanto la cantidad de pintura azul que piden es ¼. Nota: hasta aquí termina las indicaciones del problema: encontrar la cantidad de pintura azul Para encontrar b= cantidad de pintura amarilla, se escoge cualquiera de las 2 ecuaciones, en este ejemplo escogeremos la ecuación 1 porque es la más sencilla: Sustituyendo.(1) Por lo tanto la cantidad de pintura amarilla es igual a 3/4 ACABAMOS DE COMPROBAR QUE LOS 3 METODOS LLEVAN AL MISMO RESULTADO:
Ejercicio 76 Jazmín ha juntado monedas de C10, C20, C50 durante un mes, si junto $32.50 y curiosamente por cada moneda de 50 centavos el doble de monedas de 20 centavos, y por cada moneda de 20 centavos el doble de monedas de 10 centavos. Cuántas MONEDAS, tenía en total? Respuesta Si ponemos x= número de monedas de 50 centavos Entonces Por cada moneda de 50 centavos EXISTE el doble de monedas de 20 centavos Por cada moneda de 20 centavos EXISTE el doble de monedas de 10 centavos La suma TOTAL de monedas es: (1) Pero falta saber el que cantidad de monedas de 50 centavos hay en total, es decir falta saber el valor de la letra (llamada en álgebra literal) x
1) (0.50)x ya que x representa la cantidad de monedas de 50 centavos 2) (0.20)2x ya que 2x representa la cantidad de monedas de 20 centavos 3) (0.10)4x ya que 4x representa la cantidad de monedas de 10 centavos Así que tendremos otra ecuación (llamada ecuación 2): Resolviendo la ecuación 2 Como enseñan en secundaria, todo lo que está multiplicando pasa dividiendo, todo lo que está dividiendo pasa multiplicando. Entonces Utilizando la ecuación 1 (1) Sustituyendo los valores Por lo tanto la CANTIDAD TOTAL de monedas que tiene Jazmín es 175
Ejercicio 79 Don Pepe tiene un tambo de aceite con una capacidad tal que cuando le falta el 30% de su volumen total, contiene 30L más que cuando solo está lleno al 30% de su capacidad. Cuál es la capacidad del tambo? Respuesta Pongamos a la x como la capacidad del tambo es decir x=capacidad del tambo 1) La frase: que cuando le falta el 30% de su volumen total Implica que nuestra ecuación 1 será:.(1) 2) La frase CUANDO le falta.contiene 30L MAS que CUANDO.. Significa que vamos a tener una igualdad: 3) La frase contiene 30L más que cuando solo está lleno al 30% de su capacidad
Entonces nuestra ecuación final ( la igualdad final) será: Como enseñan en secundaria, de un lado pones las incógnitas del otro lado pones los números. Si está restando pasa sumando y si está sumando pasa restando Factorizando x, ya que Como enseñan en secundaria, EN UNA IGUALDAD todo lo que está multiplicando pasa dividiendo, todo lo que está dividiendo pasa multiplicando. Entonces Otra forma de sacar el valor de x Como entonces el valor de x debe ser muy parecido a 0.75 solo que sin punto decimal
Ejercicio 82 La suma de 3 números impares consecutivos es 2011. Cuál es el menor? Respuesta En este tipo de problema SIEMPRE se divide la cantidad, entre el número de los números: Cantidad de números La cantidad se divide entre 2 2 3 3 4 4 5 5 Entonces como tenemos 3 números, vamos a dividir entre 3 la cantidad: 2011. Por otro lado los números impares son: Por lo que al 667 le vamos a restar un 2 y le vamos a sumar un 2 Por lo tanto los 3 números impares son: 665, 667 y 669 y estos suman Y el número menor de ellos es el: 665
GUIA SECCION DE MATEMATICAS ( EJERCICIOS DE ALGEBRA) Ejercicio 101 Un hombre de 50 años de edad, tiene 3 hijos, de manera que el hijo mayor tiene 3 años más que el segundo y este 4 años más que el menor. Si entre todos tienen la edad del padre, Qué edad tiene cada hermano? Respuesta Sea x= edad del menor sea y= edad del mediano Entonces la ecuación es: Como enseñan en secundaria, de un lado pones las incógnitas del otro lado pones los números. Si está restando pasa sumando y si está sumando pasa restando Como enseñan en secundaria, todo lo que está multiplicando pasa dividiendo, todo lo que está dividiendo pasa multiplicando.
Ejercicio 104 Don severo tiene $500 en 80 monedas de $5.00 y $10.00. Cuántas monedas de cada denominación tiene Don Severo? Respuesta Sea x= cantidad de monedad de $5 y= cantidad de monedas de $10 la ecuación seria:..(1) Pero para que haya SOLUCION UNICA se debe de tener el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, y como tenemos una ecuación y 2 incógnitas ( x,y), se debe buscar Cuál es la otra ecuación? La otra ecuación, es la ecuación de las denominaciones de la moneda ($5 Y $10). 1) 5x ya que x representa la cantidad de monedas de $5 2) 10y ya que y representa la cantidad de monedas de $10 Así que la ecuación 2 seria:.(2)
Entonces el sistema de ecuaciones seria:..(1).(2) El sistema se puede resolver por cualquiera de los 3 métodos: Igualación Sustitución Sumas y Restas Nota: el objetivo de los 3 métodos es desaparecer por el momento una de las incógnitas para poder resolver incógnita por incógnita En este ejemplo utilizaremos el método de sustitución De la ecuación 1 despejaremos y. Recuerda que se puede escoger cualquier incognita de cualquier ecuación...(1) Sustituimos en la ecuación 2.(2) Como enseñan en secundaria, de un lado pones las incógnitas del otro lado pones los números. Si está restando pasa sumando y si está sumando pasa restando Como enseñan en secundaria, todo lo que está multiplicando pasa dividiendo, todo lo que está dividiendo pasa multiplicando.
Para encontrar y= cantidad de monedas de $10, se escoge cualquiera de las 2 ecuaciones, en este ejemplo escogeremos la ecuación 1 porque es la más sencilla: Sustituyendo x=60..(1) Ejercicio 104 Un estudiante en su curso de álgebra tiene calificaciones en el examen de 64 y 78. En un tercer examen Qué calificación proporciona al estudiante un promedio de 80? Respuesta La ecuación seria:
Como enseñan en secundaria, todo lo que está multiplicando pasa dividiendo, todo lo que está dividiendo pasa multiplicando Como enseñan en secundaria, de un lado pones las incógnitas del otro lado pones los números. Si está restando pasa sumando y si está sumando pasa restando Por la tanto 98 proporciona un promedio de 80, si lo sumas a 64 y 78 Comprobación: