Tema 12: IDEA DE PROBABILIDAD

Tema 12: IDEA DE PROBABILIDAD 1.- Experimetos aleatorios U experimeto se llama aleatorio cuado se cooce todos los posibles resultados del mismo, pero o puede predecirse cuál de ellos se producirá e ua experiecia correcta. So ejemplos de experimetos aleatorios: lazar ua moeda al aire, extraer u aipe de la baraja, lazar u dado, etc. E u experimeto Aleatorio: Sabemos lo que puede ocurrir, pero o lo que va a ocurrir. 2.- Espacio muestral Cojuto de todos los resultados que se puede obteer e u experimeto aleatorio. Si lazamos ua moeda al aire, cabe dos posibilidades C y +. El espacio muestral asociado a esta experiecia es E{C,+}. Al lazar u dado cabe seis posibilidades, por tato el espacio muestral es E{1,2,3,4,5,6}. 3.- Sucesos Se llama suceso a cualquier subcojuto del espacio muestral E. Los sucesos se simboliza por las letras A,B,C. Si E es u cojuto co elemetos hay 2 posibles sucesos. 3.1 Tipos de Sucesos: Sucesos Elemetales: Formados por u solo elemeto, A{C}, B{+}, Suceso Seguro: Es el que siempre ocurre, es todo el espacio muestral. Suceso Imposible: Es el que uca ocurre, se represeta por φ. Ejemplos: El suceso de obteer, al lazar u dado, u úmero igual o meor que 6 es A{1,2,3,4,5,6}. El suceso de obteer, al lazar u dado, u úmero superior a E es el suceso imposible φ. Suceso cotrario u opuesto de A: Es el que se verifica para todos los resultados que o verifica A. Se simboliza por A ó por A c. Ejemplo: El suceso cotrario del suceso " Obteer u úmero par al lazar u dado es A c {1,3,5} ya que A{2,4,6}. Sucesos icompatibles o excluyetes: los sucesos A y B so icompatibles si su realizació simultáea es imposible, es decir si o puede ocurrir a la vez. E particular dos sucesos cotrarios so icompatibles. Sucesos Compatibles: Los sucesos A y B so compatibles si su realizació simultáea es posible. 3.2.- Operacioes co sucesos Uió de dos sucesos A y B es el suceso que se realiza cuado uo al meos de los sucesos A y B se realiza. Se simboliza por A B. Matemáticas Verao 2008 Raúl G.M. 174

Itersecció de los sucesos A y B es el suceso que se realiza cuado A y B se realiza de forma simultáea. Se simboliza por A B. Ejemplo: Si A es el suceso "Obteer u úmero par" al lazar u dado, y B el suceso "Obteer u múltiplo de tres" A {2,4,6}: B {3,6}. A B 2,3, 4,6 A B 6. El suceso { } El suceso { } Los sucesos A y B so compatibles si y sólo si A B φ. Ejemplos: Si A es el suceso "Obteer u úmero par" al lazar u dado, B el suceso "Obteer u múltiplo de 3" y C el suceso "Obteer u múltiplo de 5". A{2,4,6}; B{3,6}; C{5} A B { 6} A C φ Los sucesos A y B so compatibles, mietras que los sucesos A y C so icompatibles. Los sucesos A 1,A 2,,A costituye ua partició de E si iguo es el φ, so icompatibles dos a dos y A A... A E 1 2 4.- Frecuecias Si se realiza pruebas de u experimeto aleatorio y el suceso A se preseta N A, veces, se dice que la frecuecia absoluta del suceso A e las pruebas es N A, y la frecuecia relativa que la simbolizaremos por fr(a), se calcula: NA f ( A) r Ejemplo: Se laza u dado 10 veces, obteiedo los siguietes resultados 5, 2, 1, 1, 3, 2, 6, 4. 3, 1. Si el suceso A es "Obteer u úmero impar, A{5,1,1,3,3,1} la frecuecia absoluta de A es N A 6, mietras que la frecuecia relativa es: NA 6 f ( A) 0,6 r 10 5.- Probabilidad Ua probabilidad P es ua aplicació e el itervalo [0,1] que satisface las tres propiedades siguietes. Para todo suceso A: P( A) 0 PE ( ) 1 Si A,A,...A so suscesos de E icompatibles dos a dos: 1 2 P( A A... A ) P( A) + P( A ) +... + P( A ) 1 2 1 2 P(A) se leerá probabilidad del suceso A, o simplemete probabilidad de A. La asigació de probabilidades a los sucesos de u experimeto aleatorio suele hacerse cosiderado las frecuecias relativas de los sucesos elemetales e u úmero elevado de pruebas. Ejemplo: Se laza 100 veces u dado trucado cuyas caras está umeradas co los úmeros 1,2,3,4,5 y 6, obteiedo los siguietes resultados: Matemáticas Verao 2008 Raúl G.M. 175

1 2 3 4 5 6 i 12 9 15 22 16 26 Asigado a cada suceso elemetal ua probabilidad igual a su frecuecia relativa, se tedrá: 12 9 15 22 16 26 P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 100 100 100 100 100 100 La probabilidad del suceso A obteer úmero impar es: 12 15 16 43 P( A) P(1,3,5) P(1) + P(3) + P(5) + + 100 100 100 100 De la defiició de probabilidad se deduce las siguietes propiedades. Las probabilidades de dos sucesos cotrarios suma uo: P( A) + P( A) 1 P( A) 1 P( A) La probabilidad del suceso imposible es cero P ( φ ) 0 Para cualquier suceso A, 0 P( A) 1 Para dos sucesos cualesquiera A y B: P( A B) P( A) + P( B) P( A B) Si los sucesos A 1, A 2.,A costituye ua partició de E: P( A) + P( A ) +... + P( A ) 1 1 2 6.- Sucesos equiprobables ( Regla de Laplace) E ua experiecia aleatoria e que todos los casos posibles so igualmete probables, la probabilidad de u suceso A es : úmero de casos favorables P( A ) úmero de casos posibles Ateció!!! Para poder aplicar la regla de Laplace es imprescidible que todos los casos posibles sea igualmete probables. Esto, que suele suceder e los juegos de azar secillos o es siempre cierto, i mucho meos. E el caso del tratamieto médico, el espacio muestral, sólo costa de dos sucesos: E {éxito, fracaso} 1 Al aplicar la regla de Laplace resultaría: Péxito ( ) Pfracaso ( ), lo que maifiestamete es falso como acredita el 2 95% de éxito costatado. 7.- Probabilidad codicioada Sea dos sucesos del mismo experimeto aleatorio, tales que P(B)> O. Se llama probabilidad codicioada de A respecto de B a la probabilidad de que se realice A sabiedo que se ha realizado B y se simboliza por P(A/B). Matemáticamete: P( A B) P( A/ B) P( B) Matemáticas Verao 2008 Raúl G.M. 176

El valor P(A/B) se refiere a u suceso ya realizado, por lo que a P(A/B) se le da el ombre de probabilidad de B a posteriori de A, e cotraposició al valor de P(A) se da el ombre de probabilidad a priori de A,es decir, ates de hacer igua prueba y saber si se ha realizado o o. De forma similar, probabilidad codicioada de B respecto de A, es la probabilidad de que se realice A sabiedo que B ya ha ocurrido. P( A B) P( B / A) P( A) Si A y B so sucesos de probabilidad o ula, y despejamos de ambas la probabilidad de la itersecció, obteemos: P( A B) P( A) P( B / A) P( A B) P( B) P( A/ B) que recibe el ombre de Teorema de la probabilidad Compuesta ó Teorema de la itersecció. Ejemplo: E u istituto, el 60% de los alumos de COU estudia Matemáticas, y el 80% de los que estudia Matemáticas tambié estudia Física. Se elige al azar u estudiate de COU de dicho Istituto Cuál es la probabilidad de que estudie matemáticas y Física? Sea M el suceso "Estudiar Matemáticas"; F el suceso "estudiar Física"; por el Teorema de la probabilidad compuesta: 60 80 P( M F) P( M) P( F / M) 0,48 100 100 Por tato, el 48% de los alumos de COU de dicho Istituto estudia ambas asigaturas. Si A y B so dos sucesos icompatibles: P A 8.- Sucesos idepedietes P ( φ) ( / B) 0 P( B) Dos sucesos A y B so idepedietes, si el resultado de uo o ifluye e el resultado del otro. Matemáticamete dos sucesos so idepedietes: P( A) P( B) P( A B) De esta defiició y del teorema de la probabilidad compuesta, resulta que los sucesos A y B so idepedietes si y sólo si: P( A/ B) P( A) P( B / A) P( B) Ejemplo: Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, co reemplazamieto, de ua baraja española, sea todas copas. Como la carta extraída se vuelve a itroducir, los sucesos so idepedietes y la probabilidad buscada es: 10 10 10 PC ( C C) PC ( ) PC ( / C) PC ( / C, C) PC ( ) PC ( ) PC ( ) 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2 3 40 40 40 Matemáticas Verao 2008 Raúl G.M. 177

Dode C i deota el suceso salir copas e la extracció úmero i. 9.- Cálculo combiatorio Cuado e la probabilidad de Laplace el úmero de casos favorables, ó el úmero de casos posibles, o ambos, es muy elevado, es coveiete recurrir al cálculo combiatorio que resumimos a cotiuació: 9.1.- Combiatoria: Se llama factorial de u úmero atural x y se represeta por x! al producto de x factores cosecutivos y decrecietes de x hasta 1. x! x ( x 1) ( x 2) 1 Ejemplos: 0! 1 por coveio, 1! 1 ; 2! 2 1 2 ; 3! 3 2 1 6 4! 4 3 2 1 24 9.2.- Variacioes ordiarias (si repetició) Variacioes de elemetos tomados de m e m (m<) so todos los grupos que se puede formar co estas características: U mismo elemeto o puede aparecer repetido. Si los elemetos se cambia de orde resulta u grupo distito. Si se sustituye u elemeto por otro resulta u grupo distito. El úmero de variacioes si repetició se calcula mediate: V m! ( m)! Ejemplo: Cuátas palabras de 3 letras se puede formar co las cico letras vocales (tega o o setido)?. 3 5! 5! Aquí 5 y m3, por tato: V 5 4 3 60 5 (5 3)! 2! 9.3.- Variacioes co repetició Variacioes co repetició de elemetos, torados de m e m, so todos los grupos que se puede formar co estas características: U mismo elemeto puede aparecer repetido (Reposició). Si los elemetos se cambia de orde resulta u grupo distito. Si se sustituye u elemeto por otro resulta u grupo distito. Su úmero se calcula mediate: RV m m, dode la R idica repetició. Ejemplo: Si e el ejemplo aterior pudiera repetirse las letras Cuatas palabras se podría formar? Aquí 5 y m3, por tato: 3 3 RV 5 125 5 Matemáticas Verao 2008 Raúl G.M. 178

A las Variacioes de elemetos tomados de e ( m) se las llama permutacioes de elemetos y su úmero se calcula mediate: P!. Ejemplo: Cuátas palabras de 5 letras puede formarse co las 5 letras vocales? P 5 5! 5 4 3 2 1 120 9.4.- Combiacioes Combiacioes de elemetos, tomados de m e m ( m ) so todos los grupos que se puede formar co estas características: U mismo elemeto o puede aparecer repetido. Si los elemetos se cambia de orde resulta el mismo grupo. Si se sustituye u elemeto por otro resulta u grupo distito. Su úmero se calcula mediate: C m! m!( m)! Ejemplo: Si e ua clase de 40 alumos queremos formar grupos de 5 si que importe el orde e que se elige a los compoetes. Cuátos grupos saldría?. 5 40! 40 49 38 37 36 C 40 658008 5! 35! 5 4 3 2 1 E la mayoría de los problemas de combiatoria, la dificultad estriba e saber si hay que aplicar las fórmulas de variacioes, permutacioes o combiacioes, y para ello este esquema os puede ayudar bastate: Determiamos y m Es m? Si No P! Ifluye el orde de los elemetos? (Permutacioes) No Si C m! m!( m)! (Combiacioes) Si Puede repetirse los elemetos? No RV m m (Variacioes co Repetició) V m! ( m)! (Variacioes) Matemáticas Verao 2008 Raúl G.M. 179

10.- Experimetos Compuestos. Diagrama e Árbol: Hay ua serie de técicas que ayuda a efectuar recuetos. La más práctica y secilla es el diagrama e árbol, que permite represetar de forma clara y ordeada el proceso que se sigue al ir cotado los diferetes casos que puede presetarse. Para la costrucció de tal diagrama se partirá poiedo ua rama para cada ua de las distitas posibilidades, acompañada de su probabilidad. El fial de cada rama parcial, costituye a su vez u udo, del cual parte uevas ramas, segú las posibilidades del siguiete paso, salvo si el udo preseta u posible fial del experimeto (udo fial). Hay que teer e cueta: E cada udo, la suma de las probabilidades de todas las ramas que parte de él es igual a uo. La probabilidad de cada suceso se calcula multiplicado las probabilidades de cada rama. Ejemplo: U jugador lleva e su bolsillo dos moedas: ua moeda co cara y cruz y otra co dos caras. Elige ua de ellas ala azar y sale cara. Cuál es la probabilidad de que haya elegido la moeda ormal?. Si represetamos las distitas posibilidades e u diagrama e árbol, teemos: Obteció de moeda Moeda Normal Cara P(Normal Cara) 0,5 0,5 0,25 Cruz P(Normal Cruz) 0,5 0,5 0,25 Moeda Trucada Cara P(Trucada Cara) 0,5 1 0,5 11 P( Normal Cara) 1 Así, P( Normal / Cara) 22 PCara ( ) 11 1 3 + 1 22 2 11.- Fórmula de Berouilli e ua probabilidad o distribució biomial Sea u experimeto aleatorio e el que se verifica estas hipótesis: El resultado de cada prueba perteece a uo de estos dos sucesos, A ó A. La probabilidad del suceso A es la misma e cada prueba. Los resultados de cada prueba so idepedietes etre si. Si p es la probabilidad del suceso A e cada sola prueba y q1-p es la probabilidad del suceso A e ua sola prueba, la probabilidad de que el suceso A se presete exactamete x veces e pruebas ( y o se presete e las -x pruebas restates ) es: x x x P( x) p q p ( 1 p) x x x Matemáticas Verao 2008 Raúl G.M. 180

Ejemplo : Explica cuál es la fórmula de la probabilidad de que al lazar 3 moadas bie costruidas se obtega x caras. La Fórmula de Berouilli. Supogamos ahora que se ha lazado tres moedas bie costruidas Se pide a) Cuál es la probabilidad de obteer exactamete 1 cara: 1 2 1 2 3 1 1 3! 1 1 3 P( x 1) 1 2 2 1! 2! 2 2 8 b) Cuál es la probabilidad de obteer 3 caras? 3 0 1 2 3 1 1 3! 1 1 1 P( x 3) 3 2 2 3! 0! 2 2 8 c) Cuál es la probabilidad de obteer al meos 2 caras? 2 1 1 2 0 3 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 3 1 7 P( x 2) P( x 2) + P( x 1) + P( x 0) 2 + 2 2 + + + 1 2 2 0 2 2 8 8 8 8 1 7 O lo que es lo mismo: P(3 caras) 1 P( x 3) 1 8 8 d) Si sabemos que se ha obteido u úmero impar de caras. Cuál es la probabilidad de que el úmero de caras sea 1? 1 2 3 0 3 1 1 3 1 1 3 1 4 1 P( impar) P( x 1) + P( x 3) 1 + + 2 2 3 2 2 8 8 8 2 31 P(1 cara impar) 82 3 P (1 Cara / impar ) Pimpar ( ) 1 8 2 12.- ACTIVIDADES 1.- Si A y B so dos sucesos tales que P(A)0,6 y P(B)0,7, calcular P(A B) y P(A B), si sabemos que: P ( A B) P ( A B) 0, 4. 2.- Explica qué sigifica que dos sucesos A y B sea idepedietes. Se laza u dado al aire y se cosidera los sucesos A Obteer múltiplo de 3, B Obteer úmero par. Justificar si los sucesos A y B so o o so idepedietes. 3.- Dos sucesos A y B verifica P ( A B) 0, 3, P ( A ) 0, 4, P ( B ) 0, 5. Hallar P ( A B) y P ( A B). 4.- E ua ciudad hay 55% de mujeres y 45 % de hombres. El 60% de las mujeres y el 40% de los hombres padece dolores de cabeza. Cuál es la probabilidad de que ua persoa de esa ciudad sufra dolores de cabeza?. 5.- Sacamos al azar, tres cartas de ua baraja española de 40 aipes. Calcular: a) La probabilidad de que las tres cartas sea copas. b) La probabilidad de que dos de las tres cartas sea ases y ua rey. Matemáticas Verao 2008 Raúl G.M. 181

6.- Las tres bolas blacas y las cuatro bolas egras de ua ura tiee la misma probabilidad de ser extraídas. Se saca tres bolas sucesivas y co reemplazamieto. a) Hallar la probabilidad de que sea las tres del mismo color. b) La probabilidad de que aparezca dos blacas y ua egra. 7.- E ua reuió se ecuetra 4 matrimoios. Se elige al azar cuatro persoas. Calcular las siguietes probabilidades dado el resultado e forma de fracció irreducible. a) Las cuatro persoas so mujeres. b) Dos hombres y dos mujeres. 8.- Ua ura A cotiee 3 bolas umeradas del 1 al 3, y otra B cotiee 6 bolas umeradas del 1 al 6. La ura A tiee el doble de probabilidad de ser elegida que la ura B. Se elige ua ura al azar y se extrae ua bola. a) Cual es la probabilidad de que sea ua bola co el umero 1. b) Si extraída la bola co el umero uo, Cuál es la probabilidad de que sea de la ura A?. 9.- E ua caja hay seis bolas rojas y cuatro blacas. Se extrae a la vez dos bolas al azar. a) Describe el espacio muestral. b) Obteer la probabilidad de cada suceso elemetal. 10.- Ua caja cotiee 3 moedas. Ua es corriete, otra tiee dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obteer cara es 1/3. Se seleccioa ua moeda al azar y se laza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara. 11.- E ua ura hay 5 bolas rojas, 3 bolas egras y dos bolas blacas. Al azar se extrae ua bola y si devolverla se extrae otra. a) Calcular la probabilidad de que ambas sea del mismo color. b) Calcular la probabilidad de que ambas sea de distito color. 13.- Solucioes: 1.- Si A y B so dos sucesos tales que P(A)0,6 y P(B)0,7, calcular P(A B) y P(A B), si sabemos que: P ( A B) P ( A B) 0, 4. Teemos que como A B φ, los sucesos so compatibles, por tato: P( A B) P( A) + P( B) P( A B) Y como P ( A B) P ( A B) 0,4 Etoces: 0, 4 P( A B) 1,3 P( A B) ( ) 2 P( A B) 1,3 P( A B) + 0,4 0 0,5 Resolviedo esta ecuació de segudo grado obteemos: P( A B) 0,8 0,5 Y si sustituimos e P ( A B) P ( A B) 0, 4 obteemos: P( A B) 0,8 Matemáticas Verao 2008 Raúl G.M. 182

Como P( A B) > P( A B) Teemos que: P( A B) 0,8 P( A B) 0,5 2.- Explica qué sigifica que dos sucesos A y B sea idepedietes. Se laza u dado al aire y se cosidera los sucesos A Obteer múltiplo de 3, B Obteer úmero par. Justificar si los sucesos A y B so o o so idepedietes. Dos sucesos so idepedietes si el resultado de uo o ifluye e el otro. El espacio muestral es: E{1,2,3,4,5,6}, el suceso A{3,6} y el suceso B{2,4,6} El suceso A B {6} P ( A B) 4 2 El suceso A B {2,3,4,6 } P ( A B) 6 3 1 1 1 1 Por tato P ( A) y P ( B) P ( A) P ( B) 3 2 3 2 Así que los sucesos so idepedietes porque dos sucesos so idepedietes si ocurre que: P ( A B) P ( A) P ( B) 1 6 1 6 3.- Dos sucesos A y B verifica P ( A B) 0, 3, P ( A ) 0, 4, P ( B ) 0, 5. Hallar P ( A B) y P ( A B). Teemos que P ( A B) 0, 3 y que P ( A ) 0, 4, por tato P ( A) 1 P ( A ) 1 0,4 0, 6 y P ( B) 1 P ( B ) 1 0,5 0,5 Como so procesos depedietes: P ( A B) P(A) + P(B) - P ( A B) 0,6 + 0,5 0,3 0, 8 P ( A B) 0,3 P ( A B) 0,8 y P ( A / B) 0, 6 P ( B) 0,5 4.- E ua ciudad hay 55% de mujeres y 45 % de hombres. El 60% de las mujeres y el 40% de los hombres padece dolores de cabeza. Cuál es la probabilidad de que ua persoa de esa ciudad sufra dolores de cabeza?. Represetamos e ua tabla: Hombres Mujeres Total Dolor de Cabeza 18 33 51 Si dolor de Cabeza 27 22 49 45 55 100 51 La probabilidad de que ua persoa de la cuidad sufra dolor de cabeza es: P 0, 51 Dolor 100 Tambié lo podemos calcular como: 55 60 45 40 51 P Dolor P ( Mujer Dolor ) + P ( Hombre Dolor ) + 0,51 100 100 100 100 100 5.- Sacamos al azar, tres cartas de ua baraja española de 40 aipes. Calcular: a) La probabilidad de que las tres cartas sea copas. b) La probabilidad de que dos de las tres cartas sea ases y ua rey. Matemáticas Verao 2008 Raúl G.M. 183

a) E ua baraja española hay 10 cartas de copas. 10 La Probabilidad de que la primera sea copas es, la probabilidad de que la seguda sea 40 9 8 copas es:, y la probabilidad de que la tercera tambié lo sea es: 39 38 10 9 8 Si sacamos tres cartas la probabilidad de que las tres sea copas: P 0,012 Copas 40 39 38 b) E la baraja española hay 4 reyes y 3 ases. Podemos obteer el suceso A{(R,A,A), (A,R,A), (A,A,R)} Etoces la probabilidad de obteer 2 Ases y 1 Rey es: 4 4 3 4 4 3 4 3 4 3 48 P ( A) + + 0,0024 40 39 38 40 39 38 40 39 38 40 39 38 6.- Las tres bolas blacas y las cuatro bolas egras de ua ura tiee la misma probabilidad de ser extraídas. Se saca tres bolas sucesivas y co reemplazamieto. a) Hallar la probabilidad de que sea las tres del mismo color. b) La probabilidad de que aparezca dos blacas y ua egra. a) Teemos 7 bolas e ua ura e la que extraemos las bolas co reemplazamieto. Vamos a hacer u esquema e árbol: Sabemos que la probabilidad de que sea blaca es 3/7 y la de que sea egra es 4/7. B B BBB P 0,078 B N BBN P 0,105 N B BNB P 0,105 N BNN Reuió B B NBB P 0,105 N N NBN N B NNB N NNN P 0,187 Matemáticas Verao 2008 Raúl G.M. 184

Por tato la probabilidad de que las tres bolas sea del mismo color es: P ( XXX ) P ( BBB) + P ( NNN ) 0,078 + 0,187 0,265 Y la probabilidad de que sea 2 blacas y ua egra es: P ( 2B, N ) P ( BBN ) + P ( BNB) + P ( NBB) 3 0,105 0,315 7.- E ua reuió se ecuetra 4 matrimoios. Se elige al azar cuatro persoas. Calcular las siguietes probabilidades dado el resultado e forma de fracció irreducible. a) Las cuatro persoas so mujeres. b) Dos hombres y dos mujeres. A) Teemos 4 hombres y 4 mujeres: Si hacemos ua árbol: La Probabilidad de que las 4 sea mujeres es: 4 3 2 1 24 P ( MMMM) 0,0143 8 7 6 5 1680 b) La probabilidad de que sea 2 hombres y dos mujeres es: P ( XXYY ) P ( HHMM) + P ( HMMH ) + P ( HMHM) + P ( MMHH ) + P ( MHHM) + P ( MHMH ) 4343 864 6 0,51 8765 1680 Reuió H M H HHHH H M HHHM H H HHMH M HHMM M H HMHH H M M HMHM H M HMMH M HMMM H MHHH H H M MHHM H MHMH M M MHMM H MMHH H M M MMHM H MMMH M M MMMM Matemáticas Verao 2008 Raúl G.M. 185

8.- Ua ura A cotiee 3 bolas umeradas del 1 al 3, y otra B cotiee 6 bolas umeradas del 1 al 6. La ura A tiee el doble de probabilidad de ser elegida que la ura B. Se elige ua ura al azar y se extrae ua bola. a) Cual es la probabilidad de que sea ua bola co el umero 1. b) Si extraída la bola co el umero uo, Cuál es la probabilidad de que sea de la ura A?. a) La probabilidad de que la bola sea ua bola co el úmero 1 es: 1 A1 A 2 A2 3 A3 Extracció 1 B1 2 B2 B 3 B3 4 B4 5 B5 6 B6 P 2 1 2 3 3 9 P 2 1 2 3 3 9 P 2 1 2 3 3 9 P 1 1 1 3 6 18 P 1 1 1 3 6 18 P 1 1 1 3 6 18 P 1 1 1 3 6 18 P 1 1 1 3 6 18 P 1 1 1 3 6 18 2 1 5 P (1) + 0,28 9 18 18 10 P(1 A) B) P( A/ 1) 54 0.83 P (1) 5 18 9.- E ua caja hay seis bolas rojas y cuatro blacas. Se extrae a la vez dos bolas al azar. a) Describe el espacio muestral. b) Obteer la probabilidad de cada suceso elemetal. a) Si extraemos a la vez dos bolas, o so blacas, o so rojas o ua blaca y ua roja, por tato: E{BB, RR, RB}. b) E la ura hay 10 bolas. 4 3 P( BB ) 0,133 10 9 6 5 P( RR ) 0,33 10 9 6 4 P( Roja Blaca) P( RB) + P( BR) 2 0,52 10 9 10.- Ua caja cotiee 3 moedas. Ua es corriete, otra tiee dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obteer cara es 1/3. Se seleccioa ua moeda al azar y se laza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara. Matemáticas Verao 2008 Raúl G.M. 186

C P 1/3 1/2 A + 3 Moedas B C P1/3 1 C P1/3 1/3 C + 11 1 11 11 PCara ( ) + 1 + 0,61 32 3 33 18 11.- E ua ura hay 5 bolas rojas, 3 bolas egras y dos bolas blacas. Al azar se extrae ua bola y si devolverla se extrae otra. a) Calcular la probabilidad de que ambas sea del mismo color. b) Calcular la probabilidad de que ambas sea de distito color. 5 4 2 1 3 2 28 14 P( XX) P( RR) + P( BB) + P( NN) + + 0,311 10 9 10 9 10 9 90 45 La probabilidad de que sea de distito color es el caso cotrario a que sea del mismo color: P( XY) 1 P( XX) 1 0,311 0,688 Juio 2000: Ua ura cotiee 15 bolas blacas y 10 egras. Se realiza la extracció simultáea de dos bolas de la ura. Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sea egras? Cuál es la probabilidad de que tega el mismo color?. P(NN) 0,15 P(XX) P(BB) + P(NN) 0,35 + 0,15 0,50 Septiembre 2000: Cual es la probabilidad de que e u grupo de 5 persoas, acidas e la misma semaa, haya dos exactamete que aciero el jueves. Utilizaremos la fórmula de la distribució biomial de Beroulli: P( X) P q P (1 P) x x x x x x Teemos que el umero de aciertos es 2. (X2) y que so 5 persoas: P1/7 1-P6/7 5 5 4 P X P P 2 2 2 3 2 3 ( 2) (1 ) (0,14) (0,86) 0,12 Matemáticas Verao 2008 Raúl G.M. 187

Escogidas 5 persoas al azar, Cuál es la probabilidad de que al meos dos de ellas haya acido e el mismo dia de la semaa? P[Nigua coicidecia] 1 P[2ª e dist. dia que la 1ª] P[5ª dist. Día de la 1ª,2ª,3ª y 4ª] 6543 360 1 0,15 7 7 7 7 2401 Por tato P[Algua coicidecia] 1- P[Nigua coicidecia] 1-0,15 0,85 Septiembre 2001 & Juio 2003: Hallar la probabilidad de u suceso, sabiedo que el cuadrado de esta probabilidad meos el cuadrado de la del suceso cotrario es 0,3. P A 2 2 ( ) P( A) 0,3 2 2 ( P A ) P( A) 1 ( ) 0,3 P A P A P A 2 P( A) 1,3 1,3 P( A) 0,65 2 2 2 ( ) 1 ( ) + 2 ( ) 0,3 Septiembre 2002: E la ura A hay 2 bolas blacas y 3 egras, y e la ura B hay 3 bolas blacas y a egras. Ua persoa elige ua ura y extrae ua bola. Calcular el valor de a para que la probabilidad de que la bola extraída sea blaca sea 0,5. E la ura B hay 2 bolas blacas. 12 1 a 1 P( B) + 25 23+ 1 2 2 3 + 1 5 3+ a a 2 Juio 2004: Calcular la probabilidad de que u úmero de 4 cifras, tomadas del 0 al 9, o cotega igú 5. P(5)0,1 1-P(5)0,9 Probabilidad de igú cico: Nº de éxitos 0: 4 P X P P 0 0 4 4 ( 0) (1 ) (0,9) 0,65 Septiembre 2004 E ua caja hay cie bolas, umeradas del 1 al 100. Se extrae ua bola. Calcular la probabilidad de que el úmero de la bola extraída sea: a) múltiplo de tres. b) múltiplo de cico. Matemáticas Verao 2008 Raúl G.M. 188

c) múltiplo de tres, sabiedo que es múltiplo de cico. a) Sea A el suceso multiplo de 3, A{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57, 60,63,66,69,72,75,78,81,84,87,90,93,96,99} 33 P( A ) 0,33 100 b) Sea B el suceso multiplo de 5 B{5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90, 95,100} 25 P( A ) 0,25 100 C) Calculamos A B {15,30,45,60,75,90} P( A B ) 0,06 Juio 2005 P( A B) 0,06 P( A/ B) 0,24 P( B) 0,25 Se laza u dado dos veces. Calcular las probabilidades de los siguietes sucesos: a) Que la suma de las caras sea 3. b) Que la suma sea meor o igual que 9. a) Para que la suma sea tres, teemos que obteer 1 e la primera tirada y 2 e la seguda, ó 2 e la primera tirada y 1 e la seguda. 11 11 2 1 PSuma ( 3) + 66 66 36 18 b) Para que la suma sea meor o igual que 9: Teemos 30 casos e los que la suma de los dos dados es meor o igual que 9, como la probabilidad de cada caso es 1/36. 1 30 PSuma ( 9) 30 0,83 36 36 Juio 2007 Se elige al azar u úmero de 8 cifras, Cuál es la probabilidad de que el úmero elegido presete úicamete cuatro dígitos distitos?. 8 8 Casos Posibles: 10 úmeros y usamos 8 co repetició: RV 10 10 4 10! Casos Favorables: 10 úmeros y usamos 4 si repetició: V 5040 10 6! 5040 Probabilidad de que tega 4 dígitos: P( A) 5,04 10 8 10 5 Matemáticas Verao 2008 Raúl G.M. 189

Septiembre 2007 Dados diez putos del plao tales que o hay 3 alieados, se ombra a cuatro de ellos co las letras A,B,C,D. De todos los triágulos que se puede dibujar co ese cojuto de putos se elige uo. Cuál es la probabilidad de que el triágulo elegido tega rotulado todos sus vértices co letras? 3 10! Posibles triágulos co 10 putos: C 120 10 3!7! 3 4! Posibles triágulos cuyos vértices este marcados co letras: C 4 4 3! 1! 4 1 Probabilidad de que los triágulos este rotulados: P( A ) 120 30 Matemáticas Verao 2008 Raúl G.M. 190