Proyecto No.1 Entrega: Lunes 6 de marzo de 014 Introducción: El desarrollo de la tecnología en el área de las computadoras y las calculadoras con capacidades numéricas, simbólicas y de graficación; ha influido en las metodologías utilizadas en la actualidad en los proceso enseñanza aprendizaje de las matemáticas. Esto se debe en parte a que los Sistemas Algebraicos por Computadora (SAC) permiten visualizar todo tipo de gráficas y realizar una amplia variedad de cálculos que hace apenas algunos años era imposible. El estudiante puede usar la tecnología a la cual tenga acceso, pero no se le aceptará uso de métodos manuales únicamente, tendrá que presentar el proyecto por escrito y será de suma importancia que cumpla con los requisitos de la hoja guía que se encuentra en la página del departamento de matemática. Objetivo: El principal objetivo de este proyecto es que el estudiante utilice los sistemas algebraicos asistidos por computadora en la solución de problemas de cálculo diferencial. APLICACIONES DE LA DERIVADA PROBLEMA No. 1: DESCENSO DE UN AVION En la figura se muestra la trayectoria de un avión que se dirige hacia una pista de aterrizaje. 1
El aterrizaje del avión debe satisfacer las condiciones siguientes a) La altitud del avión es h cuando inicia el descenso a una distancia horizontal l hasta que toca tierra. b) El piloto debe mantener su velocidad horizontal constante v durante todo el descenso. c) El valor absoluto de la aceleración vertical no debe exceder la constante k (que es mucho menor que la aceleración de la gravedad). 1. Halle un polinomio de tercer grado p ( x) = ax + bx + cx + d que satisface (a) poniendo condiciones apropiadas sobre P (x) y P (x) en el instante de iniciar el descenso y el de tocar tierra.. Use las condiciones (b) y (c) para mostrar que 3 6hv l k 3. Suponga que una aerolínea decide no permitir que la aceleración vertical exceda a el valor k = 860 mi/h. Si la altitud de crucero de un avión es de 35,000 pies y la velocidad de 300 mi/h, A qué distancia del aeropuerto deberá inicial el descenso el piloto? 4. Use un SAC y grafique la trayectoria de aproximación si las condiciones del inciso anterior se satisfacen. PROBLEMA No. :POLINOMIOS DE TAYLOR La aproximación de la recta tangente () es la mejor aproximación de primer grado lineal a (), cerca de =, porque () y () tienen la misma relación de cambio (derivada) en =. Para tener una aproximación mejor que una lineal, intente una aproximación mejor que una lineal, intente una aproximación de segundo grado (cuadrática) (). En otras palabras, aproxime una curva mediante una parábola en lugar de por una recta.
Para tener la seguridad de que la aproximación es buena, estipule lo siguiente: i. ()=() ( y deben tener el mismo valor en ) ii. ()= () ( y deben tener la misma relación de cambio en ) iii. ()= () (Las pendientes de y deben tener la misma relación de cambio en ) 1. Encuentre la aproximación cuadrática ()=++ para la función ()=cos que satisfaga las condiciones (i), (ii) e (iii), con =0. Dibuje, y la aproximación lineal de ()=1, en una gráfica común. Comente cuán bien las funciones y se aproximan a.. Determine los valores de para los que la aproximación cuadrática ()=() del problema 1 es exacta con una diferencia menor que 0.1 [Sugerencia: Dibuje =(), =cos 0.1 y =cos+0.1, en una pantalla (gráfica) común]. 3. Para obtener una aproximación de una función mediante una función cuadrática cerca de un número, lo mejor es escribir en la forma: ()=+( )+( ) Demuestre que la función cuadrática que satisface las condiciones (i),(ii),(iii) es: ()=()+ ()( )+ ()( ) 4. Encuentre la aproximación cuadrática para ()= +3, cerca de =1. Trace las gráficas de, la aproximación cuadrática y la aproximación lineal del ejemplo de la sección 3.10 (Calculo de Stewart) en una pantalla común. Qué podría concluir? 5. En lugar de quedar conforme con una aproximación lineal o una cuadrática para (), cerca de =, intente hallar mejores aproximaciones, con polinomios de grado más alto. Busque un polinomio del n-ésimo grado. ()= + ( )+ ( ) + ( ) + +! ( )! Tal que! y sus n primeras derivadas tengan los mismos valores en =, para demostrar que estas condiciones se satisfacen si =(), = (), = () y en general, " = " () #! 3
Donde #!=1 3 4 #. El polinomio resultante es:! ()=()+ ()( )+ ()! ( ) + +! () ( )! )! Se llama Polinomio de Taylor de n-ésimo grado, de *, con centro en +. 6. Encuentre el polinomio de Taylor de octavo grado, con centro en =0, para la función ()=cos. Dibuje y los polinomios de Taylor,,, -,. en rectángulos de visualización / 5,51 por / 1.4,1.41, comente que tanto se aproxima el polinomio a la función. 7. Verifique sus series obtenidas con los comandos directos del SAC con el que está trabajando y proponga problemas más que se resuelvancon estos comandos, grafique los problemas resueltos. PROBLEMA No. 3: APLICACIÓN DE LA DERIVADA A MÍNIMOS Y MÁXIMOS Dos pequeñas ciudades en el margen del río Itzá y Labná, se encuentran en dos puntos justo una enfrente de otra y en lados opuestos del río, a 500 metros de distancia. Desean iluminar un Centro Recreativo Comunal que se encuentra a 1 km de distancia sobre el mismo margen del río de la ciudad de Labná. La ciudad de Itzá tiene una pequeña hidroeléctrica y le han propuesto al alcalde de la ciudad de Labná generar la energía si ellos se encargan de hacer la instalación del cable, el encargado del proyecto un estudiante de ingeniería hace su práctica en Labná y se le informa que encuentre como deben tender el cable para que el costo de la instalación sea mínimo, si se sabe que el costo en //41 del cable sumergible para cruzar el río es.5 veces más caro que el costo del cable por tierra. 3.1 Dibuje por lo menos 4 gráficos, que simulen las diferentes situaciones que se podrían dar al tender el cable desde la ciudad de Itzá, hasta llegar al centro comunal, tomando en cuenta que debe de cruzar el río. Use la escala apropiada. 3. Defina, las constantes y variables de la solución del problema. Explicando el concepto utilizado al definirla. Recuerde que el costo del cable 5 " está definido por una constante del 6 costo al más bajo precio k. 4
3.3 Encuentre una función del costo en términos de la distancias. Y el dominio de dicha función. 3.4 Grafique la función del costo total del cableado y haga una observación visual de los máximos y/o mínimos, en el dominio 3.5 Encuentre los puntos críticos de la función del costo. 3.6 Utilice el criterio de la segunda derivada, para verificar los puntos críticos y determine si es un máximo o un mínimo. Referencias [1] Stewart J. Cálculo de una variable, trascendentes tempranas, sexta edición. CengageLearning. [] Castillo Miguel. Instructivo para el uso de los Programas Scientific Notebook y Mathematica [3] Edwards y Peney. Cálculo con geometría analítica, cuarta edición. Prentice hall. [4] http://mate.ingenieria.usac.edu.gt 5