Ejercicios de Física Cinemática, Antonio Hernandez D.F.I.S.T.S.
Cinemática Movimiento rectilíneo 1. Un ciclista marcha por una región donde hay muchas subidas y bajadas. En las cuestas arriba lleva una velocidad constante de 5 km/h y en las cuestas debajo de 0 km/h. Calcular: a) Cuál es su velocidad media si las subidas y bajadas tienen la misma longitud? b) Cuál es su velocidad media si emplea el mismo tiempo en las subidas que en las bajadas? c) Cuál es su velocidad media si emplea doble tiempo en las subidas que en las bajadas?
Cinemática Movimiento rectilíneo a) Como es v s s + s s vv ttotal t s s total + v + v v v total subidas bajadas 1 = = = = = 1 1 8 km/ h b) En este caso es v stotal vt 1 + vt v1+ v = = = = 1.5 km/ h t t total c) Y ahora es v s v t+ v t v + v t 3t 3 total 1 1 = = = = total 10 km/ h
Cinemática Movimiento rectilíneo. Desde el balcón situado a 14.1m sobre el suelo de una calle, lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo.
Cinemática Movimiento rectilíneo. Desde el balcón situado a 14.1m sobre el suelo de una calle, lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo. Tomamos como origen el punto de lanzamiento y sentido positivo hacia arriba: 1 ec gral: h= v0t+ gt Solución: t = 0.96s 14.1 = 10t 9.81t t = 3s
Cinemática Lanzamiento de un cuerpo MUA 3. Se lanza un cuerpo hacia arriba verticalmente con una velocidad de 98 m/s, desde el tejado de un edificio de 100 m de altura. Determinar: (a) La altura máxima que alcanza desde el suelo. (b) El tiempo cuando pasa por el lugar de lanzamiento. (c) La velocidad al llegar al suelo. (d) El tiempo total transcurrido hasta llegar al suelo.
Cinemática Lanzamiento de un cuerpo MUA (a) v= v0 + at t 98 9.8 0 = 0 v= t 1 y0 100 = 1 e= e0 + v0t+ at 100 98 9.8 v0 98 y= + t t = B A C 100 m Y O En la altura máxima el cuerpo se para, v = 0 98 0 = 98 9.8t t = = 10s 9.8 1 y = 100 + 98 10 9.8 10 = 590m h= 590m
Cinemática Lanzamiento de un cuerpo MUA (b) En el movimiento de caída las ecuaciones son: e e v t 1 at e = 100 t 1 t 0 = 0 + 0 + 100 = 100 + 98 9.8 v0 = 98 t = 0 t( 98 4.9t) = 0 t = 0s B A Y 100 m C O
Cinemática Lanzamiento de un cuerpo MUA (c) Al llegar al suelo es: e e v t 1 at e = 100 t 1 t 0 = 0 + 0 + 100 = 100 + 98 9.8 v0 = 98 B Y A ( ) 98 ± 98 + 4 4.9 100 t = 0.97s t = = 9.8 t = 0.97s v = v0 + at v = 98 9.8 0.97 = 107.5 m / s ( hacia abajo) 100 m v = 107.53 m s C O
Cinemática Lanzamiento de un cuerpo MUA (d) El tiempo total es: ttotal = 0.97 s B A Y 100 m C O
Cinemática Lanzamiento de un cuerpo MUA 4. Desde lo alto de una torre se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de 15 m/s. La piedra llega a una determinada altura y comienza a caer por la parte exterior de la torre. Tomando como origen de coordenadas el punto de lanzamiento, calcular (a) la posición y velocidad de la piedra al cabo de 1s y de 4s después de su salida. (b) la velocidad cuando se encuentra a 8m por encima del punto de partida. (c) Cuánto tiempo transcurre desde que se lanzó hasta que vuelve a pasar por dicho punto? Considérese g = 10 m/s
Cinemática Lanzamiento de un cuerpo MUA (a) h Y posición: 1 1 1 y = v0t gt ; ( t = 1s ) y1 = v0t1 gt1 = 15 1 10 1 = 10m 1 1 1 y = v0t gt ; ( t = 4s) y = v0t gt = 15 4 10 4 = 0m (el signo indica que la piedra está por debajo del origen) O velocidad: ( ) v= v gt; t = 1s v = v gt = 15 10 1= 5m s 0 1 0 1 ( ) v= v gt; t = 4s v = v gt = 15 10 4= 5m s 0 0 (el signo indica que la piedra está cayendo)
Cinemática Lanzamiento de un cuerpo MUA (b) h la velocidad cuando se encuentra a 8m por encima del punto de partida. Y eliminando t : O v v gt = 0 v0 v v0 v 1 v0 v t = y = v0 g 1 g g g = 0 y v t gt v0 v gy = v = v0 gy ( y = 8) v= = ± 15 10 8 8.06 m s
Cinemática Lanzamiento de un cuerpo MUA (c) Cuánto tiempo transcurre desde que se lanzó hasta que vuelve a pasar por dicho punto? h Y 1 1 0s = ( = ) = = 3s y v0t gt y 0 15t 10 t 0 t O
Cinemática Movimiento rectilíneo 5. Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de 3 acuerdo con la ley:. Si x= 4m v= t + 4t + cuando t =s, encontrar el valor de x cuando t =3s. Encontrar también su aceleración.
Cinemática Movimiento rectilíneo 5. Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de 3 acuerdo con la ley:. Si x= 4m v= t + 4t + cuando t =s, encontrar el valor de x cuando t =3s. Encontrar también su aceleración. Siendo dx x t v= dx= v dt x x0 = dx dx v dt dt = = x = 0 t0 4 3 4 3 t 3 t 4t t0 4t0 = ( t + 4t + ) dt = + + t t t0 4 3 4 3 t 4t t 4t x= x + + + t t 4 3 4 3 4 3 4 3 0 0 0 0 0
Cinemática Movimiento rectilíneo t 4t t 4 t x= x + + + t t 4 3 4 3 4 3 4 3 0 0 0 0 Como es 0 0 ( ) t = s y x = 4m x t = 4 4 3 4 t 4t + + + t 4 3 4 3 4 3 ( ) x t 4 3 t 4t 44 = + + t 4 3 3 Por lo tanto es ( ) 81 4 7 44 xt= 3s = + + 3 = 47.6m 4 3 3
Cinemática Movimiento rectilíneo t 4t t 4 t x= x + + + t t 4 3 4 3 4 3 4 3 0 0 0 0 La aceleración del cuerpo es 3 ( + 4t + ) dv d t a= = = 3t + 8t a( t = 3s) = 7+ 4= 51m s dt dt
Cinemática Composición de movimientos 6. Un punto se mueve en el plano XY de tal manera 3 que es v = 4t + 4 t, v = 4t. x y Si la posición es (1, ) cuando es t=0, encontrar la ecuación cartesiana de la trayectoria.
Cinemática Composición de movimientos 6. Un punto se mueve en el plano XY de tal manera 3 que es v = 4t + 4 t, v = 4t. Si la posición es (1, ) cuando es t=0, encontrar la ecuación cartesiana de la trayectoria. x Posición: componente x x t 3 3 Siendo x = = 4 + 4 = ( 4 + 4 ) x= x + t + t t t y dx v t t dx t t dt dt x0 t0 4 4 0 0 0 Sustituyendo x0 = 1 cuando t = 0s ( ) x= + t + t = t + 4 1 1
Posición: componente y Cinemática Composición de movimientos Siendo dy y t vy = = 4t dy 4tdt dt = y 0 t0 y = y + t t 0 0 Sustituyendo y0 = cuando t = 0s ( ) y= + t = t + 1
Cinemática Composición de movimientos Eliminando el tiempo se obtiene la ecuación de la trayectoria: ( t 1) x= + y y x= = y = 4x 4 y = ( t + 1 ) ec. de la trayectoria
Cinemática Composición de movimientos 7. Un móvil describe una trayectoria dada por las 1 ecuaciones x= pt e y = pt. Determinar: (a) Velocidad y aceleración del móvil. (b) Componentes tangencial y normal de la aceleración. (c) Radio de curvatura.
Cinemática Composición de movimientos 7. Un móvil describe una trayectoria dada por las 1 ecuaciones x= pt e y = pt. Determinar: (a) Velocidad y aceleración del móvil. (b) Componentes tangencial y normal de la aceleración. (c) Radio de curvatura. (a) dx dvx vx = = p; ax = = 0; dt dt dy dvy vy = = pt; ay = = p; dt dt r r r r r Luego v = pi + pt j a = p j
Cinemática Composición de movimientos (b) r dv dv ( ) pt at = = v= vx + vy = p 1 + t = ; dt dt 1+ t a = a + a = 0 + p = p; x y pt p a = an + at an = a at = p = 1+ t 1+ t ;
Cinemática Composición de movimientos (c) ( 1+ t ) v p p an = = = + t = p + t ρ 1+ t p ; ρ 1 1 ; El radio de curvatura ρ depende del tiempo. ( ) 3
Cinemática Movimiento circular 8. Encontrar la velocidad angular de la Tierra con respecto a su eje diametral. TIERRA P θ SOL θ P P E dθ θ θ = π rad ω = uniforme ω = dt t t = 1dia = 86400s π ω = = 86400 5 7.7 10 / rad s pero este resultado no es completamente correcto. E
Cinemática Movimiento circular Pero este resultado no es completamente correcto. Cuando la Tierra da una vuelta completa sobre su eje, está en P y para completar un dia hay que girar de P a P, falta todavía un ángulo θ. En un dia recorrerá un ángulo π+θ = π + (π/365), TIERRA P θ SOL θ P P E π π + π + θ ω = = 365 = 86400 86400 = 5 7.9 10 / rad s E
Cinemática Movimiento circular 9. Un volante gira en torno a su eje a razón de 3000 r.p.m. Un freno lo para en 0s. (a) (b) Calcular la aceleración angular, supuesta constante, y el número de vueltas hasta que el volante se detiene. Supuesto que el volante tiene 0 cm de diámetro, calcular las aceleraciones tangencial y centrípeta de un punto de su periferia una vez dadas 100 vueltas y la aceleración resultante en tal punto.
Cinemática Movimiento circular (a) Calcular la aceleración angular, supuesta constante, y el número de vueltas hasta que el volante se detiene. La velocidad angular es: Y la aceleración es: π rad ω = 3000 = 100π rad s 60 s ω ω 100π 0 ω ω α α π t 0 s 0 f f = 0 t = = = 5 rad s El desplazamiento angular resulta: 1 1 ϕ = ϕ0 + ω0t αt = 100π 0 5π 0 = 1000π rad ϕ 1000π n = = = π π 500vueltas
Cinemática Movimiento circular (b) calcular las aceleraciones tangencial y centrípeta de un punto de su periferia una vez dadas 100 vueltas y la aceleración resultante en tal punto. El desplazamiento angular es: ϕ = n π = 100 π = 00π rad Calculamos el tiempo transcurrido: 1 1 ϕ = ϕ + ω α = π π = π 0 0t t 100 t 5 t 00 rad.5t 100t+ 00 = 0 t = 37.86s.14s
Cinemática Movimiento circular (b) calcular las aceleraciones tangencial y centrípeta de un punto de su periferia una vez dadas 100 vueltas y la aceleración resultante en tal punto. La aceleración tangencial es: a = α R= 5π 0.1 = 0.5π m s T La aceleración normal es: v a = N 100 R ( 100 5.14) 0.1 797.5 m s R = ω = π π = π Y la aceleración resultante: a= a + a = 0.5π + 797.5 π = 505.4π m s 4 T N
Cinemática Movimiento circular 10. Un punto material describe uniformemente una trayectoria circular de 1m de radio, dando 30 vueltas cada minuto. Calcular el periodo, la frecuencia, la velocidad angular, la velocidad tangencial, y la aceleración centrípeta.
Cinemática Movimiento circular 11. Un vehículo parte del reposo en una via circular de 400m de radio y se mueve con movimiento uniformemente acelerado, hasta que a los 50s. de iniciar su marcha alcanza la velocidad de 7km/h, desde cuyo momento conserva tal velocidad. Hallar: a) Aceleración tangencial en la primera etapa. b) Aceleración normal, aceleración total y longitud recorrida en ese tiempo (50s.) c) Velocidad angular media y velocidad angular a los 50s. d) Tiempo que tardará en dar 100 vueltas al circuito.
Cinemática Composición de movimientos 1. Se quiere cruzar un río de 6 m de ancho con una barca para llegar a la orilla opuesta en un punto situado a 60 m aguas abajo en 15 s. Calcular la dirección y la velocidad de la barca si la velocidad del agua del río es de 3 m/s. La barca tiene que dirigirse a un punto A para que al ser arrastada por el agua llegue al punto B (a 60 m). O α d C A e B e 1
Cinemática Composición de movimientos 1. Se quiere cruzar un río de 6 m de ancho con una barca para llegar a la orilla opuesta en un punto situado a 60 m aguas abajo en 15 s. Calcular la dirección y la velocidad de la barca si la velocidad del agua del río es de 3 m/s. La distancia A-B es: e1 = v t = 3m s 15s= 45m La distancia complementaria es: e = 60m 45m= 15m Y el ángulo con la horizontal: α e 15 OC 6 1 1 = tg = tg = 30º
Cinemática Composición de movimientos La distancia OA será: O 30º v 0 C d = e 15 15 senα = sen30º = 1 = 30m v v T A 60m Y por lo tanto la velocidad de la barca: B v = d 30m t = 15s = m s
Cinemática Composición de movimientos De otra forma: uur r r v0 = v0cosαi + v0senα j uur uur r r r vt = v0 + v= v0cosαi + ( v0senα + v) j r r 14 43 v = v j 1443 vx vy ( x, y ) = ( 0,0) Integrando, y teniendo en cuenta que : x= v0 cosα t v= 3m s x 6 m, y 60m y ( v0sen v) = = = α + t t 15s = x x v0 = y = senα + v t cosα t cosα t 0 0
Cinemática Composición de movimientos x x v0 = y = senα + v t cosα t cosα t y vt 60 3 15 15 y = x tgα + vt tgα = = = x 6 6 x 6 α = 30º; v0 = = = m s cos30º t cos30º 15
v 0 α Cinemática Composición de movimientos 13. Un cañón dispara una bala con una velocidad de 00 m/s formando un ángulo de 40º con la horizontal. a) Encontrar la velocidad y la posición de la bala después de 0s. b) Encontrar también el alcance y el tiempo necesario para que la bala retorne a tierra. Y O X
Cinemática Composición de movimientos 13. Un cañón dispara una bala con una velocidad de 00 m/s formando un ángulo de 40º con la horizontal. a) Encontrar la velocidad y la posición de la bala después de 0s. b) Encontrar también el alcance y el tiempo necesario para que la bala retorne a tierra. a) Y v 0 = 00 m s; α = 40º; O v 0 α X v v 0 X 0Y = 00 cos 40º = 153. m s; = 00sin 40º = 18.6 m s
Cinemática Composición de movimientos vx = v0 X = 00 cos 40º = 153. m s; x 153. t = v 18.6 4.9 Y = v0y gt = 18.6 9.81 t y = t t Después de t = 0s, la velocidad y la posición de la bala son: v ( 0) = 153. m s; X t= v ( 0) = 18.6 9.81 0 = 67.4 m s; Y t= x y ( t= 0) ( t= 0) = 153. 0 = 3064 m; = = 18.6 0 4.9 0 61 m;
Cinemática Composición de movimientos r r v = m s = m ( 153., 67.4) ( 3064, 61) b) Cuando la bala vuelve a tierra, es y=0: 18.6 Tiempo de vuelo : y = 0 = 18.6 t 4.9 t t = = 6.4 s 4.9 Alcance : x = 153. 6.4 = 400 m
Cinemática Composición de movimientos 14. Un muchacho de 1.5m de altura y que está parado a 15m de distancia de un muro de 5m de altura, lanza una piedra bajo un ángulo de 45º con respecto a la horizontal Con qué velocidad mínima debe lanzar la piedra para que ésta pase por encima del muro?
Cinemática Composición de movimientos 14. Un muchacho de 1.5m de altura y que está parado a 15m de distancia de un muro de 5m de altura, lanza una piedra bajo un ángulo de 45º con respecto a la horizontal Con qué velocidad mínima debe lanzar la piedra para que ésta pase por encima del muro? Y O 1,5 m v 0 α =45º 3,5 m P(15,3.5) 5 m X 15 m
Cinemática Composición de movimientos 1 1 y = v t g t = v senα t g t x = v 0X t = v0cosα t 0Y 0 La piedra tiene que pasar por el punto P(15,3.5) 1 3.5 = v t g t = v sen45º t 4.9 t 15 = v0x t = v0 cos 45º t 0Y 0
Cinemática Composición de movimientos 15 = v cos 45º t t = 0 v 0 15 cos 45º 3.5 45º 4.9 = v0sen t t = v sen45º 0 v 0 cos 45º 15 15 4.9 v0 cos 45º 05 v0 = v0 = 13.8m s 11.5
Cinemática Composición de movimientos 15. Dos aviones están situados sobre la misma vertical, siendo la altura de uno de ellos sobre el suelo cuatro veces la del otro. Ambos pretenden bombardear el mismo objetivo, siendo la velocidad del mas alto v qué velocidad debería llevar el mas bajo?
Cinemática Composición de movimientos 15. Dos aviones están situados sobre la misma vertical, siendo la altura de uno de ellos sobre el suelo cuatro veces la del otro. Ambos pretenden bombardear el mismo objetivo, siendo la velocidad del mas alto v qué velocidad debería llevar el mas bajo? v 10 X v 10 =v 4 y v 0 y Y
Cinemática Composición de movimientos Ecuaciones del avión 1: v1x = v10 x= v10 t = v t 1 x 1 4y = g v 1y = g t 4y= g t v Ecuaciones del avión : vx = v0 x= v0 tʹ 1 x 1 y = g v v 0 y = g tʹ y = g tʹ v10 X v 10 =v 4 y v 0 Escuela Politécnica - Universidad Y de Alicante y
Cinemática Composición de movimientos 1 x g 4y v0 = v 4 = y 1 x v g v 0 v = 4v v = v 0 0 v 10 X v 10 =v 4 y v 0 Escuela Politécnica - Universidad Y de Alicante y
Cinemática Composición de movimientos 16. Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 70 km/h y su altura sobre el suelo es de 7840 m. Desde el avión se suelta una bomba que hace explosión al llegar al suelo. Calcular: a) Velocidad de la bomba al llegar al suelo. b) Distancia horizontal recorrida por la bomba. c) Tiempo transcurrido desde que se lanza la bomba hasta que se percibe, en el avión, la explosión.
Cinemática Composición de movimientos 16. Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 70 km/h y su altura sobre el suelo es de 7840 m. Desde el avión se suelta una bomba que hace explosión al llegar al suelo. Calcular: a) Velocidad de la bomba al llegar al suelo. b) Distancia horizontal recorrida por la bomba. c) Tiempo transcurrido desde que se lanza la bomba hasta que se percibe, en el avión, la explosión. Y v 0 O A A 1 X h B
Cinemática Composición de movimientos a) La velocidad de la bomba al llegar al suelo es: 70000 v 00 x = = v= v 3600 x + v y v= 00 + gh = 00 + 9.8 7840 = 440m s vy = gh Y v 0 O A A 1 X h B
Cinemática Composición de movimientos b) Las ecuaciones del movimiento son: x y = 00 t y 7840 1 t = = = = 9.8 t 9.8 9.8 40s x= 00 t = 00 40 = 8000m
Cinemática Composición de movimientos c) En el momento de la explosión el avión se encuentra en el punto A, pero cuando reciba el sonido de la explosión se encontrará en A 1 : Y v 0 O A A 1 X BA AA = AB 1 1 ( v = 340m s) sonido 340 t 00 t = 7840 h t 7840 = = 340 00 8.5s B T = 40s+ 8.5s = 68.5s
Cinemática Composición de movimientos 17. La cabina de un ascensor de 3m de altura asciende con una aceleración de 1m/s. Cuando el ascensor se encuentra a una cierta altura del suelo, se desprende la lámpara del techo. Calcular el tiempo que tarda la lámpara en chocar con el suelo del ascensor. v 0 a Y O X
Cinemática Composición de movimientos 17. La cabina de un ascensor de 3m de altura asciende con una aceleración de 1m/s. Cuando el ascensor se encuentra a una cierta altura del suelo, se desprende la lámpara del techo. Calcular el tiempo que tarda la lámpara en chocar con el suelo del ascensor. La posición del suelo del ascensor es: La posición de la lámpara es: 1 yʹ = v0t gt 1 y= v0t+ at
Cinemática Composición de movimientos Choca con el suelo cuando el suelo recorre 3 m más que la lámpara: vt 0 + 1 0 at = v t 1 gt + 3 3 6 = = = a+ g 10.8 t t 0.745s v 0 a Y O X
Cinemática Composición de movimientos 18. Desde un plano inclinado con un ángulo β se lanza una piedra con velocidad inicial v 0 perpendicularmente al plano. A qué distancia del punto de lanzamiento cae la piedra? v 0 β
Cinemática Composición de movimientos 18. Desde un plano inclinado son un ángulo β se lanza una piedra con velocidad inicial v 0 perpendicularmente al plano. A qué distancia del punto de lanzamiento cae la piedra? g senβ (0,0) β v 0 Y g cosβ g Sobre la piedra actúa la aceleración de la gravedad g R X
Cinemática Composición de movimientos ( ) ejex vx = g senβ t ( ) 1 x= g senβ t 1 ejey v = Y v 0 g cos β t y = v 0 t g cos β t La piedra vuelve al plano inclinado cuando es y = 0 1 v 0 cos g cosβ 0 = v0 t g β t t = 0 0 1 v v senβ x = g senβ = g cosβ g cos β Distancia del punto de lanzamiento
Cinemática Movimiento circular 19. La velocidad de rotación de un faro luminoso es constante e igual a ω. El faro está situado a una distancia d de una playa completamente recta. Calcular la velocidad y aceleración con que se desplaza el punto luminoso sobre la playa cuando el ángulo que forman d y el rayo luminoso es θ.
Cinemática Movimiento circular 19. La velocidad de rotación de un faro luminoso es constante e igual a ω. El faro está situado a una distancia d de una playa completamente recta. Calcular la velocidad y aceleración con que se desplaza el punto luminoso sobre la playa cuando el ángulo que forman la normal d y el rayo luminoso es θ. B ω F FARO θ A x d Playa
Cinemática Movimiento circular Cuando el faro ha girado un ángulo θ, el punto luminoso ha recorrido sobre la playa la distancia x : x tgθ = x = d tgθ d La velocidad del punto será: ( ) ( ) ( ) dx d d tgθ d tgθ d tgθ dθ 1 ω d v= = = d = d = d ω = dt dt dt d dt θ cos θ cos θ La aceleración será: ( θ) d( θ) dv d ω d d 1cos 1cos d d sen a θ ω θ = = d d = ω = ω = 3 dt dt cos θ dt dθ dt cos θ
Cinemática Movimiento circular 0. Determinar la función horaria de un móvil que recorre una trayectoria circular con velocidad y aceleración tangencial iguales en todo instante, sabiendo que la aceleración es unitaria en el instante inicial.
Cinemática Movimiento circular 0. Determinar la función horaria de un móvil que recorre una trayectoria circular con velocidad y aceleración tangencial iguales en todo instante, sabiendo que la aceleración es unitaria en el instante inicial. Velocidad y aceleración iguales: dv dv ds dv at = v = v = v v= v dt ds dt ds dv = 1 dv = ds v = s + k, k = cte ds ds ds ds = s + k = dt t = = ln ( s + k ) ln ( c), c = cte dt s + k s + k
Cinemática Movimiento circular ( ) ( ) ( t ) ( ) t t+ ln c = ln s+ k ln c e = ln s+ k c e = s+ k Siendo s = 0 cuando t = 0, resulta: Y como es t v= s+ k v= k e La aceleración unitaria permite obtener el valor de la cte k: t ( 1) c= k s= k e dv v dv a = at + an = + ent = 0 v= k; = k; dt R dt k R R 4 1= k + ec bicuadr k = 1 1 + 4 R 1
Cinemática Movimiento circular La función horaria s(t) obtenida es: R 4 s= s t = k e = e + R t t ( ) ( 1) 1 1 ( 1) 1