APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS.

APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS. Prof. Luis Jaime Sarmiento Andrea Sierra Mejia. Departamento De Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander. Apuntes del docente 2013

Contenido Introducción... 1 1 EL COSTO DEL DINERO................................................. 2 1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES............................................... 2 1.1.1 EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO.............................................. 2 1.1.2 EL INTERÉS (I)............................................................. 3 1.1.3 EQUIVALENCIA FINANCIERA.................................................... 5 1.2 TIPOS DE INTERÉS........................................................ 5 1.2.1 INTERÉS SIMPLE............................................................ 6 1.2.2 INTERÉS COMPUESTO........................................................ 8 1.3 ECUACIONES DE VALOR O FECHA FOCAL....................................... 10 1.4 EQUIVALENCIA DE TASAS DE INTERÉS......................................... 11 1.4.1 TASA DE INTERÉS NOMINAL................................................... 11 1.4.2 TASA DE INTERÉS EFECTIVA................................................... 12 1.4.3 TASA DE INTERÉS ANTICIPADA.................................................. 13 1.4.4 TASA DE INTERÉS COMPUESTA O CONJUGADA....................................... 16 2 SERIES UNIFORMES Y SERIES VARIABLES................................ 18 2.1 SERIES UNIFORMES O ANUALIDADES.......................................... 18 2.1.1 ANUALIDADES VENCIDAS..................................................... 19 2.1.2 ANUALIDAD ANTICIPADA...................................................... 21 2.1.3 ANUALIDAD DIFERIDA........................................................ 24 2.2 SERIES VARIABLES O GRADIENTES........................................... 27 2.2.1 GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO CRECIENTE VENCIDO................................ 27 2.2.2 GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO DECRECIENTE VENCIDO.............................. 27 2.2.3 GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO CRECIENTE ANTICIPADO.............................. 34 2.2.4 GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO DECRECIENTE ANTICIPADO............................ 34 2.2.5 GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO DIFERIDO........................................ 40 3 EVALUACIÓN ECONÓMICA DE PROYECTOS DE INVERSIÓN.................. 43 3.1 VALOR PRESENTE NETO (VPN)............................................... 43 3.2 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)............................................. 46 3.2.1 RELACIÓN BENEFICIO COSTO.................................................. 47

CONTENIDO 1 3.2.2 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)...................................... 47 BIBLIOGRAFÍA........................................................... 49

Introducción Esta asignatura pretende dar una visión general de los diversos aspectos que conforman las herramientas, métodos y técnicas financieras asociadas fundamentalmente al mundo empresarial, con el animo de poner al alcance de los estudiantes los conocimientos que precisan en esta area tanto desde el aspecto teórico y como desde el punto de vista practico. Porque es muy importante motivar al estudiante a apropiarse del conocimiento necesario para el estudio y solución de los problemas financieros y en general para la toma de decisiones de financiación o inversión.

1 EL COSTO DEL DINERO En esta unidad se abordaran los conceptos fundamentales sobre los cuales se soporta la matemáticas financieras, las equivalencias de tasas de interés, los tipos de interés y las ecuaciones de valor con interés compuesto. 1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Los conceptos fundamentales son tres así: El valor del dinero en el tiempo, el interés y la equivalencia financiera, sobre estos se soportan las teorías, las técnicas, los métodos y las herramientas que nos permiten cuantificar las variaciones que se dan en el valor del dinero durante un tiempo determinado. 1.1.1 EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Es la variación que se da en el poder adquisitivo del dinero a través de un tiempo determinado como consecuencia de los siguientes fenómeno económicos y financieros: 1.1.1.1 LA INFLACIÓN: Es el incremento generalizado y sostenido en el precio de los bienes y servicios de una economía durante un periodo de tiempo determinado. Por esta razón el dinero pierde valor, manifestado en su poder adquisitivo o poder de compra de bienes y servicios. 1.1.1.2 LA DEVALUACIÓN: Es la perdida de poder adquisitivo de una moneda frente a la moneda de otro país. 1.1.1.3 EL COSTO DE OPORTUNIDAD: Es rechazar o desechar una alternativa por una nueva. Es aquel valor o utilidad que se sacrifica por elegir una nueva alternativa. 1.1.1.4 EL RIESGO FINANCIERO DE NO PAGO: El riesgo es inherente al proceso de toma de decisiones y se mide en función del beneficio esperado en el futuro, considerando que tiene una relación directamente proporcional a las expectativas de rentabilidad de cada inversionista.

3 1.1.2 EL INTERÉS (I) Es el precio que se pago por el uso del dinero durante un periodo de tiempo determinado. Puede definirse también como una utilidad o ganancia que genera un capital o como la rentabilidad de una inversión. Es la medida en términos monetario de la variación del dinero en un tiempo determinado. Mide el valor del dinero a través de un tiempo determinado, expresado en términos monetarios ($) y se representa con el símbolo (I). Es el costo que se debe pagar por el uso del dinero durante un tiempo determinado expresado en términos monetarios. Si se presta hoy una cantidad de dinero (P) y después de un tiempo determinado se recibe una cantidad mayor (F), la variación del valor del dinero de (P) a (F) se llama valor del dinero en el tiempo, y la diferencia entre (F) y (P) es el interés (I). FÓRMULAS PARA CALCULAR EL INTERÉS I = F - P I = Valor de los Intereses F = Valor Futuro P = Valor Presente I = P * n * i I = Valor de los Intereses F = Valor Futuro n = Número de Periodos i = Tasa de Interés 1.1.2.1 TASA DE INTERÉS (i) Es el precio que se paga por una cantidad de dinero que ha sido prestada por un periodo determinado. No es común, cuando se realiza una operación financiera, expresar el valor de los intereses recibidos o pagados en cifras monetarias. Por ejemplo, no son comunes expresiones como: le presté a un amigo $ 100.000 durante 1 mes y me gané $ 5.000 de intereses, sino que se utiliza un indicador expresado como porcentaje que mide el valor de los intereses, llamado tasa de interés. La palabra tasa se deriva del verbo tasar que significa medir. Como expresión matemática la tasa de interés (i) es la relación entre lo que se recibe de intereses (I) y la cantidad prestada o invertida (P). Se identifica con la sigla (i). FÓRMULA PARA CALCULAR LA TASA DE INTERÉS I i = 100 P i = Tasa de Interés I = Valor de los Intereses P = Valor Presente

4 EL COSTO DEL DINERO Un amigo le pide prestado $ 100.000 durante un mes, al final del cual le entrega la suma de $ 105.000. Elabore la simbología, el flujo de caja y calcule el valor de los intereses ganados y la tasa de interés que género la operación financiera. Simbología P = $ 100.000 n = 1 Mes F = $ 105.000 I = $? i =? % Mensual Flujo de Caja F = $ 105.000 n = 1 Meses P = $ 100.000 Aplicar la fórmula de Interés (I) I = F - P I = 105.000-100.000 I = $ 5.000 Aplicar la fórmula de tasa de interés (i) I i = 100 P 5.000 i = 100.000 100 i = 0.05 100 i = 5% Mensual

5 1.1.3 EQUIVALENCIA FINANCIERA La equivalencia financiera es la herramienta fundamentan de análisis y solución de los diferentes problemas de matemáticas financiera en operaciones de financiación o de inversión. Dos o mas cantidades de dinero diferente ubicadas en diferentes fechas son equivalentes aunque no iguales, si producen el mismo efecto económico, este medido por medio de su poder adquisitivo o poder de compra. Dos o mas tasas de interés actuando en periodos de tiempo y forma de pago diferentes son equivalentes si medidas en términos efectivos anuales producen el mismo resultado. Este concepto es relativo porque depende de las expectativas de rentabilidad de cada inversionista. 1.2 TIPOS DE INTERÉS En el mercado financiero se encuentran dos tipos de interés así: el interés simple y el interés compuesto. VALOR PRESENTE: Es una suma de dinero que se toma o se entrega en préstamo el día de hoy. Generalmente indica una cantidad de dinero ubicado en el periodo 0; se denomina también capital principal y se representa con las letras (P). VALOR FUTURO: Es el valor equivalente de un flujo de ingresos y/o egresos, llevados a un valor futuro determinando mediante la aplicación de una tasa de interés y un periodo de pago. Es una suma de dinero, ubicada al final de n periodos de interés, igual al valor presenté más el interés. Se representara con las letras (F). FLUJO DE CAJA: Todas las operaciones financieras se caracterizan por tener ingresos y egresos. Estos valores se pueden registrar sobre una recta que mida el tiempo de duración de la operación financiera. Al registro gráfico de entradas y salidas de dinero durante el tiempo que dura la operación financiera se conoce como flujo de caja o diagrama de líneas de tiempo. Por sentido común se ha adoptado señalar los ingresos con una flecha hacia arriba y los egresos con una flecha hacia abajo. Para resolver los problemas de matemáticas financieras, él primer paso y quizás el más importante es la elaboración correcta del flujo de caja, porque además de mostrar claramente el problema nos indica las fórmulas que se deben aplicar para su solución. Podemos concluir que toda operación financiera es un flujo de caja. Usted adquirió hoy un crédito de $ 1.000.000 con un plazo de un año, al cabo de los cuales debe pagar $ 1.200.000. Elabore el flujo de caja de la operación financiera.

6 EL COSTO DEL DINERO 1.2.1 INTERÉS SIMPLE Se llama interés simple aquél en el cual los intereses generados en un período no ganan intereses en los períodos siguientes, independientemente de que se cancelen o no. Únicamente sobre el capital inicial se liquidan los intereses sin tener en cuenta los intereses precedentes causados. La liquidación de los intereses se hace sobre el saldo insoluto, es decir, sobre el saldo del capital no pagado. 1.2.1.1 CARACTERÍSTICAS: El capital inicial no varía durante todo el tiempo de la operación financiera ya que los intereses no se capitalizan. Esta condición se cumple siempre que no se haga abono al capital inicial. En caso de pagos sobre el capital inicial, los intereses se calcularán sobre el capital insoluto. Como consecuencia de la característica anterior, la tasa de interés siempre se aplicará sobre el mismo capital, es decir, sobre el capital inicial o sobre el saldo insoluto. Por la misma razón, puede decirse que los intereses serán siempre iguales en cada período, o menores si hay abonos al capital inicial. FÓRMULAS PARA CALCULAR LAS VARIABLES DE INTERÉS SIMPLE CÁLCULO DEL VALOR FUTURO F = P(1 + n i) F = Valor Futuro P = Valor Presente n = Número de Periodos i = Tasa de Interés Simple CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE P = P = Valor Presente F = Valor Futuro n = Número de Periodos i = Tasa de Interés Simple CÁLCULO DEL TIEMPO n = Número de Periodos i = Tasa de Interés Simple F = Valor Futuro P = Valor Presente n = 1 i CÁLCULO DEL TIEMPO n = n = Numero de Periodos I = Valor de los Intereses P = Valor Presente i = Tasa de interés Simple F P 1 I (P i) F (1 + n i)

7 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS i = 1 n F P 1 100 i = Tasa de Interés Simple n = Número de Periodos F = Valor Futuro P = Valor Presente CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS i = i = Tasa de Interés Simple I = Valor de los Intereses P = Valor Presente n = Número de Periodos I (P n) 100 CÁLCULO DEL INTERÉS I = Valor de los Intereses F = Valor Futuro P = Valor Presente I = F - P Nota: La tasa de interés (i) se trabaja en términos efectivos vencidos y en función del periodo de tiempo de la (n). Ejemplo Calcular el valor futuro a pagar al cabo de un semestre, por un crédito adquirido el día hoy por $ 500.000. Con una tasa de interés de financiación del 4% semestral simple. Simbología F = $? n = 1 Semestre P = $ 500.000 i = 4% Semestral = 4 100 = 0.04 Flujo de Caja Aplicar Fórmula (Valor Futuro a Interés Simple) F = P(1 + n i) F = 500.000 (1 + 1 0.04) F = 500.000 (1.04) F = $ 520.000

8 EL COSTO DEL DINERO 1.2.2 INTERÉS COMPUESTO El interés compuesto (llamado también interés sobre interés), es aquel que al final del periodo capitaliza los intereses causados en el periodo inmediatamente anterior. En el interés compuesto el capital cambia al final de cada periodo, debido a que los intereses se adicionan al capital inicial para formar un nuevo capital sobre el cual se calculan los intereses. 1.2.2.1 CARACTERÍSTICAS: El capital inicial cambia en cada periodo porque los intereses que se causan se capitalizan o sea se convierten en capital. La tasa de interés siempre se aplica sobre un capital diferente. Los intereses periódicos siempre serán mayores. FÓRMULAS PARA CALCULAR LAS VARIABLES DE INTERÉS COMPUESTO CÁLCULO DE VALOR FUTURO F = P(1 + i) n F = Valor Futuro P = Valor Presente n = Número de Periodos i = Tasa de Interés CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE P = P = Valor Presente F = Valor Futuro n = Número de Periodos i = Tasa de Interés CÁLCULO DEL TIEMPO n = N = Número de Periodos F = Valor Futuro P = Valor Presente i = Tasa de Interés log(f P) log(1 + i) F (1 + i) n (F ) 1 n CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS i = 1 100 P i = Tasa de Interés F = Valor Futuro P = Valor Presente n= Número de periodos

9 CÁLCULO DEL INTERÉS I = P() I = Valor de los Intereses P = Valor Presente i = Tasa de Interés n = Número de Periodos CÁLCULO DEL INTERÉS I = Valor de los Intereses F = Valor Futuro P = Valor Presente I = F - P Nota: La tasa de interés (i) se trabaja en términos efectivos vencidos y en función del periodo de tiempo de la (n) Calcular el valor futuro a pagar al cabo de doce meses, por un crédito adquirido el día hoy por $ 1.500.000. Con una tasa de interés de financiación del 1,5% mensual. Simbologia F = $? n = 12 Mensual P = $ 1.500.000 i = 4% Mensual = 4 100 = 0.04 Flujo de Caja Aplicar Fórmula (Valor Presente a Interés Compuesto) P = P = F (1 + i) n 1.500.000 (1 + 0.0150) 12 P = 1.500.000 1.1956 P = $ 1.254.581,133

10 EL COSTO DEL DINERO 1.3 ECUACIONES DE VALOR O FECHA FOCAL Las Ecuaciones de Valor es una igualdad que se establece entre un conjunto de pagos pactados inicialmente y otro conjunto de pagos que reemplazara al conjunto inicial; aplicando el concepto del valor del dinero en el tiempo, no se pueden comparar estos valores sino se colocan en una misma fecha para convertirlos en pesos del mismo poder adquisitivo. Es necesario trasladarlos a una fecha común llamada fecha focal (f.f.), para poderlos comparar. La fecha focal es una fecha elegida arbitrariamente que, únicamente, nos permite plantear la ecuación de valor. Por medio de las ecuaciones de valor se pueden cambiar planes de pago, refinanciar deudas, decidir entre diferentes posibilidades financieras para determinar la alternativa más conveniente, etc. También se observa que hay valores que están antes de la fecha focal y otros que están después de la fecha focal. Los valores que se encuentran a la derecha de la fecha focal son valores futuros y los que se encuentran a la izquierda son valores presentes, con respecto a la fecha focal. Usted se comprometió a pagar una obligación financiera con los siguientes pagos: un pago en el día de hoy por $ 100.000, un pago dentro de 6 meses por valor de $ 200.000 y un pago dentro de 8 meses por valor $ 500.000. Calcular el valor inicial de la obligación, si la tasa de interés de financiación es del 2% mensual. Simbologia P = $ X n = 0 Meses P1 = $ 100.000 n = 0 Meses P2 = $ 200.000 n = 6 Meses P3 = $ 500.000 n = 8 Meses i = 2% Mensual = 2 = 0.02 100 f.f = n = 0 Meses Flujo de Caja Aplicar Fórmula(Valor Presente a Interés Compuesto en Ecuaciones de valor) P = F (1 + i) n P 1 X = (1 + i) n + P 2 (1 + i) n + P 3 (1 + i) n

11 X = 100.000 (1 + 0.02) 0 + 200.000 (1 + 0.02) 6 + 500.000 (1 + 0.02) 8 X = 100.000 + 177.594,2764 + 426.745,1856 X = $ 704.339,462 1.4 EQUIVALENCIA DE TASAS DE INTERÉS 1.4.1 TASA DE INTERÉS NOMINAL Es la tasa que expresada para un período determinado (generalmente un año) es liquidable en forma fraccionada durante períodos iguales. Como su nombre lo indica, la tasa nominal es una tasa de referencia que existe sólo de nombre, porque no nos dice sobre la verdadera tasa que se cobra en una operación financiera; simplemente, expresa la tasa anual y qué parte de ella se cobra en cada período. 1.4.1.1 FORMAS DE EXPRESAR LAS TASAS DE INTERÉS NOMINAL Para bancos comerciales, compañías de financiamiento comercial y corporaciones financieras: 20% Nominal Anual con Capitalización Trimestral 20% Anual Capitalizable Trimestralmente 20% Capitalizable Trimestralmente 20% Trimestre Vencido FÓRMULA J i e = 100 m i e = Tasa de Interés Periódica J = Tasa de Interés Nominal Anual m = Numero de Capitalizaciones de la Tasa Nominal Anual Nota: Esta fórmula siempre aplica cuando la tasa de interés nominal se Liquida periódicamente. (Por Naturaleza la Tasa de Interés es Vencida.) Calcular la tasa de interés en términos mensuales equivalente a una tasa de interés del 24% capitalizable mensualmente. J i e = m i e = 0,24 12 100 100 i e = 0,02 100 i e = 2% Mensual

12 EL COSTO DEL DINERO Calcular la tasa de interés en términos trimestrales equivalente a una tasa de interés del 30% capitalizable trimestralmente. J i e = m 0,30 i e = 4 100 100 i e = 0,0750 100 i e = 7,5% Trimestral 1.4.2 TASA DE INTERÉS EFECTIVA Es la tasa que mide el costo efectivo de un crédito o la rentabilidad efectiva de una inversión y resulta de capitalizar la tasa nominal. Cuando se habla de tasa efectiva se involucra el concepto del interés compuesto, porque refleja la reinversión de intereses. Nota: La relación que existe entre la tasa nominal y la tasa efectiva, es la misma que existe entre el interés simple y el interés compuesto. Lo anterior significa que la tasa nominal trabaja como interés simple y la tasa efectiva como interés compuesto. FÓRMULAS i e = Tasa Efectiva n = Numero de periodos ie = (1 + ie) n 1 Nota: Esta Formula Siempre se Utiliza de una Efectiva Pequeña a una Efectiva Grande. Calcular la tasa de interés en términos trimestrales equivalente a una tasa de interés del 2% mensual. i e = 1.0612 1 100 i e = 0,0612 100 i e = 6,12% Trimestral ie = (1 + ie) n 1 ie = (1 + 0,02) 3 1

13 Calcular la tasa de interés en términos semestrales equivalente a una tasa de interés del 4% trimestral. i e = 1.0612 1 100 i e = 0,0612 100 i e = 6,12% Semestral FÓRMULAS ie = (1 + ie) n 1 ie = (1 + 0,04) 2 1 i e =Tasa Efectiva n = Numero de periodos ie = (1 + ie) 1 n 1 Nota: Esta fórmula siempre se utiliza de una efectiva grande a una efectiva pequeña. Calcular la tasa de interés en términos mensuales equivalente a una tasa de interés del 18% anual. ie = (1 + ie) 1 n 1 i e = 1.0139 1 100 i e = 0,0139 100 i e = 1.39% Mensual ie = (1 + i0,18) 1 12 1 Calcular la tasa de interés en términos bimestrales equivalente a una tasa de interés del 5% trimestral. ie = (1 + ie) 1 n 1 i e = 1.0331 1 100 i e = 0,0331 100 i e = 3,31% Bimestral ie = (1 + i0,05) 1 1.5 1 1.4.3 TASA DE INTERÉS ANTICIPADA Es aquella tasa que se cobra al inicio del periodo y puede estar expresada en términos nominales o efectivos y generalmente va acompañada de la palabra (anticipada). Como se había mencionado anteriormente, todas las transacciones comerciales y bancarias se trabajan con tasa efectivas. Algunas instituciones trabajan con tasas anticipadas haciendo su costo financiero más alto.

14 EL COSTO DEL DINERO De ahí que se hace necesario encontrar relaciones de equivalencia entre tasas anticipadas y vencidas. FORMULAS i a = Ja 100 m i a = Tasa de Interés Periódica J a = Tasa de Interés Nominal Anual Anticipada m = Numero de Capitalizaciones de la Tasa Nominal Anual Anticipada Nota: Esta formula siempre se aplica cuando la tasa de interés nominal se liquida periódicamente en forma anticipada. (al principio de cada periodo). Calcular la tasa de interés en términos bimestrales anticipados equivalente a una tasa de interés del 30% capitalizable bimestralmente en forma anticipada. Ja i a = 100 m 0.30 i a = 6 100 i a = (0,05) 100 i a = 5% Bimestral Anticipada Calcular la tasa de interés en términos mensual anticipada equivalente a una tasa de interés del 24% capitalizable mensualmente en forma anticipada. Ja i a = 100 m 0.24 i a = 100 12 i a = (0,02) 100 i a = 2% Mensual Anticipada FÓRMULAS ie = ia 1 ia i e = Tasa Efectiva. i a = Tasa Efectiva con Aplicación de Interés en Forma Anticipada. Nota: Esta formula siempre se utiliza de una efectiva periódica a una efectiva periódica. (con relación uno a uno, esto quiere decir que estén en la misma unidad de tiempo.)

15 Calcular la tasa de interés en términos semestrales equivalente a una tasa de interés del 6% semestral anticipada. ie = ia 1 ia i e = (0.0638) 100 i e = 6.38% Semestral ie = 0.06 1 0.06 Calcular la tasa de interés en términos bimestrales equivalente a una tasa de interés del 4% bimestral anticipada. ie = ia 1 ia i e = (0,0417) 100 i e = 4,17% Bimestral FÓRMULA ie = 0.04 1 0.04 ia = ie 1 + ie i e = Tasa Efectiva i a = Tasa Efectiva con Aplicación de Interés en Forma Anticipada Nota: Esta fórmula siempre se utiliza de una efectiva periódica a una efectiva periódica. (con relación uno a uno, esto quiere decir que estén en la misma unidad de tiempo.) Calcular la tasa de interés en términos trimestrales anticipados equivalente a una tasa de interés del 5% trimestral. 0,05 i a = 1 + 0.05 100 i a = (0.0476) 100 i a = 4,76% Trimestral Anticipada ia = ie 1 + ie

16 EL COSTO DEL DINERO Calcular la tasa de interés en términos mensuales anticipados equivalente a una tasa de interés del 2.50% mensual. 0,0250 i a = 1 + 0.0250 100 i a = (0,0244) 100 i a = 2,44% Mensual Anticipada ia = ie 1 + ie 1.4.4 TASA DE INTERÉS COMPUESTA O CONJUGADA Es la que resulta de la aplicación simultanea de dos tasas de interés, así estas operen en condiciones diferentes. También se puede definir como la tasa que resulta de reconocer sobre una unidad monetaria (Dólar) o unidad contable (UVR), cuyo valor aumenta con el tiempo, una tasa de interés. Son ejemplos de tasas compuestas las resultantes de las operaciones de ahorro y préstamo en el sistema de financiación de vivienda UVR, en las que operan simultáneamente la tasa remuneratoria y la inflación; y de las operaciones con monedas extranjeras en las que intervienen al mismo tiempo la tasa de interés pagada en el exterior y la tasa de devaluación. FÓRMULA PARA EL CÁLCULO DEL COSTO DEL CRÉDITO EN MONEDA EXTRANJERA i e = Tasa Efectiva i D ev = Tasa de Devaluación i E xt = Tasa de Interés Externa ie = (idev + iext) + (idev iext) Nota: Esta fórmula siempre se utiliza en términos efectivos, vencidos y las tasas deben estar en la misma unidad de tiempo. FÓRMULA PARA EL CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS DE LOS CRÉDITOS DE VIVIENDA i e = Tasa Efectiva i I n f = Tasa de Inflación i C red = Tasa de Interés del Crédito ie = (iin f + icred) + (iin f icred) Nota: Esta fórmula siempre se utiliza en términos efectivos, vencidos y las tasas deben estar en la misma unidad de tiempo y la UVR se trabaja con la tasa de inflación.

17 Calcular el costo efectivo anual de un crédito de vivienda, si la tasa de financiación pactada fue de UVR+12% efectiva anual y la Inflación promedio anual es igual al 5% ie = (iin f + icred) + (iin f icred) i e = (0,17)) + (0.0060) 100 i e = (0,1760) 100 i e = 17,60% AnuaL ie = (0.05 + 0.12) + (0.05 0.12) RESUMEN DE LOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES Por el solo hecho que transcurra el tiempo el dinero cambia de valor, medido a través de su poder adquisitivo. Valores ubicados en diferentes fechas no se pueden sumar. La variación del dinero en un tiempo determinado se llama valor del dinero en el tiempo. El valor del dinero en el tiempo se mide por medio de los intereses. La tasa de interés mide el valor de los intereses. Valores diferentes ubicados en diferentes fechas son equivalentes si producen el mismo efecto económico. El concepto de equivalencia es relativo ya que depende de las expectativas de rendimiento de cada inversionista.

2 SERIES UNIFORMES Y SERIES VARIABLES 2.1 SERIES UNIFORMES O ANUALIDADES Una anualidad es un conjunto de pagos iguales, hechos a intervalos iguales de tiempo. El termino anualidad parece significar que los pagos se hacen anualmente, en Matemáticas Financieras anualidad significa pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, que pueden ser anuales, semestrales, trimestrales, bimestrales, mensuales, quincenales, diarios y otros El estudio de las anualidades es de mucha importancia en finanzas, entre otras razones porque es el sistema de amortización más común en los créditos comerciales, bancarios y de vivienda. Este sistema de pagos permite que el financiador cada vez que recibe el pago de la cuota recupere parte del capital prestado. CONDICIONES PARA QUE UNA SERIE DE PAGOS SEA UNA ANUALIDAD Para que un conjunto de pagos se considere una anualidad debe cumplir con las siguientes condiciones: Todos los pagos deben ser iguales. Todos los pagos deben ser periódicos. El número de pagos debe ser igual al número de periodos. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie, a la misma tasa, a un valor equivalente, es decir la anualidad debe tener un valor presente equivalente y un valor futuro equivalente. CLASES DE ANUALIDADES Las clases de anualidades más comunes son las siguientes: Anualidad Vencida. Anualidad Anticipada. Anualidad Diferida.

19 2.1.1 ANUALIDADES VENCIDAS Se llama anualidad vencida aquella en la que el pago se hace al final de cada periodo. Ejemplos: El salario mensual de un empleado, las cuotas mensuales iguales y vencidas en la adquisición de vehículos o de electrodomésticos por un sistema de financiación. VALOR PRESENTE Es un valor ubicado un periodo antes al pago de la primera cuota de la anualidad, equivalente a una serie de pagos periódicos e iguales. VALOR FUTURO Es un valor ubicado en el mismo momento en que se paga la última cuota de la anualidad, equivalente a una serie de pagos periódicos e iguales. FÓRMULAS PARA CALCULAR LAS VARIABLES DE ANUALIDADES VENCIDAS VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD VENCIDA P = Valor Presente A = Valor de la Cuota i = Tasa de Interés Periódica n = Número de Cuotas P = A i(1 + i) n VALOR DE LA CUOTA DE UNA ANUALIDAD VENCIDA EN FUNCIÓN DEL VALOR PRESENTE A = Valor de la Cuota P = Valor Presente i = Tasa de Interés Periódica n = Número de Cuotas i(1 + i) n A = P NUMERO DE CUOTAS DE UNA ANUALIDAD VENCIDA EN FUNCIÓN DEL VALOR PRESENTE n = loga log(a (P i)) log(1 + i)

20 SERIES UNIFORMES Y SERIES VARIABLES VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA F = Valor Futuro A =Valor de la Cuota i = Tasa de Interés Periódica n = Número de Cuotas F = A i VALOR DE LA CUOTA DE UNA ANUALIDAD VENCIDA EN FUNCIÓN DEL VALOR FUTURO A = Valor de la Cuota F = Valor Futuro i = Tasa de Interés Periódica n = Número de Cuotas i A = F NUMERO DE CUOTAS DE UNA ANUALIDAD VENCIDA EN FUNCIÓN DEL VALOR FUTURO n = log((f i) + A) loga log(1 + i) Nota: La tasa de interés (i) y el periodo de tiempo de la operación financiera (n) se trabajan en función del periodo de tiempo de la Anualidad, Cuota o Pago (A) Una obligación financiera se está cancelando con 4 cuotas mensuales iguales de $ 262.623,7527 cada una y la tasa de interés de financiación 2% mensual. Calcular el valor inicial de la obligación. Simbología A = $ 262.623,7527 n = 4 Cuotas Mensuales Iguales i = 2% Mensual = 2 100 = 0,02 P = $? Flujo de Caja

21 Aplicar Fórmula (Valor Presente Anualidad Vencida ) (1+i) n 1 P = A i(1+i) n P = 262.623,7527 P = $ 1.000.000 (1+0.02) 4 1 0.02(1+0.02) 4 Usted realiza depósitos iguales al final de cada bimestre de $ 500.000 cada uno, durante un año en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 4.2% bimestral. Calcule el valor acumulado en la cuenta al final del tiempo. Simbología A = $ 500.000 n = 1 Año = 6 Cuotas Bimestrales Iguales i = 4,2% Bimestral = 4,2 100 = 0,042 P = $? Flujo de Caja Aplicar Fórmula (Valor Futuro Anualidad Vencida ) F = A (1+i) n 1 i F = 500.000 F = $ 3.333.205,060 (1+0.042) 6 1 0.042 2.1.2 ANUALIDAD ANTICIPADA Es aquella en la cual los pagos se hacen al inicio, al comienzo o al principio de cada periodo. Ejemplos: El pago del canon de arrendamiento de un bien inmueble y algunos créditos comerciales en los que se le manifiesta al cliente que no se le cobrara cuota inicial, pero en el mismo momento en que se hace la negociación se le exige el pago de la primera cuota del conjunto de cuotas que tiene que pagar.

22 SERIES UNIFORMES Y SERIES VARIABLES VALOR PRESENTE Es un valor ubicado en el mismo periodo del pago de la primera cuota de la anualidad, equivalente a una serie de pagos periódicos e iguales. VALOR FUTURO Es un valor ubicado un periodo después al momento en que se paga la última cuota de la anualidad, equivalente a una serie de pagos periódicos e iguales. FÓRMULAS PARA CALCULAR LAS VARIABLES DE ANUALIDADES ANTICIPADAS VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA P = A(1 + i) i(1 + i) n P =Valor Presente A =Valor de la Cuota i =Tasa de Interés Periódica n =Número de Cuotas VALOR DE LA ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCIÓN DEL VALOR PRESENTE V P A = (1 + i) n 1 (1 + i) i(1 + i) n A =Valor de la Cuota P =Valor Presente i =Tasa de Interés Periódica n =Número de Cuotas NUMERO DE CUOTAS DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCIÓN DEL VALOR PRESENTE n = loga loga (i(p A)) log(1 + i) + 1 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA F = A (1 + i) n+1 (1 + i) i F =Valor Futuro A =Valor de la Cuota i =Tasa de Interés Periódica n =Número de Cuotas

23 VALOR DE LA ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCIÓN DEL VALOR FUTURO F A = (1 + i) n+1 (1 + i) i A =Valor de la Cuota F =Valor Futuro i =Tasa de Interés Periódica n =Número de Cuotas NUMERO DE CUOTAS DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCIÓN DEL VALOR FUTURO n = log F i A + (1 + i) log(1 + i) 1 Nota: La tasa de interés (i) y el periodo de tiempo de la operación financiera (n) se trabajan en función del periodo de tiempo de la Anualidad, Cuota o Pago (A) Una obligación financiera se está cancelando con 4 cuotas mensuales iguales pagaderas en forma anticipada de $ 262.623,7527 cada una y con una tasa de interés de financiación del 2% mensual. Calcular el valor inicial de la obligación. Simbología A = $ 262.623,7527 n = 4 Cuotas Mensuales Iguales Anticipadas i = 2% Mensual = 2 100 = 0.02 P = $? Flujo de Caja Aplicar Fórmula (Valor Presente Anualidad Anticipada ) P = A(1 + i) i(1 + i) n (1 + 0.02) 4 1 P = 262.623,7527(1 + 0.02) 0.02(1 + 0.02) 4

24 SERIES UNIFORMES Y SERIES VARIABLES P = $ 1.020.000 Usted realiza depósitos iguales al inicio de cada bimestre de $ 500.000 cada uno, durante un año en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 4.2% bimestral. Calcule el valor acumulado en la cuenta al final del tiempo. Simbología A = $ 500.000 n = 1 Año = 6 Cuotas Bimestrales Iguales i = 4.2% Bimestral = 4.2 100 = 0.042 P = $? Flujo de Caja Aplicar Fórmula (Valor Futuro Anualidad Anticipada ) (1 + i) n+1 (1 + i) F = A i (1 + 0.042) 6+1 (1 + 0.042) F = 500.000 0.042 F = $ 3.473.199,673 2.1.3 ANUALIDAD DIFERIDA Es aquella que se caracteriza por tener un periodo de gracia o periodo muerto entre el momento en que queda formalizada la operación financiera llamado momento de convenio y el pago de la primera anualidad, cuota o pago y existen dos casos. CASOS DE ANUALIDADES DIFERIDAS Cuando durante el periodo de gracia o periodo muerto los intereses causados no se cancelan periódicamente, sino que se van capitalizando. En este caso al final del periodo de gracia el capital habrá aumentado y por lo tanto para calcular el valor de la anualidad, cuota o pago se debe tener en cuenta este valor equivalente. Cuando durante el periodo de gracia o periodo muerto los intereses se pagan periódicamente. En este caso al final del periodo de gracia el capital inicial permanece constante sobre el cual se calculara el valor de la anualidad, cuota o pago.

25 Es un De una anualidad diferida, un préstamo bancario en el que el pago de las cuotas se inicia un año después de recibir el desembolso del préstamo. Usted recibe un crédito hoy para pagarlo con 4 cuotas mensuales iguales de $ 250.000 cada una, pagando la primera tres meses después y una tasa de interés de financiación del 1.5% mensual. Calcular el valor inicial de la obligación, si durante el periodo de gracia no pago los intereses. Simbología n = 4 Cuotas Mensuales Iguales A = $ 250.000 A 1 = $ 250.000 n = 3 mes i = 1.5% Mensual = 1.5 100 = 0.015 P = $? Flujo de Caja Aplicar Fórmula (Valor Presente Anualidad Diferida ) A i(1 + i) n P = (1 + i) n (1 + 0.015) 4 1 250.000 0.015(1 + 0.015) 4 P = (1 + 0.015) 2 P = 963.596,1619 1, 0302 P = $ 935.325,9355

26 SERIES UNIFORMES Y SERIES VARIABLES Usted recibe un crédito hoy para pagarlo con 4 cuotas mensuales iguales de $ 250.000 cada una, pagando la primera tres meses después y una tasa de interés de financiación del 1.5% mensual. Calcular el valor inicial de la obligación, si durante el periodo de gracia pago los intereses. Simbología n = 4 Cuotas Mensuales A = $ 250.000 A 1 = $ 250.000 n = 3 mes i = 1.5% Mensual = 1.5 100 = 0.015 P = $? Flujo de Caja Aplicar Fórmula (Valor Presente Anualidad Diferida ) A i(1 + i) n P = (1 + i) n (1 + 0.015) 4 1 250.000 0.015(1 + 0.015) 4 P = (1 + 0) 2 P = 963.596,1619 1 P = $ 963.596,1619

27 2.2 SERIES VARIABLES O GRADIENTES Un gradiente es una serie de pagos periódicos que tienen una ley de formación. Esta ley de formación hace referencia a que los pagos pueden aumentar o disminuir, con relación al pago anterior en una cantidad constante en pesos o en un porcentaje. CONDICIONES PARA QUE UNA SERIE DE PAGOS SEA UN GRADIENTE: Para que un conjunto de pagos se consideren un gradiente debe cumplir con las siguientes condiciones: Los pagos tiene que tener una ley de formación. Los pagos deben ser periódicos. La serie de pagos debe tener un valor presente equivalente y un valor futuro equivalente. El número de periodos debe ser igual número de pagos. CLASES DE GRADIENTES Las clases de gradientes más comunes son las siguientes: Gradiente Lineal o Aritmético Gradiente Geométrico o Exponencial 2.2.1 GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO CRECIENTE VENCIDO Es una serie de pagos periódicos tales que cada pago es igual al anterior aumentado en una cantidad constante en pesos y se realiza al final del periodo. Si una obligación financiera se está cancelando con cuotas mensuales que crecen o aumentan cada mes en $ 5.000, la serie de pagos que se origina es un gradiente lineal o aritmético creciente vencido. 2.2.2 GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO DECRECIENTE VENCIDO Es una serie de pagos periódicos tales que cada pago es igual al anterior disminuido en una cantidad constante en pesos y se realiza al final del periodo Si una obligación financiera se está cancelando con cuotas mensuales que decrecen o disminuyen cada mes en $ 5.000, la serie de pagos que se origina es un gradiente lineal o aritmético decreciente vencido. VALOR PRESENTE Es un valor ubicado un periodo antes al pago de la primera cuota del gradiente, equivalente a una serie de pagos periódicos que tienen una ley de formación. VALOR FUTURO Es un valor ubicado en el mismo momento en que se paga la última cuota del gradiente, equivalente a una serie de pagos periódicos que tienen una ley de formacion.

28 SERIES UNIFORMES Y SERIES VARIABLES FÓRMULAS PARA CALCULAR LAS VARIABLES DEL GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTE VENCIDO VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTE VENCIDO P = A 1 i(1 + i) n ± G i P =Valor Presente A 1 =Valor de la Primera Cuota de la Serie i =Tasa de Interés Periódica n =Número de Cuotas G =Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota i(1 + i) n n (1 + i) n VALOR DE LA 1RA CUOTA DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTE VENCIDO EN FUNCIÓN DEL VALOR PRESENTE P ± G i A 1 = i(1 + i) n n (1 + i) n i(1 + i) n A 1 =Valor de la Primera Cuota de la Serie P =Valor Presente i =Tasa de Interés Periódica n =Número de Cuotas G =Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota VALOR DE CUALQUIER CUOTA DIFERENTE A LA PRIMERA DE UN GRADIENTE LINEAL CRE- CIENTE O DECRECIENTE VENCIDO C n = Valor de la Cuota n n = Número de Cuota. A 1 = Valor de la Primera Cuota G = Variación de Cada Cuota C n = A 1 ± (n 1) G

29 VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTE VENCIDO F = A 1 ± G i i F = Valor Futuro A 1 = Valor de la Primera Cuota de la Serie i =Tasa de Interés Periódica n =Número de Cuotas G =Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota n i VALOR DE LA 1RA CUOTA DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTE VENCIDO EN FUNCION DEL VALOR FUTURO F ± G i A 1 = i i A 1 =Valor de la Primera Cuota de la Serie F =Valor Futuro i =Tasa de Interés Periódica n =Número de Cuotas G =Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota VALOR DE CUALQUIER CUOTA DIFERENTE A LA PRIMERA DE UN GRADIENTE LINEAL CRE- CIENTE O DECRECIENTE VENCIDO n C n = A 1 ± (n 1) G C n =Valor de la Cuota n n =Número de Cuota. A 1 =Valor de la Primera Cuota G =Variación de Cada Cuota Nota: La tasa de interés (i) y el periodo de tiempo de la operación financiera (n) se trabajan en función de la serie de pagos periódicos(a 1 ) y el Gradiente (G), que deben estar en el mismo periodo y en las fórmulas de gradientes se trabaja con signo positivo el gradiente cuando sea creciente y con signo negativo cuando sea decreciente.

30 SERIES UNIFORMES Y SERIES VARIABLES Una obligación financiera se está cancelando con 4 cuotas mensuales, siendo el valor de la primera cuota de $ 200.000, aumentando cada mes en $ 5.000 y la tasa de interés de financiación es del 2% mensual. Calcular el valor inicial de la obligación. Simbología n = 4 Cuotas Mensuales A 1 = $ 200.000 Mensuales i = 2% Mensual = 2 100 = 0.02 G = $ 5.000 Mensuales Crecientes P = $? Flujo de Caja Aplicar Fórmula (Valor Presente Gradiente Lineal o Aritmético Creciente Vencido ) P = A 1 i(1 + i) n + G i i(1 + i) n n (1 + i) n (1 + 0.02) 4 1 P = 200.000 0.02(1 + 0.02) 4 + 5.000 (1 + 0.02) 4 1 0.02 0.02(1 + 0.02) 4 4 (1 + 0.02) 4 P = 200.0003,8077 + 250.0000,1123 P = 761.545,7397 + 28.086,7486 P = $ 789.632,4884

31 Una obligación financiera se está cancelando con 4 cuotas bimestrales, siendo el valor de la primera de $ 500.000, disminuyendo cada bimestre en $ 2.000 y la tasa de interés de financiación es del 3.5% bimestral. Calcular el valor inicial de la obligación. Simbología n = 4 Cuotas Bimestrales A 1 = $ 500.000 Bimestralmente i = 3.5% Bimestral = 3,5 100 = 0.035 G = $ 2.000 Bimestralmente Decreciente P = $? Flujo de Caja Aplicar Fórmula (Valor Presente Gradiente Lineal o Aritmético Decreciente Vencido ) P = A 1 i(1 + i) n G i i(1 + i) n n (1 + i) n (1 + 0.035) 4 1 P = 500.000 0.035(1 + 0.035) 4 2.000 0.035 P = 500.0003,6731 57.142,85710,1873 P = 1.836.539,604 10.703,4456 P = $ 1.825.836,159 (1 + 0.035) 4 1 0.035(1 + 0.035) 4 4 (1 + 0.035) 4

32 SERIES UNIFORMES Y SERIES VARIABLES Usted realiza depósitos cada trimestre, siendo el valor del primero de $ 500.000 aumentando cada trimestre en $ 10.000, durante un año en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 4.8% Trimestral. Calcule el valor acumulado en la cuenta al final del tiempo. Simbología A 1 = $ 500.000 Trimestralmente G = $ 10.000 Trimestralmente Crecientes n = 1 Año = 4 Cuotas Trimestres i = 4.8% Mensual = 4,8 100 = 0.048 F = $? Flujo de Caja Aplicar Fórmula (Valor Futuro Gradiente Lineal o Aritmético Creciente Vencido ) F = A 1 + G i i n i F = 500.000 (1+0.048) 4 1 0.048 + 10.000 (1 + 0.048) 4 1 4 0.048 0.048 F = 500.0004,2973 + 208.333,33330,2973 F = 2.148.663,296 + 61.943,0400 F = $ 2.210.606,336

33 Usted realiza depósitos semestrales, siendo el valor del primer depósito de $ 1.000.000, disminuyendo cada semestre en $ 50.000 durante dos años, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 6 % semestral. Calcule el valor acumulado en la cuenta al final del tiempo. Simbología A 1 = $ 1.000.000 Semestralmente G = $ 50.000 Semestralmente Decrecientes n = 2 Año = 4 Cuotas Semestres i = 6% Semestral = 6 100 = 0.06 F = $? Flujo de Caja Aplicar Fórmula (Valor Futuro Gradiente Lineal o Aritmético Decreciente Vencido ) F = A 1 G i i n i F = 1.000.000 (1 + 0.06) 4 1 50.000 (1 + 0.06) 4 1 4 0.06 0.06 0.06 F = 1.000.0004,3746 + 833.333,33330,3746 F = 4.374.616 312.180 F = $ 4.062.436

34 SERIES UNIFORMES Y SERIES VARIABLES 2.2.3 GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO CRECIENTE ANTICIPADO Es una serie de pagos periódicos tales que cada pago es igual al anterior aumentado en una cantidad constante en pesos y que se realiza al comienzo del periodo. Si una obligación financiera se está cancelando con cuotas al inicio de cada mes que crecen o aumentan cada mes en $ 5.000, la serie de pagos que se origina es un gradiente lineal o aritmético creciente anticipado. 2.2.4 GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO DECRECIENTE ANTICIPADO Es una serie de pagos periódicos tales que cada pago es igual al anterior disminuido en una cantidad constante en pesos y que se realizan al comienzo del periodo Si una obligación financiera se está cancelando con cuotas al inicio de cada mes que decrecen o disminuyen cada mes en $ 5.000, la serie de pagos que se origina es un gradiente lineal o aritmético decreciente anticipado. VALOR PRESENTE Es un valor ubicado en el mismo periodo del pago de la primera cuota del gradiente, equivalente a una serie de pagos anticipados y periódicos que tienen una ley de formación. VALOR FUTURO Es un valor ubicado un periodo después al pago de la última cuota del gradiente, equivalente a una serie de pagos anticipados y periódicos que tienen una ley de formación. FÓRMULAS PARA CALCULAR LAS VARIABLES DEL GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTE ANTICIPADO VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTE ANTICIPADO P = A 1 i(1 + i) n 1 ± G i P =Valor Presente A 1 =Valor de la Primera Cuota de la Serie i =Tasa de Interés Periódica n =Número de Cuotas G =Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota i(1 + i) n-1 n (1 + i) n-1

35 VALOR DE LA 1RA CUOTA DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTE ANTICI- PADO EN FUNCIÓN DEL VALOR PRESENTE A 1 = P ± G i i(1 + i) n 1 n (1 + i) n 1 i(1 + i) n 1 A 1 =Valor de la Primera Cuota de la Serie P =Valor Presente i =Tasa de Interés Periódica n =Número de Cuotas G =Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota VALOR DE CUALQUIER CUOTA DIFERENTE A LA PRIMERA DE UN GRADIENTE LINEAL CRE- CIENTE O DECRECIENTE ANTICIPADO Cn = A 1 ± (n 1) G C n =Valor de la Cuota n n =Número de Cuota A 1 =Valor de la Primera Cuota G =Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTE ANTICIPADO (1 + i) n+1 1 F = A 1 ± G (1 + i) n+1 1 n(1 + i) i i i F =Valor Presente A 1 =Valor de la Primera Cuota de la Serie i =Tasa de Interés Periódica n =Número de Cuotas G =Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota VALOR DE LA 1RA CUOTA DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTE ANTICI- PADO EN FUNCIÓN DEL VALOR FUTURO F ± G (1 + i) n+1 1 n(1 + i) i i A 1 = (1 + i) n+1 1 i A 1 =Valor de la Primera Cuota de la Serie F =Valor Presente i =Tasa de Interés Periódica n =Número de Cuotas G =Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota

36 SERIES UNIFORMES Y SERIES VARIABLES VALOR DE CUALQUIER CUOTA DIFERENTE A LA PRIMERA DE UN GRADIENTE LINEAL CRE- CIENTE O DECRECIENTE ANTICIPADO C n =Valor de la Cuota n n =Número de Cuota A 1 =Valor de la Primera Cuota G =Constante en que Aumenta o Disminuye Cada C n = A 1 ± (n 1) G Nota: La tasa de interés (i) y el periodo de tiempo de la operación financiera (n) se trabajan en función del periodo de tiempo de la Anualidad, Cuota o Pago (A) y el Gradiente (G), que deben estar en el mismo periodo y en las fórmulas de gradientes se trabaja con signo positivo el gradiente cuando sea creciente y con signo negativo cuando sea decreciente. Una obligación financiera se está cancelando con 4 cuotas mensuales anticipadas de $ 200.000 cada una, que aumentan cada mes en $ 5.000 y la tasa de interés de financiación es del 2% mensual. Calcular el valor inicial de la obligación. Simbología n = 4 Cuotas Mensuales Anticipadas A 1 = $ 200.000 Mensuales Anticipados i = 2% Mensual = 2 100 = 0.02 G = $ 5.000 Mensuales Crecientes P = $? Flujo de Caja Aplicar Fórmula (Valor Presente Gradiente Lineal o Aritmético Creciente Anticipado) P = A 1 i(1 + i) n 1 G i i(1 + i) n-1 n (1 + i) n-1 (1 + 0.02) 4 1 P = 200.000 0.02(1 + 0.02) 4 1 + 5.000 (1+0.02) 4 1 4 0.02 0.02(1+0.02) 4-1 (1+0.02) 4-1

37 P = 200.0003,8839 + 250.0000.1146 P = 776.776,6545 + 28.648,4836 P = $ 805.425,1381 Una obligación financiera se está cancelando con 4 cuotas bimestrales de $ 500.000 cada una, que disminuyen cada bimestre en $ 2.000 y la tasa de interés de financiación es del 3.5% bimestral. Calcular el valor inicial de la obligación. Simbología: n = 4 Cuotas Bimestrales Anticipadas A 1 = $ 500.000 Bimestralmente Anticipados i = 3.5% Bimestral = 3.5 100 = 0.035 G = $ 2.000 Bimestralmente Decreciente P = $? Flujo de Caja Aplicar Fórmula (Valor Presente Gradiente Lineal o Aritmético Decreciente Anticipado) P = A 1 i(1 + i) n 1 G i (1 + 0.035) 4 1 P = 500.000 0.035(1 + 0.035) 4 1 i(1 + i) n 1 n (1 + i) n 1 2.000 0.035 (1 + 0.035) 4 1 0.035(1 + 0.035) 4 1 4 (1 + 0.035) 4 1 P = 500.0003,8016 57.142,85710,1939 P = 1.900.818,490 11.078,0662 P = $ 1.889.740,424

38 SERIES UNIFORMES Y SERIES VARIABLES Usted realiza depósitos al inicio de cada trimestre de $ 500.000 el primero, que aumentan cada trimestre en $ 10.000, durante un año en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 4.8% Trimestral. Calcule el valor acumulado en la cuenta al final del tiempo. Simbología: A 1 = $ 500.000 Trimestralmente Anticipada G = $ 10.000 Trimestralmente Crecientes n = 1 Año = 4 Cuotas Trimestrales i = 4.8% Mensual = 4,8 100 = 0.048 F = $? Flujo de Caja: Aplicar Fórmula (Valor Presente Lineal o Aritmético Creciente Anticipado) F = A 1 F = 500.000 (1 + i) n+1 1 ± G i i (1 + i) n+1 1 n(1 + i) i (1 + 0.048) 4+1 1 + 10.000 (1 + 0.048) 4+1 1 0.048 0.048 4(1 + 0.048) 0.048 F = 500.0004,5036 + 208.333,33330,3116 F = 2.251.799,134 + 64.916,3059 F = $ 2.316.715,440

39 Usted realiza depósitos al inicio de cada semestre de $ 1.000.000 cada uno, que disminuyen cada semestre en $ 50.000, durante dos año en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 6 % semestral. Calcule el valor acumulado en la cuenta al final del tiempo. Simbología: A 1 = $1.000.000 Semestralmente Anticipadas G = $ 10.000 Semestralmente Decreciente n = 2 Año = 4 Cuotas Semestrales i = 6% Semestral = 6 100 = 0.06 F = $? Flujo de Caja Aplicar Fórmula (Valor Presente Lineal o Aritmético Creciente Anticipado) F = A 1 F = 1.000.000 (1 + i) n+1 1 ± G i i (1 + i) n+1 1 n(1 + i) i (1 + 0.06) 4+1 1 50.000 (1 + 0.06) 4+1 1 4(1 + 0.06) 0.06 0.06 0.06 F = 1.000.0004,6371 833.333,33330,3971 F = 4.637.092,960 330.910,8000 F = $ 4.306.182,160

40 SERIES UNIFORMES Y SERIES VARIABLES 2.2.5 GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO DIFERIDO Es una serie de pagos periódicos tales que cada pago es igual al anterior aumentado o disminuido en una cantidad constante en pesos. Cuando la cantidad constante es positiva se genera el gradiente aritmético creciente. Cuando la cantidad constante es negativa se genera el gradiente aritmético decreciente, se caracteriza por tener un periodo de gracia o periodo muerto entre el momento en que queda formalizada la operación financiera llamado momento de convenio y el pago de la primera cuota.. Cuando durante el periodo de gracia o periodo muerto los intereses causados no se cancelan periódicamente, sino que se van capitalizando. En este caso al final del periodo de gracia el capital habrá aumentado y por lo tanto para calcular el valor de la anualidad, cuota o pago se debe tener en cuenta este valor equivalente. Cuando durante el periodo de gracia o periodo muerto los intereses se pagan periódicamente. En este caso al final del periodo de gracia el capital inicial permanece constante sobre el cual se calculara el valor de la anualidad, cuota o pago. Es un De una gradiente lineal o aritmético diferido, un préstamo bancario en el que el pago de las cuotas se inicia un año después de recibir el desembolso del préstamo. Usted recibe un crédito hoy para pagarlo con 5 cuotas mensuales de $ 300.000 cada una, que aumentan cada mes en $ 20.000, pagando la primera 4 meses después y una tasa de interés de financiación del 1.8% mensual. Calcular el valor inicial de la obligación, si durante el periodo de gracia no pago los intereses. Simbología: n = 5 Cuotas Mensuales A 1 = $ 300.000 Mensuales n = 4 Meses i = 1.8% Mensual = 1,8 100 = 0.02 G = $ 20.000 Mensuales Crecientes P = $? PG = No pago los intereses Flujo de Caja

41 Aplicar Fórmula (Valor Presente Gradiente Lineal o Aritmético Creciente Diferido) (1 + i) n 1 A 1 i(1 + i) n + G i i(1 + i) n n (1 + i) n P = (1 + i) n (1 + 0.018) 5 1 300.000 0.018(1 + 0.018) 5 P = + 20.000 0.018 (1 + 0.018) 3 300.0004,7409 + 1.111.111,11110,1676 P = (1, 0550) 1.422.283,380 + 186.255,1280 P = (1, 0550) P = 1.608.538,508 (1, 0550) P = $ 1.524.713,088 (1 + 0.018) 5 1 0.018(1 + 0.0180) 5 5 (1 + 0.018) 5 Usted recibe un crédito hoy para pagarlo con 5 cuotas mensuales de $ 300.000 cada una, que aumentan cada mes en $ 20.000, pagando la primera cuatro meses después y una tasa de interés de financiación del 1.8% mensual. Calcular el valor inicial de la obligación, si durante el periodo de gracia pago los intereses. Simbología: n = 5 Cuotas Mensuales A 1 = $ 300.000 Mensuales n = 4 Meses i = 1.8% Mensual = 1,8 100 = 0.02 G = $ 20.000 Mensuales Crecientes P = $? PG = Pago los intereses Flujo de Caja

42 SERIES UNIFORMES Y SERIES VARIABLES Aplicar Fórmula (Valor Presente Gradiente Lineal o Aritmético Creciente Diferido) (1 + i) n 1 A 1 i(1 + i) n + G i i(1 + i) n n (1 + i) n P = (1 + i) n (1 + 0.018) 5 1 300.000 0.018(1 + 0.018) 5 P = + 20.000 0.018 (1 + 0) 3 300.0004,7409 + 1.111.111,11110,1676 P = 1 1.422.283,380 + 186.255,1280 P = 1 P = 1.608.538,508 1 P = $ 1.608.538,508 (1 + 0.018) 5 1 0.018(1 + 0.0180) 5 5 (1 + 0.018) 5