Cálculo. Primer curso de Ingenieros de Telecomunicación. Curso -. Examen de Septiembre. 6 de Septiembre de. Primera parte Ejercicio. Un canal abierto cuya sección es un trapecio isósceles de bases horizontales, tiene sus paredes laterales formando un angulo agudo dado α con la base menor del fondo. Conociendo el área A de dicha sección, hallar la profundidad h del canal para la cual la suma de longitudes de la base y paredes laterales es mínima. Ejercicio. Se considera la función f(x) =log(4+x )definida para todo x R. Obtener la serie de MacLaurin de f, especificando su dominio de convergencia. Ejercicio 3. Estudiar la convergencia de la integral R dx según los valores de a R. x a ( + x 3 ) Segunda parte Ejercicio 4. Calcular los extremos absolutos de la función f(x, y) =4x +9y x y en el conjunto A = {(x, y) R : x + y 4}. Ejercicio 5. Se considera el sólido V limitado por la superficie cilíndrica x + y =y y los planos z =, y +z =,.Calcular el flujo de salida del campo vectorial F (x, y, z) =(x +sinz, xy +cosz,e y ) através de la frontera S de V. Ejercicio 6. Sea S la porción de x + y =y comprendida entre y + z =yz =. Obtener su área.
Ejercicio. Un canal abierto cuya sección es un trapecio isósceles de bases horizontales, tiene sus paredes laterales formando un angulo agudo dado α con la base menor del fondo. Conociendo el área A de dicha sección, hallar la profundidad h del canal para la cual la suma de longitudes de la base y paredes laterales es mínima. Resolución Llamemos B y b a las bases mayor y menor respectivamente del trapecio sección y c ala longitud de su lado inclinado, correspondiente a la pared lateral del canal. La tangente del h ángulo α será tanα = y su seno sen α = h. Tendremos que para el área se tendrá c A = B b (B + b) h. Entonces tenemos: B b = h tan α, B + b = A h de donde restando resulta b = A h h y, despejando el valor de c en la expresión del sen α, tan α se obtiene c = h. La función a minimizar es, por lo tanto, sen α f(h) =b +c = A h h tan α + h sen α = A µ cos α h + h sen α en el intervalo [,H]dondeH corresponde a la altura máxima posible (máxima profundidad posible para el canal) que se obtiene cuando la sección es triangular y b =, es decir, para H = A tan α. ³ El problema se reduce ahora a determinar los puntos críticos de f(h) en el intervalo, A tan α y analizarlos junto a los extremos de dicho intervalo. Observemos que f es derivable salvo en, por lo que los únicos puntos críticos interiores al intervalo serán los ceros de la derivada: f (h) = A µ cos α h + = h = A sen α sen α cos α r A sen α El único punto crítico interior se presenta en h = cos α, que es menor que A tan α ya que cos α< < cos α, α, π. Puesto que f (h) = A > entodoelintervalo ³, A tan α pedida es, se trata de un mínimo absoluto en h = r A sen α cos α h, A tan α h 3 i. Portantolaprofundidad
Ejercicio. Se considera la función f(x) =log(4+x )definida para todo x R. Obtener la serie de MacLaurin de f, especificando su dominio de convergencia. La función dada es derivable en todo R ysuderivadaesf (x) = x 4+x = x/ +(x/) que, para x < o, lo que es igual, para x <, es la suma de una serie geométrica de ³ x. primer término x/ yrazón Puesto que las derivadas sucesivas de la función tienen expresiones cada vez más complicadas, obtendremos la serie de Maclaurin de f apartirdela de su derivada, que será laseriegeométrica citada: f (x) = x ³ x 3 ³ x 5 ³ x 7 ³ x 9 X ³ x + + = ( ) n n= n+ cuyo radio de convergencia es, puesto que converge para x <, como hemos dicho. Integrando la serie anterior término a termino y determinando en la forma acostumbrada el valor de la constante de integración, se obtiene, para x <, f(x) = k + x x 4 3 4 + x 6 5 6 = k + X ( ) n x n+ n+ n + = n= X = f() + ( ) n x n+ n+ (n +) = = log(4)+ n= X ( ) n x n+ (n +) n+ n= El radio de convergencia es, el mismo de la serie de la que procede. Estudiaremos el comportamiento en los extremos. Observemos que para x = yparax =laserietomael mismo valor por aparecer solo potencias pares de x. Por ejemplo para x =resultalaserie X log(4) + ( ) n (n +) n= que es obviamente convergente por el criterio de Leibnitz para series alternadas. Por tanto el dominio de convergencia de esta serie es el intervalo cerrado [-,]. 3
Ejercicio 3. Estudiar la convergencia de la integral R dx según los valores de a R. x a ( + x 3 ) La integral presenta problemas en e infinito puesto que el punto, que es el otro punto problemático del integrando, queda fuera del intervalo de integración. Asi pues, para estudiar la convergencia, descomponemos la integral dada en dos, por ejemplo Z Z x a ( + x 3 ) dx = Z x a ( + x 3 ) dx + x a ( + x 3 ) dx = I + I Para la primera de ambas integrales, I, observamos que, para valores de x proximos a, el integrando se comporta como 3. Utilizaremos el criterio de comparación por paso al límite xa con la integral R dx, cuyo comportamiento conocemos. Calculamos el límite xa µ lim x > x a ( + x 3 ) µ = lim x > +x =36= 3 x a para concluir que ambas integrales tienen el mismo carácter. Deducimos que nuestra integral I converge si, y solo si, es α<. Para la segunda de las integrales, I, observamos que, para valores muy grandes y positivos 7x de x, elintegrandosecomportacomo x a (x 3 ) = 7x x = 7. De forma analoga a la anterior, a+3 xa+ deducimos que nuestra integral tiene el mismo carácter que R µ dx ya que xa+ lim x >+ x a ( + x 3 ) µ x a+ = lim x >+ x () +x 3 =76= por lo que I converge si, y solo si, a +>, es decir, a>. Finalmente La integral dada converge cuando lo hagan simultáneamente I e I,osea,para <α<. 4
Ejercicio 4. Calcular los extremos absolutos de la función f(x, y) =4x +9y x y en el conjunto A = {(x, y) R : x + y 4}. Analizaremos en primer lugar el interior del conjunto A, determinando los puntos criticos de la función existentes en él. La función dada es diferenciable en todo el plano y se tiene f x = 8x xy =x(4 y )= x =oy = ± f y = 8y x y =y(9 x )= y =ox = ±3 luego los puntos criticos de la función son (,), (3,), (3,-), (-3,), (-3,-), de los cuales únicamente el origen queda dentro de nuestro conjunto. Solamente nos interesan los extremos absolutos, por tanto guardaremos por ahora el punto P =(, ) junto con el valor de la función f(, ) = y pasaremos a analizar la frontera de A utilizando multiplicadores de Lagrange par obtener los posibles puntos donde se alcanzan extremos de la función f con la restricción g(x, y) =x + y 4 =. Debemos resolver f x λg x = x(4 y ) λx =x(4 y λ) = x =o4 λ = y f y λg y = y(9 x ) λy =y(9 x λ) = y =o9 λ = x g = x + y 4= Las soluciones de este sistema son P =(, ), P 3 =(, ), (ambas correspondientes a λ =9),P 4 =(, ), P 5 =(, ), (ambas correspondientes a λ =4),yaquepara9 λ = x, 4 λ = y,x + y = 4 no hay solución real. Puesto que en P y P 3 la función toma el mismo valor f(, ±) = 36 y análogamente ocurre en P 4 y P 5,dondef(±, ) = 6, concluimos que el mínimo absoluto se alcanza en el origen, punto del interior del conjunto, y el máximo absoluto se alcanza en los dos puntos P y P 3. 5
Ejercicio 5. Se considera el sólido V limitado por la superficie cilíndrica x + y =y y los planos z =, y +z =,.Calcular el flujo de salida del campo vectorial F (x, y, z) =(x +sinz, xy +cosz,e y ) através de la frontera S de V. Puesto que la superficie frontera del sólido tiene tres partes, el cálculo del flujo de salida requiere tres integrales de superficie. Además, el campo dado tiene una expresión complicada, mientras que su divergencia resulta muy simple: div(f )=F x + F y + F z =x + x +=3x Por todo ello se hace especialmente aconsejable utilizar el teorema de Gauss ZZ ZZZ F nds = div(f ) dxdydz S V Necesitamos describir el sólido para tener los extremos de las integrales reiteradas mediante las cuales calcularemos esa integral triple. Completando el cuadrado, la ecuación de la superficie cilíndrica dada puede escribirse como x +(y ) =. Laproyección del sólido sobre el plano OXY es la circunferencia de centro (,) y radio y z se mueve entre los dos planos dados, luego una posible descripción es y V p y y x p y y z y Entonces ZZZ V div(f ) dxdydz = = = Z Z Z Z y y y y Z y y Z y 3xdzdxdy = ( y)3xdxdy = y y x= y y ( y) 3x dy = x= y y h ya que 3x i y y y y =. 6
Ejercicio 6. Sea S la porción de x + y =y comprendida entre y + z =yz =. Obtener su área. El área de la superficie viene dada por ZZ ZZ ds = kr u r v k du dv S D donde r = r(u, v) representa el vector posición de un punto de la superficie en función de dos parametros adecuadamente elegidos y D es el recinto donde esos parámetros se han de mover. Comenzaremos parametrizando la superficie x +y =y,o,equivalentemente,x +(y ) =. Puesto que se trata de un cilindro vertical, un parámetro basta para describir la ecuación (que tambien es la de la curva proyección) y el otro se deberá usar para describir la z. Unade las posibles parametrizaciones es x =cos(u) S y =+sen(u) z = v ½ (u, v) D u π v ( + sen(u)) Resulta r u r v = sen(u) cos(u) = cos(u) sen(u), kr u r v k = Por lo que el área pedida vale ZZ du dv = Z π Z sen(u) D dv du = Z π ( sen(u)) du =π. 7