Unidad 2. Interés simple

Unidad 2. Interés simple 0. ÍNDICE. 1. CONCEPTO DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE. 2. EL MONTANTE. 3. TANTOS EQUIVALENTES. 10. MÉTODOS ABREVIADOS PARA EL CÁLCULO DE LOS INTERESES. 11. INTERESES ANTICIPADOS. ACTIVIDADES FINALES. www.davidespinosa.es 12

1. CONCEPTO DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE. El interés es la cantidad que se percibe como compensación por diferir la disponibilidad de un capital. Decimos que un capital inicial C 0 se presta a interés simple, cuando el interés total que produce I, es directamente proporcional al capital prestado y al tiempo que dura el préstamo n. Dado un tanto unitario de interés i, que representa los intereses correspondientes a la unidad de capital (1 euro) durante la unidad de tiempo (1 año), la proporcionalidad directa implica: I = C 0 i n Ejemplo 1. Calcular el interés total que produce un capital de 3.000 prestado a un tanto de interés anual del 2,5% durante 5 años. Qué intereses se generarán cada año?. Representar gráficamente la operación. CAPITALIZACIÓN SIMPLE. El interés total lo obtenemos a través de la expresión I = C 0 i n, por lo tanto: I = 3.000 0,025 5 = 375 En capitalización simple, el interés de cada año resultará de dividir el interés total entre el número de años que abarque la operación: 375 / 5 años = 75. También se puede obtener mediante la expresión: I 1 = I 2 = I 3 = I 4 = I 5 = C 0 i = 3.000 0,025 = 75, ya que en interés simple, los intereses de cada período se calculan sobre el capital inicial. La representación gráfica de los intereses que se van generando en la operación, es la siguiente: I n I 1 = I 2 = I 3 = I 4 = I 5 = 75 1 2 3 4 5 n www.davidespinosa.es 13

El tanto unitario de interés i y el tiempo n tienen que estar referidos a la misma unidad temporal. De esta forma, si el tanto de interés es anual, mientras que el tiempo viene expresado en m-ésimos de año (semestres, trimestres, meses, etc.), habrá que transformar este último en años, para lo cual se dividirá n entre m, quedando la fórmula del interés simple de la siguiente manera: I = C 0 i n / m A continuación se presentan los fraccionamientos de año más frecuentes: PERÍODOS m PERÍODOS m Años 1 Meses 12 Semestres 2 Semanas 52 Cuatrimestres 3 Días (año civil) 365 Trimestres 4 Días (año comercial) 360 Ejemplo 2. Partiendo del capital y del tanto unitario de interés del ejemplo 1, calcular el interés total que produciría en los siguientes períodos de tiempo: a) 3 semestres; b) 7 trimestres; c) 5 meses; d) 123 días (año comercial). CAPITALIZACIÓN SIMPLE. a) I = C 0 i n / m = 3.000 0,025 3 / 2 = 112,5 b) I = C 0 i n / m = 3.000 0,025 7 / 4 = 131,25 c) I = C 0 i n / m = 3.000 0,025 5 / 12 = 31,25 d) I = C 0 i n / m = 3.000 0,025 123 / 360 = 25,63 2. EL MONTANTE. El montante de un capital C 0 prestado durante el tiempo n, representa la suma del capital y de los intereses generados en ese tiempo. Por lo tanto, dicho montante C n se puede expresar de la siguiente manera: C n = C 0 + I = C 0 + C 0 i n = C 0 (1 + i n) La expresión del montante, con el tiempo en m-ésimos de año, sería la siguiente: C n = C 0 + I = C 0 + C 0 i n / m = C 0 (1 + i n / m) www.davidespinosa.es 14

Ejemplo 3. Calcular el montante que se obtendrá de un capital de 320 invertidos a un interés simple anual del 8,7% durante: a) tres años; b) 6 cuatrimestres. a) C n = C 0 (1 + i n) = 320 (1 + 0,087 3) = 403,52 b) C n = C 0 (1 + i n / m) = 320 (1 + 0,087 6 / 3) = 375,68 La representación gráfica del montante de un capital en capitalización simple sería la siguiente: C n C n = C 0 + I I C 0 A partir de la expresión del montante de un capital C n = C 0 (1 + i n) y de la expresión del interés total I = C 0 i n, se pueden obtener el resto de los elementos: n C n * C 0 = o bien C 0 = C n - I (1 + i n) C n - C 0 * i = o bien i = C 0 n I C 0 n C n - C 0 I * n = o bien n = C 0 i C 0 i www.davidespinosa.es 15

Ejemplo 4. Qué tipo de interés anual es el que ha transformado un capital de 5.000 en otro de 8.000 durante cinco años?. CAPITALIZACIÓN SIMPLE. C n - C 0 8.000-5.000 3.000 i = = = = 0,12 = 12% C 0 n 5.000 5 25.000 Ejemplo 5. Durante cuánto tiempo se tuvo invertido un capital de 100.000 a un interés simple anual del 10%, si el interés total generado fue de 50.000?. I 50.000 n = = = 5 años C 0 i 100.000 0,1 3. TANTOS EQUIVALENTES. Decimos que dos tantos de interés son equivalentes, cuando aplicados al mismo capital durante el mismo tiempo, producen intereses iguales. En capitalización simple, los tantos proporcionales son equivalentes. Por ejemplo, el 12% anual es equivalente al 6% semestral y al 1% mensual. Por lo tanto, se puede establecer la siguiente relación, entre el tanto de interés anual i y cualquier tanto de frecuencia m i m equivalente: i = m i m Ejemplo 6. Comprobar que los tantos de interés i 4 = 0,02 e i 2 = 0,04 son equivalentes, cuando se aplican sobre un capital de 5.000 durante 1 año. I = C 0 i m n = 5.000 0,02 4 = 400 I = C 0 i m n = 5.000 0,04 2 = 400 www.davidespinosa.es 16

Ejemplo 7. Volver a realizar los apartados a), b) y c) del ejemplo 2, pero utilizando en el cálculo de los intereses, los correspondientes i m a) i 2 = 0,025 / 2 = 0,0125; I = C 0 i m n = 3.000 0,0125 3 = 112,5 b) i 4 = 0,025 / 4 = 0,00625; I = C 0 i m n = 3.000 0,00625 7 = 131,25 c) i 12 = 0,025 / 12 = 0,0020833; I = C 0 i m n = 3.000 0,0020833 5 = 31,25 4. MÉTODOS ABREVIADOS PARA EL CÁLCULO DE LOS INTERESES. Llamamos número comercial N al resultado de multiplicar C 0 por n. Por su parte, denominamos divisor fijo D, al resultado de dividir m entre i. Así, la expresión del interés total I con el tiempo en m-ésimos de año, quedaría de la siguiente manera: I = N / D. Esta expresión es especialmente útil cuando se trata de calcular los intereses totales generados por una serie de capitales, colocados al mismo tanto de interés anual. Para ello, debemos expresar el tiempo de todos los capitales en la misma unidad temporal (días, meses, trimestres, etc.). Dado que m e i serán iguales para todos los capitales, el divisor fijo D también lo será. De esta forma, obtenemos los intereses totales generados por todos los capitales: I = I 1 +I 2 +I 3 +... = N 1 / D + N 2 / D + N 3 / D +... = (N 1 + N 2 + N 3 +... ) / D = I = N D www.davidespinosa.es 17

Ejemplo 8. Calcular por el procedimiento abreviado los intereses obtenidos por la inversión de cinco capitales que se incrementan en 200 cada uno respecto del anterior (el primero asciende a 1.200 ), sabiendo que se aplica un 7% anual de interés simple a la operación y que la duración ha sido de 3, 5, 7, 9 y 11 meses respectivamente. Para poder aplicar el procedimiento abreviado es imprescindible que todos los capitales estén colocados al mismo tanto de interés simple anual, condición que se cumple. Además, debemos expresar el tiempo de los distintos capitales en la misma unidad temporal. En nuestro caso, esta tarea nos la ahorramos, pues todos los tiempos están expresados en meses. Primer capital (C 1 ): 1.200 N 1 = 1.200 3 = 3.600 Segundo capital (C 2 ): 1.400 N 2 = 1.400 5 = 7.000 Tercer capital (C 3 ): 1.600 N 3 = 1.600 7 = 11.200 Cuarto capital (C 4 ): 1.800 N 4 = 1.800 9 = 16.200 Quinto capital (C 5 ): 2.000 N 5 = 2.000 11 = 22.000 D = 12 / 0,07 = 171,42857 I = N 1 / D + N 2 / D + N 3 / D + N 4 / D + N 5 / D = (N 1 + N 2 + N 3 + N 4 + N 5 ) / D = (3.600 + 7.000 + 11.200 + 16.200 + 22.000) / 171,42857 = 350 5. INTERESES ANTICIPADOS. En ocasiones se plantean operaciones en las que el prestamista cobra los intereses por anticipado, es decir, en el momento en que se concierta la operación que ha de generarlos. Imaginemos que un prestamista se dispone a conceder un préstamo de C 0 unidades monetarias, con intereses anticipados. Si denominamos z al tanto de interés anual anticipado, los intereses alcanzarán un importe de C 0 z n, con lo que el dinero que entregará el prestamista en el origen será: C 0 - C 0 z n = C 0 (1 z n). Como al cabo de los n años, se han de devolver C 0 unidades monetarias al prestamista, el tipo de interés anual pospagable, realmente pagado en la operación por el prestatario, será el valor i que verifique la siguiente relación: www.davidespinosa.es 18

Despejando, obtenemos las expresiones: C 0 (1 z n) (1 + i n) = C 0 i z z = i = 1 + i n 1 z n CAPITAL A DEVOLVER AL PRESTAMISTA: C 0 CAPITAL ENTREGADO POR EL PRESTAMISTA: C 0 (1 z n) Interés anticipado: C 0 z n 0 n Ejemplo 9. Cuál será el rendimiento anual pospagable i que se obtendrá por el depósito de 10.000 a un año, sabiendo que los intereses ascienden a 800 y que se cobran por anticipado. En el momento de concertarse la operación se cobran anticipadamente los 800 de intereses. Por lo tanto, el tanto de interés anual anticipado se obtiene a partir de la siguiente expresión: 800 = 10.000 z 1; z = 0,08 0,08 El rendimiento i que se obtendrá en la operación será igual a: i = = 0,087 1 0,08 1 www.davidespinosa.es 19

ACTIVIDADES FINALES 1. Cierto capital, colocado al 9% de interés simple anual durante 2 años, se convirtió en 177,30. Cuál fue el interés que produjo?. 2. Determinar el tanto de interés simple anual equivalente al 2% cuatrimestral. 3. Prestamos hoy 210,35 al 8% de interés simple anual, y al cabo de cierto tiempo nos devuelven por capital e intereses 265,05. Por cuánto tiempo lo hemos prestado?. 4. Calcular el montante que producirá un capital de 2.500 que ha estado invertido desde el 7 de enero hasta el 31 de mayo del mismo año a un tanto de interés simple anual del 10%. AÑO CIVIL. 5. A qué tanto de interés simple bimestral se invirtió un capital de 60,10 si al cabo de 3 años y medio alcanzó un montante de 72,72?. 6. Invertí hace 5 años un capital de 2.404,05 al 7% de interés simple anual. Cuánto me devolverán dentro de 2 años por capital e intereses?. 7. Calcular el montante que se obtiene al invertir 240,40 al 3% de interés simple cuatrimestral durante 4 años. 8. Determinar el montante alcanzado por un capital de 270,46 colocado al 7% de interés simple anual durante 2 años, 3 meses y 20 días. AÑO COMERCIAL. 9. Un capital de 480,81 invertido al 4,5% de interés simple semestral ha producido un interés de 13,82. Cuántos días duró la inversión?. Año comercial. 10. Determinar el tanto de interés simple quincenal equivalente al 6% semestral. 11. Durante cuánto tiempo hay que invertir un capital C 0 al 5% de interés simple anual para que su montante sea el doble de dicho capital?. 12. A qué tanto de interés simple trimestral hay que colocar un capital C 0 para que su montante sea triple de dicho capital al cabo de 25 años?. www.davidespinosa.es 20

13. Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que los intereses producidos por un capital C 0 sean iguales a dicho capital, si se invierte al 2% de interés simple semestral?. 14. Averiguar el interés simple mensual al que se invirtió un capital durante 5 años y 2 cuatrimestres sabiendo que alcanzó un montante igual al cuádruplo de dicho capital. 15. Hallar el interés total (utilizando el procedimiento abreviado) que producen los siguientes capitales colocados al 12% de interés simple anual durante el tiempo que se indica: Capital Tiempo 60,10 2 meses 90,15 2 cuatrimestres 96,16 1 año 120,20 3 semestres 16. La señora Pérez ha recibido el nominal de 4 Letras del Tesoro (a un año) por valor de 1.000 cada una. Si recuerda haber entregado la cantidad de 3.540, cuáles fueron los tipos de interés por anticipado y pospagable?. 17. Hallar el interés total que producen los siguientes capitales colocados al 2% trimestral simple durante los tiempos que se indican: Capital Tiempo 5.000 2 quincenas 25.000 5 meses 30.000 1,5 semestres 20.000 2 trimestres 18. Un capital invertido durante dos años y medio produjo un interés del 20% del capital. A qué tanto de interés simple semestral se invirtió?. 19. Calcular el tanto mensual al que se invirtió un capital de 30.000 si alcanzó un montante de 48.000 al cabo de 5 semestres. 20. Calcular durante cuantos trimestres estuvo invertido un capital de 50.000 que alcanzó un montante de 65.000 colocado al 2% de interés simple bimestral. www.davidespinosa.es 21

21. Qué tipo de interés es el que logra que 1 euro se transforme en 2 al cabo de 5 años?. 22. Halla por el procedimiento abreviado el interés total producido por tres capitales 500, 1.000 y 1.500 colocados al 10% de interés simple anual durante 150, 120 y 90 días, respectivamente. Año comercial. 23. Los intereses de un capital, colocado por el año civil, fueron 62. Halla a cuánto hubieran ascendido por el año comercial. 24. El señor García hace una inversión en letras del Tesoro a un año. Qué cantidad habrá de entregar por un nominal de 10.000 si se aplica un tipo por anticipado del 4,15% anual. Cuál será el tipo por vencido?. www.davidespinosa.es 22