apítulo 1 Rectas notables 1.1. Puntos y rectas notables en el triángulo ltura, mediana y bisectriz Sean, y los vértices de un triángulo de lados opuestos a, b y c, respectivamente. H a c h b a H c H b b h c b M c m a c m b a M b M a c v a v b V b V a b a Figura 1 las distancias de los vértices a sus lados opuestos las llamaremos las alturas del triángulo. las alturas las denotaremos con h a, h b, h c, y a sus puntos de intersección con los lados con H a, H b, H c, respectivamente. Designaremos con m a, m b y m c las tres medianas, llamando así a las distancias de cada vértice, y al punto medio M a, M b y M c del lado opuesto. Finalmente, denotaremos con v a, v b y v c, a los segmentos de bisectriz de 1
2 PÍTULO 1. RETS NOTLES los ángulos comprendidos entre dichos vértices y su respectivas intersecciónes V a, V b y V c con los respectivos lados opuestos. 1.1.1. ircunferencia circunscrita M c O M b Hemos visto que tres puntos no colineales, y, determinan una circunferencia que los contiene y cuyo centro O está en la intersección de las mediatrices de los segmentos que estos puntos determinan. De modo que En todo triángulo las mediatrices de sus lados se cortan en un punto al que llamaremos circuncentro, por ser este centro de la circunferencia llama- Figura 2 da cirncunscrita al triángulo. 1.1.2. Ortocentro. ' H ' Teorema 1.1.1 Las paralelas de los lados de un triángulo que pasan por los vértices opuestos, forman otro triángulo de lados dobles del primero. Los puntos medios de los lados del nuevo triángulo son, y. ' Demostracion. Veamos que el segmento es el doble de. Para Figura 3 ello consideremos el cuadrilátero. Por construcción, este cuadrilátero es un paralelogramo y en consecuencia los lados opuesto y son iguales. Otro tanto ocurre con el cuadrilátero, es paralelogramo y es igual a. De igual manera se demuestra que los segmentos lados y son dobles de los lados y respectivamente. orolario 1.1.1 Las mediatrices del triángulo contienen a las alturas del triángulo.
1.1. PUNTOS Y RETS NOTLES EN EL TRIÁNGULO 3 Por ejemplo, la mediatriz del lado, por construcción es perpendicular al lado y pasa por el vértice, conteniendo de esta manera la altura H a. Otro tanto sucede con las otras alturas. orolario 1.1.2 Las alturas de todo triángulo se cortan en un mismo punto. Este punto se llama el ortocentro del triángulo. 1.1.3. ircunferencia inscrita Teorema 1.1.2 Las tres bisectrices internas de un triángulo se cortan en un punto. En efecto las bisectrices de los ángulos y se cortan porque forman con la secante común ángulos cuya suma es menor que uno llano (Euclides). El punto I de inteseccion de estas rectas equidista de los lados adyacentes a los ángulos y, esto es, de los tres lados. Se sigue que la tercera bisecriz ha de cortar a las anteriores en el mismo punto. El punto de intersección se llama in- I Figura 4 centro del triángulo. orolario 1.1.3 Existe una única circunferencia interior, tangente a los tres lados de un triángulo. Se llama circunferencia inscria en el triángulo. ircunferencia exinscrita El incentro de un triángulo es el único punto interior que equidista de las rectas de los lados. Existen también puntos exteriores que tiene la misma propiedad y se llaman exincentros.
4 PÍTULO 1. RETS NOTLES sí como el incentro se obtiene de considerar las bisectrices internas de un triángulo, consideremos por ejemplo las bisecrices de los ángulos P P I b Q y Q (ver la figura 5). Dichas bisectrices se cortan por cortase sus b I perpendiculares (como acabamos de I c c ver). Igual que antes, el punto de interscción I b equidista de las tres rec- a I tas P, Q y. Por ser equidistante de P y Q el punto I b se ha- a lla sobre la bisectriz del ángulo. Figura 5 Hemos demostrado el siguiente Teorema 1.1.3 ada dos bisectrices exteriores de un triángulo concurren en un punto con la bisecriz interior del tercer vértice. Este punto es centro de una cricunferencia tangente a un lado y las prolongaciones de los otros dos. La circunferencia mencionada se llama exinscrita al triángulo. Existen pues tres circunferencias exinscritas y tres exincentros. onsideremos el triángulo formado por los exincentros. Los lados de este triángulo son bisctrices exteriores del triángulo dado y las bicectrices interiores de este son las alturas de aquél (por ser perpendiculares las bisectrices de ángulos adyacentes). En particular, el triángulo I a I b es recto, por lo que el ángulo I b es agudo. El triángulo I a I b I c es acutángulo.
1.2. TRIÁNGULO ÓRTIO 5 1.2. Triángulo órtico d H a H c H a b g H b Teorema 1.2.1 Las alturas de todo triángulo acutángulo son bisectrices interiores del triángulo H a H b H c, cuyos vértices son las intersecciones de dichas alturas con el triángulo dado. Demostracion. Veamos por ejemplo que los ángulos H a H c y H a H b Figura 6 (marcados como α y β en la figura) son iguales. Observemos que los triángulos H b y H c son rectángulos y comparten la hipotenusa. Los cuatro puntos H b, H c, y yacen sobre una misma circunferencia. Se sigue que los ángulos inscritos γ y δ son iguales. También ocurre que los triángulos rectángulos HH b y HH a comparten su hipotenusa. Los puntos H, H a, y H b se encuentran sobre una circunferencia y los ángulos inscritos β y γ son iguales. De la misma manera se demuestra que α es igual a δ, quedando de esta manera demostrado el teorema. El triángulo H a H b H c se llama el triángulo órtico del triángulo orolario 1.2.1 Los lados de un triángulo acutángulo son las bisectrices exteriores de su triángulo órtico. Los vértices de aquél son los excicentros de este. H H b H a M b M a M c H c Figura 7 Si el triángulo es obtuso, se puede demostrar que dos de los lados son bisectrices inteririores y el tercero es bisectirz exterior del triángulo órtico. Las alturas son las bisectrices restantes. Si el triángulo es rectángulo no exitiste triángulo órtico.
6 PÍTULO 1. RETS NOTLES Seis puntos notables de la circunferencia circunscrita G' a Recordando los razonamientos que se dieron en la discusión de haces homólogos en una rotacion podemos enunciar sin más el siguiente Ic G b G a Figura 8 G' c G a O I ' G a I a G' b G c Ib Teorema 1.2.2 La circunferencia circunscrita a un triángulo contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto. onsideremos el triángulo y el triángulo I a I b I c formado por los exincentros de aquel. Hemos visto que las alturas del triángulo de excincentros pasan por los puntos, y. sí por ejemplo los triángulos I a I b y I a I b son rectángulos y comparten la hipotenusa I a I b. y están por tanto en una circunferencia cuyo centro es la intersección de esta hipotenusa con la midiatriz Figura 9 del segmento, esto es, con el punto G c. nálogamente, el segmento II c es hipotenusa compartida de los triángulos rectángulos II c y II c. Los puntos y están sobre una circunferencia de diámetro II c cuyo punto medio es su intersección con la mediatriz del segmento, o sea el punto G c. Hemos demostrado el siguiente Teorema 1.2.3 La circunferencia circunscrita a un triángulo cualquiera, contiene los puntos medios de los lados del triángulo de los exincentros, así como los puntos medios de los segemtnos que unen éstos con el incentro írculo de Feuerbach plicando lo anterior al triángulo órtico de uno no rectángulo tenemos
1.2. TRIÁNGULO ÓRTIO 7 Teorema 1.2.4 La circunferencia que pasa por los extremos de las alturas de un triángulo acutángulo contiene los puntos medios de sus lados así como los puntos medios de los segmentos de altura comprendidos entre cada vértice y el ortocentro. Esta circunferencia se llama circunferencia de Feuerbach (también llamada de Euler). aricentro de un triángulo M b G M a Teorema 1.2.5 Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto G. El segmento de mediana comprendido entre el punto medio del lado y el el punto G es un tercio de la misma. P Q Demostración. Sea G la intersección M c de dos de las medianas M a y M b. Sean P y Q puntos medios de los segmentos G y G respectivamente. Figura 10 Observamos que la recta M a M b es paralela media del triángulo y es la mitad del segmento. La recta P Q es paralela media del triángulo G y es tambien mitad del segmento. El cuadrilátero P QM a M b es rectángulo pues dos de sus lados son paralelos e iguales y el punto G es punto medio de sus diagonales. sí M a G = GP = P y M b G = GQ = Q. Finalmente la otra mediana debe pasar por G puesto que debe dividir a las otras dos de la misma manera. l punto G lo llamremos baricentro del triángulo.
8 PÍTULO 1. RETS NOTLES Recta de Euler Q P G H M M' M a M b Figura 11 onsideremos el triángulo. Sean M a y M b los puntos medios de los lados y respectivamente. Sean G el baricentro del triángulo y H el ortocentro del triángulo. Por el punto medio P del segmento G tracemos la paralela de la altura h a. Por ser paralela media del triángulo HG dicha recta corta al lado HG en su punto medio M. Lo mismo ocurre con si trazamos la paralela de la altura h b por el punto medio Q del segmento G. En la simetría con respecto al punto G, los puntos M a y M b son simétricos de P y Q respectivamente y M simétrico de M resulta ser el circuncntro del triángulo. on esto, hemos demostrade el siguiente Teorema 1.2.6 El baricentro de un triángulo es colineal con el ortocentro y el circuncentro y está a doble distancia del primero que del segundo. La recta que contiene a estos tres puntos se llama recta de Euler. Recta de Simson Sea un triángulo y P un punto sobre la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. Sean Q, R y S los pies de las perpendiculares a los S lados que pasan por el punto P. En R el cuadrilátero RP Q los ángulos no Q consecutivos son suplementarios. Se P sigue que los vértices de dicho cuadrilátero están sobre una misma circunferencia y que los ángulos QP Figura 12 y QR sonn iguales. De manera semejante, el cuadrilátero P RS tiene sus vértices sobre una misma circunferencia, puesto que los triángulos P R
1.3. PLIIONES DEL RO PZ 9 y P S son rectángulos en R y S, respectivamente. Se sigue que los ángulos SP y SR son iguales. hora bien, los ángulos P y QP S son ambpos suplementarios del ángulo, el primero por estar el vértice P de distinto lado que respecto de la cuerda y el segundo porque los ángulos y en el cuadrilátero QP S son rectos. El giro que mueva la semirrecta P Q sobre la semirrecta P, llevará la semirrecta P S sobre P, por lo que los ángulos QP y SP son iguales. La discusión anterior demuestra el siguiente Teorema 1.2.7 Los pies de las perpendiculares a los lados de un triángulo, desde un punto sobre la circunferencia circunscrita son colineales. La recta que los contiene se llama la recta de Simson. 1.3. plicaciones del arco capaz En construcciones, donde uno o varios ángulos son conocidos, es útil considerar este concepto. h a a Figura 13 Ejemplo 1. onstruir un triángulo, dados a, h a y. omenzamos trazando el arco capaz del segmento a con ángulo. Trazammos la recta paralela al segmento a a distancia h a de esta. Los puntos de intersección de aquella recta con el arco capaz son vértices del triángulo buscado.
10 PÍTULO 1. RETS NOTLES a m a Figura 14 Ejercicios. Ejemplo 2. onstruir un triángulo, dados a, m a y. Trazado el arco capaz del segmento a y de ángulo, trazamos por el punto medio del segmento un arco de circunferencia de radio m a, que las intersecciones de este arco con el arco capaz proveen las intersecciones del tercer vértice del triángulo buscado. 1. Sean el vértice de un ángulo agudo y H un punto interior a dicho ángulo. Determine el triángulo que tiene al punto H como ortocentro. 2. Sea un triángulo que no es rectángulo. Las paralelas de los lados de este triángulo que pasan por los vértices opuestos, forman otro triángulo. Muestre que el ortocentro del triángulo es el circuncentro del triángulo. 3. onsidere la circunferencia circunscrita a un triángulo y los arcos de circunferencia determinada por ella y los vértices del triángulo. Muestre que los simétricos de dichos arcos, respecto a los lados respectivos del triangulo, se intersectan en el ortocentro del triángulo. 4. Sean a, b y c tres rectas secantes dos a dos. Determine las cirunferencias tangentes a estas tres rectas. 5. Dados tres puntos no colineales trazar tres circunferencias tangentes dos a dos en los puntos dados. 6. Demostrar que las paralelas a dos lados de un triángulo por el baricentro cortan al tercer lado en tres segmentos iguales. 7. Demostrar que la recta que une al vértice de un triángulo con el incentro, corta a la circunferencia circunscrita en un punto P equidistante de, I y. 8. onstruir un cuadrado que pase por cuatro puntos dados.
1.3. PLIIONES DEL RO PZ 11 9. onstruir un rombo que pase por cuatro puntos dados, conocido uno de sus ángulos. 10. ondición necesaria y suficiente para que un trapecio se inscriptible. 11. * Dadas dos rectas fijas secantes m y n y en ellas, dos puntos fijos M y N, consideremos dos circunferencias s 1 y s 2 respectivamente tangentes a m en M y a n en N y además tangentes entre sí en P. Hallar el lugar geométrico de P.