Problemario de la asignatura de Ecuaciones Diferenciales Alejandro Hernández Madrigal Maxvell Jiménez Escamilla Academia de Matemáticas y Física Unidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología, IPN. México 2009
Índice general. Ecuaciones de primer orden 3.. Clasificación y soluciones...................... 3.2. Método de separación de variables................. 3.3. Ecuaciones exactas.......................... 4.4. Ecuaciones lineales.......................... 4.5. Cambios de variable......................... 4.6. Aplicaciones.............................. 5 2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden 7 2.. Reducción de orden.......................... 7 2.2. Ecuación homogénea con coeficientes constantes.......... 7 2.3. Ecuación no homogénea con coeficientes constantes........ 8 2.3.. Método de coeficientes indeterminados........... 8 2.3.2. Método de variación de parámetros............. 8 3. Transformada de Laplace 9 3.. Transformada de Laplace...................... 9 3.2. Transformada inversa de Laplace.................. 9 3.3. Propiedades de la transformada de Laplace y su inversa..... 0 3.3.. Transformada de la derivada................ 0 3.3.2. Primer y segundo teoremas de traslación.......... 0 3.3.3. Transformada de t n f(t)................... 3.3.4. Transformada de la convolución de funciones....... 3.3.5. Transformada de la integral................. 3.3.6. Transformada de funciones periódicas........... 2 3.4. Solución de ecuaciones integrodiferenciales usando transformada de Laplace............................... 2 3.5. Movimiento armónico simple, amortiguado y forzado, circuito LRC 2 4. Series de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales 6 4.. Funciones ortogonales........................ 6 4.2. Series de Fourier........................... 6 4.3. Series de Fourier de cosenos y senos................ 7 4.4. Ecuaciones diferenciales parciales.................. 8
4.5. Ecuación unidimensional del calor................. 8 4.6. Ecuación de onda unidimensional.................. 9 4.7. Ecuación de Laplace en dos dimensiones.............. 9 2
Capítulo Ecuaciones de primer orden.. Clasificación y soluciones Clasifique las ecuaciones diferenciales. ( x) y 4xy + 5y = cos x 2. t 5 y (4) t 3 y + 6y = 0 3. (sin θ) y (cos θ) y = 2 Compruebe que la función o la relación indicada es una solución explícita o impícita de la ecuación diferencial. 2y + y = 0; y = e x/2 2. y 6y + 3y = 0; y = e 3x cos(2x) ( ) dx 3. dt = (X ) ( 2X) ; ln 2X X = t 4. 2xydx + ( x 2 y ) dy = 0; 2x 2 y + y 2 =.2. Método de separación de variables Resuelva la ecuación diferencial por medio de separación de variables. x dy dx = 4y y = cx4 2. y ln x dy dx = ( y+ x ) 2 3 x3 ln x 9 x3 = 2 y2 + 2y + ln y + c 3. csc ydx + sec 2 xdy = 0 4 cos y = 2x + sin(2x) + c 4. dp dt = P P 2 P = cet +ce t 5. dy dx = xy+3x y 3 xy 2x+4y 8 (y + 3) 5 e x = c (x + 4) 5 e y 3
.3. Ecuaciones exactas Ecuaciones Exactas Determine si la ecuación diferencial es exacta, en caso afirmativo resuélvala ( ). (y ln y e xy ) dx + y + x ln y dy = 0 ( ) 2. x 2 y 3 dx +9x 2 dy + x3 y 2 = 0 3. ( 4t 3 y 5t 2 y ) dt + ( t 4 + 3y 2 t ) dy = 0 4. (4y + 2t 5) dt + (6y + 4t ) dy = 0, y( ) = 2 Factores integrantes dependientes de una variable Resuelva la ecuación diferencial mediante la determinación de un factor integrante adecuado. 6xydx + ( 4y + 9x 2) dy = 0 3x 2 y 3 + y 4 = c 2. ( 0 6y + e 3x) dx 2dy = 0 2ye 3x + 0 3 e3x + x = c 3. xdx + ( x 2 y + 4y ) dy = 0, y(4) = 0 e y2 ( x 2 + 4 ) = 20.4. Ecuaciones lineales Encuentre la solución general de la la ecuación diferencial. x dy dx + 4y = x3 x y = 7 x3 5 x + cx 4 2. x 2 y + x (x + 2) y = e x y = 2 x 2 e x + cx 2 e x 3. ydx 4 ( x + y 6) dy = 0 x = 2y 6 + cy 4 4. cos x dy dx + (sin x) y = y = sin x + c cos x 5. (x + ) dy dx + (x + 2) y = 2xe x (x + ) e x y = x 2 + c.5. Cambios de variable Resuelve la ecuación diferencial usando una sustitución adecuada. dy dx = y x y+x ln ( x 2 + y 2) + 2 arctan y/x = c 2. ydx + ( x + xy ) dy 4x = y (ln y c) 2 3. ( x + ye y/x )dx xe y/x dy = 0, y() = 0 ln x = e y/x 4
Resuelve la ecuación de Bernoulli. dy dx = y ( xy 3 ) y 3 = x + 3 + ce3x 2. t 2 dy dt + y2 = ty e t/y = ct 3. x 2 dy dx 2xy = 3y4, y() = 2 y 3 = 9 5 x + 49 5 x 6.6. Aplicaciones. Crecimiento poblacional. La población de una comunidad se incrementa a una tasa proporcional al número de personas presente en el tiempo t. Si en cinco años se duplica una población inicial P 0, cúanto tarde en triplicarse? En cuadruplicarse? 2. La población de un pueblo crece a una tasa proporcional a la población presente en el tiempo t. La población inicial de 500 se incrementa 5 % en diez años. Cuál será la población en 30 años? Qué tan rápido está creciendo la población en t = 30? Decaimiento radioactivo. El isótopo radiactivo del plomo, Pb-209, decae a una rapidez proporcional a una cantidad presente en el tiempo t y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al inicio está presente un gramo de éste isótopo, cuánto tarda en decaer 90 % del plomo? 2. Al inicio había 00 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa había disminuido en 3 %. Si la rapidez de decaimiento es proporcional a la cantidad de sustancia presente en el tiempo t determine la vida media de la sustancia. Ley de enfriamiento de Newton. Una pequeña barra metálica, cuya temperatura inicial fue de 20 C, se sumerje en un gran recipiente de agua hirviente. Cuánto tarda la barra en alcanzar 90 C si se sabe que su temperatura aumenta 2 C en un segundo? Cuánto le toma a la brra llegar a 98 C? 2. Un termómetro que marca 70 F se coloca en horno precalentado a una temperatura constante. Por una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que depués de medio minuto el termómetro marca 0 F y luego de un minuto la lectura es de 45 F. Cuál es la temperatura del horno? 5
Mezcla de soluciones. Un depósito grande se llena al máximo con 500 galones de agua pura. Se bombea al depósito salmuera que contiene dos libras de sal por galón a razón de 5 gal/min. La solución bien mezclada se bombea a la misma rapidez. Calcule el número de A(t) de libras de sal en el depósito en el tiempo t. 2. Resuelva el problema bajo la suposición de que la solución se bombea hacia afuera del depósito a una rapidez de 0 gal/min. Cuándo se vacía el depósito? Ecuación logística. El número N(t) de supermercados del país que están usando sistemas de revisión computarizados se describe mediante el problema de valor inicial dn dt = N ( 0,0005N), N(0) =. Cuántas compañías se espera que adopten la nueva tecnología cuando t = 0? 2. Un modelo para la población P (t) en un suburbio de una gran ciudad es el problema de valor inicial dp dt = P ( 0 0 7 P ), P (0) = 5000. donde t se mide en meses. Cuál es el valor límite de la población? En qué momento la población es igual a un medio de este valor límite? Movimiento de un objeto en un medio resistivo. Una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa en caída sujeta a la resistencia del aire que es proporcional a la velocidad instantanes es m dv = mg kv, dt donde k > 0 es una constante de proporcionalidad a) Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial v(0) = v 0. b) Si la distancia s, medida desde el punto donde se liberó la masa desde el suelo, se relaciona con la velocidad v mediante ds/dt = v(t), encuentre una expresión explícita para s(t) si s(0) = 0. 6
Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden 2.. Reducción de orden Use reducción de orden para hallar una segunda solución y 2 (x). 9y 2y + 4y = 0; y = e 2x/3 y 2 = xe 2x/3 2. x 2 y 7xy + 6y = 0; y = x 4 y 2 = x 4 ln x 3. xy + y = 0; y = ln x y 2 = 4. x 2 y xy + 2y = 0; y = x sin (ln x) y 2 = x cos (ln x) 5. ( 2x x 2) y + 2 ( + x) y 2y = 0; y = x + y 2 = x 2 + x + 2 2.2. Ecuación homogénea con coeficientes constantes Determina la solución general de la ecuación de segundo orden. y + 4y + 5y = 0 y = e 2x (c cos x + c 2 sin x) 2. 3y + 2y + 2y = 0 y = e ( x/3 c cos 2x/3 + c 2 sin 2x/3 ) 3. y + 6y = 0, y(0) = 2, y (0) = 2 y = ( 2 cos 4x 2 sin 4x) 4. y + y + 2y = 0, y(0) = 0, y (0) = 0 y = 0 5. y 0y + 25y = 0, y(0) =, y() = 0 y = e 5x xe 5x 7
2.3. Ecuación no homogénea con coeficientes constantes 2.3.. Método de coeficientes indeterminados Resuelva la ecuación diferencial mediante el método de superposición. y 0y + 25y = 30x + 3 y = c e 5x + c 2 xe 5x + 6 5 x + 3 5 2. y +3y = 48x 2 e 3x y = c cos 3x+c 2 sin 3x+ ( 4x 2 + 4x 4 3) e 3x 3. y y + 4 y = 3 + ex/2 y = c e x/2 + c 2 xe x/2 + 2 + 2 x2 e x/2 4. y + y = 2x sin x y = c cos x + c 2 sin x 2 x2 cos x + 2 x sin x Resuelva la ecuación diferencial mediante el método del anulador. y + 4y + 4y = 2x + 6 y = c e 2x + c 2 xe 2x + 2 x + 2. y y 2y = e 4x y = c e 3x + c 2 e 4x + 7 xe4x 3. y + 25y = 6 sin x y = c cos 5x + c 2 sin 5x + 4 sin x 4. y y = x 2 e x + 5 y = c e x + c 2 e x + 6 x3 e x 4 x2 e x + 4 xex 5 2.3.2. Método de variación de parámetros Resuelva la ecuación diferencial por variación de parametros. y + y = sec x y = c cos x + c 2 sin x + x sin x + cos x ln cos x 2. y + y = cos 2 x y = c cos x + c 2 sin x + 2 6 cos 2x 3. y 4y = e2x x y = c e 2x +c 2 e 2x + 4 0 ( e 2x ln x e ) 2x x e 4t x 0 t dt, x 0 > 4. y + 3y + 2y = sin e x y = c e 2x + c 2 e x e 2x sin e x 5. y + 2y + y = e t ln t y = c e t + c 2 te t + 2 t2 e t ln t 3 4 t2 e t Ecuación de Cauchy-Euler Resuelva la ecuación diferencial. 3x 2 y +6xy +y = 0 y = x [ /2 c cos ( ) 6 3 ln x + c2 sin ( )] 6 3 ln x 2. xy 4y = x 4 y = c + c 2 x 5 + 5 x5 ln x 3. x 2 y xy + y = 2x y = c x + c 2 x ln x + x (ln x) 2 4. x 2 y + xy y = ln x y = c x + c 2 x ln x 5. x 2 y + 3xy = 0, y() = 0, y () = 4 y = 2 2x 2 8
Capítulo 3 Transformada de Laplace 3.. Transformada de Laplace Use la definición para encontrar la transformada de Laplace L {f (t)} { t, 0 t < 2. f(t) = 2, t 2 s 2 s e s 2 2. f(t) = { sin t, 0 t < π 0, t π 3. f(t) = te 4t (s 4) 2 +e πs s 2 + 4. f(t) = e t sin t s 2 +2s+2 Use tablas para encontrar la transformada de Laplace L {f (t)}. f(t) = t 2 + 6t 3 2 s 3 + 6 s 2 3 s 2. f(t) = ( + e 2t) 2 s + 2 s 2 + s 4 3. f(t) = e t sinh t 2(s 2) 2s 3.2. Transformada inversa de Laplace Use el álgebra apropiada y tabla de transformadas inversas básicas para determinar la transformada de Laplace inversa L {F (s)} de F (s) { }. L (s+) 3 s + 3t + 3 4 2 t2 + 6 t3 2. L { 3. L { 5 s 2 +49 s 2 +3s } } 5 7 sin 7t 3 3 e 3t 9
4. L { 5. L { s (s 2)(s 3)(s 6) (s 2 +)(s 2 +4) } } 2 e2t e 3t + 2 e6t 3 sin t 6 sin 2t 3.3. Propiedades de la transformada de Laplace y su inversa 3.3.. Transformada de la derivada Mediante la transformada de Laplace resuelva el problema de valores iniciales.. dy dt y =, y(0) = 0 y = + et 2. y + 6y = e 4t, y(0) = 2 y = 0 e4t + 9 0 e 6t 3. y + 5y + 4y = 0, y(0) =, y (0) = 0 y = 4 3 e t 3 e 4t 4. y + y = 2 sin 2t y(0) = 0, y (0) = 0 y = 0 cos t + 2 sin t 2 sin 2t 3.3.2. Primer y segundo teoremas de traslación Encuentre F (s) ó f(t) {. L t ( e t + e 2t) } 2 + 2 + (s 2) 2 (s 3) 2 (s 4) 2 2. L {( e t + 3e 4t) cos 5t } s 3. L { 4. L { } s s 2 +4s+5 } 2s s 2 (s+) 3 s 2 +25 e 2t cos t 2e 2t sin t 5 t 5e t 4te t 3 2 t2 e t s + 3 s+4 (s ) 2 +25 (s+4) 2 +25 Resuelve con transformada de Laplace las ecuaciones diferenciales. y 6y + 3y = 0, y(0) = 0, y (0) = 3 y = 3 2 e3t sin 2t 2. y y = e t cos t, y(0) = 0, y (0) = 0 y = 2 2 et cos t+ 2 et sin t Encuentre F (s) ó f(t). L {tu (t 2)} e 2s s 2 + 2 e 2s s s 2. L {cos 2tU (t π)} s 2 +4 e πs { } 3. L e πs sin tu (t π) 4. L { s 2 + e s s(s+) } U (t ) e (t ) U (t ) 0
Escriba cada ecuación en términos de funciones escalon unitarias y después obtenga su transformada de Laplace { 2 0 t < 3. f (t) = f(t) = 2 4U (t 3) ; L {f(t)} = 2 t 3 2 s 4 s e 3s 2. f (t) = { t 0 t < 2 0 t 2 f(t) = t tu (t 2) ; L {f(t)} = s 2 e 2s s 2 2 e 2s s Resolver el problema de valores iniciales usando transformada de Laplace { t 0 t <. y + 2y = f(t), y(0) = 0, donde f (t) = 0 t y = 4 + 2 t+ 4 e 2t 4 U (t ) 2 (t ) U (t )+ 4 e 2(t ) U (t ) 2. y + 4y = sin tu (t 2π), y(0) =, y (0) = 0 y = cos 2t 6 sin 2 (t 2π)U (t 2π) + 3 sin (t 2π)U (t 2π) 3.3.3. Transformada de t n f(t) Obtenga la transformada de Laplace. L { te 0t} (s+0) 2 2. L {t cos 2t} s 2 4 (s 2 +4) 2 3. L { t 2 sinh t } 6s 2 +2 (s 2 ) 3 4. L { te 2t sin 6t } 2s 24 [(s 2) 2 +36] 2 3.3.4. Transformada de la convolución de funciones Calcule la transformada de Laplace. L { t 3} 6 s 5 2. L {e t e t cos t} s (s+)[(s ) 2 +] { } t 3. L 0 τet τ dτ s 2 (s ) 3.3.5. Transformada de la integral Obtener la transformada de Laplace, no evalúe la integral antes de transformar { } t. L 0 eτ dτ { } t 2. L 0 e τ cos τdτ s(s ) s+ s[(s+) 2 +]
{ 3. L t } t 0 sin τdτ 3s 2 + s 2 (s 2 +) 2 Evaluar la transformada inversa { }. L e t 2. L { s(s ) s 3 (s ) } e t 2 t2 t 3.3.6. Transformada de funciones periódicas Determine la transformada de Laplace de cada una de las funciones perióricas {, 0 t < a. f (t) =, a t < 2a, y f(t + 2a) = f(t) e as s(+e as ) 2. f (t) = a b t, 0 t < b, y f(t + b) = f(t) a s ( bs e bs ) 3. f (t) = sin t, 0 t < π, y f(t + π) = f(t) coth(πs/2) s 2 + 3.4. Solución de ecuaciones integrodiferenciales usando transformada de Laplace Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación integral o la ecuación integrodiferencial. f (t) + t (t τ) f (τ) dτ = t f (t) = sin t 0 2. f (t) = te t + t 0 τf (t τ) dτ f (t) = 8 e t + 8 et + 3 4 tet + 4 t2 e t 3. f (t) + t f (τ) dτ = f (t) = e t 0 4. f (t) = + t 8 t 3 0 (τ t)3 f (τ) dτ f (t) = 3 8 e2t + 8 e 2t + 2 cos 2t + 4 sin 2t 5. y (t) = sin t t 0 y(τ)dτ, y(0) = 0 y (t) = sin t 2t sin 2t 3.5. Movimiento armónico simple, amortiguado y forzado, circuito LRC Movimiento libre no amortiguado. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 6 lb/pie. Cuál es el periodo del movimiento armónico simple?. 2π 8 2
2. Una masa que pesa 24 libras, unida al extremo de un resorte, alarga a éste 4 pulgadas. Al inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto 3 pulgadas arriba de la posición de equilibrio. Encuentre la ecuación de movimiento. x(t) = 4 cos 4 6t 3. Una masa que pesa 8 libras se une a un resorte. Cuando se pone en movimiento, el sistema resorte-masa exhibe movimiento armónico simple. Determine la ecuación de movimiento si la constante del resorte es lb/pie y la masa se libera inicialmente desde un punto 6 pulgadas abajo de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 3 2 pie/s exprese la ecuación de movimiento en la forma alternativa x(t) = A sin (ωt + φ) x(t) = 2 cos 2t + 3 4 sin 2t = 3 4 sin (2t + 0,5880) Movimiento libre amortiguado. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 2 lb/pie. El medio ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numéricamente igual a la velocidad instantánea. La masa se libera desde un punto situado pie arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 8 pies/s. Determine el tiempo en el que la masa pasa por la posición de equilibrio. En cuentre el tiempo en el que la masa alcanza su desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio. Cuál es la posición de la masa en este instante? 4 s; 2 s; x ( 2) = e 2 ; es decir, la pesa se encuentra aproximadamente 0.4 pie debajo de la posición de equilibrio. 2. Una masa de kilogramo se fija a un resorte cuya constante es 6 N/m y luego el sistema completo se sumerje en un líquido que imparte una fuerza amortiguadora igual a 0 veces la velocidad instantánea. Determine las ecuaciones de movimiento si: a) al inicio la masa se libera desde un punto situado metro abajo de la posición de equilibrio b) al inicio la masa se libera desde un punto situado metro abajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 2 m/s. a) x (t) = 4 3 e 2t 3 e 8t b) x (t) = 2 3 e 2t + 5 3 e 8t 3. Una fuerza de 2 libras alarga un resorte pie. Una masa que pesa 3.2 libras se une al resorte, y luego se sumerge el sistema en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 0.4 veces la velocidad instantanea. a) Encuentre la ecuación de movimiento si inicialmente se libera la masa desde el reposo en un punto situado a pie por encima de la posición de equilibrio. 3
b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma alternativa x(t) = Ae λt sin ( ω 2 λ 2 t + φ ). c) Calcule la primera vez en la cual la masa pasa a través de la posición de equilibrio en la dirrección hacia arriba. a) x (t) = e ( 2t cos 4t 2 sin 4t) b) x (t) = 5 2 e 2t sin (4t + 4,249) c) t =,294s Movimiento forzado. Una masa que pesa 6 libras alarga 8 3 pie un resorte. La masa se libera inicialmente desde el reposo desde un punto 2 pies abajo de la posición de equilibrio, y el movimiento posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 2 de la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si se aplica a la masa una fuerza externa igual a f(t) = 0 cos 3t. x (t) = e ( t/2 4 3 cos 47 2 t 64 3 sin 47 47 2 )+ t (cos 3t + sin 3t) 0 3 2. Una masa de slug, cuando se une a un resorte, causa en éste un alargamiento de 2 pies y luego llega al punto de reposo en la posición de equilibrio. Empezando en t = 0, una fuerza externa igual a f(t) = 8 sin 4t se aplica al sistema. Encuentre la ecuación de movimiento si el medio circundante ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 8 veces la velocidad instantánea. 4 e 4t + te 4t 4 cos 4t 3. Cuando una masa de 2 kilogramos se une a un resorte cuya constante es 32 N/m, éste llega al reposo en la posición de equilibrio. Comenzando en t = 0, una fuerza igual a f(t) = 68e 2t cos 4t se aplica al sistema. Determine la ecuación de movimiento en ausencia de amortiguamiento. x (t) = 2 cos 4t + 9 4 sin 4t + 2 e 2t cos 4t 2e 2t sin 4t Circuito en serie. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito en serie LRC en t = 0,0 s cuando L = 0,05 h, R = 2, C = 0,0 f, E(t) = 0 V, q(0) = 5 C e i(0) = 0 A. Determine la primera vez en que la carga del capacitor es igual a cero. 4,568 C; 0,0509 s 2. Encuentre la carga en el capacitor, la corriente en el circuito LRC y también determine al carga maxima en el capacitor, considere L = 5 3 h, R = 0, C = 30 f, E(t) = 300 V, q(0) = 0 C e i(0) = 0 A q(t) = 0 0e 3t (cos 3t + sin 3t) i(t) = 60e 3t sin 3t; 0,432 C 4
3. Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRC en serie cuando L = h, R = 2, C = 0,25 f, E(t) = 50 cos t V q p = 00 50 3 sin t + 3 cos t i p = 00 50 3 cos t 3 sin t 4. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito LRC en serie cuando L = 2 h, R = 0, C = 0,0 f, E(t) = 50 V, q(0) = C e i(0) = 0 A. Cuál es la carga en el capacitor después de un largo tiempo? q(t) = 2 e 0t (cos 0t + sin 0t) + 3 2 ; 3 2 C 5
Capítulo 4 Series de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales 4.. Funciones ortogonales Muestre que las funciones provistas son ortogonales en el intervalo indicado. f (x) = e x, f 2 (x) = xe x e x ; [0, 2] 2. f (x) = x, f 2 (x) = cos 2x; [ π/2, π/2] Muestre que el conjunto de funciones provisto es ortogonal en el intervalo indicado { }. sin nπ p x, n =, 2, 3,... ; [0, p] { } 2., cos nπ p x, n =, 2, 3,... ; [0, p] { } 3., cos nπ nπ p x, sin p x, n =, 2, 3,..., m =, 2, 3,... ; [ p, p] 4.2. Series de Fourier Determine la serie de Fourier de f en el intervalo provisto. { 0, π < x < 0. f (x) = x 2, 0 x < π { f (x) = π2 6 + 2 ( ) n n= n 2 cos nx + ( ) } ( ) n+ π + 2 n πn 3 [( )n ] sin nx 6
2. f (x) = x + π, π < x < π { 3. f (x) = f (x) = π + 2 0, π < x < 0 sin x, 0 x < π ( ) n+ sin nx n n= f (x) = π + 2 sin x + π 0, 2 < x < 2, x < 0 4. f (x) =, 0 x < 0, x < 2 f (x) = 4 + π 5. f (x) = e x, π < x < π n= f (x) = 2 sinh π π n=2 ( ) n + n 2 cos nx { n sin nπ 2 cos nπ 2 x + 3 ( cos nπ n 2 [ ] 2 + ( ) n (cos nx n sin nx) + n2 n= 4.3. Series de Fourier de cosenos y senos Determine si la función es par, impar o ninguna de las dos.. f(x) = sin 3x 2. f(x) = e x 3. f (x) = { x 2, < x < 0 x 2, 0 x < 4. f(x) = x 3, 0 x 2 Desarrolle la función en una serie apropiada de cosenos o senos {, π < x < 0. f (x) =, 0 x < π ) sin nπ 2 x } f (x) = 2 π ( ) n sin nx n n= 7
2. f(x) = x, π < x < π f (x) = π 2 + 2 π n= ( ) n n 2 cos nx 3. f(x) = π 2 x 2, π < x < π f (x) = 2π2 3 + 4 n= ( ) n+ cos nx n 2 { x, π < x < 0 4. f (x) = x +, 0 x < π f (x) = 2 π n= ( ) n ( + π) n sin nx 4.4. Ecuaciones diferenciales parciales Use separación de variables para hallar, si es posible, soluciones producto para la ecuación diferencial parcial dada.. u x = u y 2. u x + u y = u u = c e y+c2(x y) u = c e c2(x+y) donde c y c 2 son constantes. 3. x u x = y u y u = c (xy) c2 4. 2 u x 2 + 2 u x y + 2 u y 2 = 0 4.5. Ecuación unidimensional del calor Resuelva la ecuación de calor k 2 u x 2 = u, 0 < x < L, t > 0 sujeta a las t condiciones expresadas.. u (0, t) = 0, { u (L, t) = 0, 0 < x < L/2 u (x, 0) = 0, L/2 < x < L u (x, t) = 2 π n= cos nπ 2 + n e k n2 π 2 L 2 t sin nπ L x 8
2. u (0, t) = 0, u (L, t) = 0 u (x, 0) = x (L x) 3. u (0, t) = 0, { u (2, t) = 0 x, 0 < x < u (x, 0) = 0, < x < 2 4. Determine la temperatura u (x, t) en una varilla de longitud L si la temperatura inicial es f(x) y si los extremos x = 0 y x = L están aislados. [ ( u (x, t) = e ht L f (x) dx + 2 ) ] L f (x) cos nπ L L L xdx e k n2 π 2 L 2 t cos nπ L x 0 n= 4.6. Ecuación de onda unidimensional sujeta a las condiciones estable- Resuelva la ecuación de onda a 2 2 u x 2 = 2 u t 2 cidas.. u (0, t) = 0, u (L, t) = 0 u (x, 0) = u x (L x), 4 = 0 t t=0 u (x, t) = L2 π 3 2. u (0, t) = 0, u (L, t) = 0 u (x, 0) = 0, u = sin x t t=0 ( ) n n= n 3 0 cos nπa L t sin nπ L x u (x, t) = sin at sin x a 3. u (0, t) = 0, u (L, t) = 0 2hx u (x, 0) = L, 0 < x < L ( 2 2h x ) L,, L 2 x < L u = 0 t t=0 u (x, t) = 8h π 2 n= sin nπ 2 n 2 cos nπa L t sin nπ L x 4.7. Ecuación de Laplace en dos dimensiones Resuelve la ecuación de Laplace 2 u x 2 + 2 u = 0 para una placa rectangular y2 sujeta a las condiciones establecidas. 9
. u (0, y) = 0, u (a, y) = 0 u (x, 0) = 0, u (x, b) = f(x) u (x, y) = 2 a sinh nπ a b n= a 0 f(x) sin nπ a xdx sinh nπ a y sin nπ a x 2. u (0, y) = 0, u (a, y) = 0 u (x, 0) = f(x), u (x, b) = 0 u (x, y) = 2 a sinh nπ a b n= a 0 f(x) sin nπ a xdx sinh nπ a (b y) sin nπ a x 3. u (0, y) = 0, u (, y) = y u u = 0, = 0 y y=0 y y= u (x, y) = 2 x + 2 π 2 n= ( ) n n 2 sinh nπx cos nπy sinh nπ 4. u x x=0 = u (0, y) u (π, y) = u (x, 0) = 0, u (x, π) = 0 u (x, y) = 2 π ( ) n n cosh nx + sinh nx sin ny n n cosh nπ + sinh nπ n= 20