E S Q U E M A D E C O M B I N A T O R I A m = Número de elementos de que se dispone. n = De cuánto en cuánto se cogen. Influye el orden? CUADRO RESUMEN Sí (Variaciones o Permutaciones) m n m=n No (Combinaciones) Se toman todos los elementos? Sí (Permutaciones) m=n No (Variaciones) m n - Cuando el orden SÍ influya puede ser: Variacione m n Permutacio m = n s nes - Cuando el orden NO influya puede ser: Se puede repetir los elementos? sin repetición con repetición sin repetición Ej/ V 7 = 7 4 4 Ej/ VR = Ej/ P =! =, 4 con repetición Ej/ PR = 1 - Combinaciones sin repetición Ej/ C = = 0 - Combinaciones con repetición 4 1 n n CRm = Cm+ n 1 = 81 = 10 1 = 1 1 = Sí (Con repetición) No (Sin repetición) 10 Propiedades N os Combinatorios m m = 1 = m 0 1 m m m = 1 = m n m - n m m m + 1 + = n 1 n n Tlf: 98 0 0 00 1
EJERCICIOS DE COMBINATORIA I ( NIVEL I ) 1.-Con los dígitos 1,,,4,, cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar?.-con las letras de la palabra "camiones" cuántas palabras de cuatro letras se pueden escribir?.- De cuántas formas se pueden colocar 4 niños en fila? 4.- Cuántas quinielas distintas de 1 partidos se pueden rellenar?.- Cuántas maneras habría de colocar coches en fila?.- Cuántas rectas distintas podríamos trazar si disponemos de 7 puntos no alineados? 7.-Una línea de tren consta de 8 estaciones, cuantos billetes distintos tendrá que imprimir si deben de figurar las estaciones de salida y de llegada? 8.- Con los números 0,1,,,4,, cuántos números de 4 cifras distintas y significativas se pueden formar: a) Cuántos son pares? b) Cuántos son mayores de 4.000? c) Cuantos impares menores de.000 hay? 9.- Con diez alumnos cuántos equipos de baloncesto se pueden formar? a) En cuántos juega Luis? b) En cuántos juega Salva pero no juega ni Andrés ni Pedro? 10.- De cuántas maneras se pueden colocar motos, coches y camiones?. Y si los camiones tienen que ir en los etremos? 11.- De cuántas formas se pueden sentar personas alrededor de una mesa circular? 1.- Con los números 0,1,,,4,,,7 Cuántos nº de cifras se pueden formar? a) Cuántos son mayores de 400? b) Cuántos son menores de 00? c) Cuántos menores de 00 son impares? d) Cuántos mayores de 00 son pares? 1.- Cuántas formas hay de colocar libros distintos en una estantería? a) En cuántas esta el Quijote en un etremo? b) En cuántas no lo está? 14.- En una clase ha tocado un premio consistente en un viaje para personas a Hawai. De cuántas formas hay de hacer este viaje, si en la clase hay 40 alumnos?. 1.- La calificaciones son, como sabes, MUY DEFICIENTE, INSUFICIENTE, SUFICIENTE, BIEN, NOTABLE Y SOBRESALIENTE. Cuántos boletines distintos pueden resultar si hay 10 asignaturas? 1.- Cuántas palabras pueden formarse con las letras de la palabra CORAL? a) Tomando todas las letras. b) Tomando sólo las consonantes. c) Tomando sólo tres letras. Tlf: 98 0 0 00
17.- Cuántos números de cifras hay en el sistema decimal? 18.- Con los números 1,,,, 7, Cuantos números de cuatro cifras mayores de.000 se pueden formar? 19.- Cuantos números de cinco cifras distintas, que no empiecen por cero, se pueden escribir con los digitos 0, 1,,, 4? (sin repeticion) EJERCICIOS DE COMBINATORIA Y ( NIVEL II ) 1.- Se distribuyen regalos distintos entre chicos. De cuántos modos pueden hacerlo si: a) Cada chico solo puede recibir un regalo. b) A cada chico le puede tocar más de un regalo. c) Cada chico solo puede recibir un regalo, pero los tres son idénticos..- Una familia formada por los padres y tres hijos, van al cine. Se sientan en cinco butacas consecutivas. a) de cuántas maneras distintas pueden sentarse? Sol:10 b) y si los padres se sientan en los etremos? Sol:1 c) Y si los padres deciden no sentarse en los etremos? Sol:.- Cuántas opciones si debes escoger dos asignaturas entre cuatro optativas? Sol: 4.- Con los números,, 7, 8 y 9 Cuántos productos distintos se pueden obtener multiplicando dos de estos números? Sol:10 a) Cuántos son múltiplos de? Sol: 4 b) Cuántos cocientes distintos se pueden obtener dividiendo dos de estos números? Sol:0.- El alfabeto Morse. y - utilizando como máimo 4 de estos signos cuántas secuencias distintas puedes formar. Sol 1.- A un congreso médico asisten 0 personas de las cuales 0 hablan ingles, 0 francés cuántos diálogos pueden establecerse sin interprete. Sol:. 7.- Todas las personas que asisten a una reunión se estrechan la mano, si hubo 4 apretones Cuántas personas asistieron? Sol:10 8.- Con los números,, y 7. a) Cuántas números de cuatro cifras se pueden formar?. Sol: b) Y si las cifras son diferentes? Sol: 4 c) Cuántos números distintos de tres cifras? Sol: 4 d) Cuántas de tres cifras distintas? Sol:4 9.- Un secretaria ha escrito en cinco sobres los nombres y las direcciones de cada uno de estos señores y mete al azar cada carta en uno de los sobres. a) Cuántas formas distintas hay de llenar los sobres haciéndolo de esta forma? Sol: 10 Tlf: 98 0 0 00
EJERCICIOS DE COMBINATORIA DE EXAMEN 1.- En una coctelería, el barman dispone de 10 licores diferentes para preparar cócteles. Calcular: a) Cuántas variedades puede ofrecer al cliente, si cada cóctel consta de 4 licores. b) Cuántos, si dichos cócteles lleven necesariamente de los 10 licores..- Si tenemos por orden alfabetico todas las ordenaciones que se pueden hacer con las letras de la palabra CARMEN Qué lugar ocupará CARMEN?.- Cuántos Nº de 4 cifras significativas hay? De ellos Cuántos son múltiplos de? 4.- Con las letras de la palabra MARTES. Cuántas palabras de tres letras distintas, tengan sentido o no, se pueden formar? Cuántas empiezan por vocal?.- En una clase de 8 alumnos ha tocado un premio consistente en un viaje para personas a Hawai. Cuántas formas hay de hacer este viaje?.- Cuántos números de cifras se pueden formar con los números 1,,, 7, 9.? 7.- Cuántos números de cifras diferentes se forman con las cifras 0, 1,,, 7? Cuántos de los números anteriores son pares? (NOTA: consideramos que los números de la forma 0ab son de dos cifras). 8.- Con las cifras 1,,, 4,,, 7. a) Cuántos números de tres cifras distintas pueden formarse? b) Cuántos de los anteriores serán mayores de 40? 9.- Cuántas palabras distintas pueden formarse con las letras de la palabra INTEGRAL de forma que todas empiecen por N y acaben en consonante? 10.- Con las letras de la palabra CASTO. Cuántas ordenaciones distintas pueden hacerse, de forma que en todas ellas estén las vocales separadas? 11.- Calcular razonadamente el número de palabras de 4 letras diferentes que pueden escribirse con las letras de la palabra JULIO. Cuántas de ellas contienen la letra J? 1.- Entre.000 y 8.000, Cuántos Nº hay con todas sus cifras distintas? Cuántos son pares? 1.- Cuántos números naturales hay comprendidos entre 0.000 y 80.000, que tengan todas sus cifras diferentes? Eplica lo que haces. 14.- Para hacer un eamen debemos elegir siete preguntas de un total de diez. De cuántas formas podemos hacerlo? En cuántas formas entra la pregunta número tres? 1.- Un pintor tiene cinco botes de pintura. Cuántas mezclas de colores podrá realizar? Razonar la respuesta. 1.- Un tren tiene un vagon de primera clase, tres de segunda clase, un coche restaurante y cuatro coches-cama. De cuántas formas pueden alinearse los nueve vagones? Tlf: 98 0 0 00 4
17.- Con las letras de la palabra BANDO, cuántas palabras se pueden formar: a) sin repetir las letras b) que tengan las vocales seguidas 18.- Con las cinco cifras impares cuántos números de cuatro cifras se pueden formar que empiecen por nueve? 19.- Con las cifras 1,,, 4,, cuántos números de cuatro cifras se pueden formar. a) Cuántos son mayores de.000 b) Cuántos son impares 0.- De cuántas maneras distintas se pueden ordenar las letras de la palabra MURCIA empezando siempre por consonante. 1.- Cuántas números de cuatro cifras significativas distintas hay?. De ellos, cuántos son multiplos de cinco?.- Se reparten tres regalos distintos entre cinco chicos. Deducir de cuántas formas pueden hacerse en los casos siguientes: a) Puede tocar más de un regalo al mismo chico y b) Cada chico puede recibir como máimo un regalo..- Este eamen consta de 1 preguntas. Si te dijeran que debes elegir sólo preguntas para contestar, de cuántas maneras puedes hacer esta elección? 4.- Si en una clase hay 0 alumnos, cuántos posibles equipos, formados por un delegado y un subdelegado, hay?.- Con las letras de la palabra SEVILLA. Cuántas ordenaciones distintas pueden hacerse?. Cuántas empiezan y terminan por L..-Con las cifras,,, 7 y 9: a) Cuántos números de tres cifras distintas se pueden forma b) Cuántos de ellos son impares? 7.- Una clase consta de 40 alumnos y se quieren elegir tres representantes. a) De cuántas maneras distintas se pueden elegir b) En cuántas estará Carlos. c) En cuántas estará Marta pero no están ni Sandra ni Antonio. 8.- Con los números 1,,,, 7, 11 y 1. Cuántas fracciones distintas con distinto valor se pueden formar?. Cuántas de las anteriores son mayores de uno? 9.- Con las cifras 0,, 4, y 8. Cuántos números distintos de tres cifras se pueden formar?. Calcula la suma de todos ellos. 0.- Con las cifras impares, Cuántos números de seis cifras se pueden formar?, Cuántos de ellos empiezan y terminan por la cifra 1? 1.- Con las letras de la palabra HORTENSIA Cuántas palabras tengan o no sentido pueden escribirse que empiecen por consonante y acaben por vocal? Tlf: 98 0 0 00
.- Cuántos Nº de tres cifras distintas se forman con los Nº 0, 1,,, 4, y.- Cuántas jugadas distintas de tres cartas puedes conseguir con una baraja de 40 cartas?. En cuántas no te sale ningun basto? 4.- Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los números 1,,, 4 y? a) Cuántos acaban en?. b) Cuántos son mayores de 0? c) Qué lugar ocupa de menor a mayor el 4?.- Resuelve las siguiente ecuaciones: V V1 7 = ( + )! = 4! a) b) c) C C = d) VR 1 + + V 1 = P4 e) V = 4 f) V + V + 7 = VR 1 9 = V + g) 90,, 4 V Tlf: 98 0 0 00