EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA: 1º/ Una biblioteca desea estimar el porcentaje de libros infantiles que posee. La biblioteca está compuesta de 4 salas (orte, Sur, Este y Oeste) con 2500, 2740, 4000 y 6900 libros, respectivamente. Se selecciona mediante muestreo estratificado aleatorio una muestra del 5% de libros con afijación proporcional. a) Cuántos libros, de cada una de las salas hay en la muestra? b) Si en la muestra de la sala Sur hay 30 libros infantiles, Cuál es la estimación de la proporción de libros infantiles en dicha sala? c) Para un nivel de confianza del 90%, obtener el error máximo cometido con la estimación puntual 2º/ En una ciudad se está realizando un estudio para comprobar si los alumnos matriculados en secundaria utilizan Internet para el estudio. En la ciudad hay 900 alumnos matriculados eº de ESO, 1360 en 2º de ESO, 1280 en 3º de ESO y 940 en 4º de ESO. Se selecciona mediante muestreo estratificado aleatorio una muestra de 672 alumnos con afijación proporcional. a) Cuántos alumnos de cada uno de los cursos hay en la muestra? b) Si en 4º de ESO contestan afirmativamente 120 alumnos, Cuál es la estimación de la proporción de alumnos que utiliza Internet en ese curso? c) Para un nivel de confianza del 95%, obtener el error máximo cometido con la estimación puntual 3º/ En una encuesta realizada en una población, se ha obtenido que 3700 de 4000 jóvenes encuestados tienen reproductor en formato MP3. Determinar: a) La estimación puntual que podríamos dar para el porcentaje de jóvenes que poseen reproductor de música en formato MP3. b) El error máximo que cometeríamos con dicha estimación, con una confianza del 90%. 4º/ Se ha comprobado en repetidos estudios que el número de pulsaciones en reposo de ciertos deportivos sigue una distribución normal. En una muestra de 50 de esos deportistas, se obtiene una media de 47 pulsaciones por minuto y una cuasi-desviación típica de 7 pulsaciones por minuto. Se puede rechazar a un nivel de significación de 0,01 que el número medio de pulsaciones es de 45? 5º/ Se ha comprobado que el peso (en kilogramos) de los nacidos en cierta población se distribuye según un modelo normal de probabilidad. A partir de una muestra aleatoria de 64 recién nacidos de esa población se ha determinado un peso media de 3,1 kilogramos y una varianza de 0,81 kilogramos 2. Podríamos rechazar la hipótesis con un nivel de significación del 1%, de que el peso medio de un recién nacido en esa población es de 3 kilogramos? 6º/ En una población de de 2000 conductores se seleccionó una muestra aleatoria de 200. A los conductores seleccionados se les preguntó si llevaban cadenas para utilizar en el caso de que hubiese nieve en las carreteras. A partir de la información se obtuvo el siguiente intervalo de confianza al 95% para la proporción de conductores de esa población que llevaban cadenas para la nieve: (0.172, 0.228). Determinar: a) La estimación puntual que daríamos para la proporción de conductores de esa población que llevan en sus vehículos cadenas para la nieve. b) El error máximo que estaríamos cometiendo, con una confianza del 95%, con dicha estimación puntual.
7º/ En una ciudad en la que viven 5000 familias, se desea estimar el gasto medio semanal por familia en alimentación. Para ello se selecciona una muestra aleatoria de 200 familias a las que se les pregunta por su gasto semanal en alimentación. A partir de la información recogida se obtiene un gasto medio semanal de 85 euros, siendo la cuasivarianza de 81 euros 2. Determina: a) El error que cometeríamos, con una confianza del 99%, si estimamos en 85 euros el gasto medio semanal en alimentación de las familias de esa ciudad. b) El número de familias que tendríamos que seleccionar para conseguir, con una confianza del 99%, un error máximo inferior a 0,5 euros en la estimación del gasto medio semanal en alimentación para las familias de esa ciudad. SOLUCIOES: 1º/ Una biblioteca desea estimar el porcentaje de libros infantiles que posee. La biblioteca está compuesta de 4 salas (orte, Sur, Este y Oeste) con 2500, 2740, 4000 y 6900 libros, respectivamente. Se selecciona mediante muestreo estratificado aleatorio una muestra del 5% de libros con afijación proporcional. a) Cuántos libros, de cada una de las salas hay en la muestra? b) Si en la muestra de la sala Sur hay 30 libros infantiles, Cuál es la estimación de la proporción de libros infantiles en dicha sala? c) Para un nivel de confianza del 90%, obtener el error máximo cometido con la estimación puntual a) Población: Muestra: 1 =2500 2 =2740 n 2 3 =4000 n 3 4 =6900 n 4 =16140 n=5 % de 16140=807 2500 = n 2 2740 = n 3 4000 = n 4 6900 = 807 16140 =125 libros de la sala orte n 2 =137 libros de la sala Sur n 3 =200 libros de la sala Este n 4 =320 libros de la sala Oeste b) p n = 80 137 0,21 c) ivel de confianza del 90% 1-α= 0,9 α=0,1 t α =1,645 ERROR= t α p n 1 p n =1,645 0,21 0,79 0,057 137
2º/ En una ciudad se está realizando un estudio para comprobar si los alumnos matriculados en secundaria utilizan Internet para el estudio. En la ciudad hay 900 alumnos matriculados eº de ESO, 1360 en 2º de ESO, 1280 en 3º de ESO y 940 en 4º de ESO. Se selecciona mediante muestreo estratificado aleatorio una muestra de 672 alumnos con afijación proporcional. a) Cuántos alumnos de cada uno de los cursos hay en la muestra? b) Si en 4º de ESO contestan afirmativamente 120 alumnos, Cuál es la estimación de la proporción de alumnos que utiliza Internet en ese curso? c) Para un nivel de confianza del 95%, obtener el error máximo cometido con la estimación puntual a) Población: Muestra: 1 =900 2 =1360 n 2 3 =1280 n 3 4 =940 n 4 =4480 n=672 900 = n 2 1360 = n 3 1280 = n 4 940 = 672 4480 =135 alumnos de 1º de ESO n 2 =204 alumnos de 2º de ESO n 3 =192 alumnos de 3º de ESO n 4 =141 alumnos de 4º de ESO b) p n = 120 141 0,85 c) ivel de confianza del 95% 1-α= 0,95 α=0,05 t α =1,960 ERROR= t α p n 1 p n =1,960 0,85 0,15 0,059 141
3º/ En una encuesta realizada en una población, se ha obtenido que 3700 de 4000 jóvenes encuestados tienen reproductor en formato MP3. Determinar: a) La estimación puntual que podríamos dar para el porcentaje de jóvenes que poseen reproductor de música en formato MP3. b) El error máximo que cometeríamos con dicha estimación, con una confianza del 90%. a) p n = 3700 4000 =0,925 b) ivel de confianza del 90% 1-α= 0,9 α=0,1 t α =1,645 ERROR= t α p n 1 p n =1,645 0,925 0,075 0,0068 4000 4º/ Se ha comprobado en repetidos estudios que el número de pulsaciones en reposo de ciertos deportivos sigue una distribución normal. En una muestra de 50 de esos deportistas, se obtiene una media de 47 pulsaciones por minuto y una cuasi-desviación típica de 7 pulsaciones por minuto. Se puede rechazar a un nivel de significación de 0,01 que el número medio de pulsaciones es de 45? Hipótesis ula Hipótesis Alternativa H 0 : μ=45 pulsaciones por minuto. H 1 : μ 45 pulsaciones por minuto. = x n μ 0 = 47 45 2,020 s n 7 n 50 ivel de significación α=0,01 t α V α =t α =0,020 V α Rechazamos la hipótesis alternativa H 1 con el nivel de significación α=0,01, es decir, rechazamos que la media no sea de 45 pulsaciones por minuto con este nivel de significación.
5º/ Se ha comprobado que el peso (en kilogramos) de los nacidos en cierta población se distribuye según un modelo normal de probabilidad. A partir de una muestra aleatoria de 64 recién nacidos de esa población se ha determinado un peso media de 3,1 kilogramos y una varianza de 0,81 kilogramos 2. Podríamos rechazar la hipótesis con un nivel de significación del 1%, de que el peso medio de un recién nacido en esa población es de 3 kilogramos? Hipótesis ula Hipótesis Alternativa H 0 : μ=3 kg. H 1 : μ 3 kg. = x n μ 0 = 3,1 3 0,888 s n 0,9 n 64 ivel de significacióndel 1% α=0,01 t α V α =t α =0,888 V α Rechazamos la hipótesis alternativa H 1 con el nivel de significación del 1%, es decir, rechazamos que la media no sea de 3 kg con este nivel de significación. 6º/ En una población de de 2000 conductores se seleccionó una muestra aleatoria de 200. A los conductores seleccionados se les preguntó si llevaban cadenas para utilizar en el caso de que hubiese nieve en las carreteras. A partir de la información se obtuvo el siguiente intervalo de confianza al 95% para la proporción de conductores de esa población que llevaban cadenas para la nieve: (0.172, 0.228). Determinar: a) La estimación puntual que daríamos para la proporción de conductores de esa población que llevan en sus vehículos cadenas para la nieve. b) El error máximo que estaríamos cometiendo, con una confianza del 95%, con dicha estimación puntual. a) p n = 0,172 0,228 =0,2 2 b) ivel de confianza del 95% 1-α= 0,95 α=0,05 t α =1,960 ERROR= t α p n 1 p n 0,2 0,8 =1,960 200 0,055
7º/ En una ciudad en la que viven 5000 familias, se desea estimar el gasto medio semanal por familia en alimentación. Para ello se selecciona una muestra aleatoria de 200 familias a las que se les pregunta por su gasto semanal en alimentación. A partir de la información recogida se obtiene un gasto medio semanal de 85 euros, siendo la cuasivarianza de 81 euros 2. Determina: a) El error que cometeríamos, con una confianza del 99%, si estimamos en 85 euros el gasto medio semanal en alimentación de las familias de esa ciudad. b) El número de familias que tendríamos que seleccionar para conseguir, con una confianza del 99%, un error máximo inferior a 0,5 euros en la estimación del gasto medio semanal en alimentación para las familias de esa ciudad. a) ivel de confianza del 99% 1-α= 0,99 α=0,01 t α ERROR = t α sn n 9 200 1,639 b) ivel de confianza del 99% 1-α= 0,99 α=0,01 t α ERROR = t α sn n ε n t 2 2 α s n ε 2 ERROR = 2,576 9 n 0,5 n 2,5762 9 2 0,5 2 n 2149,99 Por tanto, el número de familias que han de ser seleccionadas será mayor o igual a 2150.