Dualidad y sensitividad

Dualidad y sensitividad 1. Dualidad Dad un prblema de minimización en frma canónica PC: min c T x s.a Ax v x 0 su dual es el prblema max w T b s.aw T A c T W 0 Para un prblema de prgramación lineal en frma estándar: min c T x s.a Ax=v x 0 el dual es max w T b s.aw T A c T Se cumplen las siguientes prpiedades: Si x 0 es slución del primal y w 0 es slución del dual entnces w 0 T b c T x 0 Si x es slución factible del primal y w es slución factible del dual, y además w T b=c T x entnces x y w sn slucines óptimas de primal y dual respectivamente. Si un de ls prblemas tiene slución factible n actada, el tr n tiene slución factible. Terema 1 (Terema fundamental de dualidad). Cn respect a prblemas primal y dual: 1. Ls prblemas tiene slucines óptimas x y w cn c x =w b * * T * *T 2. Un de ls prblemas tiene slución factible n actada en cuy cas el tr debe ser n factible. 3. Ambs prblemas sn n factibles

Terema 2 (Hlgura cmplementaria) Si x y w sn slucines óptimas de primal y dual respectivamente de un prblema en frma canónica: T j j x j>0 w a =c T w a j <c j x j =0 i w i>0 a x=b i ( cas PC) i a x>b w =0 i i Terema 3 Si x es slución óptima de un prblema primal en frma estándar, cn base B y cn ceficientes de función bjetiv asciads a variables básicas c B, entnces T el dual es resuelt pr w =c B 1. B T Ejempl: Prblema de Inventari Almacenamient Se trata de manejar un almacen de capacidad C durante n perids. El cst pr unidad almacenada un perid es r. El preci de venta en el perid i es v i. El almacen debe estar vací al cmienz y final. x i representa existencias en almacén al principi del perid i. u i cantidad prducida en el perid i. s i cantidad vendida en el perid i. n max Σ (v i s i rx i ) i=1 s.a x i+1 =x i +u i s i i=1,2,... n 0=x 1 0=x n +u n s n x i C i=2,... n x i 0, u i 0, s i 0i=1,2,... n Dual del prblema de la dieta x i unidades de aliment i cada una cn cst c i (i=1,2,... n) b j mínim del j-ésim requerimient nutricinal (j=1,2,... m). a ij aprte nutricinal del j-ésim aliment para el i-ésim requerimient. El prblema de la dieta es su dual es min c T x Ax b x 0 max w T b w T A c T w 0

Dual del prblema de transprte El prblema de transprte para 3 rigenes y 2 destins puede plantearse cm min c 11 x 11 +c12x12+c21x21+c22x22+c31x31+c32x32 s.a X 11 +x 12 =a 1 X 21 +x 22 =a 2 X 31 +x 32 =a 3 x 11 +x 21 +x 31 =b 1 x 12 +x 22 +x 32 =b 2 x 11,x12,x21,x22,x31,x32 0 Plantear la matriz : variables en el rden: x11 x12 x21 x22 x31 x32 8sn tres rígenes y ds destins) Filas: primer la primer ecuación, lueg la segunda y así Para plantear su dual puede dividirse el vectr de variables duales w T =(u T,v T ) y plantearse cm max u 1 a 1 +u 2 a 2 +u 3 a 3 +v 1 b 1 +v 2 b 2 +v 3 b 3 s.a u 1 +v 1 c 11 u 1 +v 2 c 12 u 2 +v 1 c 21 u 2 +v 2 c 22 u 3 +v 1 c 31 u 3 +v 2 c 32 En general cn n rigenes y m destins, si se denta pr c ij el cst de transprtar del i- esim rigen al j-esim destin, y pr x ij la cantidad a transprtar pr la misma ruta, el prblema de transprte es: n n min Σ Σ c ij x ij i=1j=1 n s.a Σ x ij =a i i=1,2,... n j=1 m Σ x ij=b i j=1,2,... m

i=1 y el dual puede plantearse cm: n m max Σ u i a i + Σ v j b j i=1 j=1 s.a u i +v j c ij i=1,2... n j=1,2... m -Obtención de la slución dual de la tabla simplex Cm ya se mstró, dada la slución óptima del primal, la slución dual es w T =c B T B 1 en casines es psible btener este valr rapidamente de la tabla simplex final. Supnga que las variables básicas sn las m primeras, y que la matriz identidad se frma al cmienz del prcedimient simplex cn las últimas m variables, entnces la tabla simplex inicial es: B D I B c B c D c I 0 que se resuelve cm: I B 1 D B 1 B 1 b 0 c D c B B 1 D c I c B B 1 c B B 1 b Observación: en la tabla de arriba ela matriz D es la que en la tería denminams N. La última fila es la que en clase se usa cm primera per cn el sign cambiad ( tip Luenberger), es decir cj-zj. Si llamams W a ls valres que aparecen en la última fila en las clumnas dnde inicialmente estaba la matriz identidad cn csts cer, pdems btener la slución dual cm: w= W = c B B 1 Est puede extenderse cuand B e I aparecen en diversas clumnas en la tabla simplex inicial, si al final del prcedimient las clumnas que frmaban la matriz identidad n hacen parte de las básicas, en esas clumnas se tendrá B 1. En las celdas de la última fila de las clumnas de la matriz I en la primera tabla simplex, estará c I en la primera iteración y aparecerá -w en la última. Ejercicis 1. Cnsidera un prblema en frma canónica de minimización, muestre que el dual del dual es el primal.

2. Cnsidere el prblema min 2x 1 +3x 2 +5x 3 +6x 4 s.a x 1 +2x 2 +3x 3 +x 4 2 2x 1 +x 2 x 3 +3x 4 3 x 1,x 2,x 3,x 4 0 Plantee el prblema dual Resuelve el dual gemétricamente Utilice infrmación sbre la slución del dual y ls teremas de dualidad para reslver rapidamente el primal. 3. A partir de la definición de prblema dual para un prblema de minimización en frma canónica deduzca el planteamient de dualidad para un prblema en frma estándar. 4. Cnsidere el prblema: Minimizar cx sujet a Ax=b, x 0, en dnde m=n, c=b y A=A T. Usand dualidad demstrar que si existe un x 0 tal que Ax 0 =b, entnces x 0 es un punt óptim. 5. Encuentre el dual del siguiente prblema de ds maneras (a) reduciend a frma canónica y (b) reduciend a frma estándar. max 5x 1 +2x 2 s.a x 1 +x 2 2 2x 1 +3x 2 5 x 1,x 2 0 6. Se tiene el siguiente prblema de prgramación lineal max x 1 +5x 2 +3x 3 s.a x 1 +2x 2 +x 3 =3 2x 1 x 2 =4 x 1,x 2,x 3 0 Escriba el prblema dual asciad Dad que las variables básicas óptimas sn x 1 y x 3, determine la slución dual óptima asciada. 2. Sensibilidad Simplex Dual ( ver Bazaraa)

Ejercicis 1. Un fabricante prduce tres mdels I, II y III de ciert prduct usand las materias primas A y B. La tabla siguiente muestra ls dats para el prblema. Mdel I II III Dispnibilidad A 2 3 5 4000 B 4 2 7 6000 Demanda mínima 200 200 150 Utilidad pr unidad 30 20 50 El tiemp de man de bra para el mdel I es el dble que para el mdel II y el triple de III, td el persnal de fabrica puede prducir el equivalente de 1500 unidades del mdel I. Las necesidades del mercad especifican las relacines 3:2:5 de las prduccines de ls tres mdels respectivs. a. Frmule el prblema cm un prblema de prgramación lineal y supnga que el fabricante puede cmprar mas unidades de la materia prima A a $12 pr unidad. Seria adecuad? b. Recmendaria usted al fabricante cmprar mas unidades de la materia prima B a $5 pr unidad. 2. El mdel de prgramación lineal siguiente n tiene slución. Indique cm se detecta la cndición en el prcedimient simplex de ds fases. min x 1 x 2 s.a x 1 4x 2 5 x 1 3x 2 1 2x 1 5x 2 1 x 1,x 2 0 3. Cóm variar el metd simplex para agregar una restricción después de cncer la slución al prblema inicial? 4. Cóm variar el métd simplex para cambiar la función de cst después de tener slución al prblema inicial? 3.Análisis de sensibilidad

Cambis en el vectr b Cambis en el vectr c Adición de una restricción, una variable Bibligrafía: Luenberger Bazaraa Jarvis Ejercicis 1. Reslver usand dual simplex Llevarl mínim. Max 4x 1 6x 2 18x 3 sujet a x 1 +x 3 3 x 2 +2x 3 5 x 1, x 2, x 3 0 2. Dar valres ptims de variables primales y duales(tant dual del riginal cm dual del prblema en frma estandar) Mstrar que satisface hlgura cmplementaria. 3. Use el terema principal de dualidad para demstrar el terema de Farkas. (Sugerencia: Cnsidere el siguiente prblema primal y su dual: min 0x s.a. Ax=b (x) 0 max (x) T (b) s.a. (x) T A 0 x n restringid 4. Cnsidere el siguiente prblema de prgramación lineal: max 2x 1 +x 2 x 3 s.a. x 1 +2x 2 +x 3 8 x 1 +x 2 2x 3 4 x 1, x 2, x 3 0 a. Reslverl. b. Escriba el dual y encuentre las variables duales óptimas ( 2 variables duales). c. Usand análisis de sensitividad, encntrar la nueva slución óptima si el ceficiente de x 2 en la función bjetiv se cambia de 1 a 5.

d. Hallar nueva slución, si el ceficiente de x 3 en la segunda restricción se cambia de -2 a 1. e. Hallar nueva slución,si se añade la restricción x 2 +x 3 2. f. Si hubiera que escger entre aumentar el lad derech de la primera restricción el de la segunda Cuál escgería? Cuál es el efect de tal increment en la función bjetiv? g. Se alterará la slución si se añadiera al prblema una nueva actividad x 9 cn ceficientes (2,0,3) T en las restriccines y preci 5? h. Qué tan grande puede ser b 1 (la primera restricción sbre recurss) sin vilar la factibilidad? Bibligrafia [1. ] [2] [3] Mkhtar S. Bazaraa and Jhn J. Jarvis. Prgramación lineal y fluj en redes. 1994. David E. Luenberger. Prgramación lineal y n lineal. 1989. Hamdy A. Taha. Investigación de peracines. 2004.