PÍTULO 4 Tópicos de Geometría Geometría, palara que proviene del griego, geo: tierra; metrein: medir, es una de las ramas mas antiguas de las ciencias, que tal vez ha tenido y tenga mayor incidencia en la vida cotidiana. Su origen estuvo ligada a la resolución de prolemas concretos, tales como la medida de extensiones de terrenos, la construcción de viviendas, puentes, monumentos, etc.. Para comenzar, vamos a recordar, en este capítulo, algunos conceptos ásicos. Entre ellos los referentes al triángulo, el polígono más simple, con muchas propiedades sorprendentes, tamién semejanza y sus múltiples aplicaciones a la resolución de prolemas. 4 Ángulos 4.1 Medida de ángulo: sistema sexagesimal Para medir la amplitud de un ángulo podemos utilizar el sistema sexagesimal. 360º 90º 180º Ángulo recto Ángulo llano Ángulo completo Recordemos que un ángulo recto mide 90 0, un ángulo llano 180 0 y un ángulo completo 360. El grado es la unidad de medida, a esta unidad se la llama grado sexagesimal porque se divide en 60 unidades de orden inferior. Los sumúltiplos son: minuto 1 = 60 1 de grado, es decir, 1 = 60 segundo 1 = 60 1 de minuto, es decir, 1 = 60 Ejemplo 1: Expresar en segundos 35 º 54' 18" : 1º 60' 3600" Saemos que: 1º 3600" 35º x 35 x 3600 16000" 1' 60" 54' x 54 x 60 340" En consecuencia 35º 54' 18" 16000" 340" 18" 1958" 87
Ejemplo : Expresar a grados, minutos y segundos: 3640 " Saemos que: 60" 1', luego primero deemos devidir por 60 y otenemos 607 ' y soran 8 " 3648 60 048 8 607 l dividir nuevamente por 60, ya que 60' 1º otenemos 10 º y soran 7' Por lo tanto 3648" 10º 7' 8" 607 60 007 7 10º EJERIIOS 1.- Expresar en minutos los ángulos: a) 71 º47', ) 6º15".- Expresar a grados, minutos y segundos los ángulos: a) 913 ) 00.35 4. ISETRIZ La isectriz de un ángulo es la semirrecta que divide a éste en dos partes iguales, es decir, es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo. En la figura, la semirrecta es la isectriz, sus puntos equidistan de las semirrectas j y k. Por ejemplo: El punto P pertenece a la isectriz ya que, P P O j k P 4.3 PRES DE ÁNGULOS Ángulos consecutivos: Son aquellos que sólo tienen en común el vértice y un lado. O Ángulos complementarios Dos ángulos y son complementarios si suman 90 y se dice que uno es complemento del otro. 90 88
Ángulos suplementarios Dos ángulos y son suplementarios si suman 180 y se dice que uno es el suplemento del otro. =180 Ángulos adyacentes Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y suplementarios. Ejemplo 1: a) Sea 35º 05, encontrar el ángulo el suplementario de. Recordemos que la suma da 180º 180º 180º demás 180 =179 59 60, entonces 179º 59 60 35º 0 5 = el suplemento 35 0 0 5 144º 39 55 Ejemplo : Sea 43º157 encontrar el ángulo el complemento de. Recordemos que: 90 90º 89º 59 60 43º 15 7 46º 44 33 Opuestos por el vértice Son los ángulos que tienen el vértice en común y los lados son semirrectas opuestas. 1 y 3, y 4 opuestos por el vértice Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 1= 3 = 4 3 4 1 89
4.4 RETS omo saemos: Una recta divide al plano en dos semiplanos. Dos rectas de un plano se cortan en un punto, o son paralelas o coincidentes. 4.4.1 Ángulos que se forman al cortar dos rectas paralelas por una secante En la figura 1a se tienen las rectas a y paralelas y la recta n secante, tamién llamada transversal, que las corta en los puntos M y N. Quedan determinados ocho ángulos (ver figura 1) que recien nomres de acuerdo a su posición. Se llaman ángulos interiores a los que pertenecen al semiplano respecto de la recta a que contiene al punto N y al semiplano respecto de que contiene al punto M. Ejemplo: Los ángulos 3,4, 5 y 6 son ángulos internos. a a N n M Fig. 1a n 1 3 4 Se llaman ángulos exteriores o externos a los ángulos que no son interiores. Ejemplo : Los ángulos 1,, 7 y 8 son externos. 6 5 7 8 Fig. 1 Ángulos correspondientes Se llaman ángulos correspondientes entre paralelas cortadas por una secante, a los pares de ángulos no adyacentes uicados en un mismo semiplano respecto de la secante y de los cuales uno es interno y otro externo. Ejemplo : En la figura 1 los ángulos correspondientes entre paralelas cortadas por una secante son: 1 y 5, y 6 ; 4 y 8 ; 3 y 7. Ángulos alternos externos Se llaman ángulos alternos externos a los pares de ángulos externos no adyacentes que pertenecen a distintos semiplanos respecto de la recta secante. Ejemplo : En la figura 1, son: 1 y 7, y 8 Ángulos alternos internos Se llaman ángulos alternos internos a los pares de ángulos internos no adyacentes que pertenecen a distintos semiplanos respecto de la recta secante. Ejemplo : En la figura 1, son: 3 y 5, 4 y 6 Si dos rectas paralelas a y, son cortadas por una secante n, entonces, Los ángulos correspondientes son iguales. Los ángulos alternos externos son iguales. Los ángulos alternos internos son iguales. Queda para el lector analizar en la figura 1 los pares de ángulos iguales y justificar su respuesta. 90
Ejemplo 1: Dada la figura, y saiendo que el ángulo 1= 35, encontrar los otros siete ángulos Los ángulos alternos internos y los opuestos por el vértice son iguales, por lo tanto, los ángulos 3, 5 y 7, miden 35 ya que: 1 = 3 por ser opuestos por el vértice 3 = 5 por ser alternos internos 5 = 7 por ser opuestos por el vértice 7 6 8 5 3 1 4 Figura ómo encontrar la medida del ángulo 4? 1 y 4 son suplementarios por lo tanto 1 + 4= 180, en consecuencia 4= 180-35 =145 omo: 4 = opuestos por el vértice, = 6 correspondientes entre paralelas, 6 = 8 opuestos por el vértice, entonces los ángulos, 6 y 8 miden tamién 145.Por lo cual hemos otenido las medidas de los siete ángulos. 4.5 TRIÁNGULOS 4.5.1 lasificación de los triángulos a) Los triángulos se clasifican según los lados en: Equiláteros: tienen los tres lados iguales Isósceles: tienen dos lados iguales Escalenos: tienen sus tres lados desiguales ) Los triángulos se clasifican según sus ángulos en: Rectángulos: tienen un ángulo recto; es decir, 90. cutángulos: tienen sus tres ángulos agudos (menores de 90 ). Otusángulos: tienen un ángulo otuso (mayor de 90 ). 4.5. Propiedades del triángulo Propiedad fundamental: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º Propiedad del ángulo exterior de un triángulo El ángulo exterior de un triángulo (el adyacente a uno de los ángulos interiores del triángulo) es igual a la suma de los dos ángulos no adyacentes. 91
Es decir, oservando la figura, sacamos como conclusión: 180 4.5.3 Medianas, mediatrices, isectrices y alturas de un triángulo Mediana es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Un triángulo tiene tres medianas, que se cortan en un punto llamado aricentro o centroide. Mediatriz es la recta perpendicular a un lado en su punto medio. El punto intersección de las tres mediatrices se llama circuncentro. O En la figura, O es el circuncentro y la distancia de este punto a los vértices son iguales, es decir, equidista de los vértices del triángulo. la circunferencia con centro O y que pasa por los vértices del triángulo se le llama circunferencia circunscrita del triángulo. isectriz de un triángulo es la isectriz de un ángulo interior. c Las isectrices de un triángulo son tres y se intersecan en un punto llamado incentro. a r I El incentro I equidista de los lados del triángulo. Sea r el segmento perpendicular desde I a uno de los lados del triángulo, la circunferencia con centro I y radio r es la circunferencia inscrita al triángulo. ltura de un triángulo es el segmento perpendicular que va, desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. G D H h a h h c F Fig. 3 E 9
Las alturas de un triángulo son tres y se intersecan en un punto llamado ortocentro. 4.5.4 Perímetro y área de un triángulo El perímetro de un triángulo es la suma de los lados. El área de un triángulo está dada por: h donde indica la medida de la ase y h designa la distancia o altura del vértice al lado opuesto que se toma como ase. En la figura 3 tenemos, por ejemplo: hc El área del triángulo : ha h y el área del Ejemplo. Sea EFG : EF.GD Queda para el lector escriir otra forma de calcular el área para el un triángulo. Siendo 6 m, 8m 1 m. EFG., 7m. Su perímetro es 4.5.5 Igualdad o congruencia de triángulos Dos triángulos son iguales (congruentes) cuando tienen todos sus lados y sus ángulos respectivamente iguales. riterios de igualdad de triángulos continuación daremos las condiciones necesarias y suficientes para saer si dos triángulos son iguales. Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales: 1) dos lados y el ángulo comprendido; ) los tres lados; 3) un lado y los ángulos adyacentes a él; 4) dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos. 4.6 SEGMENTOS PROPORIONLES Llamamos razón r entre el segmento y el segmento D, al cociente entre sus medidas dadas en la misma unidad. r D 3 D Dos segmentos y D son proporcionales a otros dos PQ y MN, si la razón de las medidas de los dos primeros segmentos es igual a la de los segundos. 93
Es decir; D PQ MN D 3 P Q PQ 4 MN 6 3 D M N Nota: omo puede oservarse los segmentos no son iguales pero los cocientes son iguales, en consecuencia son proporcionales. Ejemplo 1: Sean 30 cm, D 150 cm, PQ 1m y MN 500 cm. Son proporcionales los segmentos y D con respecto a los segmentos PQ y MN?. l analizar los cocientes D 30 150 3 15 1 5 y PQ 100 500 MN otenemos que los segmentos son proporcionales. Queda para el lector hacer una figura que represente al ejemplo anterior. 4.6.1 Teorema de Thales Si varias rectas paralelas son cortadas por dos rectas en un plano, los segmentos determinados en una de éstas son proporcionales a los correspondientes de la otra, es decir, (ver figura 4) 1 5 m m // p // q, entonces p ' ' ' ' ; ' ' ' ' t t 1 Fig. 4 q Recíprocamente: Si los segmentos y, por ejemplo, son proporcionales a y, entonces las rectas m, p, q son paralelas. Ejemplo 1: Saiendo que las rectas a, y c son paralelas. alcular el segmento x, usando los valores de los otros tres segmentos que se dan en la figura. Por la proporcionalidad tenemos 1 x 18,, luego 18, x 3, 1 6 cm 1cm a En consecuencia: x 3, 6 cm x 1.8cm 94
orolario 1 del teorema de Thales Toda paralela a un lado de un triángulo determina con los otros dos lados (o su prolongación) segmentos proporcionales. En las figuras tenemos que // MN, M N entonces ó M N M N y otras... N N M M Ejemplo : Sean m, p, q rectas paralelas, como en la figura 4. l medir, se ha comproado que cm, 1. 5cm y ' ' 1. 8cm. alcular ' '. omo las rectas son paralelas, los segmentos son proporcionales. Por lo tanto ' ' ' ' 1. 8 y en consecuencia ' '. 4 cm ' ' 1. 5 1. 8 1. 5 orolario del teorema de Thales Varias rectas concurrentes en un punto, determinan sore dos rectas paralelas cualesquiera, segmentos homólogos proporcionales, es decir: r 1, r, r3 y r4 concurrentes en 0 y m1 // m ' ' ' ' D ' D' O D m 1 D r 1 r r 3 r 4 m Recíprocamente. uando varias rectas determinan sore dos rectas paralelas segmentos homólogos proporcionales estas rectas se cortan en un mismo punto. D m 1// m y ' ' ' ' ' D' r 1, r, r3 y r4 se cortan en el mismo punto. Ejemplo 3: Dividir en cinco partes iguales a un segmento de 9 cm. Sea 9 cm y se lo quiere dividir en 5 partes Iguales. 95
Para realizarlo se marca una recta r paralela al segmento, en la cual con una medida aritraria pero fija se determinan los puntos, N, P, Q, R y, tal que, ' N NP PQ QR R' O r N P Q R N P Q R Se trazan las rectas que unen con y con y se cortan en el punto O. Desde el punto O se trazan las rectas que pasan por N, P, Q, R, éstas cortan al segmento en cuatro puntos que los designamos como N, P, Q, y R, respectivamente. Por el corolario del teorema de Thales tenemos que: N' N' P' P' Q' Q' R' R', y queda el segmento dividido en cinco partes iguales. 4.7 TRIÁNGULOS SEMEJNTES Dos triángulos son semejantes cuando tienen los ángulos respectivamente iguales y los lados homólogos (aquellos que se oponen a ángulos iguales) proporcionales, es decir, (ver figura): ~,, a a c c c c a a Nota: Designaremos, por comodidad, a los lados de un triángulo con la misma letra que le asignamos al vértice opuesto pero con letra minúscula. De acuerdo a la definición de igualdad de triángulos, tenemos: Dos triángulos iguales son semejantes y la razón de proporcionalidad es 1. Ejemplo 1: Los lados de dos triángulos y miden: a 4, 3, c 4. 5 y a 6, 4. 5, c 6. 75, respectivamente. 96