1. Calcule la derivada f (x) (a) f (x) = π cos(πx) (b) f (x) = 2x sin(1 + x 2 ) (c) f (x) = sec 2 (x + 9) (d) f (x) = csc 2 ( 1

Transcripción

1 1 1. Calcule la derivada f () (a) f () π cos(π) (b) f () 2 sin(1 + 2 ) (c) f () sec 2 ( + 9) (d) f () csc 2 ( 1 2) 2 (e) f () 7 sec(7) tan(7) (f) f () csc( 2 5) cot( 2 5) (2 5) (g) f () 4e 4 (h) f () 3 (i) f () e 3 (4 + 3e3 ) Halle las derivadas dy d para (a) y 2 cos(2) cos(3) 3 sin(2) sin(3) + 4 sec 2 (4) (b) y (sec() tan() + sec 2 ())(sec() tan()) + (sec() + tan())(sec() tan() sec 2 ()) (c) y sin( + sin( ))[1 + cos( )( )] (d) y 1 2 tan() (sec2 () + 2) (e) y 3 2 sin(π 2 /) + 3 [cos(π 2 /)]( π 2 / 2 ) (f) y (1 + 2 tan2 (2)) sec() tan() (sec )(2(2 tan(2) sec 2 (2)) 2) (1 + 2 tan 2 (2)) 2 (g) y (2) tan 2 + ( 2 + 1)2 tan() sec 2 () (h) y sin( cos ) + cos( cos )(1 + sin ) (i) y (8 + 5 tan )[cos2 (2) cos() sin()] cos 2 [5 sec 2 ] (8 + 5 tan ) 2 (j) y (2 + 8)2e 2 e 2 (2) ( 2 + 8) 2 (k) y e (1 + ) (l) y 6( 3 5) 5 (3 2 5) ln ln + ( 3 5) ln (m) y ln ( 1 1 ) (Usar ln ln 1 ln 1 + (n) y 1 cos + 2 cot sec() + 2 tan ; y sec() tan + 2 sec 2 (ñ) y ( ) ln( 2 + e 2 ) + ( ) 2 + 2e2 2 + e 2 (o) y ( 9(2)e 2 ) tan 2 ( 3 + 5π) + (1 9e 2 )2 tan( 3 + 5π) sec 2 ( 3 + 5π)(3 2 ) ( ) 5 (p) y 2 9 (2) ( 2 9) 2

2 2 ( (q) y ( 2) 1 ) 3 1 ( 7 7 ) (r) y sec(2 ) + sec(2 ) tan(2 ) 1 3. Halle las derivadas. Utilice algunas propiedades del logaritmo antes de derivar ( ) 1 (a) y ln ln ln( + 1); y 1/ 1/(2( + 1)) ( ) ( + 1) 5 (b) y ln 5 ln( + 1) 20 ln( + 2); y 5 ( + 2) ( ) e (c) y ln ln(1 + e ); y 1 e 1 + e 1 + e 4. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva y 4 + cot 2 csc en el punto (π/2, 2) y csc 2 () + 2 csc() cot, y (π/2) 1, Ecua.: y 2 1( π/2) Sección 3.7 Derivación implícita 1. Calcule dy d si (a) 2 y + 2 4; Derivada 2y + 2 y + 2 0; y 2 2y 2 (b) y sin(y) Derivada 2yy 2 + cos(y)(y + y ). Despejar y... (c) tan(y). Derivada 1 sec 2 (y)y ; y 1 sec 2 (y) (d) cos(2 + 3y) y sin(). Derivada cos(2 + 3y) sin(2 + 3y)(2 + 3y ) y sin + y cos(). Despejar y... (e) y Derivada 1 2yy ( + 1) ; 1 2 y 2y( + 1) 2 (f) ln(y) e y sin. Derivada y y ey y sin + e y cos. Despejar y... (g) 2 y y. Derivada y y 1 y ; y y 1 + y (h) e 2 sin( + 3y). Derivada 2e 2 cos( + 3y)(1 + 3y ); y 1 3 (i) ln y ln Derivada y y ln + 1; y y(ln + 1) (j) tan y e + ln. Derivada y sec 2 y e + 1 ; y 1 sec 2 y (e + 1/) ( 2e 2 cos( + 3y) 1 )

3 3 2. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la relación dada en el punto dado P (a) 3 + y 3 6y, punto P (3, 3). Deriv: y 2 y 6y + 6y ; Con 3, y 3 obtenemos y 1; Ecuac: y 3 ( 1)( 3) (b) 2 + y y 2 1, punto P (2, 3) Deriv. 2 + y + y 2yy 0 Con 2, y 3 obtenemos y 7/4. Ecuac: y 3 (7/4)( 2) (c) y 4 y 2 2, punto P ( 3/4, 3/2) Deriv. 4y 3 y 2yy 2. Con 3/4, y 3/2) obtenemos y 1. Ecuac. y 3/2 ( 3/4) (d) (y ) , punto P (6, 2) Deriv. 2(y )(y 1) 2. Con 6, y 2 obtenemos y 3/4 Ecuac. y 2 (3/4)( 6) (e) y 2 sin(π y), punto (1, 0) Deriv. y 2 cos(π y)(π y ). Con 1, y 0 obtenemos y 2 cos(π)(π y ) 2(π y ), y 2π. Ecuac. y 2π( 1) Sección 3.8 Tasas relacionadas 3. Ejercicios del libro, (a) página 160: 11. Lado del cubo:, área A 6 2, volumen V 3. Dado 5 Calcular (a) A cuando 3. A 6(2 ), A 12(3)(5). (b) Calcular V cuando 3. V 3 2, V 3(3 2 )5 (b) página 160: 12. Lado del cubo. Volumen V 3, Area A 6 2. Calcular V cuando A 72 y 3. V 3 2, A 6(2) despejar A /(12) luego V 3 2 ( A 12 ) (1/4)A y V (1/4)(3)(72) (c) página 161: 14.V (1/3)πr 2 h. (a) dv/dt (1/3)πr 2 (dh/dt) (b) dv/dt (1/3)πh(2r)(dr/dt) (c) dv/dt (1/3)π(2r)(dr/dt)h + (1/3)πr 2 (dh/dt) (d) página 161: 15. V IR. (V dv/dt, I di/dt, R dr/dt. (a) V 1, (b) I 1/3, (c) V I R + IR, luego R (V I R)/I (d) V 12, I 2, R V/I 6, V 1, I 1/3, R (1 ( 1/3)6)/2 (e) página 161: 20 A πr 2. r 0,01, Cuando r 50, A 2πrr 2π(50)(0,01) (f) página 161: 22 V yz, (a) V yz + y z + yz 1, y 2, z 1; (b) A 2y +2z +2yz A 2 y +2y +2 z +2z +2yz +2y z, (c) s 2 + y 2 + z 2, s + yy + zz 2 + y 2 + z 2 (g) página 161: 23 Una parte se hizo en la clase (h) página 161: 25 Se hizo en la clase

4 4 (i) página 162: 33. y altura del globo, distancia del ciclista al punto O, y 1, 17. Posición inicial y 65, 0. Después de 3 segundos la posición del globo y 65 + (1)(3) 68, y la de ciclista es (3) 51. Distancia s(t) y 2 + 2, s (t) yy y 2, Distacia cuando t 3 es s(3) , s (3) 68(1) + 51(17) (j) página 178: 107 (Areaπ(radio) 2 ).datos r 2/π, r 10. A 2πrr 2π(10)( 2/π)... (k) página 178: 108 V volumen, L lado. V L 3. Datos V 1200, L 20. V 3L 2 L, (20) 2 L, despejar L (l) página 178: R 1 R R 2. Datos R 1 1, R 2 0,5, R 1 75, R Primero 1 R R 1 + R 2, R R 1R 2 R (R 1 + R 2 )(R 1R 2 + R 1 R 2) (R 1 R 2 )(R 1 + R 2) R 1 R 2 R 1 + R 2 (R 1 + R 2 ) 2 Reemplazar los datos. 4. El volumen V de un cubo está creciendo a razón de 1200 cm 2 por minuto en el instante donde su lado L mide 20 cm. El volumen V, el área S y el lado L del cubo están relacionados por V L 3, S 6L 2. (i) la tasa de cambio del lado en ese instante. V 3L 2 L, (20) 2 L, despejar L (ii) la tasa de cambio del área en ese instante A 6(2L)L, A 6(2(20)L )L del ejercicio anterior) (iii) la tasa de cambio del volumen del cubo con respecto al área en ese instante dv/da?. L 2 A/6, L (A/6) 1/2, V ((A/6) 1/2 ) 3 A 3/2 /6 3/2 dv/da (3/2)A 1/2 /6 3/2 5. Los lados de un rectángulo crecen a distinta velocidad. Cuál es la tasa de cambio del área del rectángulo en el instante en que un lado mide 10cm y crece a razón de 3 cm/seg, y el otro lado mide 12cm y crece a razón de 5 cm/seg? Lados,, y. Area A y, Datos 10, 3, y 12, y 5. A y + y. A 10(5) + 3(12) 6. Dos botes se alejan de un mismo puerto. El bote A va hacia el norte con una velocidad de 1 mph mientras el bote va hacia el este con una velocidad de 17 mph. En un momento dado, el bote Aestá a 8 millas del puerto y el bote B está a 6 millas del puerto. y distancia de A al puerto, distancia de B al puerto. s Distancia entre los botes, s 2 + y 2. s + yy 2 + y 2 Reemplazarv 6, 17, y 8, y 1 Cuál es la tasa de cambio de la distancia entre los botes en ese momento? Sección 4.1 Valores etremos 7. Determine el valor máimo y el valor mínimo absoluto de f en I

5 5 (a) f() en I [ 1, 4] f () , Puntos cr ticos 0, 2. (f(0) 0, f(2) 8, f( 1) 8, f(4) 32. Ma abs: 8 (En 1 y 2, Min abs 32 (b) f() en I [ 1, 2]. f () , f () 0 en 3, 1, 0. (3 no está en I) f(1) 5, f(0) 0, f( 1) 37, f(2) 8. Ma abs 37, Min abs -8. (c) f() en I [ 2, 4]. f () , f () no es cero. f( 2) 20, f(4) 58. Ma abs 58, Min abs -20 (d) f() 3 en I [ 1, 8] f () (1/3) 2/3 Puntos críticos 0. f(0) 0, f( 1) 1, f(8) 2. Ma abs 2, Min abs Determine los puntos críticos de (a) f() Pto critico 3 (b) f() 2 32 Pto critico: f () 2 32/(2 ) 0, 8 0, 2 (c) f() 2 2 Pto critico: f () ( 2 4)/( 2) 2 0, 0, 4 (d) f() Pto critico: f () (4 2 ) 0, 0, 2, 2 (e) f() 3 ( 5) 2 Pto critico f () 3 2 ( 5) ( 5) 2 ( 5)(3( 5) + 2) 2 ( 5)(5 15), 0, 5, 3 Sección 4.2 Teorema del valor medio 9. Determine el valor o los valor c que satisfacen la conclusión del teorema del valor medio para f en el intervalo I. (a) f() en I [0, 1]. f () 2 + 2, (2 ( 1))/(1 0) 3, c 1/2 (b) f() en I [ 2, 4]. f () (58 ( 20))/(4 ( 2)) 13, 2 4, c 2 (no c 2 pues c ( 2, 4) (c) f() + 75 en I + [3, 25]. f () 1 75/ 2, f(3) 28, f(25) 28, f () 1 75/ 2 0, 2 75, c (no c 75 pues c (3, 25)) (d) f() 3 2 en I [ 1, 2]. f () 3 2 2, f(2) 4, f( 1) 2, f () (4 ( 2))/(2 ( 1)) 2, , (2 ± 28)/6 (1 ± 7)/3 c (1 7)/3 c (1 + 7)/3 10. Determine la posición s(t) de una partícula dada su velocidad v(t) y su posición inicial s(0). (a) v(t) 32t 2, s(0) 4. s(t) 32(t 2 /2) 2t + C, 4 s(0) C, s(t) 16t 2 2t + 4 (b) v(t) sen(πt), s(0) 0. s(t) ( 1/π) cos(πt) + C, 0 s(0) + ( 1/π) + C, s(t) ( 1/π) cos(πt) + 1/π (c) v(t) 9.8t+5, s(0) 10. s(t) 9.8t 2 /2+5t+C, 10 s(0) C, s(t) 4.9t 2 +5t+10