Cálculo científico y técnico con HP49g/49g+/48gII/50g Módulo 1: Funcionamiento básico Tema 1.4 Listas

Cálculo científico y técnico con HP49g/49g+/48gII/50g Módulo 1: Funcionamiento básico Tema 1.4 Listas Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Catalunya Dep. Matemática Aplicada III Febrero 2008, versión 1.4. Contenido 1. Listas: construcción directa 2. Funciones sobre listas 3. Visualizar los elementos de una lista 4. Construcción de listas desde la pila 5. Destrucción de listas 6. Operaciones aritméticas con listas 7. Algunos comandos para listas: ΣLIST, SIZE 8. Funciones sobre listas 9. Comando MAP 10. Ejemplos finales 1

Índice General 1 Listas: construcción directa 1 2 Funciones sobre listas 2 3 Visualizar los elementos de una lista 2 3.1 Visualizaciónenlalíneadeedición... 2 3.2 VisualizaciónconVIEW... 3 4 Construcción de listas desde la pila 4 5 Destrucción de listas 6 6 Aritmética de listas 7 6.1 Producto... 7 6.2 Cociente... 8 6.3 Restaycambiodesigno... 9 6.4 Suma:operadorADD... 10 6.5 Concatenación: operador + enlistas... 11 7 Algunos comandos para listas: ΣLIST, SIZE 11 7.1 ComandoSIZE... 11 7.2 Comando ΣLIST... 12 8 Funciones sobre listas 12 8.1 Comandossobrelistas... 12 8.2 Funciones de usuario sobre listas. Problemática del operador + enlistas... 13 9 Comando MAP 14 10 Ejemplos finales 15 10.1Cálculodemediaaritmética... 15 10.2Varianza... 17 10.3Estadísticascondatosagrupados... 18 10.4 Aproximación de integrales por trapecio compuesto...... 21 10.5 Aproximación de integrales por Simpson compuesto..... 24

Francisco Palacios Listas. 1 1 Listas: construcción directa Una lista es un conjunto de objetos entre llaves { } y separados por espacios 1 o comas 2. {1, 2, 3}, {12, 345, 212.4, π}, { X 12 DUP 123 12/123 }. Como primer ejemplo, vamos a construir la lista de números {1 2 34 14}. Escribe un par de llaves { } (tecla Á(9,5)), y escribe en su interior los números separados por espacios. Observa que estás en el editor de línea (el cursor de línea está visible), para cargar la lista en la pila, pulsa ENTER. Actividad 1.1 Construye las listas {1 3 5 7}; {1.23 3.45 5.67}. Actividad 1.2 Construye las listas {1, 3, 5, 7} y {1.23, 3.45, 5.67} usando comas como separadores. Para incluir expresiones algebraicas dentro de una lista, debes usar comillas simples. Actividad 1.3 Construye las listas {1 1/2 X^2 }, {2.34 (X 1)/(X +1) Y +1 }. 1 [SPC], tecla (10,4). 2 Tecla Â(10,4).

Francisco Palacios Listas. 2 NOTA La mejor forma de construir listas es usar espacios como separadores, de hecho, cuando la lista se carga en la pila, los elementos se separan mediante espacios. Nosotros emplearemos comas o espacios, según creamos conveniente. 2 Funciones sobre listas Las funciones incorporadas de la calculadora operan sobre las listas, calculando las imágenes de cada uno de los elementos. Por ejemplo, si cargamos la lista {1, 2, 3, 4} en la pila y pulsamos [x 2 ], se obtiene {1, 4, 9, 16}. Actividad 2.1 Calcula el cubo de los 10 primeros números naturales. Actividad 2.2 Fija la calculadora en modo real exacto (R=). Construye la lista {1, 2, 3, 4}. Pulsa la tecla[sin]. Qué resultado obtienes? Qué pasa si intentas obtener una aproximación decimal con NUM? Actividad 2.3 Fija la calculadora en modo real aproximado (R ). Construye la lista {1 2 3 4}. Pulsa la tecla[sin]. Qué resultado obtienes? 3 Visualizar los elementos de una lista 3.1 Visualización en la línea de edición Para ver bien los elementos de una lista situada en el nivel 1 de la pila, pulsa la tecla [H], que activa el editor de línea. Por ejemplo, si tomas la lista {.1,.2,.3,.4,.5,.6,.7}ypulsaslatecla[COS],resulta. Observa el símbolo de continuación, que indica que la lista no puede mostrarse completa en pantalla. Si ahora pulsas la tecla [H], se activa el editor de línea

Francisco Palacios Listas. 3 que te permite ver adecuadamente los elementos de la lista, pulsando [H], puedes hacer descender el cursor de línea y ver los elementos no mostrados. Observa que cuando estamos en el editor de línea Puedes modificar los elementos de la lista. Los valores numéricos se muestran en formato estándar, esto es debido a que los formatos con un número fijo de decimales, por ejemplo FIX 4, sólo afectan a la visualización. 3.2 Visualización con VIEW También puedes ver los elementos de la lista pulsando 3 [TOOL][VIEW]. En este caso se activa un pantalla gráfica. La marca de continuación indica que el objeto no se puede mostrar completo en la pantalla, entonces puedes usar las teclas de desplazamiento [J][I] para ver la parte oculta del objeto. Cuando empleas VIEW para ver un objeto 3 Para acceder al men, pulsa la tecla (2,3).

Francisco Palacios Listas. 4 No puedes editarlo. Los valores decimales se muestran con el número de decimales especificado en el formato numérico, esto es, si el formato numérico es FIX 4, los números aproximados aparecerán con 4 decimales. Actividad 3.1 Fija la calculadora en modo real aproximado (R ), y el formato numérico en FIX 3. Construye la lista {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ycompleta la siguiente tabla. Usa VIEW para ver los elementos de la lista. x 1 2 3 4 5 6 7 x Actividad 3.2 Fija la calculadora en modo real aproximado (R ), elmodo angular en radianes y el formato numérico en FIX 5. Construye la lista y completa la siguiente tabla {.1,.2,.3,.4,.5,.6,.7,.8,.9, 1.0} x sin x sin 2 x.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1.0 4 Construcción de listas desde la pila Puedes construir la lista {23, 12, 16, 21} como sigue: Carga los elementos en la pila.

Francisco Palacios Listas. 5 Pulsa la tecla [HIST] 4 para acceder al editor de pila, observa que aparece el cursor de nivel de pila. Desplaza el cursor de nivel de pila hasta el nivel 4 pulsando [N]. Pulsa [NEXT] 5 para ver la segunda página del soft-menú de herramientas del editor de pila. Finalmente, pulsa [F1] para ejecutar el comando LIST, entonces se descargan los elementos de la pila y se obtiene la lista. Observa que aún estás en el editor de pila (el cursor de nivel de pila está visible), debes pulsar ENTER para cargar la lista en la pila. Actividad 4.1 Completa la tabla siguiente x 0.15 0.17 0.23 0.42 0.82 1 cos(x 2 ) 4 Tecla (4,1) 5 Tecla (3,3)

Francisco Palacios Listas. 6 Para ello, construye la lista {0.15, 0.17, 0.23, 0.42, 0.82} cargando los números en la pila y usando el comando LIST. Fija el formato numérico en FIX 4 y el modo angular en radianes. 5 Destrucción de listas Si tienes una lista en el Nivel 1 de la pila y ejecutas el comando EVAL Se destruye la lista. Los elementos de la lista se cargan, ordenadamente, en la pila. El primer elemento de la lista es el primero en cargarse, por ello, es el que queda en la posición más alta de la pila; el último elemento de la lista queda en el NIVEL 1 de la pila. Si colocas la lista {12, 1, 23, A } en el NIVEL 1 de la pila, y pulsas EVAL, se destruye la lista y se obtiene Actividad 5.1 Completa la siguiente tabla x j (rad) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 y j = 1 sin x j P yj enlaúltimacasillacolocaelvalor 5X j=1 1 sin x j = 1 sin 0.1 + 1 sin 0.2 + + 1 sin 0.5.

Francisco Palacios Listas. 7 Para ello, construye la lista {0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5}, usa la tecla[sin] y [1/x], para calcular los valores y j. Después, rompe la lista con EVAL ysuma los valores y j que están cargados en la pila. Sol. P y j =23.0878. 6 Aritmética de listas 6.1 Producto La tecla [ ] permite calcular dos tipos de productos: producto de número por lista y producto de listas. Producto de número y lista α {x 1,x 2,x 3,...,x n } = {α x 1, α x 2, α x 3,...,α x n }. Si realizas el producto de 3 por la lista {1, 2, 4, 5} se obtiene Producto de listas {x 1,x 2,,x n }{y 1,y 2,,y n } = {x 1 y 1,x 2 y 2,,x n y n }. Si multiplicas las listas

Francisco Palacios Listas. 8 se obtiene En el producto de listas, las listas deben tener el mismo número de elementos. Cuando intentas multiplicar listas con un número distinto de elementos resulta un mensaje error. Actividad 6.1 Realiza las siguientes operaciones (a) {1, 2, 3} {2, 1, 1}, (b) 3 {1, 1, 4}, (c) {1, 2, 1} 4, (d) {2, 1, 1} {1, 2,3}, (e) {1, 2} {1, 2, 3}. 6.2 Cociente La tecla [ ] permite realizar 3 tipos de operaciones División de número por lista α {x 1,x 2,,x n } = {α/x 1, α/x 2,, α/x n }.

Francisco Palacios Listas. 9 División de lista por número División de listas {x 1,x 2,,x n } α = {x 1 /α, x 2 /α,,x n /α}. {x 1,x 2,,x n } {y 1,y 2,,y n } = {x 1 /y 1,x 2 /y 2,,x n /y n }. Así, por ejemplo, si divides el número 3 por la lista {3, 6, 9} obtendrás la lista {1, 1/2, 1/3}, el esquema de pila es el siguiente: Cociente [ ] Nivel 2 Nivel 1 Nivel 1 3 {3, 6, 9} {1, 1/2, 1/3} Cuando divides la lista {3, 6, 9} por el número 3, el resultado es {1, 2, 3}. Si divides la lista {3, 6, 9} por la lista {1, 2, 4}, obtendrás {3, 3, 9 4 }. El esquema de pila es el siguiente: Cociente [ ] Nivel 2 Nivel 1 Nivel 1 {3, 6, 9} {1,2,4} {3, 3, 9 4 } En la división de listas, es preciso que ambas listas tengan el mismo número de elementos. En caso contrario se produce un error. Actividad 6.2 Realiza las siguientes operaciones (a) {1, 2, 3} {2, 1, 1}, (b) 3 {1, 1, 4}, (c) {1, 2, 1} 4, (d) {2, 1, 1} {1, 2, 3}, (e) {1, 2} {1, 2, 3}. 6.3 Resta y cambio de signo La tecla 6 [+/ ], cambia el signo de todos los elementos de la lista. La tecla [ ], permite realizar 3 operaciones. Sustracción de número y lista: α {x 1,x 2,,x n } = {α x 1, α x 2,, α x n }. Sustracción de lista y número 6 Tecla (6,2) {x 1,x 2,,x n } α = {x 1 α, x 2 α,,x n α}.

Francisco Palacios Listas. 10 Sustracción de listas {x 1,,x n } {y 1,,y n } = {x 1 y 1,,x n y n }. Actividad 6.3 Realiza las siguientes operaciones: (a) {1, 2, 3} {2, 1, 1}, (b) 3 {1, 1, 4}, (c) {1, 2, 1} 4, (d) {2, 1, 1} {1, 2, 3}, (e) {1, 2} {1, 2, 3}. 6.4 Suma: operador ADD Las sumas de listas se realizan mediante el operador ADD. Para usar el operador ADD, podemos teclearlo directamente mediante el teclado alfabético, o bien, acceder al menú 7 [MTH][LIST]. El operador ADD permite realizar tres operaciones. Sumas de número y lista α ADD {x 1,x 2,,x n } = {α + x 1, α + x 2,, α + x n }. {x 1,x 2,,x n } ADD α = {x 1 + α, x 2 + α,,x n + α}. Suma de listas {x 1,,x n } ADD {y 1,,y n } = {x 1 + y 1,,x n + y n }. Actividad 6.4 Localiza el comando ADD en el menú [MTH][LIST]. Suma las listas {1, 2, 3} y {0, 1, 1}. Actividad 6.5 Calculalasumadelnúmero3 ylalista{3, 2, 7}. Para ello, teclea el comando ADD directamente. Actividad 6.6 Realiza las siguientes operaciones (a) {1, 2, 3} ADD {2, 1, 1}, (b) 3ADD {1, 1, 4}, (c) {2, 1, 1} ADD {1, 2, 3}, (d) {1, 2} ADD {1, 2, 3}. 7 Tecla Á(4,4). También puedes obtener el comando ADD en el catálogo de funciones [CAT] (tecla Â(4,4)).

Francisco Palacios Listas. 11 6.5 Concatenación: operador + en listas Cuando actúa sobre listas, el operador + agrega ordenadamente los elementos a la lista. Por ejemplo, el resultado de 12+{0.34, 1.23} es {12, 0.34, 1.23}; como resultado de la operación, el número 12 se añade como primer elemento de la lista. Los siguiente ejemplos aclaran el funcionamiento del operador + en listas. {1, 2, 1} + {0, B } = {1, 2, 1, 0, B }. {1, 2, 1} +34={1, 2, 1, 34}. { }+1={1}. Observa que { } es la lista vacía. Actividad 6.7 Realiza las siguientes operaciones. (a) {1, 2, 3} + {2, 1, 1}, (b) 3+{1, 1, 4}, (c) {2, 1, 1} + {1, 2, 3}, (d) {1, 2} + {1, 2, 3}, (e) {1, 4} +3, (f) 5+{}. 7 Algunos comandos para listas: ΣLIST, SIZE 7.1 Comando SIZE Proporciona el número de elementos de una lista. Podemos teclearlo directamente, o bien, obtenerlo en el menú 8 [PRG][LIST][ELEM]. El diagrama de pila de SIZE es el siguiente Comando SIZE Nivel 1 Nivel 1 {x 1 x 2 x n } n Actividad 7.1 Localiza el comando SIZE en [PRG][LIST][ELEM]. Aplícalo alalista{1, 2, 3, 1, 0}. Actividad 7.2 Aplica el comando SIZE a la lista{2, 1, 2, 1}. Teclea el comando directamente. Actividad 7.3 Busca el comando SIZE en el catalogo de comandos [CAT]. Aplícaloalalista{3.21, 2.13, 6.71, 4.21}. 8 Tecla Á(4,2). Tambíén está accesible en el catálogo de funciones [CAT].

Francisco Palacios Listas. 12 7.2 Comando ΣLIST El comando ΣLIST calcula la suma de los elementos de una lista. Puedes obtener el comando ΣLIST en [MTH][LIST]. Por ejemplo, si tomamos la lista {1, 2, 3, 4} y aplicamos el comando ΣLIST, resulta el valor 10. El diagrama de pila de ΣLIST es Comando ΣLIST Nivel 1 Nivel 1 {x 1,x 2,,x n } X n x j j=1 Actividad 7.4 Localiza el comando ΣLIST en [MTH][LIST]. Aplícalo a la lista {1, 2, 3, 1, 0}. Actividad 7.5 Podemos aproximar el valor de la integral Z 1.5 1 1 x dx mediante la suma de Riemann S 5 = 1 µ 1 10 1.05 + 1 1.15 + 1 1.25 + 1 1.35 + 1 1.45 Calcula el valor de S 5 siguiendo los siguientes pasos: (1) Construye la lista {1.05, 1.15, 1.25, 1.35, 1.45}. Usa el comando LIST. (2)Aplicalafunciónf(x) =1/x sobre la lista usando la tecla [1/x]. (3) Calcula la suma con ΣLIST. (4) Divide por 10. (Sol. 0.4052) Actividad 7.6 Calcula el valor de la integral y compáralo con el obtenido en el ejercicio anterior. (Sol. Exacta ln 1.5 =0.405465) 8 Funciones sobre listas 8.1 Comandos sobre listas Buena parte de los comandos y funciones de la calculadora operan sobre listas, aplicándose sobre cada uno de sus elementos. Así, para borrar conjuntamente un grupo de variables, puedes construir un lista con los nombres de las variables a borrar y ejecutar el comando PURGE. Las funciones incorporadas de la calculadora: SENO, COSENO, EXP, LN, etc., actúan sobre una lista aplicándose sobre sus elementos. Por ejemplo, si colocas la lista {1, 2, 3, 4} en la pila y pulsas la tecla [ x], obtendrás {1, 2, 3, 2}. Para obtener aproximaciones decimales del resultado, debemos fijar la calculadora en modo aproximado antes de entrar la lista {1, 2, 3, 4}.

Francisco Palacios Listas. 13 8.2 Funciones de usuario sobre listas. Problemática del operador + en listas Las funciones definidas por el usuario mediante el comando DEFINE (o mediante programación directa) también actúan sobre listas, evaluándose sobre cada uno de los elementos. Una función de usuario es un programa del tipo << X expresión algebraica >>. Por ejemplo, la función f(x) = x 1 x 2 +1 se define mediante el programa << X (X 1)/(X^2+1) >>. Este programa no funcionará correctamente sobre listas pues, cuando actuamos sobre listas, el operador + añade elementos a la lista, en lugar de realizar la suma. Para que la función se aplique correctamente sobre listas, debemos editar el programa y sustituir el operador + por ADD << X (X 1)/(X^2 ADD 1) >>. Actividad 8.1 Usa el comando DEFINE para definir la función f(x) = x 1 x 2 +1. Calcula f(2.0), f(2.5), f(2.7), f(3.0). Aplica la función a la lista {2, 2.5, 2.7, 3.0}. Son correctos los resultados? Qué ha sucedido? Actividad 8.2 Modifica la función f que has definido en el ejercicio anterior para que opere correctamente sobre listas. Aplica la función a la lista {2, 2.5, 2.7, 3.0}. Son correctos los resultados? Actividad 8.3 Define la función f(x) = x 1 x 2 1. Es necesario modificarla para que opere correctamente sobre listas? Compruébalo aplicando la función sobre la lista {1.3, 1.5, 1.7, 1.9} Actividad 8.4 Define la función f(x) = 2+sinx 3+cosx. Modifícala, si es preciso, para que opere correctamente sobre listas. Aplícala sobre la lista {1.3, 1.5, 1.7, 1.9}.

Francisco Palacios Listas. 14 9 Comando MAP El comando MAP permite aplicar un programa a los elementos de una lista. Puedes obtener el comando MAP en el catalogo de comandos y funciones [CAT], o bien, puedes teclearlo directamente. Un buen ejemplo de la utilidad del comando MAP es la aplicación del comando NUM sobre los elementos de una lista. Fija la calculadora en modo real exacto (R=), construye la lista {1, 2, 3, 4, 5} y pulsa la tecla [ x]; como resultado obtendrás la lista {1, 2, 3, 2, 5}. Para obtener una aproximación decimal de los elementos de la lista, puedes intentar ejecutar el comando NUM (tecla Â(10,5)), pero verás que esto no funciona. Para aplicar el comando NUM (o cualquier otro) a los elementos de una lista, puedes proceder como sigue: Carga la lista en el nivel 1 de la pila. Construye un programa que ejecute el comando, en nuestro caso el programa es << NUM >>. Teclea MAP, la pantalla presentará el siguiente aspecto Para ejecutar MAP, pulsa ENTER. Como resultado obtendrás

Francisco Palacios Listas. 15 Para ver los elementos de la lista, pulsa la tecla de desplazamiento hacia abajo [H], eso llevará la lista a la línea de edición y podrás ver adecuadamente sus elementos. También puedes usar [TOOL][VIEW]. Actividad 9.1 Fija la calculadora en modo real exacto. Carga la lista {1, 2, 3, 4} en la pila y pulsa la tecla [1/x]. Intenta obtener una evaluación decimal de los resultados. Aplica el método expuesto en esta sección, usando MAP y NUM para obtener una aproximación decimal del resultado. Actividad 9.2 Fija el modo angular en radianes. Construye la lista {sin 1, sin 1 2, sin 1 3, sin 1 4, sin 1 5 } Calcula una aproximación decimal mediante MAP y NUM. 10 Ejemplos finales 10.1 Cálculo de media aritmética Lamediaaritméticadelosnúmeros{X 1,,X N } es x = 1 nx X j. N j=1 Para calcular la mediar aritmética de la lista {1, 2, 3, 4, 5, 6}: 1. Cargalalistaenelnivel 1delapila. 2. Pulsa ENTER para duplicarla. 3. Ejecuta SIZE.

Francisco Palacios Listas. 16 4. Pulsa la tecla de desplazamiento derecho [I] para ejecutar SWAP e intercambiar el contenido del nivel 1 y 2 de la pila. 5. Ejecuta ΣLIST. 6. Pulsa [I] para intercambiar la posición de la suma y el número de elementos. 7. Calcula la división; el resultado es 3.5. Actividad 10.1 Calcula la media aritmética de la lista (Sol. x =3. 5625) {2, 3, 2, 4, 5, 6, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 6, 6, 7} Actividad 10.2 Repite la actividad anterior, pero esta vez calcula primero la suma de la lista y después el número de elementos. Es más eficiente este procedimiento? Actividad 10.3 Fija el modo angular en radianes y calcula (Sol. 0. 12312 5) v = 1 10 10X k=1 sin 2 µ 1 k

Francisco Palacios Listas. 17 10.2 Varianza La varianza de los números {X 1,...,X N },sedefine como s 2 = 1 N nx (X j x) 2, j=1 donde x es la media aritmética. La raíz cuadrada de la varianza se denomina desviación típica, serepresentapors v u s = t 1 nx (X j x) 2. N j=1 Para calcular la desviación típica de {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1. Carga la lista en la pila y pulsa ENTER 2 veces, para obtener 2 copias de la lista. 2. Calcula la media aritmética, como en la subsección anterior; el resultado es x =3.5, y la pantalla presentará el siguiente aspecto 3. Pulsa [ ], para calcular la lista de los elementos X j x. 4. Pulsa [x 2 ],paracalcularlalistadeloselementos(x j x) 2. 5. Ejecuta ΣLIST para calcular la suma P n j=1 (X j x) 2. 6. Entra manualmente el número de elementos y calcula la división P n j=1 (X j x) 2. N En este punto, hemos calculado la varianza s 2 =2.916667 7. Si calculas la raíz cuadrada de la varianza, se obtiene la desviación típica s =1.707825.

Francisco Palacios Listas. 18 Actividad 10.4 Calcula la varianza y la desviación típica de la lista {2, 3, 2, 4, 5, 6, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 6, 6, 7} entrando manualmente el número de elementos N =16 Actividad 10.5 Calcula la varianza y la desviación típica de la lista {2, 3, 2, 4, 5, 6, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 6, 6, 7} sin entrar manualmente el número de elementos. (s 2 =4. 24609) Actividad 10.6 Guarda la lista {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} en la variable X y usa esta variable para calcular la varianza y la desviación típica de la lista. Actividad 10.7 Puede demostrarse que la varianza también puede calcularsemediantelafórmula s 2 = 1 N nx Xj 2 ( x) 2. j=1 Esto es, calculamos la media aritmética de los cuadrados de los datos y, luego, le restamos el cuadrado de x. Para la lista calcula el promedio de cuadrados {2, 3, 2, 4, 5, 6, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 6, 6, 7}, 1 N nx Xj 2, j=1 y después la varianza. Compara el resultado con el obtenido en la Actividad 10.4. 10.3 Estadísticas con datos agrupados A menudo se trabaja con variables que sólo pueden tomar un reducido número de valores. Por ejemplo, el número de averías que sufre una máquina en el período de una semana. Supongamos que hemos controlado una determinada máquina a lo largo de 20 semanas y hemos obtenido los siguientes números de averías. {1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 4, 0, 1, 5, 2, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 1}

Francisco Palacios Listas. 19 En este caso es apropiado resumir los datos en una tabla que contenga los distintos resultados que toma la variable (x j ), y el número de veces que cada resultado aparece en la muestra (frecuencia absoluta). x j N j f j 0 4 0. 20 1 6 0.30 2 6 0.30 3 1 0.05 4 2 0.10 5 1 0.05 P 20 1.00 Para cada uno de los valores distintos x j,representamosporn j su frecuencia absoluta; la frecuencia relativa es f j = N j /N. Nota. Es importante no confundir los valores originales (X j ) o datos brutos conlosvalores distintos (x j ). En nuestro ejemplo tenemos 20 valores originales, mientras que sólo hay 6 valores distintos. N representa el número total de valores; n es el número de valores distintos. Usando datos agrupados tenemos las siguientes fórmulas: Media aritmética Varianza s 2 = x = nx x j f j. j=1 nx (x j x) 2 f j. j=1 La varianza también se puede calcular con la fórmula abreviada nx s 2 = x 2 j f j ( x) 2. j=1 Para calcular la media aritmética y la varianza de la tabla puedes proceder como sigue: x j N j f j 0 4 0. 20 1 6 0.30 2 6 0.30 3 1 0.05 4 2 0.10 5 1 0.05 P 20 1.00

Francisco Palacios Listas. 20 1. Crea una la lista con los valores distintos y la guardas con el nombre X. {0, 1, 2, 3, 4, 5} 2. Crea una lista con las frecuencias absolutas {4, 6, 6, 1, 2, 1}. Duplica la lista y aplica ΣLIST, se obtiene el número total de datos brutos N =20. 3. Divide la lista de frecuencias absolutas {4, 6, 6, 1, 2, 1} por 20, resulta la lista de frecuencias relativas guárdala con el nombre F. {0.2, 0.3, 0.3, 0.05, 0.1, 0.05} 4. Para obtener x, multiplica las listas X y F y suma los elementos de la lista resultante. La secuencia de comandos es: X F * ΣLIST El resultado es x =1.7, guarda el valor de x en la variable M. 5. Para obtener s 2 resta x alalistax, eleva al cuadrado, multiplica por la lista de frecuencias relativas F suma los elementos de la lista resultante. La secuencia de comandos es: X M SQ F * ΣLIST El resultado es s 2 =1.91; la desviación típica es s =1.38203. Actividad 10.8 Calcula la media aritmética, varianza y desviación típica de la lista {1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 4, 0, 1, 5, 2, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 1} talcomosehahecho en la sección anterior, esto es, sin agrupar los datos. Compara los resultados conlosqueseobtienenenelejemplo. Actividad 10.9 Calcula la media aritmética, varianza y desviación típica de la lista {1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 4, 0, 1, 5, 2, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 1} usando datos agrupados y la fórmula de cálculo abreviado de la varianza nx s 2 = x 2 j f j ( x) 2. j=1

Francisco Palacios Listas. 21 10.4 Aproximación de integrales por trapecio compuesto El método del trapecio compuesto permite aproximar el valor de la integral definida Z b I = f(x) dx a empleando los valores que toma la función en n +1puntos igualmente espaciados en el intervalo [a, b]. x 0 = a, x 1 = a + h, x 2 = a +2h,. x j = a + jh,. x n = a + nh= b. Los puntos x j (puntos de la red o nodos) se obtienen dividiendo el intervalo de integración [a, b] en n subintervalos de longitud h = b a n. El valor de la aproximación es I TC = h 2 (f(x 0)+2f(x 1 )+2f(x 2 )+ +2f(x n 1 )+f(x n )). Veamos como ejemplo la aproximación del valor de la integral Z 2 1 x 2 sin(x) dx por el método de trapecio compuesto con n =5subintervalos. Calculamos la longitud de subintervalo (step) h = b a n = 2 1 =0.2. 5 Determinamos los n +1=6puntos de la red x 0 = a =1, x 1 = a + h =1.2, x 2 = a +2h =1.4, x 3 = a +3h =1.6, x 4 = a +4h =1.8, x 5 = a +5h =2.0.

Francisco Palacios Listas. 22 El valor de la aproximación es I TC = h 2 (f(x 0)+2f(x 1 )+2f(x 2 )+2f(x 3 )+2f(x 4 )+f(x 5 )) = 0.2 (f(1.0) + 2f(1.2) + 2f(1.4) + 2f(1.6) + 2f(1.8) + f(2.0)) 2 = 2. 2454. El valor exacto de la integral redondeado a 5 decimales es Z 2 1 x 2 sin(x) dx =2.2462. Nota Observa que los valores f(x j ) se multiplican por 2 en los puntos interiores de la red, esto es, para x 1,x 2,...,x n 1. Para calcular la aproximación del ejemplo anterior mediante listas puedes proceder como sigue: 1. Define la función f(x) =x 2 sin(x) usando DEFINE. 2. Calcula el valor del step h =(2 1)/5 =0.2 y crea la lista de puntos de la red {1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0}. 3. Aplica la función F sobre la lista de puntos de la red; obtendrás la lista de imágenes 4. Crea la lista de coeficientes {1, 2, 2, 2, 2, 1} y la multiplícala por la lista de imágenes. 5. Usa ΣLIST para obtener la suma f(1.0) + 2f(1.2) + 2f(1.4) + 2f(1.6) + 2f(1.8) + f(2.0), el resultado obtenido es 22.454246. 6. Finalmente multiplica por h y divide por 2, el resultado es 2.245425.

Francisco Palacios Listas. 23 Actividad 10.10 Calculadeformamanualelvalorexactodelaintegral Z 2 1 x 2 sin(x) dx aplicando el método de integración por partes dos veces. Actividad 10.11 Para calcula el valor exacto de la integral con la calculadora 1. Fija el modo real exacto. 2. Escribe la integral en el editor de ecuaciones 9 [EQW] 3. Selecciona la expresión y pulsa EVAL. Pulsa ENTER para cargar el resultado en la pila. El resultado es 9 Encontrarás el símbolo integral en la tecla Â(5,5).

Francisco Palacios Listas. 24 Para ver el resultado completo pulsa [TOOL][VIEW]; las teclas de desplazamiento [J][I] te permitirán ver toda la expresión. Calcula una aproximación decimal del resultado con 8 decimales. (Sol. 2.24623910). Actividad 10.12 Aproxima el valor de la integral Z 2 1 x 2 sin(x) dx usando el método del trapecio compuesto con 4, 6 y 10 intervalos. Compara el resultado con el valor obtenido en la actividad anterior. (Aprox. 4 intervalos 2.244984. Aprox. 6 intervalos 2.245669. Aprox. 10 intervalos 2.246031.) Actividad 10.13 Aproxima el valor de la integral Z 2 x 2 1 x 4 +1 dx usando el método del trapecio compuesto con 10 intervalos. Recuerda que para que la función actúe correctamente sobre listas, debes modificar la definición de la función sustituyendo las sumas por ADD. (Valor de la aproximación 0.37284; valor exacto con 5 decimales 0.37301.) 10.5 Aproximación de integrales por Simpson compuesto El método de Simpson compuesto también nos permite aproximar el valor de la integral definida Z b I = f(x) dx. a En este caso el intervalo de integración [a, b] se divide en 2n subintervalos de igual longitud h =(b a)/2n. Esto origina una red de 2n +1puntos x 0 = a, x 1 = a + h, x 2 = a +2h,. x j = a + jh,. x 2n = a +(2n +1)h = b. El valor de la aproximación es I SC = h 3 (f(x 0)+4f(x 1 )+2f(x 2 )+4f(x 3 )+2f(x 4 )+ + +2f(x 2n 2 )+4f(x 2n 1 )+f(x 2n )), h = b a 2n.

Francisco Palacios Listas. 25 Observamos que Las imágenes de los puntos de índice impar, f(x 1 ),f(x 3 ),...,f(x 2n 1 ) están multiplicadas por el coeficiente 4. Las imágenes de los puntos interiores de índice par, f(x 2 ),f(x 4 ),..., f(x 2n 2 ) están multiplicadas por el coeficiente 2. Las imágenes de los puntos extremos f(x 0 ) y f(x 2n ) no tienen coeficiente. Por ejemplo, para aproximar el valor de la integral Z 2 1 x 2 sin(x) dx por el método de Simpson compuesto con 2n =8subintervalos Calculamos la longitud de subintervalo h = b a 8 = 2 1 8 =0.125. Determinamos los 2n +1=9puntos de la red x 0 = a =1.000, x 1 = a + h =1.125, x 2 = a +2h =1.250, x 3 = a +3h =1.375, x 4 = a +4h =1.500, x 5 = a +5h =1.625, x 6 = a +6h =1.750, x 7 = a +7h =1.875, x 8 = a +8h =2.000. El valor de la aproximación es I TC = h 3 (f(x 0)+4f(x 1 )+2f(x 2 )+4f(x 3 )+2f(x 4 )+ +4f(x 5 )+2f(x 6 )+4f(x 7 )+f(x 8 )) = 0.125 (f(1.0) + 4f(1.125) + 2f(1.250) + 4f(1.375) + 3 +2f(1.500) + 4f(1.625) + 2f(1.750) + 4f(875) + f(2.000)) = 2.246226

Francisco Palacios Listas. 26 El valor exacto de la integral, redondeado a 6 decimales, es 2.246239. Para calcular la aproximación de la integral usando listas, puedes proceder como sigue. 1. Define la función f(x) =x 2 sin(x) usando DEFINE. 2. Calcula el valor de h =(2 1)/8 =0.125 y crea la lista de puntos de la red {1.000, 1.125, 1.250, 1.375, 1.500, 1.625, 1.750, 1.875, 2.000}. 3. Aplica la función F sobre la lista de puntos de la red; obtendrás la lista de imágenes. 4. Crea la lista de coeficientes {1, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 1} y la multiplícala por la lista de imágenes, usa ΣLIST para obtener la suma f(1.000) + 4f(1.125) + 2f(1.250) + 4f(1.375) + 2f(1.500) + +4f(1.625) + 2f(1.750) + 4f(1.875) + f(2.000), el resultado obtenido es 53.90943102. 5. Finalmente multiplica por h =0.125 y divide por 3, el resultado es 2.24622629. Actividad 10.14 Aproxima el valor de la integral Z 2 1 x 2 sin(x) dx usando el método de Simpson compuesto con 4, 6 y 10 intervalos. Compara el resultado obtenido con el valor exacto Qué sucede cuando aumenta el número de intervalos? (Aprox. 4 intervalos 2.246030. Aprox. 6 intervalos 2.246198. Aprox. 10 intervalos 2.246234) Actividad 10.15 Aproxima el valor de la integral Z 2 1 x 2 x 4 +1 dx usando el método del trapecio compuesto con 10 intervalos. (Valor de la aproximación 0.37301126; valor exacto con 8 decimales 0.37301494.) Actividad 10.16 Calcula el valor exacto de la integral Z 2 1 ln xdx

Francisco Palacios Listas. 27 aplicando el método de integración por partes. Calcula el valor aproximado de la integral usando la calculadora. Aproxima el valor de la integral por el método del trapecio compuesto con 10 intervalos. Aproxima el valor de la integral por el método de Simpson compuesto con 10 intervalos. (Sol. exacta 2ln2 1=0.38629463. Valor aproximación trapecio compuesto 0.38587793. Valor aproximación Simpson compuesto 0.38629340)