ENCUENTRO ( Importante )

7 ENCUENTRO ( Iportante ) Encuentro e un tea que le guta batante. Suelen toarlo en lo exáene y hay que aberlo bien. No e uy diícil. Lee con atención lo que igue. CUÁNDO DOS COSAS SE ENCUENTRAN? Do coa e encuentran cuando paan por el io lugar al io tiepo. Fijate que eto últio lo ubrayé. E que para que coa e encuentren no alcanza con que paen por el io lugar. Tienen que paar por el io lugar al io tiepo. El otro dia o uite a lo de tu prio. Vo abé que jutaente yo tabién ui a lo de tu prio?. Pero no te i. Cóo puede er que no te haya ito i etuio en el io lugar?. Bueno, eguraente habreo etado a dierente hora, o dierente día. E decir, lo etuio en el io lugar pero NO al io tiepo. No te coplique. Eto que parece ácil, ES ácil. Una ituación de encuentro podría er la iguiente: Eto uetra una ruta ita de arriba. ( Típico problea de encuentro ). SISTEMA DE REFERENCIA En algún oento lo do auto e an a encontrar en alguna parte de la ruta. Lo que a a paar ahí e eto:

8 Ete aunto del encuentro lo pongo en ora íica aí:! IMPORTANTE! x x para t = A = B te Condición de encuentro. Eta condición e cuple en todo lo cao y en todo lo problea de encuentro. E decir, puede er que lo coche etén iajando en el io entido o en entido contrario. Puede er que uno aya renando y el otro acelerando. Puede uno ir con MRUV y el otro con MRU. Lo que ea. La hitoria e iepre la ia y la condición erá x A = x B para t = t e. COMO RESOLVER PROBLEMAS DE ENCUENTRO: Lo problea de encuentro on problea en lo que una coa ale del lugar A y otra ale del lugar B. Pueden alir al io tiepo o no. Pueden oere en el io entido o no. Pueden ir con MRU o no. Lo que iepre te an a preguntar e: dónde e encuentran lo tipo y depué de cuánto tiepo. Para reoler eto coniene eguir eto pao. Pretá atención: 1- Hago un dibujo de lo que plantea el problea. En ee dibujo elijo un itea de reerencia. Sobre ete itea arco la poicione iniciale de lo óile y la elocidad de c/u de ello con u igno. Si la elocidad a en el io entido del eje x e (+). Si a al reé, e (-). ( ojo! ). - Ecribo la ecuacione horaria para c/u de lo óile.( x A =..., x B =...) 3- Planteo la condición de encuentro que dice que la poición de A debe er igual a la de B para t = t e. 4- Igualo la ecuacione y depejo t e. Reeplazando t e en la ecuación de x A o de x B calculo la poición de encuentro. 5- Coniene hacer un gráico Poición en unción del tiepo para lo óile en donde e ea la poición de encuentro y el tiepo de encuentro. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejeplo: Problea de encuentro en MRU Un auto y un colectio etán ubicado coo uetra el dibujo y e ueen a 6 y K/h repectiaente.

9 a)-calcular cuánto tiepo tardan en encontrare. b)-hallar el lugar donde e encuentran. c)-hacer el gráico de x(t) para lo óile y eriicar lo punto a) y b). Bueno, epiezo haciendo un dibujito que explique un poco el enunciado. Para calcular lo que e piden igo lo pao que pue ante: 1 - Hago un equea. Elijo un itea de reerencia. Marco la poicione y la elocidade iniciale: Pue el itea de reerencia en el lugar donde etaba el auto al principio. La do elocidade on ( +) porque an en el io entido del eje x. - Planteo la ecuacione horaria. ( Ojo. Eto hay que reiarlo bien, porque i etán al planteada todo lo que igue a a etar al... ). Para el auto x a A A A = + 6 K h t = 6 K h = Para el bondi K xb =,1K + t h B = K h a = A 3 - Planteo la condición de encuentro que dice que la poición de lo tipo debe coincidir en el oento del encuentro:

3 x A = x B para t = t e La ecuacione de la poición para A y B eran: x x A B K = + 6 t h K =,1 K + t h 6 K te h K K 6 te te h h K 4 te h K =,1 K + te h =,1 K,1 K te = =,5 h 4 K h =,1 K Una hora on 36 egundo, entonce, ultiplicando por 36 : t e = 9 eg TIEMPO DE ENCUENTRO 4 - Igualo la ecuacione y depejo lo que e piden: Reeplazando ete t e en cualquiera de la ecuacione horaria tengo la poición de encuentro. Por ejeplo, i reeplazo en la de x A : x e = + 6 K h t e,5 h xe =,15 K ( = 15 ) POSICION DE ENCUENTRO Para eriicar puedo reeplazar t e en la otra ecuación y er i da lo io. A i e guta eriicar, porque i e da bien ya e quedo tranquilo. A er : x e K =,1 + h t e,5 h x e =,15 K ( = 15 ) Bien, dió.

31 E decir que la repueta al problea e que el coche alcanza al colectio en 9 eg, depué de recorrer 15. De la ia anera podría haber dicho que el encuentro e produce a lo 9 egundo y depué que el colectio recorrió 5. Eto e iportante. Cuando uno dice que el encuentro e produce a lo 15 etro tiene que aclarar dede dónde etán edido eo 15 etro. La ituación inal endría a er eta: AUTO ENCUENTRO c) Otra anera de eriicar que lo que uno hizo etá bien e hacer el gráico x (t) repreentando c/u de la ecuacione horaria. Lo que hago e ir dándole alore a t y calcular lo de equi. Fijate. E ólo cuetión de hacer alguna cuenta: Auto x A t x B t Colectio x A = 6.t 1 x B =,1 +.t 5 3 eg 116 3 eg 1 6 eg 133 6 eg 15 9 eg 15 9 eg La repreentación de la recta queda aí: POSICION DE ENCUENTRO TIEMPO DE ENCUENTRO El lugar donde e cortan la recta indica el tiepo de encuentro obre el eje horizontal y la poición de encuentro obre el eje ertical.

3 Siguiendo eto pao e pueden reoler todo lo ejercicio de encuentro. Hay tabién otro étodo para reoler eto problea, in ebargo o tené que aprender éte, porque e el que ello te an a pedir que ue ( y que etá perecto porque de todo lo étodo, éte e el ejor ). IMPORTANTE: PROBLEMAS EN DONDE UNO DE LOS MOVILES SALE ANTES O DESPUES QUE EL OTRO. ( LEER ). Puede paar que en un problea uno de lo tipo alga ante que el otro. Suponé por ejeplo que el auto hubiera alido 3 eg ante que el colectio. En ee cao lo que hago e calcular qué ditancia recorrió el auto en eo 3 eg y plantear un nueo problea de encuentro. E decir, hago eto: Ete étodo de reoler problea de encuentro para óile que no alen en el io oento ire para todo lo cao de encuentro. Se puede aplicar iepre. Repito: iepre. Lo objeto pueden etar oiéndoe en el io entido, en entido contrario, con MRU, con MRUV, caída libre, tiro ertical. Lo que ea. Ahora bien ( y a eto apuntaba yo ). Hay OTRO étodo para reoler ete tipo de problea. Ete étodo e el que generalente uan ello y por eo te lo explico. Sin ebargo, ete étodo e á diícil de uar y tiene u coplicacione. La coa e aí: En realidad la ecuacione horaria etán ecrita en unción de t eno t cero. ( t t ). De anera que i uno de lo óile alió 3 eg ante que el otro, lo único que uno tiene que hacer e reeplazar te cero por 3 egundo y lito. Hata acá todo uy lindo. Pero lindo, nada. Porque el aunto e el iguiente: 1 - La DOS ecuacione horaria tienen el térino ( t t )...

33 En cuál de la tengo que reeplazar?. ( O reeplazo en la? ). Si el óil alió 3 egundo ANTES... Te cero ale 3 eg o -3 eg? ( Y i alió 3 eg depué? ) 3 Si uno de lo objeto a con MRUV ( acelera ), entonce el paréntei ( t t ) tiene que ir al. Eo uper-coplica la coa porque te a a quedar el cuadrado de un binoio... Y ahora?. Quién reuele la inernale cuenta que quedan?. Reuiendo: El étodo de reeplazar t = 3 eg en ( t t ) ire perectaente. Yo no digo que no. Coo uar, e puede. El problea e que la poibilidad de equiocare e uy grande por todo eo que te dije. Por ee otio yo te recoiendo que no ue ee étodo. Ua el que te expliqué yo que e á ácil y á entendible. Creo que ui claro. Depué no e enga con que nadie te lo dijo, nadie te lo explicó, etc, etc. Fin Teoría de Encuentro. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- MRUV - MOVIMIENTO RECTLÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Suponé un coche que etá quieto y arranca. Cada ez e uee á rápido. Priero e uee a 1 por hora, depué a por hora, depué a 3 por hora y aí iguiendo. Su elocidad a cabiando (aría). Eto endría a er un oiiento ariado. Entonce, cuándo uno tiene un oiiento ariado?. Rta: cuando la elocidad cabia. ( aría ). Ahora, ello dicen que un oiiento e unioreente ariado i la elocidad cabia lo io en cada egundo que paa. Mirá el dibujito : En el ejeplo éte, cuando el tipo e al ontruo e pone a correr. Depué de

34 1 egundo u elocidad e de 1 K/h y depué de egundo e de K/h. E decir, u elocidad etá auentando, de anera uniore, a razón de 1 K/h por cada egundo que paa. Atención: Acá en íica, la palabra uniore igniica Siepre igual, iepre lo io, iepre de la ia anera. Digo entonce que el oiiento del tipo e unioreente ariado auentando = 1 K/h en cada t = 1 eg. ACELERACIÓN ( Atento ) El concepto de aceleración e uy iportante. E la bae para poder entender bien-bien MRUV y tabién otra coa coo caída libre y tiro ertical. Pero no e diícil. Ya tené una idea del aunto porque la palabra aceleración tabién e ua en la ida diaria. De toda anera lee con atención lo que igue y lo a a entender ejor. En el ejeplo, el tipo paa de á 1 K/h en 1 eg. Pero podría haber paado de á 1 K/h en un año. En ee cao etaría acelerando á depacio. Digo entonce que la aceleración e la rapidez con la que etá cabiando la elocidad. Má rápido auenta ( o diinuye ) la elocidad, ayor e la aceleración. Digao que la aceleración endría a er una edida de la bruquedad del cabio de la elocidad. Para tener entonce algo que e indique qué tan rápido etá cabiando la elocidad, diido ee cabio de elocidad V por el tiepo t que tardó en producire. E decir : a = t Deinición de aceleración Suponé un auto que tiene una elocidad V en t y otra elocidad V al tiepo t:

35 En ee cao la aceleración del tipo a a er: a = Aí e calcula Una coa. Fijate por aor t t la aceleración que cuando en íica e habla de aceleración, hablao de auentar o diinuir la elocidad. Lo que iporta e que la elocidad CAMBIE. ( Varié ). Para la íica, un auto que etá renando tiene aceleración. Atención porque en la ida diaria no e ua aí la palabra aceleración. Por eo alguno chico e conunden y dicen: Pará, pará, herano. cóo puede etar acelerando un auto que a cada ez á depacio?! Vao a un ejeplo. EJEMPLO DE MRUV Un coche que e uee con MRUV tiene en un deterinado oento una elocidad de 3 / y, 1 egundo depué, una elocidad de 4 /. Calcular u aceleración. Para calcular lo que e piden aplico la deinición anterior : a = t t 4 3 a = 1 eg 1 a = 1 eg a = 1 Aceleración del tipo. Fijate que el reultado dio en /. Éta on la unidade en la que e ide la aceleración. E decir, etro diidido egundo cuadrado o cualquier otra unidad de longitud diidida por una unidad de tiepo al cuadrado ( coo K/h ). Qué igniica eto de 1 /?. Bueno, 1 / lo puedo ecribir coo: 1 1} } Variación de elocidad. Interalo de tiepo. Eto últio e lee aí: La aceleración de ete coche e tal que u elocidad auenta 1 etro por egundo, en cada egundo que paa ( Atención! ). Un equea de la ituación ería éte:

36 De acá quiero que ea algo iportante: Al tener ya una idea de lo que e la aceleración puedo decir que la caracterítica del oiiento unioreente ariado e, jutaente, que tiene aceleración contante. Otra anera de decir lo io ( y eto e e en el dibujito ) e decir que en el MRUV la elocidad auenta todo el tiepo ( o diinuye todo el tiepo ) y ee auento ( o diinución ) e LINEAL CON EL TIEMPO. Fin del ejeplo SIGNO DE LA ACELERACIÓN: La aceleración que tiene un objeto que e uee puede er (+) o (-). Eto depende de coa: 1 De i el tipo e etá oiendo cada ez á rápido o cada ez á depacio. De i e etá oiendo en el io entido del eje x o al reé. ( "! ). Eto quiero que lo ea con un ejeplo nuérico. Voy a uponer que en todo lo cao el t e de 1 egundo y aco el igno de la aceleración de : a = t t

37 Eto on lo 4 cao poible. Má no hay. La concluión que aco de acá e que hay que tener cuidado con el igno de la aceleración al hacer lo problea. La coa e que lo chico uelen decir: Bueno, no e tan diícil. Si el tipo a cada ez á rápido, u aceleración a a er poitia y i a cada ez á depacio, u aceleración a a er negatia. Hu... Cuidado!. Eto ale olaente i el tipo e uee en el entido poitio del eje x. ( cao 1 y ). Pero i el tipo a para el otro lado, lo igno on exactaente al reé.( cao 3 y 4 ). No lo toe a al. Eto no lo inenté yo ni lo inentaron ello, eto ipleente ale de reeplazar lo alore de la elocidade en la ecuación: a = t t ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA En ateática, una parábola e repreentaba por la iguiente ecuación: y = a. x + b. x + c ECUACION DE UNA PARABOLA. Por ejeplo una parábola podría er : Y = 3x 5x + ) Dándole alore a X oy obteniendo lo alore de Y. Aí puedo contruir una tabla. Repreentando eto alore en un par de eje x-y oy obteniendo lo punto de la parábola. Eo puede dar una coa aí: La parábola puede dar á arriba: á abajo:

38 á a la derecha: á a la izquierda: á abierta: á cerrada: puede incluo dar para a bajo: Puede dar cualquier coa, dependiendo de lo alore de a, b y c, pero iepre tendrá ora de parábola. Atento con eto!. La parábola iepre aparecen en lo problea de MRUV. ECUACIONES HORARIAS Y GRÁFICOS EN EL MRUV ( IMPORTANTE ) La ecuacione horaria on iepre la de poición, elocidad y aceleración en unción del tiepo. Quiero que ea cóo da cada una en el MRUV. Voy a epezar de atrá para adelante porque aí e á ácil de entender. 3ª Ecuación horaria ( a = (t) ) La caracterítica undaental de un oiiento unioreente ariado e que la aceleración e contante. No cabia. Siepre e igual. Siepre ale lo io. Eto pueto en ora ateática ería: a = cte 3 ra Ecuación horaria El gráico correpondiente e una recta paralela al eje horizontal. O ea, algo aí: ª Ecuación horaria ( V = (t) ) Otra anera de decir que la aceleración e contante e decir que la elocidad auenta ( o diinuye ) linealente con el tiepo. Eto ale de la deinición de

39 aceleración, que era: a = Tonce, i depejo : V - V = a ( t t ) t t == > V = V + a ( t t ) Cai iepre te cero ale cero. Entonce la ecuación de la elocidad queda aí: V = V + a. t da ECUACION HORARIA Eto e la ecuación de una recta. Tiene la ora y = ee equi + be.( Y = X + b). La repreentación e aí: Por ejeplo, una ª ecuación horaria típica podría er: V = 1 + t El tipo que e oiera iguiendo eta expreión habría alido con una elocidad inicial de 1 / y tendría una aceleración de /. Eto lo a a entender ejor cuando ea algún ejeplo hecho con núero o cuando epiece a reoler problea. Ahora eguí. 1 ra Ecuación horaria ( x = (t) ) Eta e la ecuación iportante y e la que hay que aber bien. La ecuación de la poición en unción del tiepo para el oiiento unioreente ariado e éta: X = X + V t + ½ a t 1 ra ECUACION HORARIA. Preiero no explicarte la deducción de eta ecuación porque e un poco largo. ( En lo libro etá ). Lo que í quiero que ea e que e la ecuación de una parábola. Fijate:

4 x = x +. t + 1 a. t! y =! c +!! b x +!! a. x VER LA CORRESPONDEN- CIA DE CADA TERMINO Cada térino de la ecuación X = X + V t + ½ a t tiene u equialente en la expreión Y = a X + b X + C. La expreión copleta-copleta de la 1ª ecuación horaria endría a er en realidad el iguiente choclazo: x = x 1 + ( t t ) + a ( t t ) Pero aí ecrita con (t-t ) e ua poco en lo problea. Eto e porque cai iepre en lo problea t ale cero. Yo iepre oy a uar la ecuación con t, alo que en algún ejercicio tenga que uar obligatoriaente (t-t ). La repreentación de la poición en unción del tiepo e eta: Ete dibujito lindo quiere decir ucha coa. Ello uelen decirlo aí : Señor, éte no e un dibujito lindo!. E un gráico uy iportante que repreenta la ariación de la poición en unción del tiepo para un oiiento unioreente ariado. Ete gráico no da nada á ni nada eno que la poición del óil para cualquier intante t. De eta anera teneo el oiiento copletaente decripto dede el punto de ita cineático. Ete dibujito lindo coo uted lo llaa ( Qué alta de repeto ) e la repreentación gráica de la unción X = X + V t + ½ a t. Eta unción no e cualquier coa. No eñor. E una ecuación cuadrática. ( t etá al cuadrado ). Eto e iportante porque e da una caracterítica undaental del oiiento unioreente ariado. Supongo que no la debe aber, aí

41 que e la digo a er i aprende algo útil: EN EL MRUV LA POSICIÓN VARÍA CON EL CUADRADO DEL TIEMPO. X = ( t ). EQUIS DEPENDE DE t CUADRADO. Lo e?. Lo entendió? Qué lo a a entender, i hoy en día el aluno en ez de etudiar e la paa haciendo cualquier otra coa. Ecuchan ea úica loca. Salen a la calle etido que e una ergüenza. Yo no e a dónde ao a ir a parar... ( Aplauo. Fin de la obra. ). Sigo, che. Te decía entonce que la repreentación gráica de X = X + V t + ½ a t da una parábola. Eta parábola puede dar para derecha, para la izquierda, uy cerrada, uy abierta. Eo a a depender de lo alore de equi cero, de Ve cero y de a. Ahora, el hecho de que la parábola aya para arriba o para abajo depende ÚNICAMENTE del igno de la aceleración. Si a e ( + ), irá para arriba ( ). Si a e ( - ), irá para abajo ( ). Eto podé acordártelo de la iguiente anera: a = + a = - La parábola poitia etá contenta. La parábola negatia etá trite. Concluión: Hay que er poitio en la ida!. No. Concluión: irá el iguiente ejeplo a er i lo entendé ejor: Ejeplo. Supongao que tengo eta ecuación horaria para algo que e uee con MRUV : 4 1. X = + t +. t Ete ería el cao de algo que alió de la poición inicial 4 con una elocidad de 1 / y una aceleración de 4 /. Para aber cóo e el gráico le oy dando alore a t y oy acando lo alore de x. E decir, oy haciendo la cuenta y oy arando una tablita. x [] t [eg] 4 7 1 14 TABLA CON LOS VALORES DE LAS POSICIONES Y LOS

4 Ahora repreento eto y e da una coa aí: Ete gráico e la repreentación de la 1ª ecuación horaria. Me gutaría que notara do coa: 1) -La parábola a para arriba ( ) porque a e poitia. ) -Aunque uno ea ólo un arco aí eto e una parábola. La parte que alta etaría a la izquierda y no la dibujé. La podría repreentar i le diera alore negatio a t ( coo 1 eg, - eg, etc ). En ee cao el aunto daría aí: UN EJEMPLO DE MRUV Fin Explicación Ec. Horaria. Una horiga picadoru ale de la poición X = y coienza a oere con aceleración a = /.( V = ). a)- Ecribir la ecuacione horaria. b)- Hacer lo gráico x(t), (t) y a(t). Voy a hacer un equea de lo que paa y too un itea de reerencia: La ecuacione horaria para una coa que e uee con oiiento rectilíneo unioreente ariado on: x = x + t + = + a t a = cte 1 a t ECUACIONES HORARIAS ESCRITAS EN FORMA GENERAL.

43 x y alen cero. Reeplazando por lo otro dato el aunto queda aí: x = + t + Ecuacione horaria = + t para la horiga a = = cte Ahora, dando alore a t oy acando lo alore de equi y de. Con eto alore hago eta tabla: X t V t a t / 1 1 / 1 / 1 4 4 / / Teniendo la tabla puedo repreentar la ecuacione horaria. 1 t LA ECUACIÓN COMPLEMENTARIA ( leer ) Fin del Ejeplo. Hay una órula á que e ua a ece para reoler lo problea. La uelen llaar ecuación copleentaria. La órula e éta: = a x ( x ) Ecuación copleentaria. Eta ecuación endría a er una ezcla entre la 1 ra y la da ecuación horaria. La deducción de eta ecuación e un poco larga. Pero te puedo explicar de dónde ale. Fijate:

44 Ecribo la priera ecuacione horaria. Depejo t de la ª y lo reeplazo en la 1ª. x = x = + t + + a t 1 a t t = a REEMPLAZO Si o te toá el trabajex de reeplazar el choclazo y de hacer todo lo pao que iguen, terina quedándote la aoa ecuación copleentaria. Sobre eta ecuación e gutaría que ea alguna coita. Fijate: Priero: La ecuación copleentaria NO e una ecuación horaria. En ella no aparece el tiepo. Segundo: Eta órula no e una ecuación nuea. E ezcla de la otra do ( de la 1ª y la ª ). Tercero: Nunca e iprecindible uar la ecuación copleentaria para reoler un problea. Todo problea de MRUV puede reolere uando olaente la 1ª y la ª ecuación horaria. Lo que tiene de bueno la expreión V V = a ( X X ) e que acilita la cuenta cuando uno tiene que reoler un problea en donde el tiepo no e dato. Eo e todo. Ejeplo: Uando la ecuación copleentaria: En el problea anterior, calcular la elocidad que tiene la horiga picadoru depué de recorrer 1. = = a.. ( x x ). ( 1 ) V = VELOCIDAD FINAL Lo hago ahora in uar la ecuación copleentaria: Ecribo la ec. horaria. De La la 1ª ª ecuación ec. horaria horaria : era : = + a t t = x = x + t + 1 a t " t = a Tiepo que tardó la picadoru en recorrer 1 1 = + t + 1 t

45 (eriica) 4 1 1 : por Reeplazando 4 1 t = = =