Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 20 de agosto de 2008 Índice 121 Introducción 1 122 Transpuesta 1 123 Propiedades de la transpuesta 2 124 Matrices invertibles 2 125 Motivación del algoritmo de inversión 2 126 Algoritmo para invertir una matriz 3 127 Comentario 4 128 Propiedades de la inversa 4 129 Ecuaciones con matrices 5 1210Complejidad computacional de la inversión 8 121 Introducción En esta lectura veremos la matriz transpuesta y la matriz inversa a una matriz dada En caso de que la matriz inversa a ella exista) Revisaremos las propiedades que tienen el tomar la inversa o la transpuesta de una matriz así como un método eficiente de inversión Terminaremos con la aplicación de estos conceptos a la solución de cierto tipo de ecuaciones matriciales 122 Transpuesta Definición 121 La matriz transpuesta de una matriz A n m es una matriz con dimensiones m n cuyo elemento i, j) es precisamente el elemento j, i) de la matriz A A esta matriz se le simboliza A T Una forma fácil de construir A T es tomar los renglones de A y convertirlos en columnas Ejemplo 121 Determine A T si A = 1 2 3 4 5 6 Siguiendo la indicación de tomar los renglones de A como columnas para A T tenemos: 1 4 A T = 2 5 3 6
123 Propiedades de la transpuesta 1 La transpuesta de la transpuesta de una matriz A es otra vez A: A T) T = A 2 La transpuesta de una suma es la suma de las transpuestas: A + B) T = A T + B T 3 ca) T = ca T 4 AB) T = B T A T La transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas pero en orden contrario 124 Matrices invertibles Definición 122 Se dice que una matriz A cuadrada n n es una matriz invertible, o que es una matriz no singular, si existe una matriz B n n, que llamaremos la matriz inversa de A, que cumple: AB = I y BA = I 1) Una matriz invertible sólo tiene una inversa, es decir, la inversa es única La única inversa de una matriz invertible A se representa por A 1 Así AA 1 = I = A 1 A 2) Como se puede ver 0C = 0, para cualquier matriz C de dimensiones adecuadas, esto significa que existen matrices cuadradas que no pueden ser invertibles La matrix cuadrada 0 es una de ellas) este tipo de matrices se llama matriz singular o matriz no invertible 125 Motivación del algoritmo de inversión Veamos un ejemplo que motivará el algoritmo para obtener la inversa de una matriz Ejemplo 122 Determine la inversa de 1 2 A = 3 5 Suponga que buscamos una matriz B, 2 2 tal que AB = I 2 2 : 1 2 b11 b 12 1 0 = 3 5 b 21 b 22 0 1 Así se debe cumplir: Para elemento 1,1) del producto: 1 b 11 2 b 21 = 1 Para elemento 2,1) del producto: 3 b 11 5 b 21 = 0 Para elemento 1,2) del producto: 1 b 12 2 b 22 = 0 Para elemento 2,2) del producto: 3 b 12 5 b 22 = 1 Esto conduce a dos sistemas de ecuaciones: uno en b 11 y b 21 y otro b 21 y b 22 con matrices aumentadas que al reducirse quedan: 1 2 1 1 0 5 3 5 0 0 1 3 2
y 1 2 0 3 5 1 1 0 2 0 1 1 Y así b 11 = 5, b 21 = 3, b 21 = 2, y b 22 = 1 Quedando la inversa como A 1 5 2 = B = 3 1 Observemos que Ambas matrices aumentadas tienen la misma matriz de coeficientes: exactamente A Teniendo la misma matriz de coeficientes, los sistemas deben reducirse con las mismas operaciones de renglón En cada sistema, la columna de las constantes es una columna de I Como las matrices aumentadas tienen las mismas matrices de coeficientes y las operaciones de renglón para la reducción son las mismas, entonces el proceso se puede llevar a cabo formando la matriz aumentada A I y reduciendo Después del proceso de reducción, la inversa queda exactamente acamodada en la posición donde entró I 126 Algoritmo para invertir una matriz Para determinar A 1, si existe, haga los siguiente: 1 Construya la matriz aumentada A I Aquí I representa la matriz identidad n n 2 Reduzca la matriz A I Digamos que se obtenga B C 3 Si la matriz B es la matriz identidad, entonces A sí es invertible y A 1 = C 4 Si la matriz B no es la identidad, entonces A no es invertible Ejemplo 123 Invierta las matrices: Para A 1 : A 1 I = A 1 = 1 3 2 7 1 3 1 0 2 7 0 1 y A 2 = 1 2 2 4 R 2 R 2 +2 R 1 1 3 1 0 0 1 2 1 R 2 1 R 2 1 3 1 0 0 1 2 1 R 1 R 1 3 R 1 1 0 7 3 0 1 2 1 3
Como en el resultado final B es la matriz identidad, A 1 es una matriz invertible y A 1 7 3 1 = 2 1 Para A 2 : A 2 I = 1 2 1 0 2 4 0 1 R 2 R 2 2 R 1 1 2 1 0 0 0 2 1 R 2 1 2 R 2 1 2 1 0 0 0 1 1/2 R 1 R 1 R 2 1 2 0 1/2 0 0 1 1/2 = B C Como en el resultado final B no es la matriz identidad, A 2 no es una matriz invertible Observe con cuidado que en cálculo para A 2 que no hace falta concluir por completo hasta la forma reducida: en el momento que aparezca un renglón en ceros en la parte correspondiente a B la matriz ya no será invertible 127 Comentario Recuerde que para una matriz A n n la matriz inversa de ella se definió como una matriz B n n que cumple AB = I n = BA y en nuestra deducción del algoritmo sólo buscamos que se cumpla AB = I En los resultados teóricos de álgebra de matrices se tiene que Si A es una matriz cuadrada y existe una matriz cuadrada C tal que A C = I, entonces A es invertible Es decir, que es suficiente tener inversa lateral derecha para tener inversa por ambos lados Si A es una matriz cuadrada invertible y si B es una matriz cuadrada que cumple AB = I, entonces A 1 = B Es decir, que la inversa lateral derecha de una matriz cuadrada invertible coincide con la inversa de la matriz Estos resultados teóricos justifican que sólo busquemos la inversa derecha de una matriz para decir si la matriz es invertible y que la matriz encontrada es precisamente su inversa 128 Propiedades de la inversa 1 Si la matriz A, n n, puede invertirse, entonces el sistema Ax = b tiene solución única para cada vector b Esta solución puede calcularse como x = A 1 b 2 Sean A y B dos matrices cuadradas n n invertibles cualquiera entonces AB es invertible y AB) 1 = B 1 A 1 3 La inversa de una matriz invertible también es una matriz invertible y A 1 ) 1 = A 4
4 Si c es una constante cualquiera, pero diferente de cero, entonces la matriz ca también es invertible y ca) 1 = 1 c A 1 5 Si k es un número entero postivo, entonces A k también es una matriz invertible y A k) 1 = A 1 ) k 6 La matriz A T también es invertible y A T ) 1 = A 1 ) T 129 Ecuaciones con matrices Ahora pondremos en práctica nuestra álgebra con matrices para resolver ecuaciones donde se involucran incógnitas que representan matrices Ejemplo 124 Resuelva para X cx + A = B Los pasos que se siguen son muy similares al álgebra básica sumamos en ambos miembros la matriz A: cx + A) A = B A Como la suma / resta de matrices es asociativa se pueden agrupar los sumando para dejar juntos A y A: cx = cx + 0 = cx + A A) = B A Siendo estos cálculos para suma y resta de matrices tan similares a los del álgebra básica usaremos la misma regla: Si en una igualdad entre expresiones con matrices aparece sumando o restando una matriz en un miembro la podemos pasar al otro miembro restando o sumando: Ahoara debemos despejar X de la expresión procedemos a multiplicar por el escalar 1/c: X = 1X = Z + C = D Z = D C 3) cx = B A ) 1 c c X = 1 c cx) = 1 B A) c Siendo estos cálculos para la multiplicación o división con escalares tan similares a los del álgebra básica usaremos la misma regla: Si en una igualdad entre expresiones con matrices aparece multiplicando resp dividiendo) un escalar lo podemos pasar al otro miembro dividiendo resp multiplicando) 5
cz = D Z = 1 c D 4) Por tanto, el valor de la incógnita X es X = 1 B A) c Ejemplo 125 Asumiendo que la matriz A sea invertible, despeje la matriz X de la ecuación: AX = B Este tipo de problemas presenta a los alumnos cierta dificultad en los primeros despejes de ecuaciones matriciales Se debe tener bien en claro que la matriz A a eliminar está a la izquierda de la incógnita está multiplicando a la izquierda y que por consiguiente debe de multiplicarse por la izquierda por la matriz inversa de A: X = IX = A 1 A ) X = A 1 AX) = A 1 B Es equivocado hacer cancelar A pretendiendo multiplicar por la derecha: X = AXA 1 = BA 1 Y representa un error aún más grave dividir entre A pretendiendo cancelar A: X = AX A = B A La regla válida para cancelar matrices cuando éstas poseen inversas que multiplican es la siguiente: AX = B X = A 1 B 5) XA = B X = BA 1 6) Ejemplo 126 Suponiendo que A y B son matrices invertibles, despeje X de: ABX = C Otro problema que los alumnos enfrentan en los primeros despejes aparece en este tipo de problemas Hay dos formas correctas de pensar el problema En la primera la ecuación original se debe pensar agrupada de la siguiente manera: AB)X = C En cuyo caso el despeje de X es directo por las reglas vistas: Otra manera correcta de plantear el problema es: X = AB) 1 C A BX) = C 6
De donde el despeje en dos pasos es haciendo primero: BX = A 1 C Para después obtener: X = B 1 A 1 C Note que ambos resultados sin idénticos en vista de la igualdad: AB) 1 = B 1 A 1 Ejemplo 127 Despeje x de la ecuación: X T = A En este caso se debe tener presente la propiedad X T) T = X Por consiguiente, tomando la transpuesta en cada miembro: X = X T) T = A T Ejemplo 128 Despeje x de la ecuación: X 1 = A En este caso se debe tener presente la propiedad X 1) 1 = X en cada miembro: X = X 1) 1 = A 1 Por consiguiente, tomando matriz inversa Ejemplo 129 Suponiendo que A es invertible y c 0, despeje X de: Procediendo como anteriormente: A cx + B) + C = D A cx + B) = D C cx + B = A 1 D C) cx = A 1 D C) B X = A 1 D C) B ) Ejemplo 1210 Suponiendo matrices invertibles donde se requiera despeje X de: T A BX) 1 + C) + D = E Este tipo de despejes requiere ser riguroso en el orden: Pasando al segundo miembro D: T A BX) 1 + C) = E D 1 c 7
Multiplicando por A 1 por la derecha: Tomando la transpuesta en ambos miembros: Pasando al segundo miembro C: BX) 1 + C) T = A 1 E D) BX) 1 + C = A 1 E D) ) T BX) 1 = A 1 E D) ) T C Tomando inversa en ambos miembros: A BX = 1 E D) ) ) T 1 C Finalmente, eliminando la matriz B: X = B 1 A 1 E D) ) T C ) 1 1210 Complejidad computacional de la inversión Supongamos entonces que aplicamos el algoritmo de eliminación gaussiana para invertir una matriz n por n Consideraremos primero el trabajo realizado por los pasos 1 al 4 y posteriormente el trabajo realizado en el paso 5 Es importante notar que el proceso de Gauss avanza dejando la matriz escalonada hasta la columna de trabajo: a 1,1 a 1,2 a 1,m 1 a 1,m b 1,1 b 1,n 0 a 2,2 a 2,m 1 a 2,m 0 0 a m 1,m 1 a m 1,m 0 0 0 a m,m b m,1 b m,n 0 0 0 a n,m 1 Ciclo del paso 1 al 4 Al asumir que a m,m es diferente de cero, pasamos al paso 3 En el paso 3 hay que hacer cero debajo del elemento m, m), para cada uno de los m n renglones inferiores R i ; para ello habrá que calcular el factor f = a i,m /a m,m por el cual debe multiplicarse el renglón R m, lo cual implica realizar una división, y posteriormente realizar la operación: R i R i f R m En este caso, en el renglón i hay ceros hasta antes de la columna m, en el elemento i, m) quedará un 1 el factor f fue calculado para ello), así que los únicos elementos que deberán calcularse son los elementos del renglón i desde la columna m + 1) y hasta terminar, es decir, hasta la columna n + n, es decir, un total de 2n m elementos, y para cada uno de ellos habrá que hacer a m+1,j a m+1,j f a m,j, es decir para cada uno de ellos habrá que hacer 2 FLOPs, siendo un total de 2 2n m) elementos, el número total de FLOPs que habrá que realizar para hacer la operación R i R i f R m es, incluyendo la división para calcular f, 22n m) + 1 = 4n 2 m + 1 8
Como esto habrá que aplicarlo a todos los renglones por debajo del renglón m y hasta el n, entonces para realizar un ciclo desde el paso 1 hasta el paso 4 deben hacerse n m)4n 2m + 1) FLOPS El ciclo del paso 1 al paso 4 y su repetición irá avanzando m desde 1 hasta n 1 Por consiguiente el total de FLOPs será: n 1 n m)4n 2 m + 1) = 5 3 n3 3 2 n2 1 6 n m=1 2 Ciclo del paso 5 Las operaciones implicadas en el paso 5 serán R m 1 a m,m R m : n divisiones Para esto se requiere n divisiones; la del pivote entre si mismo ya sabemos que dará 1 y no se realizará, simplemente en la posición m, m) pondremos un 1 R j R j a j,m R m : n multiplcaciones y n restas Esta operación sólo requiere n multiplicaciones y n restas; estas operaciones sólo tienen que ver con los términos en la parte aumentada Los nuevos elementos a j,m serán cero Como hay m 1 renglones superiores, el total de operaciones en un ciclo del paso 5 será: Por consiguiente el total de FLOPs en el paso 5 será: m 1) 2n) + n 1 2nm 1) + n) = n 3 2 n 2 + n m=n Por consiguiente, en general cuando se aplica en algoritmo de eliminación gaussiana a un sistema n n el número de FLOPs es: 8 3 n3 7 2 n2 + 5 6 n 7) 9