UNIDAD DIDÁCTICA #3 CONTENIDO ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA TIPOS DE ECUACIONES RESOLUCION DE ECUACIONES LINEALES INECUACIONES LINEALES 1
ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones. a) 9x 2 7x = 4x+1 b) 2x + 5 = - 10x 3 1er miembro 2 miembro El grado de una ecuación viene dado por el mayor exponente de la variable. El ejemplo a) corresponde a una ecuación cuadrática o de 2 grado ya que su exponente mayor es dos y el ejemplo b) corresponde a una ecuación lineal o de primer grado ya que el exponente mayor de la variable es uno. Importante! El grado de una ecuación indica el numero de soluciones que esta puede tener: Ecuación lineal Ecuaciones cuadráticas Ecuaciones cúbicas 1 solución 2 soluciones 3 soluciones IDENTIDAD Y ECUACIONES Las igualdades entre expresiones algebraicas que son ciertas para cualquier valor de las variables se llaman identidades. (x + 5) 2 = x 2 + 2(x)(5) + 5 2 = x 2 + 10x + 25 Esta igualdad es cierta para cualquier valor de las letras, es decir, los dos miembros tienen el mismo valor numérico; por ejemplo, para x = 2, los dos miembros de la primera igualdad toman el valor 49. (2 + 5) 2 = 49 2 2 + 2(2)(5) + 5 2 2
= 49 4 + 10 + 25 = 49 49 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN Una ecuación es una igualdad que se cumple para ciertos valores de la variable o incógnita. A las soluciones de la ecuación se les llama raíces de una ecuación. Las soluciones de una ecuación son los valores de x que la convierten en una igualdad numérica. La ecuación 2x 7 = 9 es una ecuación de primer grado, y su raíz o solución es x =8. Porque? Comprobación (sustituimos 8 en x) Completa los ejemplos. 2(8) -7 = 9 16 7 = 9 9 = 9 Indica cuales ecuaciones son lineales, cuadráticas o cúbicas. a) x 3 + 7x 3 = 4 b) 2x 7x 2 + 9 = 5x 3 c) 3x + 9 = 2 4x d) 9x = 7x 3 + 9x 2 ECUACIÓN DE PRIMER GRADO. Una ecuación cumple con: Una identidad por ser una igualdad. Condicionada por estar restringida a ciertas condiciones. Una equivalencia por tener igual valor. 3
DEFINICIÓN Una ecuación es de primer grado cuando el polinomio que las define es 1. También se les llama ecuaciones lineales porque la función definida por el polinomio dado, gráficamente representa una línea recta. Se pueden distinguir tres tipos de ecuaciones de primer grado. Al resolver ecuaciones de primer grado se van obteniendo ecuaciones cada vez más sencillas hasta llegar a una expresión de la forma a. x = b, siendo a y b dos números. 1) Si a 0, la solución es x = b/a, se dice que la ecuación: es compatible, tiene una única solución. 2x = 5 compatible x= 5 una solución 2 2) Si a = 0 y b 0, 0. x = b, la ecuación no tiene solución, es una ecuación incompatible. 0x = 3 x = 3 incompatible, no tiene solución. 0 3/0 es indefinido. 3) si a= 0 y b=0, entonces 0.x = 0, es una identidad, tiene infinitas soluciones, porque se cumple para cualquier valor que se le asigne a x. Cuando a la incógnita se le impone cierta condición entonces se tiene una ecuación condicionada. Ecuación: Etimológicamente la palabra ecuación procede de la palabra latina aequatio, que significa igualdad. Completa los siguientes ejemplos. 4
Indica si las siguiente ecuaciones son compatibles, incompatibles o una identidad. a) 3x = 5 x = 5 la ecuación es 3 b) -3x + 3x =-1 la solución es c) x = 0 la ecuación es 5 ECUACIONES EQUIVALENTES Son aquellas que tienen las mismas soluciones. 3x + 5 = 2x + 7 Tiene como única solución: x=2 Para x=2 sustituir 3(2) + 5 = 2(2) + 7 6 + 5 = 4 + 7 11 = 11 Ejemplo #2: 2x + 8 = x +10 Para x=2 sustituir 2(2) + 8 = (2) + 10 4 + 8 = 2 + 10 12 = 12 5
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES LINEALES 6
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Una ecuación es una igualdad que contiene por lo menos una incógnita. Las incógnitas son los valores que se han de averiguar, y se representan con letras. La expresión que está a la izquierda del signo = es el primer miembro de la ecuación y la que está a la derecha, el segundo miembro. 2x +2 = 4 1 miembro 2 miembro Por el número de incógnitas, las ecuaciones pueden ser: De una: 2x + 3 = 5x 6 De dos: 3x 2y = 5 De tres: 2x + y 3z = 0... Ó de n incógnitas. 9
La ecuación de primer grado tiene una solución y la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones. Resolver una ecuación es hallar sus soluciones. Las soluciones de una ecuación son los valores de x que la convierten en una igualdad numérica. A estas soluciones se les llama raíces de la ecuación. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES Método general de resolución. 1 Eliminar denominadores. 2 Quitar paréntesis. 3 Reducir términos semejantes. 4 Transportar términos. 5 Despejar la incógnita. 6 Comprobar la solución. Existen ecuaciones lineales, en las que aparecen denominadores o paréntesis. PARA RESOLVERLAS SE DEBE: Eliminar los denominadores: Para ello se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, y se multiplican los dos miembros de la ecuación por ese número. Quitar los paréntesis. Para eliminarlos se aplica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y la diferencia. Ejemplo #1 Resolver la ecuación: 2(x -1) (x + 1) = 3(x -4)+3 1 Se quitan los paréntesis: 2x 2 x - 1 = 3x 12 +3 2 Se reducen los términos semejantes: x 3 = 3x 9 3 Se transponen términos: x 3x = -9 + 3 Se realizan las operaciones respectivas: -2x = -6 10
4 Se despeja la x: x = -6 Respuesta x = 3-2 5 Se comprueba: 2(3-1) (3+1) = 3(3-4)+3 2(2) 4 = -3 + 3 4 4 = 0 0 = 0 1 Resolver la ecuación: 1 Se calcula el mcm (5,1,2) = 10 2 Se multiplica la ecuación por 10: 10(2x + 4) 10x = _ x 5 2 3 Se quitan los paréntesis: 4x + 8 10x = -5x 4 Se reducen los términos semejantes: -6x + 8 = -5x 5 Se transponen términos: -6x + 5x = -8 -x = -8 6 Se despeja la x: x = -8-1 x = 8 7 Se comprueba: 16 + 4 8 = -4 5 20-8 = -4 11
5 4 8 = -4-4 = -4 Problemas que implican una ecuación lineal El doble de un número supera en 9 al triplo de otro. a) x = primer numero y = otro numero b) 2x = el doble 3y = triplo del otro 2x= 3y + 9 Despejando para y 2x -9 = 3y 2x 9 = y 3 2x 3 = y ó y = 2x - 3 3 3 Ejercicio Si a 5 veces el mayor de dos números se le resta el doble del menor el resultado es 16. a) Sea x= número mayor y = número menor b) 5x = cinco veces el número mayor 2y = doble del número menor 5x -2y= 16 INECUACIONES DE PRIMER GRADO Una desigualdad consiste en dos expresiones numéricas literales, separadas por uno de los siguientes signos: < ; ; > ;. 12
Las desigualdades pueden ser ciertas o falsas. 4-6; -3-5; -4 < 2; 1.5 0.5 son ciertas. -6-4; 4 < 3; 3.37 < 1.42 son falsas. Inecuación es una desigualdad en la que aparecen números y letras, llamadas incógnitas. La expresión x 3; x R; es una inecuación porque es una desigualdad que tiene una cantidad desconocida y solamente se verifica para ciertos valores de la misma. Para que sea cierta, x tiene que ser un número real menor o igual que 3; en cambio si x vale 7, la expresión es falsa. Resolver una inecuación es hallar los valores de la variable que hacen cierta la desigualdad. A dichos valores se les llama soluciones de la inecuación. La resolución de las inecuaciones se realiza aplicando las siguientes propiedades de las desigualdades. Si se suma un número a los dos miembros de una desigualdad, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido que la primera. a > b a + c > b + c ; c > 0 3x 5 < 2x + 4 3x 2x 5 < 4 x 5 < 4 x < 4 + 5 x < 9 13
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número positivo, la desigualdad que resulta no varía su sentido. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número negativo, la desigualdad cambia de sentido. a > b a. b > b. c, c > 0 a > b a. c < b. c, c < 0 Propiedades de las desigualdades a, b, c є R a > b a + c > b + c a > b a. c > b. c, c > 0 a > b a. C < b. c, c < 0 Afirmaciones similares se verifican para <, y. COMPLETA LOS EJEMPLOS. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones. a) El doble de un número aumentado en 15 es mayor que el mismo número. x un número desconocido 2x el doble del número 2x + 15 el doble del número aumentado en 15 2x + 15 > x enunciado dado en lenguaje algebraico. b) Las dos quintas partes de un número es menor o igual que el mismo número disminuido de 1/5. X número desconocido 2/5x dos quintas partes del numero 1/5 x el mismo número disminuido 1/5 2/5x 1/5 x enunciado en el lenguaje algebraico 14
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO. Resolver una inecuación significa encontrar todas sus soluciones. Para hacerlo se procede de la misma manera que en las ecuaciones, se va generando consecutivamente una cadena de inecuaciones equivalentes, hasta llegar a una inecuación cuya solución sea fácil de determinar. 4x -7 > -2 (3x + 5) inecuación dada 4x -7 >-6x 10 eliminación de paréntesis 4x + 6x > -10 + 7 por transposición de términos 10x > -3 reducción de términos semejantes X > -3 despeje de la variable 10 El conjunto solución lo constituyen todos los números reales mayores o iguales a -3/10, es decir, desde -3/10 hasta el infinito positivo (sin incluir el -3/10) Ejercicio 2x 5-6 + 3x 2(x + 3) 2x 5-6 + 3x 2x 6 2x 5-12 + x 2x x -12 + 5 x -7 El conjunto solución lo constituyen todos los números reales menores o iguales a - 7, es decir, desde el -7 hasta el infinito negativo (incluyendo el -7). 15
HOJA DE EVALUACIÓN Dado el conjunto solución S={-5,-2,2,3,4,6} halla las soluciones de las siguientes ecuaciones e indica cuales son equivalentes y cuáles no. a) 3x 2 = 7 b) 7 a 7 = 14 c) 7 3 a = -5 d) 3x + 7 = -8 e) 5x 3 = 7 f) 2x + 6 = 12 g) 2x 3 = 9 h) -2 a + 3 a = 4 i) 6x 6 = -18 j) a/3 = 2 k) -2x + 8 = 4 l) -x -1 = 4 Son equivalentes: No son equivalentes: Resuelve las ecuaciones. a) 4(x-8) = 6(x+2) b) 3(x+4) 2(x-1) = 4(x+4) 16
c) 3(x-2) (2x-1) = 0 d) 4(x-3) -5(x+8) = 6(x+3) -2 e) 2(x-4)+4(2x-3) = 2(x+4) f) 3(x-1) 3(2x-3=4(x+4)-2(2x-1) g) x 1 = x 2 4 5 Halla el conjunto solución de las siguientes ecuaciones. a) 3 + x = 10 b) x + 13 = 0 c) 8 + x = 15 d) 4 + z = 14 e) 15y = -45 f) -7w 4=-25 Resuelve las siguientes inecuaciones: g) x 2 > -x + 4 h) 2x + 5 < -3x + 5 i) -4x + 1 > 5 j) 1/3 4x > -1 k) 7 + 3x > - 8 l) 9x +8 > 3x BIBLIOGRAFÍA 17
https://www.google.com.gt/search?num=10&hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1024&b ih=499&q=como+construir+un+poligono+regular&oq=como+construir+un+poli&gs_l=img.1.0.0l3j0i2 4l7.382388.417863.0.421997.31.19.5.7.7.2.718.5196.1j3j5j2j5j0j1.19.0...0.0...1ac.rN-DPk174lU Santillana tercer ciclo, matemáticas estrategias Honduras 18