Diferenciales de Orden Superior

Capítulo 10 Diferenciales de Orden Superior En este capítulo extenderemos a las funciones definidas sobre espacios normados el concepto de función r-veces diferenciable y de clase C r y obtendremos las correspondientes reglas de cálculo. En el caso de espacios de dimensión finita, veremos la relación entre dichos conceptos y las derivadas parciales de orden r. Para el desarrollo de este capítulo se ha seguido fundamentalmente el libro de Flett [12] y, en menor medida, el de Avez [2]. La diferencial de orden r en un punto Definición 10.1 Sea f : A E F una aplicación entre espacios normados, a A o y r un número natural mayor que 1. Inductivamente, diremos que f es r-veces diferenciable en a si la aplicación D r 1 f es diferenciable en a. Escribiremos entonces D r f(a) = D(D r 1 f)(a). Para r = 2, la definición anterior expresa que f es 2-veces diferenciable en a si la aplicación Df : x Df(x) es diferenciable en a. (Para ello será preciso pues que, previamente, la aplicación Df esté definida en algún entorno de a). La derivada segunda de la aplicación f en a o sea la diferencial en a de la aplicación Df debe ser, como siempre, una aplicación lineal, pero en este caso, un tanto especial, concretamente (10.1) D 2 f(a) L (E, L (E, F )). 97

98 Diferenciales de Orden Superior 10.1 De 10.1 se deduce que la aplicación (h, k) (D 2 f(a)h)k es bilineal, lo que indica que la aplicación lineal D 2 f(a) se comporta como una aplicación bilineal de E E en F, una aplicación bilineal que además es continua, pues (D 2 f(a)h)k) D 2 f(a) h k. Con frecuencia se dirá incluso que D 2 f(a) es una aplicación bilineal y escribiremos D 2 f(a)(h, k) en lugar de ((D 2 f(a)h)k. Análogas consideraciones cabe hacer para una función r-veces diferenciable en un punto a. D r f(a) será ahora un elemento del espacio L (E, (E,..., L (E, F )..., )). (Por comodidad denotaremos a este espacio por L r (E, F )). Como antes, se puede considerar a D r f(a) como una aplicación r-lineal continua de E E {}}{. r.. E en F, y se tiene D r f(a)(h 1,..., h r ) D r f(a) h 1 h r. Relación con las derivadas parciales La proposición siguiente, aunque formulada en el marco general de los Espacios Normados, será esencial para establecer, en dimensión finita, la relación entre derivadas de orden superior y derivadas parciales de orden superior. Proposición 10.2 Sea f : A E F una aplicación r-veces diferenciable en un punto a A o. Entonces se verifica la siguiente fórmula D r f(a)(h 1,..., h r ) = D h1 (D h2... D hr f)(a). Demostración. Por inducción. Para r = 1 la fórmula ya es conocida. Supongamos como hipótesis de inducción que la fórmula es cierta en cada punto en que f sea (r-1)-veces diferenciable. Entonces D r f(a)(h 1,..., h r ) = ( D(D r 1 f)(a)h 1 ) (h2,..., h r ) = D h1 (D r 1 f)(a)(h 2,..., h r )

10.3 Diferenciales de Orden Superior 99 (10.2) = ( lim t 0 D r 1 f(a + th 1 ) D r 1 ) f(a) (h 2,..., h r ) t D r 1 f(a + th 1 )(h 2,..., h r ) D r 1 f(a)(h 2,..., h r ) (10.3) = lim t 0 t D h2 (... D hr f)(a + th 1 ) D h2 (... D hr f)(a) = lim t 0 t = D h1 (D h2... D hr f)(a). Para demostrar la igualdad entre las expresiones 10.2 y 10.3, observemos que las igualdades anteriores a éstas expresan que D r D r 1 f(a + th 1 ) D r 1 f(a) f(a)h 1 = lim, t 0 t es decir que, si denotemos por entonces φ t = Dr 1 f(a + th 1 ) D r 1 f(a), t φ t D r f(a)h 1 ε, si t < δ. De lo anterior se deduce, teniendo en cuenta que φ t D r f(a)h 1 L r 1 (E, F ), que (φ t D r f(a)h 1 )(h 2,..., h r ) ε h 2... h r, si t < δ, lo que significa que D r f(a)(h 1,..., h r ) = lim t 0 φ t (h 2,..., h r ) D r 1 f(a + th 1 )(h 2,..., h r ) D r 1 f(a)(h 2,..., h r ) = lim, t 0 t lo que prueba la igualdad entre 10.2 y 10.3. Corolario 10.3 En las condiciones anteriores, si E = R n, y por e i denotamos al vector de R n que tiene un 1 en la coordenada i-ésima y un 0 en todas las demás, entonces D r f(a)(e j1,..., e jr ) = r f x j1... x jr (a).

100 Diferenciales de Orden Superior 10.3 Demostración. Cuando E = R n, de la fórmula de la proposición anterior se deduce que D r f(a)(e j1,..., e jr ) = D ej1 (D ej2... D ej r f)(a) = r f x j1... x jr (a). 10.4 De lo anterior vamos a deducir que, en dimensión finita, la aplicación D r f(a), debido a su carácter r-lineal, queda determinada por sus derivadas parciales de orden r: De manera general, una aplicación T de L r (E, F ), si E es un espacio de dimensión n, queda determinada por los n r puntos de F, a j1...j r = T (e j1,..., e jr ), donde {e i }, i = 1, 2,.., n, es una base de E. En efecto, sean h j = (h 1 j, h2 j,..., hn j ), j = 1, 2,.., r, vectores arbitrarios de Rn. Entonces T (h 1,..., h r ) = 1 j 1,...,j r n h j 1 1... h jr r a j1...j r. Además, es fácil comprobar (aunque pesado) que la aplicación de L r (E, F ) en F nr Φ: T L r (E, F ) (a j1...jr) 1 j1,...,jr n F nr es un isomorfismo de espacios vectoriales. Del corolario anterior se deduce que, si T es la aplicación D r f(a), entonces a j1...j r = r f x j1... x jr (a), luego D r f(a)(h 1,..., h r ) = 1 j 1,...,j r n 1... h j r f r r (a), x j1... x jr h j 1 fórmula que para r = 2 se escribe así D 2 f(a)(h, k) = 1 i,j n 2 f h i k j (a). x i x j De la relación que hemos establecido entre diferenciales de orden r y derivadas parciales de orden r, se deduce Corolario 10.5 Para una función f : A R n R p son equivalentes:

10.7 Diferenciales de Orden Superior 101 (i) f es r-veces diferenciable en un punto a o A. (ii) f es (r-1)-veces diferenciable en un entorno del punto a y todas las derivadas parciales de orden r-1 son diferenciables en a. Demostración. Escribamos la aplicación D r 1 f como composición de las aplicaciones ( r 1 ) f(x) x x j1... x jr 1 1 j 1,...,j r 1 n D r 1 f(x). La primera aplicación es diferenciable en a si y sólo si lo son las derivadas parciales de orden r 1 de f. En cuanto a la segunda, se trata de la aplicación Φ 1 de F nr 1 en L r 1 (E, F ) que construíamos antes, y que por ser lineal entre espacios de dimensión finita, es diferenciable en todo punto. De todo ello es fácil deducir ya que los enunciados (i) y (ii) son equivalentes. Definición 10.6 Sean E y F espacios normados y U un conjunto abierto de E. Una aplicación f : U E F se dice de clase C r sobre el subconjunto A de U, lo que denotaremos por f C r (A), si es r-veces diferenciable en cada punto x de A y la aplicación x D r f(x) es continua en A. La aplicación se dirá de clase C si es de clase C r para todo r. Aunque no se especifique, una función f C r (A) se supondrá definida en algún abierto que contiene a A. Proposición 10.7 Sea f : U R n R p con U abierto. Entonces f C r (U) si y sólo si todas las derivadas parciales de orden r son continuas en U. Demostración. Veamos por inducción sobre r que si todas las derivadas parciales de orden r son continuas entonces la función es de clase C r. Para r = 1 esto ya ha sido probado. Supondremos cierto para r 1. De la hipótesis resulta que cada derivada parcial de orden r 1 de la función f es una función de clase C 1 (observar que, abreviadamente, cada derivada parcial de orden r puede obtenerse mediante la fórmula r f = ( r 1 f)). En particular cada derivada parcial de orden r 1 es una aplicación continua, luego, por hipótesis de inducción, f es de clase C r 1. Consideremos la descomposición ( r 1 ) f(x) x x j1... x jr 1 1 j 1,...,j r 1 n D r 1 f(x).

102 Diferenciales de Orden Superior 10.7 Por hipótesis, la primera de las aplicaciones en el diagrama anterior es de clase C 1. En cuanto a la segunda, se trata del isomorfismo vectorial Φ, luego (en dimensión finita) también de clase C 1. Se deduce pues que la aplicación D r 1 f es de clase C 1, por ser composición de dos aplicaciones de clase C 1, y por tanto f es de clase C r. Recíprocamente, si f es de clase C r, entonces el diagrama ( ) x D r f(x) r f(x) x j1... x jr 1, 1 j 1,...,j r n nos permite deducir que las derivadas parciales de orden r son continuas. Reglas de derivación A efectos de cálculo, las derivadas de orden superior se comportan como las de primer orden. Nos será más útil ver esto en el caso general de funciones definidas entre espacios normados. Proposición 10.8 Si f y g son funciones r-veces diferenciables en un punto a (de clase C r ), entonces la función λf + µg es también r-veces diferenciable en a (de clase C r ) y se tiene que D r (λf + µg)(a) = λd r f(a) + µd r g(a). Demostración. Por inducción. Para r = 1 ya se ha demostrado. Supuesta cierta la proposición para r-1, supongamos que f y g son r-veces diferenciable en a. Entonces, por hipótesis de inducción, la función D r 1 (λf + µg) está definida en un entorno de a y se tiene que D r 1 (λf + µg) = λd r 1 f + µd r 1 g. Se deduce pues que D r 1 (λf + µg) es diferenciable en a y que D [ D r 1 (λf + µg) ] (a) = D [ λd r 1 f + µd r 1 g ] (a) = λd r f(a) + µd r g(a). El resultado siguiente es un caso particular de la regla de la cadena para derivadas de orden superior, que hemos de establecer antes del teorema general.

10.10 Diferenciales de Orden Superior 103 Lema 10.9 Sean E, F y G espacios normados, f : A E F una aplicación r-veces diferenciable en un punto a A o (de clase C r en A) y T una aplicación lineal y continua de F en G. Entonces la aplicación T f es r-veces diferenciable en a (de clase C r en A) y se verifica que D r (T f)(a)(h 1,..., h r ) = T [ D r f(a)(h 1,..., h r ) ]. Demostración. Por inducción sobre r. El caso r = 1 resulta directamente de la aplicación de la regla de la cadena. Supongamos que f es r-veces diferenciable en a (de clase C r en A) con r > 1. Entonces D(T f)(x) = T Df(x), lo que nos dice que la aplicación D(T f) es la composición de las aplicaciones x Df(x) T 1 T Df(x). Es fácil de comprobar que T 1 es una aplicación lineal y continua. Resulta entonces que D(T f) = T 1 Df, por lo que, aplicando la hipótesis de inducción, se deduce que D(T f) es (r-1)-veces diferenciable en a (de clase C r 1 en A). Para demostrar la fórmula procedamos también por inducción. Para r = 1 ya es conocida. Suponiendo que es cierta también para r 1, se tiene: D r (T f)(a)(h 1,..., h r ) = D r 1 (D(T f))(a)(h 1,..., h r ) = D r 1 (T 1 Df)(a)(h 1,..., h r ) = ( D r 1 (T 1 Df)(a)(h 1,..., h r 1 ) ) h r = T 1 ( D r f(a)(h 1,..., h r 1 ) ) h r = ( T D r f(a)(h 1,..., h r 1 ) ) h r = T [ D r f(a)(h 1,..., h r ) ]. Corolario 10.10 Una función f = (f 1, f 2,..., f p ) de A E en F 1... F p es r-veces diferenciable en un punto a A o (de clase C r en A) si y sólo si cada f i es diferenciable en a (de clase C r en A). Se tiene entonces que (10.4) D r f(a)(h 1,..., h r ) = ( D r f 1 (a)(h 1,..., h r ),..., D r f p (a)(h 1,..., h r ) ).

104 Diferenciales de Orden Superior 10.10 Demostración. Si f es r-veces diferenciable en a (de clase C r en A), entonces, por la proposición anterior, f i = π i f (π i es la proyección i-ésima) es r-veces diferenciable en a (de clase C r en A). El recíproco y la fórmula 10.4 se siguen de las dos proposiciones anteriores sin más que tener en cuenta que f = I i f i, donde I i es la inmersión canónica z (0,..., z,..., 0). Proposición 10.11 Sean f : A E F, a A, o B f(a), f(a) B o y g : B F G. Si f es r-veces diferenciable en a (de clase C r en A) y g es r-veces diferenciable en f(a) (de clase C r en B), entonces la aplicación u = g f es r-veces diferenciable en a (de clase C r en A). Demostración. Por inducción sobre r. Para r = 1 ya ha sido demostrado. Supongamos que la regla de la cadena es válida para funciones (r-1)-veces diferenciable (de clase C r 1 ), entonces si r > 1 las funciones f y g son diferenciables en algún entorno de a y f(a) respectivamente, y se tiene que Dh(x) = Dg(f(x)) Df(x). Consideremos la siguiente descomposición de Dh, x (Dg(f(x)), Df(x)) Dg(f(x)) Df(x). Las dos aplicaciones de que consta el diagrama anterior son (r-1)-veces diferenciable en a (de clase C r 1 ). La segunda por tratarse de una aplicación bilineal y continua y la primera porque sus dos funciones coordenadas son, teniendo en cuenta la hipótesis de inducción, (r-1)-veces diferenciables en a (de clase C r 1 ), luego, de nuevo por hipótesis de inducción, se tiene que Dh es (r-1)-veces diferenciables en a (de clase C r 1 ). Proposición 10.12 Sean f, g : A E R aplicaciones r-veces diferenciables en un punto a (de clase C r en A), entonces su producto, h = f g, es también r-veces diferenciable en a (de clase C r en A). Demostración. Basta descomponer h como x (f(x), g(x)) f(x) g(x) y aplicar la proposición anterior. Proposición 10.13 Sean f, g : A E R aplicaciones r-veces diferenciables en un punto a (de clase C r en A). Si g(a) 0 (g no se anula en ningún punto de A), entonces la aplicación h = f/g es r-veces diferenciable en a (de clase C r en A).

10.17 Diferenciales de Orden Superior 105 Con ayuda de los resultados anteriores, es fácil probar ahora las siguientes generalizaciones del corolario 10.5 y la proposición 10.7. Proposición 10.14 Para una función f : A R n R p y los números naturales 1 k < r, son equivalentes: (i) f es r-veces diferenciable en un punto a o A. (ii) f es k-veces diferenciable en un entorno del punto a y todas las derivadas parciales de orden k son (r k)-veces diferenciables en a. Proposición 10.15 Para una función f : U R n R p (U abierto) y los números naturales 1 k r, son equivalentes: (i) f es de clase C r sobre U. (ii) Todas las derivadas parciales de orden k de f son de clase C r k sobre U. (Por convenio, una función de clase C 0 es una función continua). Permutación en el orden de derivación Anteriormente abordamos el problema de la permutabilidad de las derivadas y establecimos el clásico teorema de Schwartz. En esta sección vamos a continuar con aquel asunto, viendo, en primer lugar, una consecuencia de dicho teorema (más precisamente de su generalización 9.3). Proposición 10.16 Sea U un abierto de R n y f : U R p una aplicación de clase C r sobre U, entonces las derivadas parciales de orden r de f son independientes del orden en que se realicen las derivaciones. Demostración. Es consecuencia directa de la proposición 10.7 y el corolario 9.3. La condición de la proposición anterior es muy fuerte. En lo que sigue vamos a demostrar que se consigue el mismo efecto suponiendo sólo que la aplicación sea r-veces diferenciable. Proposición 10.17 Sea f : A R n R p una función 2-veces derivable en un punto a, entonces 2 f x i x j (a) = 2 f x j x i (a).

106 Diferenciales de Orden Superior 10.17 Demostración. Puesto que sólo han de intervenir dos coordenadas y basta hacer el estudio para cada función coordenada, se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que f es una función escalar de las variables x e y. Ya vimos en la proposición 9.1 que 2 f x y (x 0, y 0 ) = lim x x 0 2 f y x (x 0, y 0 ) = lim y y 0 ( ( ) f(x, y) f(x 0, y) f(x, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) lim y y 0 (x x 0 )(y y 0 ) ) f(x, y) f(x 0, y) f(x, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) lim. x x 0 (x x 0 )(y y 0 ) Pero desafortunadamente las condiciones de esta proposición no permiten deducir, como entonces, la existencia del límite doble. Sea, no obstante G(x, y) = f(x, y) f(x 0, y) f(x, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) y procedamos como en 9.1. Obtenemos entonces G(x, y) (x x 0 )(y y 0 ) 2 f x y (x 0, y 0 ) = 1 x x 0 ( f y (x, ξ y) f y (x 0, ξ y ) 2 f x y (x 0, y 0 )(x x 0 ) ) (10.5) = 1 x x 0 ( f y (x, ξ y) f y (x 0, y 0 ) 2 f x y (x 0, y 0 )(x x 0 ) 2 f y 2 (x 0, y 0 )(ξ y y 0 ) ) 1 x x 0 ( f y (x 0, ξ y ) f y (x 0, y 0 ) 2 f y 2 (x 0, y 0 )(ξ y y 0 ) ). Nuestra intención, al considerar la igualdad 10.5, es la de utilizar el hecho de que la función f/ y es derivable en (x 0, y 0 ) (ya que f es 2-veces derivable en (x 0, y 0 )). Así, dado ε > 0, si x x 0 y y y 0 son suficientemente pequeños, podemos escribir, teniendo eso en cuenta, que G(x, y) (x x 0 )(y y 0 ) 2 f x y (x 0, y 0 ) ε (x x 0, ξ y y 0 ) + (0, ξ y y 0 ) x x 0 2ε (x x 0, y y 0 ). x x 0

10.19 Diferenciales de Orden Superior 107 De igual forma obtendríamos G(x, y) (x x 0 )(y y 0 ) 2 f y x (x 0, y 0 ) 2ε (x x 0, y y 0 ). y y 0 De todo ello podemos deducir entonces que para x x 0 y y y 0 suficientemente pequeños 2 f x y (x 0, y 0 ) 2 f y x (x 0, y 0 ) 2ε (x x 0, y y 0 ) +2ε (x x 0, y y 0 ). x x 0 y y 0 En particular, tomando x x 0 = y y 0, se tiene que 2 f x y (x 0, y 0 ) 2 f y x (x 0, y 0 ) 4ε 2 f x y (x 0, y 0 ) = 2 f y x (x 0, y 0 ). [Hemos utilizado la norma producto (x, y) = max( x, y )]. La proposición anterior admite la siguiente generalización: Proposición 10.18 Si f : A R n R p es una función r-veces derivable en un punto a, entonces las derivadas parciales de orden r en el punto a sólo dependen del número de veces que se deriva respecto de cada variable, es decir son independientes del orden de derivación. Demostración. Es idéntica a la del corolario 9.3, sólo hay que tener en cuenta que cada derivada parcial de orden r 2 de la función f es una función 2- veces diferenciable en a. Corolario 10.19 Si f : A R n R p es una función r-veces derivable en un punto a, entonces su derivada de orden r en el punto a es una aplicación r- lineal simétrica, es decir, cualquiera que sea la permutación σ de {1, 2,..., r} se verifica D r f(a)(h 1,..., h r ) = D r f(a)(h σ(1),..., h σ(r) ). Demostración. Basta tener en cuenta la proposición anterior en la fórmula que relaciona las derivadas de orden r de una función en un punto con sus derivadas parciales de ese mismo orden. En efecto, sea σ una permutación de {1, 2,..., r}. Entonces: D r f(a)(h σ(1),..., h σ(r) ) = = 1 j 1,...,j r n 1 j 1,...,j r n h j 1 σ(1)... hj r h k 1 σ(r) r f (a) x j1... x jr 1... r f hk r r (a), x j1... x jr

108 Diferenciales de Orden Superior 10.19 donde {k 1,..., k r } es una permutación de {j 1,..., j r }. De la proposición anterior se deriva entonces que D r f(a)(h σ(1),..., h σ(r) ) = 1 k 1,...,k r n 1... r f hk r r (a) x k1... x kr h k 1 = D r f(a)(h 1,..., h r ). Ejercicios 10A Estudiar si las funciones siguientes son r-veces diferenciables o de clase C r (r = 1, 2,...): 1. f(x, y) = x4 x 2 + y 2 ; f(0, 0) = 0 2. f(x, y) = (x y)2 x y 3. f(x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2 ; f(0, 0) = 0 4. f(x, y) = x 4 + y 4. 10B Probar que la función f(x, y) = x 2 (x y) 2 sen 1 ; f(x, x) = 0 x y es 2-veces diferenciable en (0,0), pero no es de clase C 1 en ningún entorno de (0,0). 10C En este ejercicio g será una función escalar de clase C. Se pide calcular, en términos de g y/o sus derivadas parciales, las derivadas parciales de primer y segundo orden de la función h en cada uno de los casos siguientes: 1. h(x, y) = g(x + g(x.y)) 2. h(x, y, z) = zg(x, y) g(xz, y) 3. h(x, y) = g(y, g(x, y)) 4. h(x, y, z) = g(z, g(x, y)) 4. h(x) = g(x, sen x) 6. h(x) = g(x, g(x, x)) 10D Probar que la función es de clase C y obtener h(x, y, z) = x 2 y 2 +x 2 z 2 +y 2 z 2 0 2 h (1, 0, 0). x y e t2 dt

10H Diferenciales de Orden Superior 109 10E Denotemos por r = r(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 y sea f una función de R en R de clase C 2. Probar que si r 0 entonces 1. H f(r) = rf (r). 2. f(r) = f (r) + n 1 f (r) r Ver el ejercicio 9B para las definiciones de H y 10F Demostrar (a) Si h(x, y) = g(ax ± by), entonces (b) Si h(x, y) = xg(ax + by), entonces (c) Si h(x, y) = xg(y/x), entonces 1/a 2 2 h x 2 = 1/b2 2 h y 2 1/a 2 2 h x 2 2/ab 2 h x y + 1/b2 2 h y 2 = 0. x 2 2 h x 2 + 2xy 2 h x y + y2 2 h y 2 = 0. 10G Una función escalar f de varias variables se dice homogénea de grado p si f(tx) = t p f(x) para todo t > 0. (a) Probar que si f es una función homogénea de grado p, sus derivadas parciales de orden r < p (si existen) son funciones homogéneas de grado p r. (b) Si f es una función homogénea y diferenciable, sea g(t, x) = f(tx) = t p f(x). Probar que g t (x) = ptp 1 f(x) = f x i (tx). x i Deducir de esto que H f = pf (c) Demostrar que las funciones homogéneas diferenciables (de grado p) son justamente las que verifican la condición H f = pf. Indicación. Considerar la función g(t, x) = 1/t p f(tx) y probar que la condición H f = pf implica que g t (t, x) = 0, aplicar entonces el resultado del ejercicio 5G 10H Probar que una función f : R n R p es de clase C si y sólo si sus derivadas parciales de cualquier orden son funciones localmente acotadas.

110 Diferenciales de Orden Superior 10I 10I Sean E, F, G espacios normados, f : A E F 2-veces diferenciable en a A, o B f(a) y g : B F G 2-veces diferenciable en f(a) B. o Probar la fórmula D 2 (g f)(a)(u, v) = Dg(f(a))D 2 f(a)(u, v) + D 2 g(f(a)) ( Df(a)u, Df(a)v ) 10J Sea g una función escalar de dos variables y clase C, y definamos a partir de g la función de una variable h(x) = g(x, x). Demostrar que h es una función de clase C y que su derivada n-ésima viene dada por la fórmula: h (n) (x) = n k=0 ( ) n n g k x k (x, x) yn k