Mecánica I. Otoño de 2017

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1 Mecánica I. Otoño de 2017 Tarea 1. Introducción a la derivada. Desigualdades. Resuelva las siguientes igualdades y desigualdades ( a)( b) < < 7. ( 1)( + 1) < Funciones. Dominio y rango de una función. Denición de ite. Encuentre los ites indicados. Será necesario hacer primero un poco de manipulación algebraica Denición de derivada. Aplicando la denición de derivada f () 0 f(+ ) f() encuentre la derivada respecto de de las siguientes funciones; esto es, deduzca una fórmula para predecir pendientes de las rectas tangentes a cada una de las siguientes funciones en un punto arbitrario T (, f()). f() f() 2 2 f() 1 f() 3 1/2 + 2 f() 1/2 f() 3 2 Fórmulas de derivación. Aplicando las fórmulas de derivación, no utilize regla de la cadena, encuentre la derivada de f(): f() f() 1/4 + 2 f() f() ( 2 1) f() e 2 Rectas tangentes. Determinar la pendiente y la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos de tangencia dados. 1) y en el punto T(1,-1). 2) y en el punto T(4,66). 3) y 4 6 en el punto T(3,6). 4) y 1 cuando 1 y 1/2. 1

2 Derivada de funciones compuestas. Utilize la regla de la cadena para derivar las siguientes funciones: f() 3 ( ) 7 f() 4 2 f() ( + 4) 1/4 + (2 3/ ) 1/5 f() e 2 + e 1/ Diferencial de una función. Encontrar el diferencial de las siguientes funciones con base en la denición de diferencial dy f (): 1. y y y ( ) 4 Aplicaciones da la cinemática. Utilice sus conocimientos sobre derivadas para resolver los siguientes problemas de cinemática. La posición está dada en m, el tiempo en s, la velocidad en m/s y la aceleración en m/s Una partícula se mueve de modo que en el instante t la posición está dada por s(t) t 3 2t. ¾En que instante la velocidad es igual a cero? 2.- La posición de una partícula está dada por la ecuación s(t) t 3 +4t 2 1, determine la velocidad y la aceleración en el instante t Una locomotora parte de una estación y viaja en línea recta. Después de t horas, su desplazamiento en km, desde la estación, está dado por la ecuación (t) t 4 6t 3 + 9t 2. ¾Durante cuáles horas viajó de reversa? 4.- La posición de una pelota que rueda en una línea recta está dada por (t) 2 + 6,6t 1,1t 2. a) Determine la posición de la pelota en t 1,0, 2,0 y 3,0 s. b) ¾Cuál es la velocidad promedio sobre el intervalo t 1,0 s a t 3,0 s. c) ¾Cuál es la velocidad instantánea en t 2,0 s y en t 3,0 s? 5.- Un cubo se epande de manera que su lado está cambiando a razón de 5 m/s. Hallar la razón de cambio de su volumen y ¾cuál es esta razón de cambio del volumen cuando su arista mide 4 m de longitud? 6.- Una esfera está creciendo de modo que su radio aumenta a razón de 1 cm/s. ¾Con qué rapidez está cambiando su volumen cuando el radio es de 3 cm? 7.- La posición de una partícula que se mueve en el eje es una función del tiempo como lo indica la epresión v 0 k (1 e kt ) en la cual v 0 y k son constantes. a) Hacer una gráca de como función de t. Obsérvese que 0 para t 0 y que v 0 /k para t ; es decir, la distancia total recorrida por la partícula es v 0 /k. b) Demostrar que la velocidad v está dada por v v 0 e kt de manera que la velocidad disminuye eponencialmente con el tiempo a partir de su valor inicial v 0, llegando al reposo sólo después de un tiempo innito. c) Demostrar que la aceleración a está dada por la epresión a kv de manera que la aceleración tiene una dirección opuesta a la de la velocidad y su magnitud es proporcional a la rapidez. 2

3 d) Este movimiento particular es un ejemplo de movimiento con aceleración variable. Intente mediante razonamientos físicos aceptables eplicar como puede ocurrir que se requiera un tiempo innito para poner en reposo una partícula que recorre una distancia nita. Basado en el problemario del prof. Pedro Tolentino Recordatorio: no se les dará crédito por soluciones sin trabajo adjunto. Las respuestas deberán tener las unidades apropiadas. Recuerde que el que calica deberá poder entender lo que escribieron a n de poder asociar una calicación al trabajo, por lo que trabajos no comprensibles no recibirán crédito parcial incluso. Tarea 2: Introducción a la Integral. Integrales indenidas. Encuentre la antiderivada general F () + C para cada una de las siguientes funciones: 1. f() 7 2. f() f() 2 sen 4. f() sen cos 5. f() e + e Encuentre las siguientes integrales indenidas: ( + ) ( 3 + ) ( 2 ) ( 5e + 6 ) Encuentre las siguientes integrales indenidas utilizando el método de sustitución o cambio de variable: 1. (3 + 1) ( 2 4) (1 + 3 ) 4. (5 3 8) (2a + b)(a 2 + b + c) ( ) n 1 a + b n ( 2 + 1) 3 2 ( 4 1) 2 3a 2 2b a 3 b 2 3 e sin a cos sin Mediante el método de integración por partes encuentre las siguientes integrales inde- nidas. 1. e e (+1) cos 5. e cos Integrales denidas. Utilizando las sumas de Riemann calcular el área bajo la curva dada: 3

4 1.- f() 4 en el intervalo [0, 4] 2.- f() 3 en el intervalo [0, 3] 3.- f() en el intervalo [1, 5] 4.- f() 5 en el intervalo [6, 10] Calcular las siguientes integrales: π/2 0 sen(2 2 ) 1 0 (2 1) (2 + 1) (1+ 2 ) Encontrar el área bajo la curva entre los puntos señalados: 1) y entre 0 y 2. 2) y sen entre π y π. 3) y sec 2 entre 0 y π/4. 4) y ln entre 1 y e. Encontrar el área entre las curvas dadas: 1) y y y 2. 2) y sen, y cos, el eje y y el primer punto donde se intersectan estas curvas para > 0. 3) y 2 y y 3 en el intervalo [1, 2] 4) y sen, y cos, en el intervalo [0, π] Aplicaciones a la cinemática. Utilice sus conocimientos sobre derivadas e integrales para resolver los si-guientes problemas de cinemática. Si no se especica lo contrario, la posición está dada en m, el tiempo en s, la velocidad en m/s y la aceleración en m/s Si una partícula viaja con una aceleración dada por a(t) t 2 4t, determinar la velocidad en cualquier instante de tiempo y la posición en t 2 s, considerando que para t 0 la posición y la velocidad son cero. 2.- Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de acuerdo a la ley v(t) t 3 + 4t Si 4 cuando t 2, encontrar el valor de cuando t 3. Encontrar también su aceleración. 3.- Dibuje la gráca v(t) t, desde t 1 1,5 hasta t 2 3,5 Divida este intervalo de tiempo en 10 subintervalos, calcule v para cada uno, así como el desplazamiento total determinado por el área bajo la curva. 4.- Para un cuerpo en movimiento retilíneo cuya aceleración está dada por a(v) 32 4 v, encontrar v en función de t y en función de t, y en función de v. Las condiciones iniciales son 0 y v 4 cuando t Velocidad terminal. La resistencia del aire al movimiento de cuerpos en caída libre depende de muchos factores, tales como el tamaño del cuerpo y su forma, la densidad y la temperatura del aire, así como de la velocidad del cuerpo en el aire. Una suposición útil, aunque sólo aproimadamente correcta, es que la fuerza de resistencia f R que se opone al movimiento es proporcional a la velocidad y de dirección opuesta a ella; esto es, f R b v, siendo b una constante cuyo valor queda determinado, en cada caso particular, 4

5 por factores independientes de la velocidad. Considerando la caída libre en el aire de un objeto que parte del reposo: a) Demostrar a partir de la segunda ley de Newton que a(v) g kv, donde k b/m. b) Demostrar que la aceleración del cuerpo cesa cuando alcanza una velocidad v T mg/b, llamada velocidad terminal. c) Demostrar que la velocidad varía con el tiempo según la epresión v(t) v T (1 e kt/m ). d) Determinar una epresión para la posición del cuerpo como función del tiempo. e) Hacer las grácas cualitativas de y contra t, de v contra t y de a contra t para este movimiento, notando que la aceleración inicial es g y la nal es cero. Basado en el problemario del prof. Pedro Tolentino Recordatorio: no se les dará crédito por soluciones sin trabajo adjunto. Las respuestas deberán tener las unidades apropiadas. Recuerde que el que calica deberá poder entender lo que escribieron a n de poder asociar una calicación al trabajo, por lo que trabajos no comprensibles no recibirán crédito parcial incluso. 5