Grafos Sea V un conjunto finito no vacío, y E V V. El par ( V, E) es un grafo sobre V, one V es el conjunto e vértices y E el conjunto e aristas. Lo anotaremos G ( V, E). Vértice(s) repetio(s) Arista(s) repetio(s) Abierto Cerrao Nombre Si Si Si Camino Si Si Si Camino cerrao Si No Si Recorrio Si No Si Circuito No No Si Camino simple No No Si Ciclo Un grafo G es conexo; si existe un camino simple para too par e vértices istintos e G. Un grafo que no es conexo se ice isconexo. Un grafo o multígrafo G (sin vértices aislaos) tiene un circuito euleriano; si existe un circuito en G que recorre caa una e sus arista. Activia Consiere el grafo e la figura y etermine lo inicao en caa caso: a) Un camino e b a que no sea un recorrio b) Un recorrio b- que no sea un camino simple c) Un camino simple e b a. Cuántos existen? ) Un camino cerrao e b a b que no sea un circuito e) Un circuito e b a b que no sea un ciclo f) Un ciclo e b a b
Subgrafos e isomorfismos e grafos Activia 1 a) Lee y analiza las siguientes efiniciones. Sea G V, E un grafo (irigio o no) G V, E es un subgrafo e G; si y sólo si E1 1 1 1 vértices e V 1 G V, E es un subgrafo recubrior e G ; si y solo si V1 1 1 1 G U, E E, one caa arista e E 1 es inciente con los es un subgrafo inucio por U, si y sólo si U V y E contiene a toas las aristas e G (con ambos vértices en U). Anotaremos G U V b) Consiera los grafos e caa figura y completa caa cela con SI ó NO, según correspona.
Activia 2 a) Locura Instantánea: Para el juego e la locura instantánea se requieren cuatro cubos. Caa una e las seis caras e un cubo se pinta e un color: rojo (R), blanco (B), vere (V) o amarillo (A). El objetivo el juego es colocar los cubos en una columna e cuatro, e moo que aparezcan los cuatro colores (iferentes) en caa uno e los cuatro laos e la columna. Consiera los cubos inicaos en la figura y resuelve el acertijo. Utiliza grafos y subgrafos para simplificar la tarea. b) Caa uno e los multígrafos etiquetaos en la siguiente figura surge en el análisis e un conjunto e cuatro bloques para el juego e locura instantánea. Determine en caa caso, si es posible resolver el acertijo. Activia 3 Dos grafos no irigios G1 V1, E1 y G2 V2, E2 f : V V, e forma que si a, b E1, entonces, 1 2 son isomorfos; si existe una función biyectiva f a f b E2 y recíprocamente. Determinar si los siguientes pares e grafos son isomorfos. En caso afirmativo, efinir una tal función f.
Grao e un vértice: Recorrios y circuitos eulerianos Sea G V, E un grafo o multigrafo no irigio. Llamaremos grao e un vértice v, al número e aristas que son incientes con v. (Un lazo en un vértice v se consiera como os aristas incientes en v ). Anotaremos gr ( v ). Si toos los vértices tienen el mismo grao, se enomina grafo regular. Si son e grao k se ice k-regular La suma e los graos e toos los vértices el grafo G es igual al oble el número e aristas. gr v E Dem: a cargo el lector vv 2 El número e vértices e grao impar es par. Dem: La iea es agrupar toos los graos e los vértices e grao par y por otro los vértices e grao impar y luego sumarlos. De esta manera se aplica el teorema anterior y se ve que la suma es os veces el numero e aristas. Como la primer sumatoria se suman números pares, se obtiene e resultao un número par. Como la seguna sumatoria tiene que ser un número par, se euce que la cantia e vértices e grao impar tiene que ser par como se quería emostrar. Sea G V, E un grafo o multigrafo no irigio, sin vértices aislaos. Diremos que G tiene un circuito euleriano; si existe un circuito en G que recorre caa una e sus aristas. Si existe un recorrio abierto e u a v en G que recorre toas las aristas, se llama recorrio euleriano. G tiene un circuito euleriano si y solo si G es conexo y too vértice e G tiene grao par. Dem. (Directo) Como G tiene un circuito euleriano, entonces para cualquier par e vértices istintos existe un recorrio entre ellos, por lo tanto existe un camino simple entre ellos por lo que G es Conexo. Si u es el vértice inicial el circuito euleriano. Para cualquier otro vértice v caa vez que el circuito llega a v partirá e este, por lo que caa vez que se pasa por v se contribuye con os uniaes al grao e v y como aemás caa arista el circuito se recorre una sola vez se euce que el grao e v es par. Para el vértice u se realiza un proceimiento similar y se llega a que el grao el vértice u es par. Dem. (Reciproco) Si el grafo G tiene 1 o 2 aristas los grafos son e la siguiente manera Por lo que los circuitos eulerianos son triviales En otro caso se procee por inucción sobre el número e aristas. La iea es partir e que G tiene n aristas y seleccionar un vértice inicial c para construir el circuito euleriano y e esta manera se suponrá que para cualquier subgrafo e G que cumpla las hipótesis
verificará el teorema. Como el grafo G es conexo y caa vértice tiene grao par, poemos construir un circuito C que contenga a c. Si el circuito contiene toas las aristas e G, hemos hallao el circuito euleriano, en caso contrario eliminamos las aristas el circuito C, eliminano también los vértices aislaos que puieran haber. El subgrafo restante K, tiene toos los vértices e grao par, pero puee no ser conexo, sin embargo caa componente e K es conexa y tenrá un circuito euleriano. Aemás caa uno e estos circuitos eulerianos tenrá un vértice que esta en c. De esta manera poemos partir e c, recorrer C hasta llegar hasta un vértice e una e las componentes e K, recorrer este circuito euleriano. Luego continuar recorrieno el circuito C hasta llegar a otro vértice e otra componente, recorrer este otro circuito euleriano y luego terminar e recorrer el circuito C. Como el grafo G es finito este proceso se termina, puiénose así construir el circuito euleriano. G tiene un recorrio euleriano sii G es conexo y tiene exactamente os vértices e grao impar Dem: a cargo el lector Activia 1 Los siete puentes e Konigsberg: Es posible recorrer las ciuaes e ambas márgenes el río y e las islas, pasano solo una vez por caa uno e los 7 puentes? Activia 2 Al visitar el museo e ciencias, Pablo y Sebastian intentan resolver si porían pasar por las siete habitaciones y el pasillo que las roea sin cruzar ninguna puerta más e una vez. Si comienzan ese la posición el pasillo marcaa con una estrella pueen lograr su objetivo? Activia 3 a) Encuentre un circuito euleriano para el grafo e la figura b) Si se elimina la arista, e e este grafo, encuentre un recorrio euleriano para el subgrafo resultante
Grafos Planos Sea V un conjunto e n vértices. El grafo completo sobre V, es un grafo no irigio sin lazos tal que para toos a, bv, a b, existe una arista a, b. Anotaremos K n Los grafos que se muestran en la siguiente figura, son los únicos grafos completos posibles para el número ao e vértices Un grafo (o multigrafo) G es plano si poemos ibujar G en el plano e moo que sus aristas se intersequen sólo en los vértices e G. Este ibujo e G se conoce como una inmersión e G en el plano. Al igual que K 4 ; K 1, K 2 y K 3 son planos. Un grafo G ( V, E) es bipartito; si V V 1 V2, V 1 V 2 y caa arista e G es e la forma a, b, con a V 1 y b V2. Si caa vértice e V 1 está unio con los vértices e V 2, se tiene un grafo bipartito completo; enotao por K,, con V1 m y V2 n m n Sea G ( V, E) un grafo no irigio sin lazos, tal que E. Una subivisión elemental e G resulta cuano eliminamos una arista e u, w e G y entonces las aristas u, v, v, w se añaen a G e, one v V. Los grafos no irigios sin lazos G1 ( V1, E1 ) y G2 ( V2, E2) son homeomorfos si son isomorfos o si ambos pueen obtenerse el mismo grafo no irigio sin lazos H, por una sucesión e subivisiones elementales. Teorema e Kuratowsky: Un grafo no es plano si y sólo si contiene un subgrafo que es homeomorfo a K 5 o K 3, 3 Teorema e Euler Sea G ( V, E) un grafo o multigrafo plano conexo con V v y E e. Sea r el número e regiones en el plano eterminaas por una inmersión plana e G. Entonces, v e r 2
Activia 1 Para caa grafo e la figura, etermine si el grafo es o no bipartito. Activia 2 Determine cuáles e los grafos e la figura son planos. Si un grafo es plano, vuelve a ibujarlo sin aristas solapaas. Si no es plano, encuentre un subgrafo homeomorfo a K 5 o K 3, 3. Activia 3 Determine el número e vértices, aristas y regiones para caa uno e los grafos planos e la figura. Luego muestre que sus respuestas satisfacen el teorema e Euler para grafos planos conexos.
Grafo Dual Para construir un grafo ual (respecto a una inmersión particular) e un grafo o multigrafo plano G con V a, b, c,, e, f, colocamos un punto (vértice) entro e caa región, incluyeno la región infinita eterminaa por el grafo. Luego, para caa arista compartia por os regiones, ibujamos una arista que conecte a los vértices ubicaos en ellas. Así se obtiene G. Observaciones Una arista en G correspone a una arista en G, y viceversa. Un vértice e grao 2 en G origina un par e aristas en G que conectan los mismos os vértices Dao un lazo en G origina un vértice colgante en G y viceversa. El grao e un vértice en G es el numero e aristas en la frontera el camino cerrao en torno e la región en G que contiene ese vértice. Por qué se ice un grafo ual y no el grafo ual e G? Si G es un grafo plano, entonces puee que no exista un único grafo ual para G, en el sentio que G puee tener grafos uales no isomorfos, epenieno e la istribución particular e las regiones. En la figura, G y G no son isomorfos porque G tiene un vértice con grao 6 (la región infinita) que G no tiene (ver iagramas). Sólios platónicos y sus grafos Un grafo es regular e oren k si el número e aristas que concurren en caa vértice es k Un grafo es completamente regular si tanto G como G son regulares (no necesariamente = oren) POLIEDRO CUBO TETRAEDRO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO CARAS 6 cuaraos 4 triángulos equiláteros 8 triángulos equiláteros 12 pentágonos regulares 20 triángulos equiláteros VÉRTICES 8 4 6 20 12 ARISTAS 12 6 12 30 30
G 3- regular G 3- regular G 3- regular G 4- regular G 4- regular G 3- regular G 5- regular G 3- regular G 5- regular G 3- regular Sea G un grafo plano regular e oren k, e manera que su ual G sea un grafo plano regular e oren k. Si k 2 y k 2, solamente hay cinco tipos e grafos completamente regulares. Caa uno e e los grafos obtenios se corresponerá con las versiones planas e los sólios platónicos Como G tiene k aristas en caa vértice y caa arista une os vértices, se tiene: (1) 2e kv Como G es regular e oren k, caa región e G está roeaa e k aristas y caa arista comparte os regiones, entonces: (2) 2 e k r Activia Complete la emostración el teorema enunciao, siguieno lo inicao en caa caso a) Usano (1), (2) y el teorema e Euler, emostrar que: v 2k 2 k kk 4 k (consiere cara exterior) (3) b) A partir e la fórmula (3) y tenieno en cuenta que v y 4 k son números positivos, emostrar que k 2 k 2 4 k k v r e Tipo 3 4 8 6 12 Cubo c) Utilizano el resultao anterior, eterminar los posibles valores e k, k y completar la siguiente tabla.