TEMA 6: DIVISIÓN DE POLINOMIOS RAÍCES MATEMÁTICAS 3º ESO

TEMA 6: DIVISIÓN DE POLINOMIOS RAÍCES MATEMÁTICAS 3º ESO

1. División de polinomios Dados dos polinomios P (el dividendo) y D (el divisor), dividir P entre D es encontrar dos polinomios Q (el cociente) y R (el resto) tales que P = Q. D + R Siendo grado(r) < grado(d)

Algoritmo de la división PRIMER PASO Se resta x 3. D 3x 5 + 8x 4 11x 2 3x + 6 3x 2 +2x 4 (3x 5 + 2x 4 4x 3 ) 6x 4 + 4x 3 11x 2 3x + 6 x 3 Cociente de los términos de mayor grado SEGUNDO PASO Se resta 2x 2. D 3x 5 + 8x 4 11x 2 3x + 6 3x 2 +2x 4 (3x 5 + 2x 4 4x 3 ) x 3 + 2x 2 6x 4 +4x 3 11x 2 3x + 6 (6x 4 + 4x 3 8x 2 ) 3x 2 3x + 6 Cociente de los términos de mayor grado TERCER PASO Se resta ( 1). D 3x 5 + 8x 4 11x 2 3x + 6 3x 2 +2x 4 (3x 5 + 2x 4 4x 3 ) x 3 + 2x 2 1 6x 4 + 4x 3 11x 2 3x + 6 (6x 4 + 4x 3 8x 2 ) 3x 2 3x + 6 ( 3x 2 2x + 4) cociente x + 2 resto Cociente de los términos de mayor grado

EJERCICIO *Pág. 95 ejercicio 8-10

EJERCICIO

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3. Regla de Ruffini La regla de Ruffini nos permite realizar la división entre dos polinomios utilizando un método más sencillo, siempre y cuando se cumplan las siguientes condiciones: El divisor debe tener la forma: x-a a debe ser un número real.

Regla de Ruffini Ejercicio: Cuáles de las siguientes divisiones se pueden realizar por Ruffini? (x 3 2x + 3) : (x + 2) (2x 3 x + 4) : (x 1) (x 4 x 2 + 3x) : ( x 2 1) (2x 5 1 2 x + 3) : (x 1 2 )

Regla de Ruffini ( 2x 3 6x 2 4x + 12) :(x 2) Coeficientes de P 2 6 4 12 a 2 Se opera: 2 6 4 12 se suma 2 4 4 16 2 2 8 4 r se multiplica por a Hemos obtenido que: P = 2x 3 6x 2 4x + 12 = (2x 2 2x 8) (x 2) + ( 4)

EJERCICIO Divide usando la regla de ruffini.

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EJERCICIO Ejercicio: Halla el valor de m para que la división siguiente sea exacta: (x 3 5x 2 2x + m) : (x 4) Si hacemos la división por ruffini tenemos que: 4 1-5 -2 m 1 4-1 -4-6 -24 m-24 Por tanto la división será exacta si m=24

EJERCICIO *Pág. 96. Ej. 16 Realiza estas operaciones usando la regla de Ruffini y escribe el cociente y el resto.

Teoremas del resto y del factor El teorema del resto permite conocer el resto de una división de un polinomio entre otro de la forma x-a, sin necesidad de realizarla El resto R de la división de un polinomio P(x) entre x-a es igual al valor numérico del polinomio en x=a, es decir: R=P(a)

Demostración del teorema del resto El teorema se puede deducir con facilidad partiendo de la definición de división. P(x) = d(x) C(x) + R P(x) = (x a) C(x) + R 0 Si calculamos P(a) P(a) = (a a) C(a) + R P(a) = R Como queríamos demostrar

Cuál es el resto de dividir P(x) entre d(x)? P(x) = x 3 + 7x 2 +12x +10 P(x) = d(x) C(x) + R x 3 + 7x 2 +12x +10 = (x + 5) C(x) + R Si calculamos P(-5) d(x) = x + 5 Es de la forma x- a? x- 5=x- a? Sí para a=- 5 x- a=x- (- 5)=x+5 P( 5) = ( 5 + 5) C( 5) + R P( 5) = R P( 5) = ( 5) 3 + 7 ( 5) 2 +12 ( 5) +10 = 0 R = 0

Teorema del factor El teorema del factor nos permite conocer los factores de la forma x-a de un polinomio. Este teorema es consecuencia directa del teorema del resto. Si el valor numérico del polinomio P(x) en x=a es 0, entonces P(x) tiene como factor x-a y por tanto P(x) puede escribirse de la forma P(x)=(x-a) C(x)

Dado el polinomio P(x), si se cumple que P(a)=0, sabemos por el teorema del resto que el resto de dividir P(x) entre x-a es 0: P(a) = 0 Resto de dividir P(x) entre x-a es 0 (R=0) P(x) = (x a) C(x) + R 0 P(x) = (x a) C(x) Es decir P(x) puede expresarse como un producto de factores. Uno de los cuales es (x-a)

EJERCICIO Estudia cuáles de las siguientes divisiones son exactas, sin realizar la división:

EJERCICIO Calcula el resto de esta división sin realizarla EJERCICIO Utiliza el teorema del resto para calcularlo en estas divisiones:

EJERCICIO La división de P(x) = x 3 + 2x 2 + k entre x-3 da resto 0 Cuánto vale k?

EJERCICIO Comprueba si x+1 es un factor de estos polinomios A(x) = 3x 4 2x 2 + x B(x) = 2x 2 + 3x C(x) = x 7 +1 D(x) = 2x 3 3x +1

EJERCICIO Encuentra entre los siguientes factores los del polinomio P(x) = x 3 3x 2 6x + 8 a) x 1 b) x 3 c) x +1 d) x + 2

Raíces de un polinomio Las raíces o ceros del polinomio P(x) son los valores que lo hacen cero, es decir las soluciones de la ecuación P(x)=0 EJEMPLO Compruebas que las raíces del polinomio P(x)=x 2-4x+3 son x=1 y x=3 x=1->p(1)=(+1) 2-4(+1)+3=0 x=3->p(3)=(3) 2-4(3)+3=0

Número de raíces de un polinomio Número de raíces de un polinomio: Un polinomio de grado n tiene, como máximo, n raíces reales.

Cálculo de las raíces enteras de un polinomio Si un polinomio de coeficientes enteros tiene raíces enteras, estas son divisores del término independiente. Supongamos que el polinomio P(x) Observa la expresión que hemos obtenido P(x) = 2x 2 10x +12 ( 2a +10) = 12 a Dado que a es entero resulta obvio que también es un número entero. Por tanto el cociente exacto. 12 a = 12 a término independiente raíz entera del polinomio 2a +10 también tiene que ser Esto Si último bien esto lo que mismo hemos que desarrollado decir que la raíz no es entera una del demostración, polinomio P(x), este x=a proceso tiene que se puede ser divisora generalizar de 12 para (el término cualquier independiente) polinomio. Por tanto: Tiene una raíz entera a. P(a) = 0 P(a) = 2a 2 10a +12 = 0 ( 2a +10) a =12 ( 2a +10) = 12 a

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Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios de menor grado, de forma que su producto sea el polinomio dado. Cuando un polinomio no se puede descomponer en factores se dice que es un polinomio irreducible.

A qué debemos atender para factorizar un polinomio? 1 Extraer factor común 2 Buscar las raíces enteras Buscar factores comunes entre los términos del polinomio Probamos mediante ruffini con aquellos candidatos a raíces enteras del polinomio. Que como sabemos, son aquellos valores enteros divisores del término independiente. 3 Usar las identidades notables Comprobar si el polinomio es el resultado de desarrollar alguna identidad notable: (a+b) 2, (a-b) 2, (a-b)(a+b)

Ejercicio: Factoriza P(x) = 2x 4 14x 3 + 30x 2 18x

EJERCICIO Factoriza: P(x) = 3x 5 24x 4 + 69x 3 84x 2 + 36x

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EJERCICIO Escribe en cada apartado un polinomio que cumpla: 1) Tenga grado 2 y como factor (x-5) 2) Tenga una raíz doble y grado 3

EJERCICIO Escribe un polinomio P(x) con las siguientes características: x 1 Es factor de P(x) Tiene una raíz doble Tiene grado 3 Término independiente 12 ( x 1) ( x 1) = x 2 2x +1 (x 2 2x +1) (x +1) = x 3 x 2 x +1 ( ) =12x 3 12x 2 12x +12 12 x 3 x 2 x +1 Hacemos que (x-1) sea factor y que tenga una solución doble. Grado 3 Si multiplicamos por 12, el polinomio es diferente pero tiene las mismas soluciones.

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61 EJERCICIO k = 3 k = 6 k = 7

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MATEMÁTICAS PARA EDUCACIÓN SECUNDARIA Polinomios. 2014-2015 http://www.maleducados.com