Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas Página 7 Resuelve. Cabrían los hijos de Buda en la India? Teniendo en cuenta Mahabharata y que la superficie de la India es, aproximadamente, millones de kilómetros cuadrados: a) Cuántos metros cuadrados corresponderían a cada uno de los hijos de Buda? b) Cuántas divinidades habría por metro cuadrado? a) Primero, vamos a poner los datos en metros cuadrados, que es lo que nos pide el problema. millones de km = 0 6 km = 0 6 0 6 m = 0 m Veamos cuántos metros cuadrados le corresponde a cada hijo: 600 00 millones de hijos = 600 000 0 6 hijos = 6 0 0 6 hijos = 6 0 hijos Por tanto: 0 m 0 6 0 = m /hijo = m /hijo hijos 6 Así, a cada hijo le corresponden m de India. b) Pasamos los km a m 0 6 km = 0 6 0 6 m = 0 m 0 divinidades = 8 0 divinidad/m 0 m Habría 8 0 divinidades por metro cuadrado.. Cuánto pueden ocupar 0 0 monos? Vamos a suponer que un mono ocupa un volumen de unos 0 litros y que amontonamos 0 0 monos, bien apretados, dentro de una esfera. Cuál sería el radio de esa esfera? nota: la distancia de Urano al Sol es de unos 870 millones de kilómetros. 0 0 monos ocupan un volumen de 0 0 0 l = 0 l = 0 m 0 m = π R R = 0,87 0 π m = 870 millones de km El radio de la esfera sería 870 millones de kilómeros.. a) Cuál o cuáles de estas potencias sirven para expresar un gúgol y cuál o cuáles para expresar un gúgolplex? 0 (000 ) 0 00 0 (0 ) 0 (000 ) b) Qué es mayor, un gúgol de gúgoles o un gúgolplex? c) Suponiendo que en una hoja de papel caben, bien juntos, 000 caracteres, serías capaz de idear una expresión que indique el número de hojas necesarias para escribir un gúgolplex con todas sus cifras? a) gúgol 0 00 gúgolplex 0 (000 ) b) Un gúgol de gúgoles. c) 000 cifras 000 caracteres por hoja =, 96 hojas
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas Potenciación Página 8. Reduce a una sola potencia. a) b) ( 6 ) c) 76 7 e) 0 0 f ) a) 8 b) 8 c) 7 d) c m d) g) (a 6 a ) : (a a ) h) (6 ) ( 7 : ) = e) ( ) 0 = 0 0 f) c m = = g) (a 9 ) : (a 6 ) = a 8 : a 8 = a 0 = h) 6 6 = 6 6 ( ) = 6 6 6 = 6. Calcula utilizando propiedades de las potencias. a) b) (6 : ) : c) d n d n d) 8 d n 6 e) 0 6 6 f ) 0 6 g) ( ) : h) ( ) [( ) : ] a) = = ( ) = 0 = 000 = 000 b) (6 : ) : = 6 ( ) : : : ( ) : e o = f p = e o = = = 6 c) 6 6 c m c m = = = = 6 ( ) 6 6 d) 8 c m = 8 = = ( ) = 0 = 0000 e) 0 6 6 6 6 = c0 m = 0 6 = 000000 f) 0 = 0 e0 o = 0 0 = 0 00000 = 000000 g) ( ) : = 6 : = 6 = 7 h) ( ) [( ) : ] = [ : ] = = = ( ) = 0 = 000000000000
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas Página 9. Expresa como potencia de base 0 el resultado de la operación 0,0000 : 0 000 000. 0,0000 : 0000000 = : 0000000 = 00 000 00 000. Expresa como fracción simplificada. a) x y e) x y 6 = 0 0 000 000 b) c) a 6 d) x y f ) (xy ) g) xy a) b) c) a 6 d) xy e) y x f) 9xy g) x y. Reduce a un único número racional. a) d n b) d n c) d n d) d n e) 6 d n f ) d n g) d n d n h) 7 0 d n i) > d n H a) b) = 6 6 d n c) ( ) = d) c m 6 e) c m = 0 0 6 = 000000 f) c m g) c m = h) 6 i) c m = 6 = 79 = 6 9 6 6 = c m = 0 000 000
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas Notación científica Página 0. Verdadero o falso? a),8 0 <,0 0 b) 8, 0 >, 0 6 c) 6, 0 <,8 0 d) (, 0 ) (, 0 ) < 0 a) Verdadero. b) Falso. 800 < 00000 c) Falso. 0,006 > 0,0008 d) Falso. (, 0 ) (, 0 ) = 0, > 0.. Calcula. a) (, 0 7 ) (9, 0 ) b) (,7 0 ) + (, 0 ) c) (,8 0 ) : (, 0 ) d) (,7 0 8 ) (, 0 6 ) a),087 0 7 b),67 0 c),9 0 9 d),7 0 8
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas Página. Resuelve con la calculadora la actividad de la página anterior. a),087 0 7 b),67 0 c),9 0 9 d),7 0 8
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas Raíces y radicales Página. Calcula las siguientes raíces: 6 a) 6 b) 6 c) 00 d) e) 6 f ) 6 7 000 g), 78 0 a) b) 6 c) 0 d) e) 6 = f) 0. Verdadero o falso? a) Como ( ) =, entonces =. b) es una raíz cuadrada de. c) 8 tiene dos raíces cuadradas: y. d) 7 tiene dos raíces cúbicas: y. e) 7 tiene dos raíces cuartas: 7 y 7. f ) = y =. a) Falso; hace referencia a la raíz positiva, =. b) Verdadero; ( ) =. c) Falso; = 9 y ( ) = 9 d) Falso. Solo tiene una, porque ( ) = 7 e) Verdadero. f) Falso. No existen raíces cuadradas de números negativos. 6 6 h), 0 0 = g) 0 6 h), 0 6 6
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas Página Cálculo mental Simplifica: a) 0 b) 6 0 a) 00 = 0 b) 60 Cálculo mental Descompón y extrae fuera del radical: a) 0 b) c) 000 a) = b) = c) = 0 Cálculo mental Calcula el valor de estas potencias: a) ( ) 6 b) ( ) 6 c) ( ) a) = 7 b) = c) = Cálculo mental Simplifica: a) + 7 b) + 7 a) 0 b). Simplifica las expresiones que puedas: a) 8 6 b) + c) 8 d) e) 6 7 f ) 6 7 g) 8 h) 7 9 i) 6 j) ` j 0 k) ` 6j 7 l) ` 7j a) 8 6 No se puede simplificar. b) + = 7 c) 8 No se puede simplificar. d) No se puede simplificar. e) 6 7= f) 6 7 g) 8= 6 = h) 7 9 = 0 0 i) 6 No se puede simplificar. j) ` j = k) ` 6j 7 No se puede simplificar. l) ` 7j = 7 = 9 0 No se puede simplificar. 7
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas. Extrae fuera del radical cuando sea posible. a) b) c) d) 80 e) 70 f ) 7 a) = = 7 b) = 6 c) = d) 80 = = e) 70 = = f) 7 = =. Opera y simplifica lo máximo posible: a) 0 b) 6 6 c) 9 ` 6 j a) 0 = 00 = = 0 b) 6 6= 96= = 6 c) 9 ` j = 86 = 9 = 7 8 8
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas Números racionales e irracionales Página. Sitúa cada uno de los siguientes números en los casilleros correspondientes. Ten en cuenta que cada número puede estar en más de un casillero. (Hazlo en tu cuaderno). $ 07;,9; 9, ; 7; 0; 6 ; ; 6; 7 ; π 9 9 naturales, N enteros, Z fraccionarios racionales, Q irracionales naturales, N 07; 6/9 = enteros, Z 07; 7; 6/9 = ; 6 = 6 # fraccionarios,9; 9, ; 9 / = /; 7/ # racionales, Q 07;,9; 9, ; 7; 6/9 = ; 9 / = /; 6 = 6; 7/ irracionales 0; π 9
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas Ejercicios y problemas Página 6 Practica Potencias. Calcula las potencias siguientes: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) e) f ) ( ) g) d n h) d n i) 0 d n a) 7 b) 6 c) 8 d) 9 e) f) g) 8 h) i). Expresa como una potencia de base o. a) 6 b) c) e) 7 f ) g) a) 6 b) c) d) d) h) e e) () f) : = ( ) = + = 7 g) : = = 8 h) ( : ) = ( ( ) ) = ( + ) = ( ( ) ) = ( ) ( ) = = o. Calcula. a) d n : d n b) d + n a) c m : c m = c m = b) c7 m = 9 = 9 9 9 9. Expresa como potencia única. a) d n : d n b) 7 c) > d + n H d) d n : d n e) d n d n f ) 0
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas a) c m b) d) c m e). Simplifica. = c) c m c m f) c m ( ) a) b) 9 c) ab : b 6 9 8 9 a d) (6a) : (a ) e) (a b ) (ab ) f ) ba l ( a ) b a) c) ab : 9 7 = = b) 7 b = aba = a d) (6a) a : (a ) = 6 9b b e) (a b ) (ab ) = a b a b = b6 a Notación científica 6. Escribe estos números con todas sus cifras: f) b a a = b a = = a a a) 0 7 b) 0 c) 9,7 0 8 d) 8, 0 6 e),8 0 0 f), 0 a) 0 000 000 b) 0,000 c) 97 000 000 d) 0,000008 e) 8 000 000 000 f) 0,0000 7. Escribe estos números en notación científica: = a a) 800 000 b) 0,00000 c) 800 000 000 d) 0,00007 e) 0 00 000 f) 0,00007 a),8 0 7 b) 0 6 c),8 0 9 d),7 0 e),00 0 7 f),007 0 8. Di el valor de n en cada caso: a) 70 000 =,7 0 n b) 0,00008 = 8, 0 n c) 7, 0 =,7 0 n d) 9,8 0 = 9,8 0 n a) n = 6 b) n = c) n = d) n = 9. Completa estas igualdades: a) 86 0 = 8,6 0 b) 0,0 0 = 0 c) 0 = 0,08 0 d) 7, 0 = 0 a) 86 0 = 8,6 0 b) 0,0 0 =, 0 c) 8 00 0 = 0,08 0 d) 7, 0 = 7 00 0
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas 0. Expresa en notación científica. a) Distancia Tierra-Sol: 0 000 000 km b) Peso de un grano de arroz: 0,00007 kg c) Diámetro de cierto virus: 0,00000008 m d) Emisión de CO en un año: 900 000 000 kg a), 0 8 km b),7 0 kg c) 8 0 8 m d),9 0 0 kg. Calcula y comprueba con la calculadora. a) ( 0 ) ( 0 ) b) (, 0 7 ) ( 0 ) c) (, 0 8 ) ( 0 7 ) d) (8 0 ) : ( 0 7 ) e) (9 0 7 ) : ( 0 7 ) f ) (, 0 8 ) : ( 0 ) a) 6 0 7 b) 0 c) 6,8 0 9 d) 0 e) 0 f), 0. Calcula, expresa el resultado en notación científica y comprueba con la calculadora. a) (, 0 7 ) (8 0 ) b) ( 0 ) : (8 0 ) c) (7, 0 ) ( 0 6 ) d) (, 0 ) : ( 0 ) a) (, 0 7 ) (8 0 ) =, 8 0 0 = 0 0 0 = 0 b) ( 0 ) : (8 0 ) = ( : 8) 0 8 = 0,6 0 8 = 6, 0 9 c) (7, 0 ) ( 0 6 ) = 7, 0 7 = 7 0 7 =,7 0 8 d) (, 0 ) : ( 0 ) = (, : ) 0 = 0,6 0 = 6 0. Expresa en notación científica y calcula: 0, 000 000 000 a) b) 0 000 000 0 000 0, 0000 0, 00000 0, 00 0, 0000 0, 00000 c) 0 000 600 000 d) (0,0008) (0 000) a), 0, 07 68, 0 = =,96 0, 0 0 b), 06, 0, 0 0 = =, 0 9 0 6, 0, 0 9 c) 6, 0 0, 0 6 0 6 = 6 0 = 0,8 0 = 8 0 7, 0 d) (8 0 ) ( 0 ) = 6, 0 7 9 0 8 = 76. Efectúa y comprueba con la calculadora. a),6 0 0 b) 0 9 + 8, 0 0 c) 8 0 8 0 9 d), 0 + 8 0 6 a),6 0 0 0 = (6 ) 0 = 0 =, 0 b) 0 9 + 8 0 9 = 86 0 9 = 8,6 0 0 c) 80 0 9 0 9 = 7 0 9 = 7, 0 8 d) 0 6 + 8 0 6 = 0 0 6 =, 0
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas. Efectúa y escribe el resultado con todas las cifras. a), 0, 0 + 7, 0 0 b), 0 6 8, 0 7 +,8 0 c) (, 0 ) ( 0 ) : ( 0 ) d) (, 0 7 ) : ( 0 ) a) 98000000000 b) 0,00008 c) 0000000000 d) 0,0000000009
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas Página 7 Raíces y radicales 6. Halla, cuando sea posible, las raíces siguientes: a) 6 b) 7 f ) 8 6 c) 8 d) e) 6 6 6 g) h) 096 i) 6 j) 8 k) 6 l) 8 m) 6 n) 6 a) b) c) d) e) 6 f) g) h) i) j) k) l) No tiene solución real. m) 7. Saca del radical los factores que sea posible. a) b) 7 d) 7 a b 6 e) 6 a b 6 c) f ) a b a) 0 b) 8 c) 6 d) b a 8. Extrae de cada radical los factores que sea posible: e) a ab f) b a a) b) 8 c) 00 d) 0 e) f ) 0 g) 6 h) i) a n) 0 a) = = b) 8 = = c) 00 = = d) 0 = = e) = = f) 0 = = 6 g) 6 = = h) = = i) a a a 9. Simplifica si es posible. a) 8 b) 6 c) d) e) 7 f ) 0 6 a) 6 = b) 80 c) 0 d) No es posible. e) 8 = f) No es posible. 0. Simplifica. a) ` j b) ` j 6 c) `6 j d) 0 000 e) 6 a) b) c) d) 0 0 e) f) 9 = f ) 9 8
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas. Simplifica las expresiones que puedas, y en las restantes, indica por qué no se pueden simplificar. a) 7 b) c) d) 6 e) f ) a) b) No se puede, porque tienen distinto radicando. c) d) Igual que b). e) f). Efectúa. a) 0 + 7 0 b) 80 0 c) 8 + 7 08 d) 7 + 8 6 a) 0 + 7 0 = + 0 = + 6 0 = b) 80 0 = = = c) 8 + 7 08 = + = + 6 = d) 7 + 8 6= 7 + 7 7 = 7+ 7 7= 8 7 Aplica lo aprendido. Completa en notación científica. a) 7 km = cm b) 0 cm = m c) 0,8 ha = km d) 00 l = mm e) 80 µ = dm f ) 0,07 Å = µ ( µ = 0 6 m) (Å = 0 0 m) a) 7 km =,7 0 cm b) 0 cm = 0 m c) 0,8 ha = 8 0 km d) 00 l =, 0 0 mm e) 80 μ =,8 0 dm f) 0,07 Å = 7, 0 6 μ. Observa las masas de estos planetas: Tierra:,98 0 kg Marte: 6, 0 kg Júpiter:,90 0 7 kg a) Cuántos kilos pesa más la Tierra que Marte? b) Cuántas veces pesa más Júpiter que Marte? a) La Tierra pesa,98 0 6, 0 =,8 0 kg más que Marte. b) Júpiter pesa aproximadamente 90, 07 6, 0 000 veces más (99,0).
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas. La galaxia M87, que está a 0 millones de años-luz de la Tierra, tiene un agujero negro cuyo diámetro es 60 años-luz y cuya masa es dos mil millones de veces la masa del Sol. a) Calcula la masa del agujero negro en kilogramos. (La masa del Sol es, aproximadamente, 0 0 kg). b) Expresa en kilómetros la distancia de esa galaxia a la Tierra y el diámetro del agujero negro. a) La masa del agujero negro es 0 9 0 0 = 0 9 kg. b) Un año luz son 9,6 0 km. Distancia = 0 0 6 9,6 0 =,7 0 0 km Diámetro = 60 9,6 0 =,68 0 km Reflexiona sobre la teoría 6. Verdadero o falso? Justifica y pon ejemplos. a) La potencia de un número negativo puede ser igual a. b) Si x < 0, entonces x > 0. c) x es siempre un número positivo. d) El cubo de un número negativo es siempre menor que dicho número. a) Verdadero. Por ejemplo: ( ). b) Verdadero. Por ejemplo: ( ) > 0. c) Falso. Por ejemplo: ( ) < 0. d) Verdadero. Por ejemplo: ( ) = 9; 9 <. 7. Si a = b, qué podemos afirmar de a y b? Si a = b se pueden afirmar dos cosas. O bien a = b, o a es un número cualquiera y b es el mismo número pero negativo. 8. Ordena los números n, n, n y /n en los siguientes casos: a) Si n >. b) Si 0 < n <. a) < n < n < n b) n < n < n n 9. Indica cuáles de las siguientes raíces son racionales y cuáles irracionales: a) 6 b) 6 c) 6 d) 00 e) 00 f ) / a) Racional b) Racional c) Irracional d) Racional e) Irracional f) Racional < n 6
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas 0. Justifica cuál debe ser el valor de a, en cada caso, para que se verifique la igualdad: a) a = 6 b) a = c) a = d) a = e) a = f ) a = a) a = b) a = c) a = 6 d) a = e) a = f) a =. Por qué no se puede hallar la raíz de índice par de un número negativo? Calcula, cuando sea posible, estas raíces: a) 7 b) 6 c) 6 d) Porque al elevar un número negativo a un exponente par, obtenemos un número positivo. a) b) 8 c) Imposible. d) 7
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas Página 8 Conjetura y generaliza observa: = = + = 9 = ( + ) + + = 6 6 = ( + + ) haz una conjetura: Puedes predecir el valor de las siguientes expresiones? + + + =? + + + + =? Compruébalo! + + + = 00 + + + + + generaliza tus conclusiones: Cuál sería el valor de + + + + 0? Elabora una fórmula que te permita calcular: S n = + + + + n cualquiera que sea el término natural n. + + + + 0 = 0 S n = + + + + n = ( + + + + n) Investiga Observa los resultados de estas secuencias de teclas en la calculadora. En ambas se han realizado diez pulsaciones. **===**== { «} **===*=*= { «\ } Qué potencia de base se ha obtenido en cada una? * * = = = * * = = ( ) = [() ] = * * = = = * = * = [( ) ] = [() ] = 6 Teniendo en cuenta lo anterior, y utilizando solamente las teclas, *, =, cuál es el mínimo número de pulsaciones que necesitas para calcular 0? * = * * = = = = * = [( ) ] = ( ) 0 = 0 8
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas Página 9 Entrénate resolviendo problemas Un automóvil y un camión parten simultáneamente de una población, por la misma carretera, pero en sentidos opuestos. La velocidad del coche es de 0 km/h, y la del camión es de 90 km/h. Qué distancia los separa al cabo de 0 minutos? 0 min = 6 h d coche = v t = 0 6 = 0 km d camión = v t = 80 6 =, km d total = 0 +, =, km Un labrador ara por la mañana dos quintas partes de un campo. Por la tarde, vuelve al trabajo y ara un tercio de lo que le quedaba. Sabiendo que aún falta por arar media hectárea, cuál es la superficie del campo? MAÑANA TARDE ha ha La superficie total del campo es de ha = áreas. Aquí tienes un problema y la solución que ha encontrado Andrés para él: Si tuviésemos veinticinco soldaditos de plomo, cómo formaríamos con ellos seis filas de cinco soldaditos cada una?. Sin embargo, Susana ha dispuesto los soldados de modo que el número de filas, con soldados en cada una, son muchas más de seis. Te atreves a probar? 9
Unidad. Potencias y raíces Autoevaluación. Calcula. a) ( ) + d n 0 d n b) d n 8 a) + = 9 b) c m = 8 = 00 =. Simplifica. a) ab 6a b b) d n b a l a b c) a a b l d) b : ( b d n ) b b a a a las Enseñanzas Académicas 0 a) b) ab ab c) a b d) ab. Descompón en factores y utiliza las propiedades de las potencias para simplificar esta expresión: 6 6 0. Expresa en notación científica. 6 8 9 0 0 = = = 00 a) 000 000 b) 0,000007 c) 78 0 d) 0,0 0 a), 0 8 b) 7, 0 c) 7,8 0 7 d), 0. Calcula y comprueba con la calculadora. a) (, 0 7 ) (8 0 ) b) (9,6 0 8 ) : (, 0 0 ) c) (,7 0 8 ) + (, 0 7 ) d) 8 08 a) 8 0 6 =,8 0 b) 0 8 c) 7 0 7 +, 0 7 = 0, 0 7 =,0 0 8 d) 0 6 6. Simplifica. a) b) c) 0a b a) b) c) a b 0
Unidad. Potencias y raíces a las Enseñanzas Académicas 7. Simplifica cuando sea posible. a) 7 b) + c) 6 d) ` j a) = b) c + m = c) ` j d) No se puede simplificar. 8. Uno de los campos de gas natural más grande de Asia Central tiene unas reservas de 900 km. Han descubierto una bolsa de gas que aumenta dichas reservas en, 0 hm. Su producción anual asciende a,8 0 0 m. Cuántos años se podrá explotar este recurso energético si se mantiene el ritmo de producción actual? Expresa en notación científica y opera. 0 8, 0 m 8 año x 9 0 9 0 = = 0 años 8 x años 8, 0 0