PAPEL PERICIAL DE LAS MATEMÁTICAS. LOS REPARTOS. Lina Mª Cecilia Gámiz y Pablo Flores Martínez

Transcripción

1 PAPEL PERICIAL DE LAS MATEMÁTICAS. LOS REPARTOS Lina Mª Cecilia Gáiz y Pablo Flore Martínez Hay un ateático en la ala..? Le Aventure d'anele Luturlu, Jean-Pierre Petit [4] En la ateática de eneñanza priaria y ecundaria e uelen etudiar lo reparto coo aplicación de la propiedade y cálculo proporcionale. Lo últiple problea relacionado con herencia, pago, ezcla y aleacione, grifo, jornale, etc. no han ervido para contextualizar la proporcionalidad directa o invera. Lo profeore etao convencido de que en eta ituacione e ha requerido una utilización pericial de la ateática, lo que da lugar a que el ateático e convierta en un Saloon que etablece criterio objetivo de reparto. Eta labor pericial de la ateática e retringe al aula, ya que lo reparto proporcionale, realizado en lo problea reale iilare a lo planteado en clae, no iepre dejan contento a lo iplicado, que pueden depreciar por iplita la olución ateática. La coplicación real de lo problea de reparto hace que e pongan en juego otro dato y circuntancia que no iepre on reducible a aplicacione lineale. Aí, lo reparto de terreno no pueden hacere por iple diviión de la uperficie, ya que, por ejeplo, la fora del terreno puede introducir apecto no repartible (acceo a un caino, orografía del terreno, etc.) (Alono y otro, []). Tabién pueden influir la vegetación del terreno o la conveniencia o no de partire para poder edificar. Una herencia copueta por una caa, un coche y lo ueble ólo adite un reparto proporcional i e traduce en dinero y e reparte ete, con la coniguiente pérdida de la integridad de lo biene que lo heredero quiieran conervar. Recienteente, la revita Muy Intereante preenta un artículo de un ateático y un ociologo, quiene e ocupan de la fora de repartir entre do perona, tre, cuatro,... etc. tarta y objeto reale, de anera que todo ello e ientan atifecho (Hively y Sardón, [3]). Tabién etá de actualidad el reparto del tiepo de publicidad gratuita a lo partido político en

2 tiepo de eleccione, o el de lo inuto dedicado a cada partido en lo noticiario. En vita de la dificultad de afrontar en clae de ateática eto reparto, lo profeore eguio haciendo uo de lo problea tradicionale para hablar de reparto proporcionale. Pero la introducción del debate en clae coo fora de validar la reolución de problea vuelve a poner en evidencia lo incopleto de lo procediiento etádare de reolución. En ete artículo vao a referirno a problea típico de reparto, y cóo eto problea han ido reuelto en diferente nivele de eneñanza. Un enunciado que ha ucitado divera repueta, y ha llegado a interear a lo aluno por la validez de cada una de ella, e refiere al reparto de lo gato en una oficina. Por ejeplo: Un abogado, un getor y un contable coparten una oficina. El abogado la utiliza 5 día por eana, el getor 3 y el contable. El alquiler eanal de la oficina e de.000 pt. Cuánto debe pagar cada uno? La expectativa del profeor al plantear ete problea e que lo aluno hagan un reparto proporcional, y efectivaente, alguno etudiante lo reuelven in dudar uando día, dividiendo el precio entre la ua de día y ultiplicando eta cantidad por el núero de día que aite cada uno. Eta repueta tiene la ventaja de que la ua de lo que pagan lo tre e.000 pt y que la proporcione relativa entre la cantidade pagada e la ia que exite entre lo día que eplean la oficina (el abogado paga 5/3 de lo que paga el getor, etc.) Al plantear ete problea en º de BUP, alguno aluno e preguntaron por el núero de día en que coincidian do o tre de lo inquilino. Eta pregunta, aparenteente iprocedente, e hizo reflexionar obre la interpretación que hacían lo aluno de la condicione del problea y de lo criterio de reparto. Sólo entonce caí en la cuenta de que el papel pericial del que e arropa el profeor de ateática choca a vece con la realidad de la ituación. Pero adeá obervé que en general el grupo de aluno aceptaba coo equitativa otra fora de reparto, en la que e conideraba cada uno debería pagar eno el día que coincidía con otro que i iba olo. Ete problea lo he planteado tabién en curo de foración inicial de profeore,

3 tanto a etudiante para profeor de eneñanza priaria, coo a futuro profeore de ateática de eneñanza ecundaria. En eto tre ábito han urgido cuetione iilare, y aunque en el cao de lo etudiante de lo últio curo de la licenciatura de ateática la dipoición inicial fue reolverlo por el reparto proporcional, no rechazaron de plano otra olucione e interpretacione poible. Una ituación iilar e planteó con un problea típico, que ha tenido divero enunciado: el problea de lo caello: Un eñor deja en herencia a u tre hijo, caello. En u tetaento anifieta u voluntad de que el hijo ayor reciba la itad de u fortuna, el egundo un cuarto de la ia y el tercero un exto. Cuánto caello le correponden a cada hijo? Coo no e pueden partir lo caello, el notario pide pretado un caello al vecino. De eta fora junta caello, la itad de lo cuale, 6, correponden al hijo ayor, la cuarta parte, 3 caello, correponden al egundo hijo, y caello, un exto de, correponden al pequeño. Se han repartido aí = caello, con lo que e puede devolver el caello pretado. Cóo e poible que obre ete caello al hacer el reparto? Al plantear ete problea, i expectativa, coo profeor, e que lo aluno decubran que el reparto previto por el difunto no e exhautivo. He planteado ete problea tabién en lo tre ábito decrito: priero de BUP, priero de Magiterio y foración inicial de profeore de ateática de ecundaria. Se obtuvieron repueta divera. La priera reacción, de lo aluno de º de BUP y alguno de Magiterio fué el aceptar el reparto coo perfecto, ya que: e repartían lo caello, no tenía que intervenir el carnicero, y e repetaban lo criterio del padre. Alguno e liitaron a coniderar que lo entendían, ya que habían coprendido que 6 e la itad de, etc. Otro e extrañaban de un reparto en el que obra jutaente lo pretado, pero no llegaban a encontrar la razón. Lo á aventajado de BUP y Magiterio, aí coo todo lo etudiante de la licenciatura de ateática uaron la fraccione y otraron la incoplitud del reparto propueto. Sin ebargo, una profeora de ateática de lo curo de foración propuo una

4 olución original a la que había llegado junto con u herano, graduado ocial. La naturaleza de la olución y la reflexione que realizaron e ha parecido tan intereante que le ugerí a la autora que la generalizara y la ecribiera para u publicación. El texto que aparece a continuación refleja ete razonaiento de la profeora en foración. Poteriorente etableceo una concluione en relación con lo reparto y a la olucione propueta. EL PROBLEMA DE LOS CAMELLOS. Ete tipo de problea "con truco" no dejan de er curioo e intrigante para ucha ente ateática y otra "no tan ateática". En ete cao, reulta un tanto extraño el hecho de que haga falta pedir pretado un caello para poder repartir, y luego obre jutaente ee caello. E cierto que ediante ete procediiento e reparte toda la herencia y e upone que todo quedan confore... o no?. Socialente, cabría planteare i e ha repetado realente la voluntad del difunto. Si no fuera aí, alguno de lo herano podría protetar. Pero ocurre que en ete particular reparto todo alen ganando, porque e llevan un poco á de lo que le correponde (6 caello e á de la itad de caello, etc.). Aí, todo quedan contento. Sin ebargo, alguno podría planteare i u herano han ganado á o eno que él. En teoría, la ateática deberían dar repueta a cualquier problea de reparto. Entonce, habrá que jutificar de algún odo el que lo caello e hallan ditribuido de ea fora. Eta on alguna de la reflexione que urgieron al afrontar ete problea. Prieraente, llegué a la concluión de que la fraccione de la herencia propueta por el padre no uaban el total, que e la repueta que e pretende obtener de lo aluno. Aí e explicaba el hecho de que al pedir un caello y realizar la diviione correpondiente con doce caello, obrara uno. E decir, coo + + = 0, i toao eta proporcione de cualquier 4 6 cantidad, iepre va a obrar 0 de ea cantidad. En particular, para caello e

5 tendría: + + = * = Si toao un caello pretado, efectivaente e reparten lo caello y obra (que e un doceavo de ): + + = = Llegado a ete punto, yo penaba que el problea no etaba totalente reuelto, que había que dar una repueta á concreta obre i el reparto final era juto o no. Fue entonce cuando e lo planteé a i herano, que tapoco quedó atifecho con la repueta anterior, y entre lo do epezao a dicutir y a reflexionar obre lo que ocurría en ete reparto. Llegao aí a la concluión de que era "relativaente juto", tal coo pone de anifieto la foralización ateática de ete razonaiento, dearrollado a continuación. En principio, no e reparte la herencia coo quiere el padre, pueto que eto e ipoible in que intervenga el carnicero. Adeá, quién e lleva lo que obra de la herencia?. La olución etá en intentar dividir el total de la herencia repetando en lo poible lo deeo del padre. Veao priero cuánto le correpondería exactaente a cada herano: º: = 5+ 0, 5 caello y 0 de caello 3 3 º: = + 0, caello y 0 de caello º: = + 0, caello y 0 de caello Coo + + = 0, obraría - = 0 de un caello, o lo que e lo 4 6 io, un doceavo de la herencia. Lo á juto ería ahora dividir eta cantidad retante en la proporción epecificada por el padre. De ete odo, al prier herano le correpondería * 0, al egundo * 0 y al tercero * 0, adeá de lo que tenían (podeo apreciar 4 6 que le faltaba jutaente 0, 0 y 0 a cada uno para copletar un caello, pero éta on 4 6 proporcione de, y no de 0, que e lo que obra). En total, e tiene: º: =

6 º: = º: = Pero la herencia aún no e ha repartido del todo, pueto que, de lo 0 obrante, ólo e han ditribuido * + * 4 repartir (un doceavo de 0). + * = Quedan todavía - = por Reiterando ete proceo, veo que iepre va a obrar un doceavo de lo que e reparte, i lo haceo egún la fórula inicial del tetaento. E fácil coprobar por inducción que en el n-éio reparto obran 0: n Para n=, repartio caello y obran 0. Supongao que la n-éia vez obran 0. Entonce, en la (n+)-éia vez hay que n repartir dicha cantidad. Aí: * + * + * = * = 0 n n n n n+ 4 6 y obran - = 0. n n+ n+ Obervao que, cuando n tiende a infinito, 0 tiende a cero. Aí, en un núero n infinito de pao, e repartiría el total de la herencia de la anera adecuada. Veao cuánto le correpondería a cada herano, uponiendo realizado ete reparto en u infinito pao: : + * + * + * +...= ( = * = * = )= Al priero le correponderían jutaente 6 caello, al egundo 3 y al tercero. Por tanto, el reparto que e ha efectuado e el que ería juto, depué de un núero infinito de

7 pao. Podeo obervar, por otro lado, que e conervan la proporcione relativa (el priero e lleva el doble que el egundo y el triple que el tercero, etc.). : + * + * + * +...= * = : + * + * + * +...= * = La idea de "infinito actual" preente en ete razonaiento no e fácilente coprenible por perona no ateática. Mi herano hizo un coentario curioo al repecto: egún él, tal reparto era ipoible de realizar, pueto que nootro no podeo concebir el infinito coo algo real; ólo podeo aceptarlo coo juto i "creyérao en el infinito", de la ia fora en que e tiene fe en Dio. Eto e hizo reflexionar obre el concepto de infinito, que i a vece e difícil de coprender incluo para un ateático, á aún lo e para lo que no lo on. De acuerdo con eta idea, ería probableente una ardua tarea convencer a lo tre herano del problea de que el reparto ha ido "lo á juto poible". Pero, al eno ateáticaente, e ha llegado al fondo del aunto. No obtante, quedaría aún una cuetión por reolver en el apecto ateático: porqué funciona el "truco" de pedir pretado un caello?. Ete e el recuro práctico que e eplea para olucionar el problea de una anera encilla y rápida. Pero hay que jutificarlo. En el cao que no ocupa, e ve claro que, coo e últiplo de, 4 y 6, e obtienen núero entero al repartir, y adeá, e reparten jutaente, que on 0 de. Por otro lado, heo deotrado que eto núero coinciden con lo "juto". Pero, i inicialente tuviérao un núero de caello ditinto de, cuánto tendríao que pedir pretado para que e repartieran de la fora adecuada?. Y i la proporcione exigida por el padre fueen otra ditinta?. No etao planteando, coo e uual en ateática, la poibilidad de generalización de ete problea. Si coniderao una cantidad genérica c de objeto cualequiera, a repartir

8 + + = a a entre 3 perona, egún una proporcione, a a, 0, de anera que u ua ea enor que, podríao eguir el io proceo anterior para repartir totalente c (evidenteente, c, a, a y a 3 on núero naturale): donde =.c..(a, a, a 3 ). + + = a + a + a a <, Si denoinao a la ua (que a a obviaente e un núero entero), podeo ecribir: La proporción obrante e - - = 0. Por tanto, a la priera perona le c c + * a a - c - c + * ( ) +...= * (+ a a c c = * = * a - - a - +( - ) +...)= correpondería: Procediendo de fora análoga, la egunda perona e llevaría Se ve fácilente que la ua de la tre cantidade e c: c 0 y la tercera a c 0.

9 c c c c + + = * ( + + a a a a c )= * = c De ete odo, e conigue repartir totalente la cantidad inicial. Pero lo ideal ería que cada una de ea tre cantidade fuee un núero entero, para poder reolver un cao análogo al de lo caello. Eto no iepre va a ocurrir. Unicaente erá cierto i c e últiplo de a, a y a 3. Para cantidade y proporcione que no verifiquen eto, no e podría reolver el problea por eta vía, in tener que "partir" lo objeto. Buqueo, pue, condicione para la cantidad inicial y para la proporcione del c reparto. Conidereo la priera cantidad, 0. Se tiene que cuplir que a c, pero a abeo que a, por definición. Entonce, lo que hay que iponer e que c* 0. a Igualente, e ha de verificar que c* 0 y c* 0. Ditinguio do cao: a ) Si e un núero prio, coo c 0, el teorea de Euclide afira que c ó a 0. Pero no puede dividir a 0 porque a a = + + > 0, luego, neceariaente, a a a c. Coniderando la otra do cantidade e obtiene la ia condición. Eta condición e necearia y uficiente, ya que i c c 0, c 0, c 0. a a a 3 ) Si no e prio, y c 0, c 0, c 0, puede er que no divida a ninguno a a a 3 de lo do factore de cada producto. Supongao que no divide a c. Entonce, tiene factore prio coune con 0, 0, 0 y c. Si llaao p al producto de lo factore de a a a 3

10 coune con c y q al producto del reto de lo factore de (q, pueto que no divide a c), tendríao que =pq, con p c y q 0, q 0 y q 0. a a a Si q 0 q * a= 0 0 e un núero entero. Por otro lado, i q 0 a a q a a q * a= 0 a 0. a q Análogaente, e deduce que a 0 y 0. q q Pero eto e una contradicción, ya que q 0 ería últiplo de a, a y a 3, y < =.c..( a,a, ) 0. En conecuencia, e ha de cuplir que c. q En cualquier cao, e llega a que c ha de er últiplo de. E decir, la cantidad inicial a repartir debe er diviible por el nuerador de la ua de la proporcione. Eto e cuple en el cao particular de lo caello, en donde c= y =. En la práctica, coo ya he eñalado, para hacer ete reparto no convendría aber cuánto objeto heo de pedir pretado para dividir y obtener la cantidade adecuada, de anera que e reparta ólo la cantidad inicial y podao devolver lo pretado. Si notao por c' a la nueva 3 c c = a a c c = a a c c = cantidad a repartir, debe verificare lo iguiente: c c Por eta igualdade, e tiene que c = = 0. Eto iplica que c' e últiplo de, c ya que 0 e un núero entero, por la condición obtenida anteriorente. c c - c = - c = c( -)= c - c = ( - )

11 El núero de objeto que tendríao que pedir ería la diferencia: E decir, el núero bucado ería la diferencia entre el denoinador y el nuerador de la ua de la fraccione ultiplicada por el núero de vece que c contiene al nuerador. Aí, en el cao de lo caello, c = * = 0 y c'-c=. + Veao á ejeplo, variando el núero de caello y la proporcione: ) Si a =, a =4 y a 3 =6, neceitao un c que ea últiplo de, pueto que + = 0. En ete cao, = y =. 4 6 Toeo c=*=. Entonce, c = * = * = 4 0, y hay que pedir caello. Si c=3*=33 c'=3*=36, hay que pedir 3 caello. Si c=4*=44 c'=4*=48, hay que pedir 4 caello. Se puede obervar que i toao c=n, con n un núero natural, entonce c'=n y c'-c=n(-), o ea, toda la cantidade e ultiplican por el io núero. 6 ) Si a =, a =5 y a 3 =6, + + = 0, luego =6 y =30 (no debeo iplificar la fracción porque el denoinador dejaría de er últiplo de, 5 y 6, y no aldrían núero entero). núero. Toeo ditinto valore para c: 6 c=6 c = * 30 = 30 0, hay que pedir c=5 c = * 30 = * 30 = 60 0, hay que pedir c=78 c = * 30 = 3* 30 = 90 0, hay que pedir. 6 Aquí tabién e aprecia claraente que c, c' y c-c' e van ultiplicando por el io En reuen, erá poible reolver un problea de ete tipo i partio de una cantidad que ea últiplo del nuerador de la ua de la fraccione, y batará con uar a c

12 tanta vece la diferencia entre el denoinador y el nuerador coo c contiene al nuerador, y luego dividir egún la proporcione etablecida. Se puede eguir un procediiento análogo para repartir una cantidad entre n perona, egún n proporcione cualequiera (coniderando iepre fraccione irreducible) con ua enor que. El razonaiento preenta ligera variacione en el cao de que alguna de la fraccione tengan nuerador ditinto de, pero la concluione on la ia. Concluión Hetú y Dejardin [] etablecen tre nivele en el doinio de la fraccione. El nivel de prefracción e caracteriza por la no exhautividad de la partición (figura ) o por obtener una partición deigual (figura ) Figura Figura La proporcionalidad realiza lo reparto de anera exhautiva, igualitaria y anteniendo la proporcione relativa, con lo que alva iultaneaente tre exigencia: - equitatividad de reparto (la parte on una porción etablecida de la cantidad total) - exhautividad (la ua de la parte cubre el total a repartir) - proporcione relativa (lo trozo reultante guardan entre í la ia relación que la fraccione que lo definen). Cuando el reparto tiene una condicione que ipide la proporcionalidad, la ateática tabién puede ayudar a realizarlo alvando alguna de eta tre exigencia. Ete etudio ateático e el que lleva a Hively y Sardón, [3] a proponer el reparto de "Saloón", que no e exhautivo (ya que en el cao de reparto entre á de do perona tienen que precindir de

13 porcione del total). En el cao de lo caello, o bien el reparto no e exhautivo (i e conidera que el total a repartir e lo caello á el pretado), o bien no repetan la proporcione (ya que 6 no e la itad de, 3 no e la exta parte, etc). Sin ebargo i e repeta la relatividad de la proporcione: 6 e el doble de 3, coo / e el doble de /4, etc. Sin ebargo, el reparto propueto por Lina antiene la proporcionalidad relativa y le da exhautividad en relación a la población de caello, aunque no repete la proporcione. Obervao, pue, que eta fora de entender el reparto ha ejorado la interpretación que haceo en clae al plantear el dilea. Da un pao en la utilización de étodo ateático para la reolución de problea de reparto, en aquello cao en que e ipoible hacerlo ediante la proporcionalidad. La generalización realizada le da una ayor profundización ateática. La reflexione que e han ucitado en Lina on digna de tener en cuenta en el contexto de foración de profeore por do razone: priero por que uetran el papel que ha jugado el análii de ituacione ecolare (de reparto) para generar ea reflexione; egundo por que no ha ayudado a criticar el papel pericial (reparto coo proporcionalidad) de la ateática, llevándono a profundizar en otro tipo de epleo de la ateática. Bibliografía [] Alono, C., Benitez, M.A., Flore, P., Heredia, M., Lara, A.M., López, A., Pérez, R., Puerta, E., Sandoval, P. y Vela, M. (99) Análii de cuatro problea. Epilon, nº. pp [] Hetu, J.C. y Dejardin, M. (978). L'activité atheatique dan l'eneigneent de fraction. Pree de l'univerité de Quebec. [3] Hively, W. y Sardón, A. (995) La fórula de Saloón. Muy Intereante Nº 7, pp [4] Petit, J.P. (980) Le Géoétricon. Pari: Belin.

14 Reuen Con objeto de contextualizar la proporcionalidad, heo planteado en divero nivele de eneñanza de la ateática, el cláico problea de la herencia de caello. En ete artículo preentao la olución y la reflexione que ha realizado obre el problea una etudiante para profeora de ateática de ecundaria. Eta reflexione no han peritido profundizar obre el ignificado ateático de reparto y obre el papel pericial de la ateática. Pablo Flore Martínez: Departaento de Didáctica de la Mateática, Univeridad de Granada. Teléfono particular: 958/ Teléfono Departaento: 958/4845. Fax: Correo electrónico: pfllore@platon.ugr.e Dirección: Departaento de Didáctica de la Mateática Facultad de Ciencia de la Educación Capu de Cartuja. Univeridad de Granada.