CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS Material de apoyo para el docente UNIDAD 3 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl
MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE NÚMEROS NATURALES 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD Múltiplos de un número. Divisores y números primos. Descomposición en factores primos. 2. DURACIÓN APROXIMADA 4 semanas. 3. CONTENIDOS Múltiplos de un número natural Divisores y números primos 4. APRENDIZAJES ESPERADOS 4.1 Múltiplos de un número natural Esta Unidad está centrada en algunas propiedades de los números naturales relacionadas con las operaciones de multiplicación y división. Se inicia la Unidad introduciendo la noción de múltiplo de un número natural (primer aprendizaje esperado). Los múltiplos de algunos números naturales tienen propiedades especiales. El segundo aprendizaje esperado se relaciona con los casos más relevantes, destacando los múltiplos de 1, de 2, de 5, de 10, de 9 y de potencias de 10. En la recta numérica, los múltiplos de un número se encuentran a espacios regulares. A esta propiedad de los múltiplos de un número se refiere el tercer aprendizaje esperado. Finalmente se presentan formas de descomponer multiplicativamente un número (cuarto aprendizaje esperado), lo que establecerá un vínculo con el contenido que sigue. APRENDIZAJES ESPERADOS Múltiplos de un número natural Identifican múltiplos de un número natural. Identifican regularidades en múltiplos de 2, de 5, de 10 y otros casos similares. Caracterizan la ubicación de los múltiplos de un número en la recta numérica. Establecen descomposiciones multiplicativas para un número natural. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1
4.2 Divisores y números primos La noción de divisibilidad se introduce sobre la base de algunos casos simples, apoyándose en lo visto en el contenido anterior. A partir de las características que tienen todos los múltiplos de 2, de 5, de 10 y de potencias de 10, podemos establecer reglas que permiten identificar aquellos números que son divisibles por 2, por 5, etc. (primer aprendizaje esperado). Las nociones de divisibilidad y las descomposiciones multiplicativas vistas en el contenido anterior permiten establecer procedimientos para encontrar los divisores de un número dado (segundo aprendizaje esperado). Se espera asimismo que los estudiantes puedan ver con claridad las relaciones entre los conceptos de divisor y de múltiplo (tercer aprendizaje esperado). Esto lleva a introducir la idea de número primo y a identificar números primos en ámbitos numéricos acotados (cuarto aprendizaje esperado). APRENDIZAJES ESPERADOS Divisores y números primos Identifican números naturales que son divisibles por 2, por 5, por 10 y por alguna potencia de 10. Encuentran los divisores de un número dado. Reconocen la relación entre los conceptos de divisor y de múltiplo. Caracterizan los números primos e identifican los números primos menores de 100. Descomponen un número dado en sus factores primos. Entre las diferentes descomposiciones multiplicativas de un número se enfatiza la descomposición en factores primos (quinto aprendizaje esperado). 5. PROFUNDIZACIÓN DE CONTENIDOS Y RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS 5.1 Múltiplos El concepto de múltiplo es relativamente sencillo: decimos que un número natural m es múltiplo del número natural a si existe un número natural p tal que m = a p. En otras palabras, m es múltiplo de a si m es igual al producto de a por algún número natural. También podemos decir que m es múltiplo de a si m es divisible por a, es decir, m es múltiplo de a si la división m : a es una división con resto 0. De acuerdo con esto, es fácil encontrar múltiplos de un número natural cualquiera. Basta multiplicarlo por 1, por 2, por 3, o por cualquier número natural. De la definición se desprende que cualquier número natural es múltiplo de 1 y que el único múltiplo de 0 es el propio 0. Así, también, podemos ver que, con excepción del 0, todo número natural tiene una cantidad infinita de múltiplos. En la recta numérica los múltiplos de un número están espaciados regularmente. Así, los múltiplos de 7 son 7, 14, 21, 28, etc. La distancia entre múltiplos consecutivos es igual a 7. El concepto de múltiplo puede generalizarse a los números enteros, incluyendo los enteros negativos. En tal caso, diremos que un número entero m es múltiplo del número entero a si existe un número entero p tal que m = a p. Sin embargo, los números enteros se estudian recién en 7º año, de modo que en 5º año solo trabajamos con la definición restringida, es decir, limitada a los números naturales. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2
5.2 Descomposición aditiva y descomposición multiplicativa El estudiante está familiarizado con diversas formas de descomponer un número natural en una suma de números naturales. En varias ocasiones hemos utilizado este tipo de descomposición para resaltar la estructura del sistema de numeración y para destacar el valor de posición de cada digito en un número de más de una cifra. Ahora, se llama la atención al hecho que un número no solo se puede descomponer en una suma (por ejemplo, 8 = 2 + 6) sino también se puede descomponer en un producto (por ejemplo, 8 = 2 4). Conviene hacer un breve paralelo entre estas dos formas de descomposición. 5.3 Las reglas de divisibilidad Por diversas razones en el último tiempo ha disminuido fuertemente la importancia de dominar procedimientos de cálculo. Esto ha traído como consecuencia que varios temas específicos, que hace algunas décadas eran considerados importantes porque facilitaban los cálculos, hoy día hayan perdido buena parte de su relevancia. Entre los temas que ya no son tan importantes se encuentran las reglas de divisibilidad y los conceptos de mínimo común múltiplo y de máximo común divisor. En tal sentido las reglas de divisibilidad debieran presentarse principalmente como interesantes propiedades de algunos números naturales, limitándonos solo a casos simples y sobre la base de la observación de regularidades en el conjunto de los múltiplos de algún número. Así, si observamos que todos los múltiplos de 5 terminan en 0 o en 5, podemos deducir de allí la respectiva regla de divisibilidad. Algo similar podemos hacer con los múltiplos de 2, de 10 y de potencias de 10. De igual forma, en rangos acotados es posible observar regularidades en otros conjuntos de múltiplos. Por ejemplo, los múltiplos de 11 hasta 11 9 son números de 2 cifras con dígitos repetidos. Y los dígitos de los múltiplos de 9 hasta 9 10 suman 9. Presentar estas regularidades no como hechos que deben ser aprendidos sino como propiedades curiosas que se descubren, contribuye al desarrollo de una actitud favorable hacia las matemáticas y a desarrollar el interés por su estudio. 5.4 Múltiplos y divisores De las definiciones de múltiplo y divisor se desprende que entre ambos conceptos existe una estrecha relación: si m es múltiplo de d, entonces d es un divisor de m. Asimismo, si conocemos el producto de dos números naturales cualesquiera, por ejemplo, si sabemos que a b = c, entonces podemos afirmar que c es múltiplo tanto de a como de b, y que tanto a como b son divisores de c. Es conveniente mostrar este tipo de relaciones a los estudiantes, trabajando primero con datos concretos y buscando luego una generalización. Como se dijo más arriba, no tiene mucho sentido insistir demasiado en la búsqueda de múltiplos comunes o de divisores comunes, excepto como ejercitación para consolidar los conceptos de múltiplo o de divisor. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3
5.5 Los números primos Los números primos han atraído la atención de los matemáticos desde hace 2.300 años y tal vez bastante más. Se definen como aquellos números naturales que solo son divisibles por sí mismo y por 1. Por convención, se considera que el 1 no es número primo, de modo que el menor de los números primos y el único número primo par es el 2. Información bastante completa acerca de los números primos y acerca de su historia se puede encontrar por ejemplo en la página de Wikipedia dedicada al tema (es.wikipedia.org/wiki/número_primo). La principal propiedad de los números primos tiene que ver con la descomposición multiplicativa de los números compuestos (es decir, de los números que no son primos). Se puede demostrar que todo número compuesto se puede descomponer en el producto de factores primos, y que para cada número hay una única descomposición de este tipo (si no se consideran eventuales cambios de orden en los factores). Esta propiedad ha sido considerada como el teorema fundamental de la aritmética y muestra que los números primos son los ladrillos básicos de los que se forman de todos los números naturales. Ya Euclides había demostrado hacia el año 300 a. de C. que existe un número infinito de números primos. Durante siglos, muchos matemáticos dedicaron gran parte de su tiempo a encontrar números primos cada vez más grandes. Hoy esta búsqueda se hace computacionalmente y sobre la base del trabajo colectivo de miles de aficionados a lo largo del mundo. El mayor número primo conocido hasta marzo de 2009 era el número 2 43112609 1. Este número tiene nada menos que 12.978.189 cifras. En Internet existen tablas de números primos que pueden ser utilizadas por los estudiantes para encontrar algunas de sus propiedades. 6. DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL) MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO En este guía se introduce el concepto de múltiplo de un número y se proponen algunas actividades que permiten fortalecer su comprensión. Entre estas actividades se buscan regularidades en la ubicación de los múltiplos de un número en la recta numérica y en tablas en que los números están ordenados en filas de 10 en 10, y se destacan algunas características de los múltiplos de 10 y de potencias de 10, de 2, de 5, de 11 y de 9. Finalmente, se introduce y ejercita la descomposición multiplicativa. GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO INDIVIDUAL) DIVISORES DE UN NÚMERO En este guía se introduce el concepto de divisor de un número y se proponen algunas actividades que permiten fortalecer su comprensión. Se subraya asimismo la relación que existe entre este concepto y el concepto de múltiplo. GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO GRUPAL) NÚMEROS PRIMOS En este guía se introduce el concepto de número primo y se proponen actividades que ponen de relieve algunas de sus propiedades. No se pretende aquí que el estudiante memorice estas propiedades sino que ponga en juego formas de razonamiento matemático que puedan contribuir a darle una visión más cercana del quehacer matemático. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4