UNDD : TEORÍ DE CONJUNTOS 2.1. NTRODUCCÓN Según Georg Cantor un conjunto es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen una propiedad en común, concepto que ha penetrado y transformado todas las teorías formales, las ramas de la matemática y la lógica, así como la misma ontología. En general, diremos que un conjunto es un concepto primario; es decir, el conjunto no puede definirse; sólo se puede dar una idea intuitiva de él. pesar de ello, la teoría de conjuntos es la base de la Matemática, ya que, entre otras cosas, sirve para la construcción de los números. Sirve además para estudiar las estructuras algebraicas, con las cuales se organizan ordenadamente todos los conocimientos matemáticos. Podemos anotar como ejemplos los siguientes: El conjunto de las mujeres, El conjunto de los números impares, de los meses del año, de los números primos, de las vocales, y más. 2.2. DETERMNCÓN DE CONJUNTOS 2.2.1. Lenguaje simbólico Notación de un conjunto: De forma convencional a los conjuntos se designan con letras mayúsculas del alfabeto,, C,, X, Y, Z, y los elementos de un conjunto con letras minúsculas a, b, c,, x, y, z. Elemento: Un elemento es cada uno de los objetos por los cuales está conformado un conjunto. Por ejemplo del conjunto de los números pares mayores que 2 y menores que 10, los elementos son: 4, 6 y 8. Los elementos de un conjunto se escriben entre llaves separados por comas o por puntos y comas. Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo. Mientras que si un elemento no pertenece al conjunto, se escribe el símbolo. Espoch Escuela de ngeniería en Sistemas 1
2.2.2. Lenguaje Gráfico - Diagramas Para la representación gráfica de conjuntos debemos tomar en cuenta las siguientes consideraciones: a) Los conjuntos se representan por una curva simple cerrada. b) Los elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la curva. c) Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a la curva. d) Ningún punto se representa sobre la curva. Por ejemplo: Consideremos el conjunto = {2, 4, 6, 8} Los elementos que pertenecen al conjunto son: a = 2, e = 6, c = 4, g = 8 a e g c b d f Y los que no pertenecen al conjunto, pueden ser: b = 3, f = 7, d = 5 2.2.3. Determinación por Extensión, tabulación o enumeración Se dice que un conjunto queda determinado por extensión si y sólo si se enumeran todos y cada uno de los elementos que lo constituyen. Ejemplo 1. Representar por enumeración los siguientes conjuntos: (a) El conjunto formado por las vocales, (b) El conjunto cuyos elementos son los números impares mayores que 1 y menores que 9, El conjunto N de los números naturales. Solución: (a) = {a, e, i, o, u} (b) = {3, 5, 7} (c) N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, } Espoch Escuela de ngeniería en Sistemas 2
NOTS: a) Los elementos del conjunto = {2, 4, 6, 8, 6} son 2, 4, 6 y 8; es decir el elemento repetido se escribe una sola vez, entonces = {2, 4, 6, 8}. b) El orden en el cual se escriben los elementos dentro del conjunto es arbitrario. sí, es lo mismo escribir: = {1, 2, 3, 4} o = {2, 4, 3, 1} 2.2.4. Determinación por Comprensión Un conjunto se define por comprensión, si y sólo si se escribe la propiedad o propiedades que caracterizan a todos sus elementos y solo a ellos. Se representa así: = {x p(x)}. Ejemplo 2. Representar por comprensión los siguientes conjuntos: (a) El conjunto formado por los meses del año, (b) El conjunto cuyos electos son los dedos de la mano, (c) El conjunto C de los números naturales menores que 4. Solución: (a) = {x/x es un mes del año} (b) = {x/x es dedo de la mano} (c) C = {x N/x < 4} NOTS: a) Un elemento no puede ser a la vez un conjunto y un elemento de este conjunto; se excluye la posibilidad de que x x. b) l definir un conjunto por comprensión puede suceder que ningún x cumpla con las propiedades dadas, en tal caso, se dice que el conjunto no tiene elementos y se lo llama conjunto vacío. 2.3. RELCONES ENTRE CONJUNTOS 2.3.1. nclusión de Conjuntos. Subconjuntos Sean y dos conjuntos, si cada elemento de es elemento de diremos que está Espoch Escuela de ngeniería en Sistemas 3
incluido en, o bien que es parte de, o que es un subconjunto de, y lo escribimos sí y solo sí todo elemento de lo es de. Esto es: [x/x x ] está incluido en se lee: es subconjunto de es parte de está contenido en contiene Ejemplo 3. Sean = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} y = {6, 2, 12}. En este caso. NOTS: a) dmitiremos que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. b) Todo conjunto es subconjunto de sí mismo 2.3.2. Doble nclusión - gualdad de conjuntos Diremos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Por ejemplo, consideremos que los conjuntos son: = {x/x es un número natural} y = {x/x es un número entero positivo} entonces, se tiene que, pero a su vez, llegamos por tanto a la conclusión de que ambos conjuntos son iguales. En símbolos: = 2.3.3. Propiedades de la inclusión a) Propiedad reflexiva: Todo conjunto está incluido en sí mismo: Espoch Escuela de ngeniería en Sistemas 4
b) Propiedad antisimétrica: Si un conjunto está incluido en otro y éste, a su vez, está incluido en el primero, entonces dichos conjuntos son iguales: c) Propiedad transitiva: Si un conjunto está incluido en otro conjunto y éste, a su vez, está incluido en otro conjunto C, entonces el conjunto está incluido en el conjunto C. C C 2.4. TPOS DE CONJUNTOS Conjunto inito: El conjunto en el cual se puede nombrar su último elemento. Por ejemplo: M = {x/x es un día de la semana} Conjunto unitario: Es el conjunto que tiene un único elemento. Conjunto nfinito: El conjunto que tiene un número ilimitado de elementos Por ejemplo: M = {x/x es número entero} Conjunto Universo: El conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia. Por ejemplo: U = {x/x es un animal} Conjunto vacío: Se llama así al conjunto que no tiene ningún elemento. pesar de no tener elementos se le considera como conjunto y se representa de la siguiente forma: { } o φ. Por ejemplo, el conjunto de los números pares múltiplos de 3. El conjunto vacío está incluido en todo conjunto y es único. Por ejemplo = {x/x = 4, y x es impar}. es entonces un conjunto vacío. Conjuntos disjuntos: Se llaman disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo: los conjuntos: = {x/x es día de la semana} y = {x/x es número natural} y son disjuntos, ya que no tienen ningún elemento común. Conjunto de las partes de un conjunto: Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado. Observamos que en él los elementos son, a su vez, conjuntos. Se representan por p(). Conjuntos equivalentes: Son aquellos que tienen igual cardinalidad; es decir, igual número de elementos. Espoch Escuela de ngeniería en Sistemas 5
Ejemplo 4.- Dado el conjunto: = {1, 2, 3, 4}, Los subconjuntos formados serán: M = {1}, N = {2}, P = {3}, Q = {4}, R = {1, 2}, S = {1, 3}, T = {1, 4}, U = {2, 3}, V = {2, 4}, W = {3,4}, X = {1, 2, 3}, Y = {1, 3, 4}, Z = {2, 3, 4}, K = {1, 2, 4} Esto es: p() = {{ }, M, N, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z, K, } Se incluye el conjunto vacío ya que admitiremos que es subconjunto de cualquier conjunto. NOT: En general se puede demostrar que de un conjunto de n elementos se pueden obtener 2 subconjuntos. 2.5. OPERCONES ENTRE CONJUNTOS Unión de conjuntos. Sean y dos conjuntos, la unión de y, que se denota, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a, o a o a ambos: Es decir: = {x U/x x } Por tanto, en la unión de dos conjuntos se forma un nuevo conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos originales. Gráficamente, mediante un diagrama de Venn, la unión de y, se representa por: h b d f c g d NOTS: a) x ( ) x x b) x ( ) x x c) l unir muchos conjuntos, se escribe: = {x U x para algún i} Espoch Escuela de ngeniería en Sistemas 6
Ejemplo 5.- Sea = {1, 3, 5, 8, 11} y = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. La unión será: = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11} Ejemplo 6.- Sean: = {x N x = 2n + 1, 3 n 11} y = {x N x = 2n 1, 1 n 11}, la unión es = {x N x = 2n + 1, 0 n 11} Ejemplo 7.- Sean: = {m, n, p}, = {j, k, l}, C = {r, p, l}. Demostrar que se cumple la siguiente igualdad ( ) C = ( C) Solución: ( ) C = {m, n, p, j, k, l, r, p} ( C) = {m, n, p, j, k, l, r, p} Los conjuntos ( ) C y ( C) son iguales pues tienen los mismos elementos. ntersección de conjuntos. Sean y dos conjuntos, se llama intersección de y y se denota por, al conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen a y pertenecen a. Es decir: = {x U/x x } El diagrama de Venn es: El nuevo conjunto tiene por elementos todos los elementos comunes de y. Si se tiene dos conjuntos disjuntos la intersección es el conjunto vacío (no tiene elementos). NOTS: a) x ( ) x x Espoch Escuela de ngeniería en Sistemas 7
b) x ( ) x x c) l intersecar muchos conjuntos, se escribe: = {x U x para todo i} Ejemplo 8.- Sean los conjuntos = {1, 2, 3, 4, 5, 9, 10} y = {4, 5, 6, 9, 11, 12}, su intersección será: = {5, 9} Ejemplo 9.- Sean los conjuntos = {d, f g, h} y = {b, c, d, f}, su intersección será: = {d, f} h g d b f c Ejemplo 10.- Sean los conjuntos = {x x + 3x + 2 = 0} y = {x x + 3x 3 = 0}, su intersección será: = { } Diferencia de conjuntos. Sean y dos conjuntos, se llama diferencia de para, y se representa por al conjunto de todos los elementos de que no son elementos de. Es decir: = {x/x x } La diferencia no cumple con la propiedad conmutativa, esto es: Su diagrama de Venn es: Espoch Escuela de ngeniería en Sistemas 8
NOTS: a) x ( ) x x b) x ( ) x x Ejemplo 11.- Si = {a, b, j c, d, e} y = {a, b, m, n, p}, entones = {c, d, e}. Ejemplo 12.- Si = {3, 5, 6, 7, 9, 10} y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, entones = {9, 10}, y = {1, 2, 4, 8}. Complemento de un conjunto. Supongamos tener un conjunto referencial E y un conjunto cualquiera, se determina entonces otro conjunto formado por todos los elementos del conjunto referencial que no pertenecen al conjunto. este nuevo conjunto se llama complemento de y se designa o. Su diagrama de Venn es: ' E NOTS: a) x x Ejemplo 13.- Si U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y = {1, 3, 5, 7, 9}, entones el complemento de es: = {0, 2, 4, 6, 8, 10} Diferencia Simétrica. Sean y dos conjuntos, Se llama diferencia simétrica entre y al conjunto formado por los elementos que pertenecen a o a pero no ambos. Es decir: Δ = {x U/x o x pero x } Espoch Escuela de ngeniería en Sistemas 9
Su diagrama de Venn es: Δ Ejemplo 14.- Dados los conjuntos: = {x Z 2 x 6}, = {x Z x < 16} entonces Δ = { 3, 4, 5, 6} Ejemplo 15.- Dados los conjuntos: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, P = {1, 2, 3, 4, 5}, Q = {1, 2, 4, 5} y R = {3, 4, 5} Hallar: a) (Q R) b) (P Q) c) (Q ) d) (P Q) Solución: a) (Q R) = {x/x Q o x R} = {l, 2, 4, 5} {3, 4, 5} = {l, 2, 3, 4, 5} = P b) (P Q) = {x/x P y x Q} = {l, 2, 3, 4, 5} {l, 2, 4, 5} = {1, 2, 4, 5} = Q c) El conjunto universo es: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mientras que Q es: Q = {1, 2, 4, 5}, por tanto el complemento de Q es: Q = {3, 6} d) P Q = {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 4, 5} = {3}; entonces (P Q) = {1, 2, 4, 5, 6} 2.6. PROPEDDES DE LS OPERCONES ENTRE CONJUNTOS Propiedad asociativa Una operación es asociativa cuando el resultado no depende de la forma de asociación. a) Unión: ( ) C = ( C) = C b) ntersección: ( ) C = ( C) c) Diferencia: ( - ) - C - ( - C) Espoch Escuela de ngeniería en Sistemas 10
Propiedad conmutativa Una operación es conmutativa cuando el resultado no depende de la ubicación de los elementos que intervienen. a) Unión: = b) ntersección: = c) Diferencia: (No cumple) 2.7. LEYES DEL ÁLGER DE CONJUNTOS Leyes de dempotencia: = = Leyes Conmutativas: = = Leyes sociativas: ( ) C = ( C) ( ) C = ( C) ( Δ ) Δ C = Δ ( Δ C) Leyes Distributivas: ( C) = ( ) ( C) ( C) = ( ) ( C) ( Δ C) = ( ) Δ ( C) Leyes de Complemento: ( ) = = φ φ = U = Leyes de Morgan: ( ) = ( ) = Leyes de dentidad: U = U φ = φ U = Δ φ = φ = Δ U = Leyes de bsorción: ( ) = ( ) = Otras Leyes: = φ = ( ) ( ) Espoch Escuela de ngeniería en Sistemas 11
Ejemplo 16.- Demostrar que: ( C) = ( ) ( C) Solución: ( C) = ( ) ( C) ( C) = ( ) ( C) ( C ) = ( ) ( C) ( ) ( C ) = ( ) ( C) ( ) ( C) = ( ) ( C) lqqd Ejemplo 17.- Simplifique: ( ) [( C) ] Solución: ( ) [( C) ] ( ) [( C ) ] [( ) (C )] ( ) (C ) [ ( )] [ (C )] [( ) ( )] [( C ) ( )] [U ( )] [( C ) U] ( ) ( C ) ( ) C U C U Ejemplo 18.- Demuestre: ( ) Solución: ( ) = ( ) = = Espoch Escuela de ngeniería en Sistemas 12
Ejercicios Resueltos de aplicación de conjuntos continuación presentaremos algunos ejemplos que se resuelven utilizando operaciones conjuntistas. las Ejemplo 1. De 40 estudiantes entrevistados, 15 leen las revistas "" y revista ""; 3 leen únicamente la revista "". Con esta información determinar: a) Cuántos estudiantes no leen ninguna de las dos revistas? b) Cuántos estudiantes leen la revista ""? c) Cuántos estudiantes leen únicamente la revista ""? d) Cuántos estudiantes leen únicamente una sola de estas revistas? Solución: Resolveremos este problema de la manera siguiente: El conjunto universo consta de 40 elementos y sean y los subconjuntos formados por los estudiantes que] y respectivamente. 40 continuación consideraremos cada uno de los datos: 15 15 12 25 13 3 15 12 10 Espoch Escuela de ngeniería en Sistemas 13
Una vez que hemos considerado todos los datos, la solución al problema dado es: a) 10 b) 18 c) 12 d) 15 Ejemplo 2. En un colegio de 100 estudiantes al realizar una encuesta se obtuvo los siguientes datos: 24 alumnos seguían el idioma ingles, 32 francés, 29 alemán, 11 inglés y francés, 4 inglés y alemán, 5 francés y alemán, 3 inglés, francés y alemán. a) Cuántos estudiantes no recibían ningún idioma?, y b) Cuántos estudiantes recibían inglés como único idioma? Solución: E = conjunto de 100 alumnos. Sean, e los subconjuntos de E formados por los estudiantes que siguen alemán, francés e inglés respectivamente: 3 3 2 1 3 2 100 97 95 94 3 nglés, francés y alemán 5 francés y alemán 4 nglés y alemán 8 8 8 18 12 8 18 86 1 3 2 63 3 1 2 23 45 3 1 2 23 33 3 1 2 23 11 nglés y francés 29 alemán 31 francés 24 inglés Por lo tanto la solución al problema es: a) 33 y b) 12. Espoch Escuela de ngeniería en Sistemas 14