Matemática UNIDAD. Logaritmos Medio GUÍA N 1 DEFINICION DE LOGARITMO Qué valor de x satisface la ecuación x = 7? Fácilmente podemos verificar que x = es una solución para esta ecuación, pues = 7. Pero qué pasa con la ecuación x = 50? El valor de x debe estar entre y 4, porque da 7, que es menos que 50 y en cambio 4 es igual a 81, que es más que 50. Sin embargo no podemos dar el valor exacto para x. Por lo tanto inventamos una notación: A este número lo llamaremos logaritmo de 50 en base y lo anotaremos como log 50. De acuerdo con esto, podemos afirma que logaritmo es una forma de decir exponente. Sin embargo surgen cuestiones como: Cuál es el logaritmo de en base? Y en base -? Existe el logaritmo de -7 en base? o el logaritmo de -16 en base? En esta unidad trataremos estas problemáticas. Definiciones: 1. Se define el logaritmo de un número b en base a como el número x, tal que a x sea igual a b. Se escribe: log a b = x.. a se denomina base del logaritmo y b se denomina argumento del logaritmo. Si a = 10, se habla de logaritmo decimal o común y en vez de log 10 se escribe simplemente log. 1
1. Se desea calcular el valor de x, en la ecuación x = 10. a) Entre qué números debe estar el valor de x? Justifica. b) Cómo se expresa x usando logaritmos?. Expresa los siguientes exponentes usando la notación de logaritmos y señala entre qué valores deben estar: a) 5 t = 40 b) 4 p =,4 c) 4 x =0,. Se desea calcular el valor de x en la expresión: log 1 = x. a) Cómo podemos expresar la igualdad anterior usando potencias? b) Entre qué valores debe estar el valor de x? 4. Expresa las igualdades siguientes en forma exponencial y determina entre qué valores debe estar el valor incógnito: a) log 4 5 = x b) log 7 5 = m c) log 5 = z 5. Fernando escribió una potencia con la notación de logaritmos. Escribió: log 5 =. Puedes deducir cuál era la potencia que Fernando escribió en notación de logaritmos? 6. Carolina expresa un exponente usando la notación de logaritmos. Ella escribe: log (-4) = x. Su amiga Alejandra ve esto y sin mirar la expresión original le dice que debe haber un error en el argumento del logaritmo. a) Tiene razón Alejandra? b) Cómo pudo saberlo, si no vio la expresión original? c) Puedes plantear una generalización al problema? 7. Vicente dice que log 0 = 1, sin importar cuál sea la base del logaritmo. Su justificación es que cualquier número elevado a 0 da 1. Tiene razón Vicente?
En la mayoría de los casos no podemos calcular log a b en forma exacta y sólo podemos decir por ejemplo, que el número se encuentre entre tal y tal valor. Con una calculadora podríamos dar información más precisa, pero incluso con una calculadora no podremos dar el valor exacto. En sólo algunos casos se puede dar el valor exacto. Aquí veremos algunos ejemplos. 1. Calcula usando la definición de logaritmos. Justifica tus respuestas. a) log 5 15 b) log 9 c) log 7 49 d) log 11 11. Calcula: a) log 1 b) log 1 c) log 1, 1 Puedes generalizar los resultados obtenidos? Justifica tu generalización.. Calcula y justifica tu respuesta: a) log 6 6 b) log 9 9 c) log 8,4 8,4 Qué puedes decir de log a a? Justifica 4. Calcula a) log 1000 b) log 100 c) log 10 d) log 1 Observando la secuencia anterior, qué valores deben tener los siguientes logaritmos? e) log 0,1 f) log 0,01 g) log 0,001 Escribe una frase resumiendo lo anterior. 5. Cuál es el valor de los siguientes logaritmos? a) log 49 7 b) log 0,5 c) log19 d) 1 6. Cuál es el valor de x en log x =? 8 log 4 9
Un método para calcular un logaritmo no tan simple, es usar la definición para plantear una ecuación exponencial y luego resolver la ecuación exponencial. Por ejemplo: Calcular log 7 9 Si llamamos x al log 7 9 y usamos la definición obtendremos la ecuación exponencial 7 x = 9. Como 7 y 9 son ambos potencias de, podemos escribir la ecuación usando una sola base: ( ) x =. La potencia de la izquierda se puede simplificar usando la propiedad ( a queda: x = p ) q pq =a. La ecuación Como las bases de las potencias son iguales, los exponentes también deben serlo. Esto nos lleva a la ecuación: x = Resolvemos: x = Por lo tanto: log 7 9 = 7. Calcula los siguientes logaritmos a) log 8 b) log 5 15 c) log 64 4
GUÍA N PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Los logaritmos y las potencias están estrechamente relacionados. Las potencias tienen propiedades que simplifican algunos cálculos, como por ejemplo la multiplicación de potencias de igual base. Entonces uno puede preguntarse: Existen propiedades para los logaritmos que permitan simplificar los cálculos? De hecho las hay, y ya vimos algunas en las actividades: Propiedad 1: El logaritmo de 1 es 0, da lo mismo cuál sea la base: log a 1 = 0. Propiedad : Si la base y el argumento son iguales, el logaritmo es 1: log a a = 1. Las potencias tienen una propiedad que permite multiplicar potencias de igual base. Habrá algo similar para los logaritmos? Observemos el siguiente ejemplo de potencias Se multiplican 4 = 16 = 4 64 = 6 Se suman los exponentes Este ejemplo ilustra la propiedad que escribimos algebraicamente como a n a m = a n + m. Tratemos de hacer algo similar con logaritmos: Se suman =log 4 4 = log 16 6 = log 64 Se multiplican los argumentos En resumen, log 64 se puede calcular como log (16 4) y también como log 16 + log 4. Es decir, log (16 4) = log 16 + log 4. Este ejemplo ilustra la siguiente propiedad: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores log b (a c) = log b (a) + log b (c) 5
1. Verifica la propiedad de la multiplicación calculando log 5 15 de dos formas diferentes: (a) Usando la definición. (b) Descomponiendo 15 en dos factores adecuados.. Si hay una propiedad para la multiplicación, debiera haber una propiedad para la división. a) Formula una hipótesis: log x a =? y b) Verifica la propiedad de la división calculando log 4 y luego log log 8. (Fíjate que : 8= 4).. a) Calcula y compara las siguientes expresiones: a.1) log 4 y log 4 a.) log y log 4 a.) log 100 y log 100 5 b) Calcula log 7. Según tu cálculo, cuál debiera ser el resultado de log 7 0? c) Formula tu hipótesis: log a (x n ) =? 4. Si log 0, y log 0,48. ( significa aproximadamente igual ) aplica las propiedades de multiplicación y división y da un valor aproximado para: a) log 6 b) log 1,5 c) log (4/) 5. Verifica que: a) log (a b 5 ) = log a + 5 log b b) log (a b )= log a + 1 log b c) log 4a = (log +log a) - log 6. Reduce las expresiones siguientes a un solo logaritmo: a) log + log 5 b) 1/ log 4 + 1/ log 5 c) log a - log b - log c d) log x log y + log z x 7. Arturo dice que log a =logax-loga+log ay. Tito plantea que parece haber un error. y Dice: o falta un paréntesis o hay un signo errado. Qué opinas tú? 6
1. 1. Calcula utilizando las propiedades de los logaritmos. Indica la propiedad que usaste en cada paso: 7 a) log 5 (5 15) b) log 81. Calcula los siguientes logaritmos. Usa la definición y luego usa propiedades. Cuál método te resultó más fácil? Comenta con tus compañeros. 1 a) log 1 b) log 5 5. Calcula: log 16 log9 81 a) b) 9 c) log515 5 Cuál será el resultado de log 7 4 7? Escribe una fórmula que generalice tu resultado. 4. a) Calcula y compara a.1) log 9 81 y log81 log 9 a.) log 4 16 y log16 log 4 b) Cómo puedes calcular log 7 81? c) Escribe una fórmula para tus resultados. 5. Calcula los siguientes logaritmos, ahora con la fórmula que acabas de determinar. a) log 8 b) log 5 15 c) log 64 7