Recta de Euler en cuadriláteros. Mario Dalcín Instituto de Profesores Artigas Uruguay
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- Alberto Maidana Acuña
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1 Recta de Euler en cuadriláteros Mario Dalcín Instituto de Profesores rtigas Uruguay Resumen El circuncentro (), baricentro (G) y ortocentro () de todo triángulo están alineados en la recta de Euler y verifican la relación mg = 2 mg. En el presente artículo se define baricentro (G) y ortocentro () de un cuadrilátero inscriptible de circuncentro () y se demuestra que dichos puntos están alineados y verifican la relación mg = 3 mg. Palabras clave: recta de Euler, cuadriláteros, medianas, circuncentro, baricentro, ortocentro. Revista Digital Matemática, Educación e Internet ( volumen 7, número Introducción En los Elementos (Libro IV, Proposición 5) de Euclides ya figura la concurrencia de las mediatrices de los lados de un triángulo en el circuncentro. Es en obras de rquímedes donde aparece la concurrencia de medianas (El equilibrio de los planos, Proposición 13) y alturas de un triángulo (Libro de los Lemas, Proposición 5) en baricentro y ortocentro respectivamente. Durante 2000 años estos puntos tuvieron una existencia independiente uno del otro. abría que esperar a Leonard Euler ( = 1783) para reparar en que dichos puntos estaban alineados y por si fuera poco que la distancia del baricentro al ortocentro era el doble de la distancia del circuncentro al baricentro. El presente artículo busca responder a la siguiente interrogante: uál será la situación de estos puntos en un cuadrilátero?. Para ello tendremos que generalizar la idea de baricentro, circuncentro y ortocentro y buscar definirlos en un cuadrilátero. Empecemos por señalar que sólo tendrá sentido hablar de circuncentro de un cuadrilátero en el caso en que este sea inscriptible. 1
2 2. Recta de Euler en triángulos Proposición 1 El circuncentro (), baricentro (G) y ortocentro () de un triángulo están alineados y verifican la relación mg = 2.mG. G M E Figura 1: G = 0.50 cm G = 1.00 cm G Figura 2: Demostración quí E el simétrico de respecto de, es perpendicular a por ser altura de, E es perpendicular a por ser E diámetro de, por lo que es paralela a E; del mismo modo es paralela a E. El cuadrilátero E es paralelogramo por lo que sus diagonales y E se cortan en su punto medio M por lo que M es mediana de y además mediana de E. omo es punto medio de E el segmento es mediana de E por lo que el punto G de intersección de y M es baricentro de E de donde usando la propiedad de las medianas de un triángulo que demostraremos a continuación podemos afirmar que, G, están alineados y mg = 2 mg. 2
3 3. aricentro de un cuadrilátero Entendiendo como baricentro de un segmento a su punto medio, definimos las medianas de un triángulo como los segmentos que unen cada vértice del triángulo con el baricentro del lado opuesto, se cumple la siguiente proposición. Proposición 2 Las medianas de un triángulo concurren en un punto que divide a cada mediana en dos segmentos uno doble del otro. Demostración Las medianas N y M se cortan en G, Q y R los puntos medios de G y G respectivamente. Q N R G M Figura 3: MN y QR son paralelos e iguales entre sí por ser paralelos a e iguales a su mitad por lo que el cuadrilátero MNQR es paralelogramo, de donde G es punto medio de sus diagonales QM y RN. En resumen: R = RG = GN y Q = QG = GM. (1) Procediendo de forma análoga: considerando que las medianas N y P se cortan en G, llamando Q y S a los respectivos puntos medios de G y G, como NP y R S son paralelos a e iguales a su mitad el cuadrilátero NP R S es paralelogramo de donde G es punto medio de sus diagonales SP y R N. En resumen: R = R G = G N y S = SG = G P.(2) Por lo visto en (1) se cumple que R = RG = GN y de lo visto en (2) se cumple que R = R G = G N por lo que debe ser G = G. 3
4 P N G' R' S Figura 4: Definición [aricentro]. Llamaremos baricentro de un triángulo al punto de intersección de sus medianas. Definición [Medianas de un cuadrilátero]. Definimos las medianas de un cuadrilátero como los segmentos que unen cada vértice con los baricentros de los triángulos que forman los tres vértices restantes. Proposición 3 Se cumple la siguiente proposición: Las medianas de un cuadrilátero concurren en un punto que divide a cada mediana en dos segmentos uno triple del otro. Demostración S y T los baricentros de y D respectivamente. T y DS se cortan en G. Por lo demostrado acerca de las medianas de un triángulo se cumple que mn mns = mnd = 3 de donde mnt por el recíproco de Tales podemos afirmar que T S y D son paralelas y por tanto que los triángulos GT S y GD son semejantes, se cumple así que mg mgt = mgd mgs = md y como además mt S md mt S = mnd = 3 podemos concluir que mg = 3 mgt y mgd = 3 mgs (1) mnt Razonado de manera análoga, si las medianas T y U se cortan en G se cumple que mg = 3 mg T y mg = 3 mg U. (2) 4
5 partir de lo visto en (1) el punto G pertenece al segmento T y cumple que mg = 3 mgt y por lo visto en (2) el punto G pertenece al segmento T también cumple que mg = 3 mg T, de donde podemos concluir que G = G. M S G N T P D Figura 5: Q G' N U T P D Figura 6: Definición [aricentro de un cuadrilátero]. Llamaremos baricentro de un cuadrilátero al punto de intersección de sus medianas. 4. rtocentro de un cuadrilátero Proposición 4 Sea triángulo de circuncentro. Sean,, simétricos de respecto de,, y respectivamente, entonces las circunferencias (, ), (, ), (, ) pasan por un mismo 5
6 punto. Demostración ' ' Figura 7: El cuadrilátero es rombo al igual que el cuadrilátero por lo que el cuadrilátero es paralelogramo, de donde m = m. Las circunferencias (, ) y (, ) se cortan en. Los triángulos y son congruentes por tener los tres lados congruentes y como además por ser paralelogramo es paralela a por lo que es paralelogramo. (1) Procediendo de forma análoga, el cuadrilátero es rombo al igual que el cuadrilátero por lo que es paralelogramo, de donde m = m. Las circunferencias (, ) y (, ) se cortan en. Los triángulos y son congruentes por tener los tres lados congruentes y como además por ser paralelogramo es paralela a por lo que es paralelogramo. (2) En (1) y (2) vimos que y son paralelogramos que coinciden en tres de sus vértices por lo que debe ser =. 6
7 ' ' ' Figura 8: Definición [rtocentro de un triángulo.] Definimos como ortocentro del triángulo al punto determinado en la propiedad anterior. ' ' ' ' Figura 9: oincide el ortocentro del triángulo definido de esta manera con el punto de intersección de sus alturas? omo es perpendicular a, al ser paralelogramo, se cumple que también es perpendicular a. De la misma forma y son perpendiculares a y respectivamente. es entonces punto de intersección de las alturas de. 7
8 Proposición 5 Sea un triángulo cualquiera de ortocentro y circuncentro. Siendo M el punto medio de se cumple que es paralelo a M y m = 2 mm. E M Figura 10: Demostración Si E es diámetro de se cumple: y E son paralelas por ser ambas perpendiculares a E, al igual que y E son paralelas por ser ambas perpendiculares a, entonces E es paralelogramo y como M es punto medio de también M es punto medio de E y como es punto medio de E se cumple que M es paralelo a y 2 mm. Proposición 6 Sea D un cuadrilátero inscrito en (, ),,,, D ortocentros de D, D, D, respectivamente. Las circunferencias (, ), (, ), (, ), (, D ) pasan por un mismo punto. Demostración Sean D y ortocentros de y D respectivamente. Si N es el punto medio de, por lo demostrado previamente D es paralela a N y md = 2 mn, y también D es paralela a N y md = 2 mn por lo que D es paralela a D y md = md de donde D D es paralelogramo y por lo tanto md = D. 8
9 D N ' D' Figura 11: Las circunferencias (, D ) y (, ) se cortan en y otro punto. Los triángulos D paralelogramo. (1) y D son iguales por tener los tres lados iguales, entonces D D es Procediendo de forma análoga, D y ortocentros de y D respectivamente. Si M es el punto medio de, por lo demostrado previamente D es paralela a M y md = 2 mm, y también D es paralela a M y md = 2 mm por lo que D es paralela a D y md = md de donde D D es paralelogramo y por lo tanto md = m D. Las circunferencias (, D ) y (, ) se cortan en. Los triángulos D y D son iguales, entonces D D es paralelogramo. (2) En resumen: por lo demostrado en (1) y (2) los cuadriláteros D D y D D son paralelogramos que coinciden en tres de sus vértices, por lo tanto debe ser =. Razonando de la misma manera podemos demostrar que (, ) siendo ortocentro de D, pasa por. Definición [rtocentro de un cuadrilátero.] Definimos como ortocentro del cuadrilátero inscriptible D al punto determinado en la propiedad 9
10 D ' M ' D' Figura 12: D ' ' ' D' Figura 13: 10
11 anterior. Los cuadriláteros D y D, al igual que y sus circuncentros respectivos se corresponden en una simetría central de centro P, punto de intersección de,,, DD. De los visto hasta el momento,, D D, DD son paralelogramos por lo que los segmentos,,, DD tienen punto medio común P. Los cuadriláteros D y D se corresponden entonces en una simetría central de centro P. También se corresponden en la misma simetría central los puntos y, circuncentros de D y D respectivamente, por lo que P es punto medio de. D ' P ' ' D' Figura 14: 5. Recta de Euler en cuadriláteros Proposición 7 El circuncentro (), baricentro (G) y ortocentro () de un cuadrilátero inscriptible están alineados y verifican la relación mg = 3 mg. Demostración circuncentro de (1) 11
12 D ortocentro de (2) G D baricentro de (3) Entonces de (1), (2), (3), se concluye que, G D, D alineados (4) mg D = 2 mg D (5) (D) = E entonces punto medio de DE entonces D mediana de DED (6) D ' G ' P G D E M D M ' D' Figura 15: D G = 0,30 cm G G = 0,90 cm Figura 16: 12
13 Entonces de (4), (5), (6), se concluye que G D baricentro de DED (7) M D punto medio de D E (8) Entonces de (7), (8) se concluye que mdg D = 2 mg D M D (9) G D baricentro de (10) Si G baricentro de D (baricentro de un cuadrilátero) entonces D, G, G D alineados (11) mdg = 3 mgg D (12) Entonces de (9), (10), (11), (12) se concluye que G punto medio de DM D (13) punto medio de DE (14) Si DD = {P }entoncesp punto medio de DD (por lo visto en 6) (15) M D punto medio de D E (16) Entonces de G punto medio de P (17) (13), (14), (15), (16) se concluye que P punto medio de (por lo visto en 6) (18) Entonces de (17), (18), se concluye que, G, alineados y mg = 3 mg 6. onclusiones La forma en que fue definido el baricentro de un cuadrilátero cualquiera permite que pueda definirse por recurrencia el baricentro de un polígono cualquiera. También por recurrencia puede definirse el ortocentro de un polígono inscriptible cualquiera. Para poder hablar de circuncentro de un polígono es necesario que este sea inscriptible. La demostración vista para la recta de Euler en cuadriláteros inscriptibles permite una reformulación para polígonos inscriptibles cualesquiera: el circuncentro () baricentro (G) y ortocentro () de un polígono inscriptible de n lados están alineados y verifican la relación mg = (n 1)mG 13
14 7. Referencias eath, T. L. (1953). The Works of rchimedes. U.S..: Dover. Jackiw, N. (1991). The Geometer s Sketchpad (Software). U.S..: Key urriculum Press. Euclides. (1992). Elementos de Geometría. México: UNM. Goloviná, L. I.; Yaglóm, I. M. (1981). Inducción en la Geometría. Rusia: Mir. Yaglóm, I. M. (1975). Geometric Transformations I. U.S..: M. 14
1.1. Puntos y rectas notables en el triángulo. Sean A, B y C los vértices de un triángulo de lados opuestos a, b y c, respectivamente.
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