EXPONENETES ENTEROS Y RACIONALES Los exponentes enteros y racionales (raíces) aparecen en múltiples problemas del álgebra, en especial en aquellos en donde debes simplificar expresiones algebraicas. Por este motivo es indispensable que las propiedades de los exponentes sean comprendidas en su totalidad para facilitar los cálculos. 0.. Potenciación y Radicación Se define la potenciación y estudiaremos sus propiedades. 0... Potencias Enteras Así como a partir de la suma de cantidades iguales se define la multiplicación, b } + b + b {{ + + } b b n n b, n veces a partir del producto de factores iguales podemos definir la poteciación. Definición 0. Si b R y n Z +, la n-esima potencia de b es: b n b b b b }{{} n veces En la expresión b n, b es la base y n el exponente. Ejemplo Algunos ejemplos 5 5 5 5 5 ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 7 (π) 4 π π π π
Exponentes Ejercicio Con base en lo anterior, resuelve:. Escribe la expresión ( ) como producto.. Escribe la expresión ( 5)( 5)( 5)( 5)( 5) como potencia. Observación Para tener en cuenta. Debemos tener cuidado cuando el exponente es 0. Si b 0, entonces b 0 0 0 no está definida. Ejercicio Teniendo en cuenta lo anterior, resuelve: ( ) 0 ( + ( 5) + 4) 0 ( ) 0 a 0. Si b es un número negativo, entonces: b n es positivo si n es un numero par, b n es negativo si n es un numero impar Ejercicio Teniendo en cuenta lo anterior, resuelve: ( ) 4 ( ) ( ) 4 0 A la hora de hacer cálculos que involucren exponentes es bueno contar con atajos que simplifique el trabajo, para ello, tenemos las siguientes propiedades: Proposición Si n, m Z + y a, b R, entonces: (Ex. ) a m a n a n+m. Por ejemplo, x x x 5. (Ex. ) (a m ) n a mn. Por ejemplo, ( ) 6 64. (Ex. ) (ab) n a n b n. Por ejemplo, (x ) (x ) 7x 6 (Ex. 4) ( a b ) n a n. Por ejemplo, bn ( ) 5 5 8 5 Ejercicio 4 Demuestre las propiedades enunciadas anteriormente.
Exponentes Al momento de realizar simplificación de expresiones que involucren exponentes, debe ser claro que existen diversos caminos, unos cortos otros mas largos, según como se comience a realizar el ejercicios. Lo que importa es que sea el camino que tomes, el resultado debe ser el mismo. Ejercicio 5 Dar ejemplos de operaciones con números reales donde se apliquen las propiedades anteriores. Por ejemplo, al calcular el producto(5 4 )(5 ) verificamos la propiedad (Ex. ). (5 4 )(5 ) (5 5 5 5)(5 5) 5 5 5 5 5 5 5 6 Ahora cuando trabajemos con exponentes negativos debemos recordar la siguiente propiedad. Para todo numero real b, b b Ejemplo La anteriores propiedades permiten calcular por ejemplo 4 4 4 ( )() (4 ) ( ) 4 4 4 64 Note que en este ejemplo, se emplearon diversas propiedades. Aunque, no es necesario aplicarlas todas, solo puede ser como: 4 64 Bajando la potencia que está afectada por el exponente negativo. Así, tenemos la siguiente propiedad: Proposición Si n Z + y a R, entonces: (Ex. 5) a n a n. Por ejemplo, x y 4 z y4 x z. Ejercicio 6 Ahora resuelve: ( x 4 ) a 5 (a) 5 x 4 5y ( x 4 y) Las siguientes son propiedades adicionales, las cuales deben ser tratadas como las anteriores. Proposición Mas propiedades (formula dos ejemplos para cada una): (Ex. 6) am a n am n. Por ejemplo: (a) (b)
Exponentes 4 (Ex. 7) (a) (b) (Ex. 8) (a) (b) a n an. Por ejemplo: ( a b ) n ( b a ) n. Por ejemplo: Ejercicio 7 Demuestra las propiedades de exponenetes enunciadas anteriormente. Ejemplo Se trata de simplificar la expresión y expresar con exponentes positivos: ( x y ) ( ) x y ( ) x (y ) ( y 5 y ) x (y ) xy 5 x y xx ( ) y ( ) y 7 x x y 4 x ( ) ( 4 ) y 9 y 4 x 5 y x ( ) ( 8 ) y 4 x 5 y x ( ) 8 y 4 x 5 x 8 y y x 7y 8x 0... Notación Científica (Aplicación) Cierta áreas del conocimiento trabajan con magnitudes muy grandes ( distancia entre estrella) o muy pequeñas (como el peso de ciertos elemento en la tabla periódica). Para simplificar la escritura y mejorar los cálculos con esta cantidades se hace uso de los exponentes, en particular de la llamada notación científica. Definición 0. Un número real positivo x se dice escrito en notación científica si tiene la siguiente forma: a 0 n donde a < 0 y n un entero positivo.
Exponentes 5 Ejemplo 4 0,5 0 5 ó 0,5 0 5 están en notación científica. Escribe dos ejemplos de cantidades que estén en notación científica y otros dos que no satisfagan la condición. Otros ejemplos serían: Un año luz es aproximadamente 9,408,000,000,000 kilómetros. Luego 9,408,000,000,000 (0, 9408) (0,000,000,000,000) 0, 9408 0 El peso de un átomo de Plutonio es 0, 000000000000000000009 gramos. Luego 0, 000000000000000000009, 9, 9 0,000,000,000,000,000,000,000 Puedes observar, lo que ocurre con el punto decimal, que se corre hacia la izquierda o derecha según sea el exponente. Qué concluyes? Ejercicio 8 Con base en lo expuesto anteriormente, resuelve: (I) Escriba los siguientes números en notación científica:. 045000. 0,00000. 450000000000 4. 0,0000000000000 5. 84570 6. 40500 (II) Escriba los siguientes números en forma decimal:., 0., 0. 9,86 0 6 4.,4 0 5 5. 7,567 0 8 6. 9,9 0 0... Exponentes Racionales Ahora trataremos con exponentes racionales, para ellos definimos primero el concepto de raiz n-esima y luego vemos su relación con los exponentes racionales. Definición 0. Si n es un numero entero se define la raíz n-esima de un número real a, la cual es notada por n a como n a b si y solo si b n a Observación Ojo con la raíces pares Si n es un numero par, b n es un numero positivo, por lo tanto a debe ser un numero positivo. Es decir, las raices pares no admiten valores negativos. Es cierto que para raíces pares, todo numero tiene una positiva y una negativa, aunque reservamos la notación n solo para la raíz positiva. Ejercicio 9 Teniendo en cuenta los comentarios anteriores, resuelve:
Exponentes 6 64 8 x4 8 64 8x 6 9x4 y 0 4 x 6 Cabe anotar, que toda raíz, se puede escribir como una potencia con exponente racional. Es decir, a n n a y los cálculos realizados con radicales, exigen una cambio a exponente racional (en su mayoría) los cuales obedecen las leyes de los exponentes enteros antes mencionadas. Ejemplo 5 Para verificar que n a m a m n, procedemos: n am (a m ) n a m. n a m n Por lo tanto, n am a m n Ejercicio 0 Convierte en exponente racional y viceversa: 5 x8 x 8 5 x 7 7 x 4x 5 x 8 00 ( 00) Proposición 4 Expresamos las propiedades en notación racional (hacer un análisis de cada una como en el ejemplo anterior). n a.b n a. n b n a n a b n b n m a n.m a n am ( n a) m, (a > 0). n an a, (n par) n an a, (n impar) Ejercicio Con base en la proposición anterior:. Demuestra las propiedades enunciadas.. Escribe dos ejemplos para cada una de las propiedades. Ejemplo 6 De los exponenetes racionales, tenemos:. Al simplificar 8x yz yzw queda 8x yz yzw 8x y z 4 w xyz w.. Al simplificar 4ab 4 6a queda 4ab 4 6a 64a b 4 4ab b. Qué resulta de simplificar 4 80x 4 y z 5?
Exponentes 7 0..4. Racionalización (aplicación) Con frecuencia es útil eliminar del denominador expresiones correspondientes a raices. Este proceso se denomina racionalización y el procedimiento consiste en multiplicar tanto en numerador como denominador por una cantidad conveniente para eliminar del denominador la raíz. Si el denominador es de la forma a, entonces multiplicamos el numerador y el denominador por a obteniendo una fracción equivalente a la inicial teniendo el denominador sin radical. Ejemplo 7 5 5. 5. 5.. 9 Ahora si en el denominador se tiene una expresión de la forma n a m donde m < n y a > 0, debemos multiplicar numerador y denominador por n a n m puesto que Ejemplo 8 n am. n a n m n a m+n m n a n a 4. 4. 4 4. 4. 4 4 4 7 4 Existen otros casos de racionalización, los cuales no contemplamos en este momento por no tener las herramientas suficientes para abordarla. Ejercicio Racionalizar las siguientes fracciones 7 a y x x 6x y 5 4 Ejercicio Simplifique empleando las leyes vistas en clase:. ( ) 4. (5 + ( 5)) 0. 4 4. 0 0 5. x ( ) 6. 7. 4 8. π 0 9. 5 4 0. x x x 7. x 4. x y. 4. x4 x 8 5. 4 4 7 6. xy 4 y 9 7. x x 7 y 7 x y 0 8. x x y 7y 9. (x ) 5 0.. (a ) (4ab) (x ) 5 (x ) 4 (z )
Exponentes 8. (a ) 8 a(b 4 ) 5 0. ( ) w s w 5 y. 4. (x ) 5 (x y z) (a 4 ) 6 (7b a) 5. (m n ) (mp ) 4 6. 7. 8. 9. (xy) (x ) ( x ) x ( ) x y ( ) x yz ( ) x y... ( ) 40. ( 56 x ) 4 5 ( ) xy ( x y 4(x ) y 5 4. ( 00) / 5. 00 / 6. 8 / 7. 7 7/ ( ) 64 8. 7 ( ) 4 5 9. ) 4. 4. ( 7t 8 ( x 5 y 0 x 5 y ) 4. 5. 49 44. 45. ) 0 7. 7 4 7ab 49a. 7b 4 a.b 6 46. c 9 47. a6.b 4.c ( ) 6 48. 7a 9 [ ]. Al operar y simplificar (x ) x queda: x 4 (x ) a) x 8 b) c) x d) x 8. El resultado de simplificar la expresión 40x y 5x y 7xy 8x y es a) 7 5y b) 5y 8 7x 4 c) 7x8 5y x 4 d) 7y 5 Elaborado por: Jaime Andrés Castaño Perea. jaime.castano@correounivalle.edu.co