Cálculo II Volúmenes de Sólidos M. en C. Ricardo Romero Departamento de Ciencias Básicas, UAM-A Grupo CTG87 Trimestre 11-P Grupo CTG87 Trimestre 11-P 1 /
Programa 1 Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales Secciones transversales elementales 2 Volúmenes de sólidos de revolución Método de los discos Método de las rondanas 3 Volúmenes por medio de cascarones cilíndricos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 2 /
Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales Secciones transversales elementales Rebanar mediante planos paralelos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 3 /
Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales Secciones transversales elementales Volumen de la k-ésima rebanada A(x k ) x k V n k=1 V = lim x A(x k ) x k n k=1 b A(x k ) x k = a A(x)dx Grupo CTG87 Trimestre 11-P 4 /
Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales Secciones transversales elementales Volumen de la k-ésima rebanada A(x k ) x k V n k=1 V = lim x A(x k ) x k n k=1 b A(x k ) x k = a A(x)dx Grupo CTG87 Trimestre 11-P 4 /
Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales Secciones transversales elementales Volumen de la k-ésima rebanada A(x k ) x k V n k=1 V = lim x A(x k ) x k n k=1 b A(x k ) x k = a A(x)dx Grupo CTG87 Trimestre 11-P 4 /
Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales Secciones transversales elementales Volumen de la k-ésima rebanada A(x k ) x k V n k=1 V = lim x A(x k ) x k n k=1 b A(x k ) x k = a A(x)dx Grupo CTG87 Trimestre 11-P 4 /
Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales Secciones transversales elementales El volumen de un sólido con área de sección transversal integrable A(x), desde x = a hasta x = b está dado por la integral b V = A(x) dx a Hacer un esquema del sólido y una sección transversal representativa. Determinar una fórmula para A(x). Determinar los límites de integración. Integrar A(x) para encontrar el volumen. Grupo CTG87 Trimestre 11-P 5 /
Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales Secciones transversales elementales El volumen de un sólido con área de sección transversal integrable A(x), desde x = a hasta x = b está dado por la integral b V = A(x) dx a Hacer un esquema del sólido y una sección transversal representativa. Determinar una fórmula para A(x). Determinar los límites de integración. Integrar A(x) para encontrar el volumen. Grupo CTG87 Trimestre 11-P 5 /
Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales Secciones transversales elementales Por triángulos semejantes x h = s/2 L/2 = s Lx, entonces s = L h y A(x) = s 2 = L2 h 2 x 2. Por lo tanto h V = A(x)dx = 0 h 0 L 2 h 2 x 2 dx = L2 x 3 h 2 3 h 0 = L2 h 3 h 2 3 = L2 h 3 Grupo CTG87 Trimestre 11-P 6 /
Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales Secciones transversales elementales Se obtiene una cuña cortando un cilindro circular recto de radio 4 por medio de dos planos. Un plano es perpendicular al eje del cilindro y el otro intersecta al primero a un ángulo de 30 a lo largo del diámetro del cilindro. Encontrar el volumen de la cuña. Grupo CTG87 Trimestre 11-P 7 /
Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales Secciones transversales elementales La base de la cuña es un semicírculo con ecuación y = 16 x 2 La sección transversal es un triángulo recto con área y BC 2 De la sección transversal tan30 = BC, entonces y BC = y tan30 = y, por lo que A(x) = y 2 3 2 3 = 16 x 2 2 y el 3 volumen es 4 V = A(x)dx = 4 4 4 16 x 2 2 3 dx = 1 4 ( 16 x 2 ) dx = 1 [16x x 3 3 0 3 3 = 128 3 3 ] 4 0 Grupo CTG87 Trimestre 11-P 8 /
Método de los discos Sólidos de revolución El sólido generado al hacer girar una región plana alrededor de un eje se denomina sólido de revolución Grupo CTG87 Trimestre 11-P 9 /
Método de los discos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 10 /
Método de los discos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 11 /
Método de los discos Volumen por medio de discos al girar alrededor del eje x b b V = A(x)dx = π [R(x)] 2 dx a a b 4 V = π [R(x)] 2 dx = π [ x ] 2 dx a 0 4 = π x dx = π x 2 4 2 = 8π 0 0 Grupo CTG87 Trimestre 11-P 12 /
Método de los discos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 13 /
Método de los discos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 14 /
Método de los discos A(x) = πy 2 = ( a 2 x 2) a V = a a a A(x)dx = a ( a 2 x 2) dx = 2π 0 = 2π [a 2 x x 3 ] a 3 ) 0 = 2π (a 3 a3 = 4 3 3 πa3 π ( a 2 x 2) dx Grupo CTG87 Trimestre 11-P 15 /
Método de los discos Determinar el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor de la recta y = 1 la región acotada por y = x y las rectas y = 1, x = 4. Grupo CTG87 Trimestre 11-P 16 /
Método de los discos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 17 /
Método de los discos 4 V = π R 2 (x)dx = π 1 4 1 ( x 1 ) 2 dx = π 4 1 ( x 2 x + 1 ) dx [ x 2 = π 2 4 ] 4 3 x 3/2 + x 1 [ = π 8 1 2 4 ( ) ] 4 3 3 1 + 3 ( 21 = π 2 28 ) 63 56 = π = 7π 3 6 6 Grupo CTG87 Trimestre 11-P 18 /
Método de los discos Volumen por medio de discos al girar alrededor del eje y d d V = A(y)dy = π [R(y)] 2 dy c c Determinar el volumen generado al hacer girar con respecto al eje y la región comprendida entre la curva x = 2, 1 y 4 y el eje y y Grupo CTG87 Trimestre 11-P 19 /
Método de los discos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 20 /
Método de los discos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 21 /
Método de los discos 4 V = π [R(y)] 2 dy 1 = π 4 1 = 4π ( ) 2 2 4 dy = 4π y 2 dy y 1 [ ] 1 4 ( ) 1 = 4π y 1 4 1 = 3π Grupo CTG87 Trimestre 11-P 22 /
Método de los discos Determinar el volumen del sólido generado al hacer girar con respecto a la recta x = 3 la región comprendida entre la parábola x = y 2 + 1 y la recta x = 3 Grupo CTG87 Trimestre 11-P 23 /
Método de los discos 2 V = π [R(y)] 2 dy 2 2 ( = π 2 y 2 ) 2 dy 2 2 ( = π 4 4y 2 + y 4) dy 2 = π [4y 43 y 3 + y 5 5 = 64π 2 15 ] 2 2 Grupo CTG87 Trimestre 11-P 24 /
Método de las rondanas Si la región que se hace girar para generar un sólido no cruza o no colinda con el eje de revolución, el sólido resultante tendrá un agujero. Las secciones perpendiculares al eje de revolución son rondanas en lugar de discos como antes Grupo CTG87 Trimestre 11-P 25 /
Método de las rondanas Grupo CTG87 Trimestre 11-P 26 /
Método de las rondanas Radio exterior:r(x) Radio interior:r(x) Área de la rondana: A(x) = π [R(x)] 2 π [r(x)] 2 = π ([R(x)] 2 [r(x)] 2) Grupo CTG87 Trimestre 11-P 27 /
Método de las rondanas Volumen por medio de rondanas al girar alrededor del eje x b b ( V = A(x)dx = π [R(x)] 2 [r(x)] 2) dx a a Determinar el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje x la región acotada por la curva y = x 2 + 1 y la recta y = x + 3 Grupo CTG87 Trimestre 11-P 28 /
Método de las rondanas Grupo CTG87 Trimestre 11-P 29 /
Método de las rondanas 1 Dibujar la región y un segmento de recta que la cruce y sea perpendicular al eje de revolución 2 Determinar los radios exterior e interior de la rondana que se generan al hacer girar el segmento de recta 3 Obtener los límites de integración determinando los puntos de intersección de las curvas 4 Evaluar la integral de volumen Grupo CTG87 Trimestre 11-P 30 /
Método de las rondanas Radio exterior:r(x) = x + 3 Radio interior:r(x) = x 2 + 1 Límites de integración: x 2 + 1 = x + 3 x 2 + x 2 = 0 (x + 2)(x 1) = 0 x = 2, x = 1 Grupo CTG87 Trimestre 11-P 31 /
Método de las rondanas Determinar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y la región acotada por la curva y = x 2 y la recta y = 2x en el primer cuadrante Grupo CTG87 Trimestre 11-P 32 /
Método de las rondanas Grupo CTG87 Trimestre 11-P 33 /
Método de las rondanas Grupo CTG87 Trimestre 11-P 34 /
Método de las rondanas R(y) = y, r(y) = y 2 y = y/2 y = y 2 /4 y 2 4y = 0 y(y 4) = 0 y = 0 y y = 4 d ( V = π [R(y)] 2 [r(y)] 2) dy c 4 [ ( ) ( 2 y ) ] 2 = π y dy 2 0 4 = π (y y 2 ) [ y 2 dy = π 0 4 2 y 3 ] 4 12 0 ( = π 8 32 ) = 8 6 3 π Grupo CTG87 Trimestre 11-P 35 /
Volúmenes por medio de cascarones cilíndricos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 36 /
Volúmenes por medio de cascarones cilíndricos Sea S el sólido obtenido al hacer girar alrededor del eje y la región limitada por y = f (x) (con f (x) 0), el eje x y las rectas x = a y x = b (0 a b) Grupo CTG87 Trimestre 11-P 37 /
Volúmenes por medio de cascarones cilíndricos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 38 /
Volúmenes por medio de cascarones cilíndricos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 39 /
Volúmenes por medio de cascarones cilíndricos b V = 2π r(x)h(x)dx a b = 2π x f (x)dx a d V = 2π r(y)h(y)dy c d = 2π y f (y)dy c Grupo CTG87 Trimestre 11-P 40 /
Volúmenes por medio de cascarones cilíndricos Dibujar la región y un segmento de recta que la cruce en forma paralela al eje de revolución. Indicar la altura o longitud del segmento (altura del cascarón) y la distancia al eje de revolución (radio del cascarón). Determinar los límites de integración para x ó y (variable de grosor). Integrar el producto 2π(radio del cascarón)(altura del cascarón) con respecto a x ó y para obtener el volumen. Grupo CTG87 Trimestre 11-P 41 /
Volúmenes por medio de cascarones cilíndricos Determinar el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje y la región acotada por y = 2x 2 x 3 en el primer cuadrante Grupo CTG87 Trimestre 11-P 42 /
Volúmenes por medio de cascarones cilíndricos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 43 /
Volúmenes por medio de cascarones cilíndricos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 44 /
Volúmenes por medio de cascarones cilíndricos Calcular el volumen del sólido obtenido al rotar alrededor del eje y la región entre las curvas y = x y y = x 2 Grupo CTG87 Trimestre 11-P 45 /
Volúmenes por medio de cascarones cilíndricos Obtener el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje x la región acotada por la curva y = x con 0 x 1 Grupo CTG87 Trimestre 11-P 46 /
Volúmenes por medio de cascarones cilíndricos Encontrar el volumen del sólido formado al girar alrededor de la recta x = 2 la región acotada por las curvas y = x 3 + x + 1, y = 1 y x = 1 Grupo CTG87 Trimestre 11-P /