Dimensión y conjuntos de Julia

Dimensión y conjuntos de Julia Mónica Moreno Rocha 1 1 Introducción: el concepto de dimensión La mayoría de nosotros tenemos una idea intuitiva de lo que significa la dimensión de un objeto. En general, un objeto que tiene ancho, altura y grosor lo consideramos tridimensional; aquel que sólo tienen longitud y altura le llamamos bidimensional, y el que sólo tienen longitud lo consideramos unidimensional. Otra forma de entender dimensión es al considerar los grados de libertad de movimiento independiente: si un objeto tiene un único grado de libertad (por ejemplo, piense en una 1 Investigador Asociado "C", SNI: Nivel I, Grupo de Sistemas Dinámicos. Obtuvo su doctorado en el 2002 en la Universidad de Boston, EUA. Sus áreas de interés son: sistemas dinámicos Holomorfos y teoría del contínuo. hormiga caminando sobre un línea recta horizontal, donde su movimiento está restringido a las direcciones izquierda y derecha) le consideramos unidimensional. Si hay dos grados de libertad de movimiento independiente (movimiento generado por la combinación izquierda-derecha y arriba-abajo), le llamamos bidimensional. Tres grados de libertad o ninguna corresponden pues a objetos tridimensionales o a los de dimensión cero, respectivamente. Notemos que ésta caracterización tiene sus problemas: cuál es la dimensión de una curva en el espacio tridimensional? Considere la misma hormiga subiendo ahora por una curva helicoidal: ahora su movimiento es de abajo hacia arriba y de izquierda a derecha, és pues la helicoidal bidimensional? No, la curva sigue siendo unidimensional, pues la clave está en el término movimiento independiente. Nuestro objetivo es proporcionarle al lector una definición formal del concepto de dimensión desde el punto de vista matemático. A partir de allí abordaremos una generalización de dimensión la cual permite estudiar 469

objetos fractales. Concluiremos con una descripción de la investigación actual realizada en el CIMAT y financiada por CONCYTEG sobre dimensión de Hausdorff aplicada a un tipo específico de conjuntos fractales: los conjuntos de Julia. Una bola abierta centrada en x y de radio r se define como el conjunto de puntos que están a distancia estrictamente menor que r, y se denota por 2Dimensión topológica El concepto de dimensión topológica requiere de ciertas definiciones y conceptos de la Topología, la rama de las matemáticas que estudia la estructura global de un objeto. A forma de ejemplo, considere una esfera y un cubo, estos son el mismo objeto para la topología ya que uno se puede deformar en el otro (sin cortar o romper) independientemente de sus dimensiones, color, textura, etc. Por otro lado, una esfera no pude deformarse en una tasa sin tener que hacer un orificio en la esfera para formar el asa. Comencemos con un espacio métrico X y una función de distancia dada por Un subconjunto A de X se dice abierto si es la unión arbitraria de bolas abiertas. Decimos que A es cerrado si su complemento X\A, es abierto. En la línea real, los intervalos ]0,1[ y [0,1] son ejemplos de un conjunto abierto y uno cerrado, respectivamente. Como hemos mencionado, la Topología no requiere de conceptos de distancia, por lo que podemos prescindir de la función d(x,y) y trabajar en un espacio topológico: diremos que X es un espacio topológico si podemos elegir una colección C de subconjuntos en X que definimos como los abiertos de X. Esta colección debe satisfacer los siguientes axiomas: 470

1. X y el conjunto vacío son abiertos (por lo tanto están contenidos en C). 2. La unión de dos conjuntos abiertos es un abierto. 3. La intersección de un número finito de abiertos es un abierto. Dado un subconjunto A de X, decimos que A tiene una cubierta abierta si existe una colección E de abiertos en X tal que esto es, A está contenido en la unión de todos los conjuntos en E. topológico X tiene dimensión d si cada cubierta E tiene un refinamiento E para la cual, cada punto x X está contenido en, a lo más, d+1 subconjuntos de E. Además, d es el entero más pequeño con esta propiedad. Pongamos a prueba esta definición: una colección finita de puntos tiene dimensión cero, ya que cada punto se cubre con una bola abierta centrada en él y cualquier refinamiento de ésta cubierta implica reducir el radio de la bola (ver Figura 2). Un refinamiento de la cubierta E es otra cubierta E tal que cada conjunto V en E está contenido en algún U de E (ver Figura 1). Figura 2: Cada punto puede cubrirse con d+1=1 abiertos y subsecuentes refinamientos siguen cumpliendo esta propiedad, por lo que d=0. Figura 1: Los discos de borde rojo representan el refinamiento E de la cubierta E compuesta por discos de borde azul. Pasemos ahora a la definición central de esta sección: un espacio En cambio, la curva helicoidal puede cubrirse con bolas abiertas tridimensionales: cada refinamiento puede elegirse de tal forma que cada punto x sobre la curva esté contenido en no más de d+1=2 bolas abiertas de menor tamaño. Esto se logra al cubrir la 471

curva siguiendo su trayectoria suave, si ésta fuese muy irregular, podríamos necesitar de más abiertos (ver Figura 3). Figura 3: A la izquierda se tiene la curva helicoidal y cubiertas con intersecciones a pares. A la derecha se muestra una curva irregular con un refinamiento en rojo que presenta intersecciones de tres o más abiertos. 3 Dos Ejemplos En 1904, Helge von Koch publicó un artículo donde reportaba la existencia de una curva tal que, para cada punto en ella, no existía una línea tangente a la curva que pasara por dicho punto (en otras palabras, la curva no era diferenciable). La ahora llamada curva de Koch (ver Figura 4) es el ejemplo de una curva totalmente irregular y que no contiene segmentos de línea. Notemos que la curva irregular de la Figura 3 tiene dimensión topológica d=1, ya que se puede refinar la cubierta hasta lograr que el diámetro de cada abierto sea menor a la longitud de los segmentos que conforman la curva. A partir de allí, cada punto será cubierto por a lo más dos abiertos. Este ejemplo nos lleva a considerar la siguiente pregunta: es posible construir una curva tan irregular que sea imposible calcular su dimensión topológica? Figura 4: La curva de Koch. La curva de Koch también tiene la propiedad de autosimilitud, esto es, la curva contiene copias a escala de sí misma. De la Figura 4 es posible apreciar cuatro copias a menor escala de la curva original, y cada copia con cuatro copias más pequeñas y éstas a la vez con cuatro copias apenas perceptibles. 472

La construcción de ésta curva se logra por medio del siguiente proceso iterativo (ver Figura 5): 1. Considere una línea recta horizontal de longitud 1. 2. Dividir la recta en tres partes iguales, removiendo el tercio medio. 3. Añadir en el tercio medio un triángulo equilátero sin su base. Repetir el paso 2 y 3 a los segmentos resultantes. En el límite de este proceso iterativo se obtiene la curva de Koch. Figura 5: El proceso iterativo de la construcción. Este proceso también nos brinda una idea de cómo construir cubiertas abiertas: podemos elegir bolas abiertas B(x i,r i ) centradas en el punto medio x i de cada segmento de la construcción y de radio r i mayor que la longitud del segmento dividido por 2. En cada paso de iteración, las cubiertas se refinan por un factor de magnificación M=2 y a lo más dos bolas contendrán el mismo punto. A partir de estas cubiertas es posible verificar que la dimensión topológica de la curva de Koch es d=1. En 1915 el matemático polaco Waclaw Sierpinski dio a conocer una curva donde cada punto en ella es un punto de ramificación, esto significa que cada punto tiene tres o más segmentos que emanan de él (por ejemplo, las letras E, Y y T contienen un único punto de ramificación, mientras que la L, M y N no contienen ninguno). Su ejemplo, ahora conocido como el Triangulo de Sierpinski, puede también describirse de una forma recursiva (ver Figura 6): 1. Considere un triángulo equilátero sólido, denotado por T 0 con base de longitud 1. 2. Remueva el interior del triángulo equilátero central 473

construido al conectar los puntos medios de cada lado de T 0. Denote el objeto resultante por T 1 (note que los triángulos en T 1 tienen la mitad del tamaño de T 0 por lo que su factor de magnitud es 2). 3. Repita el paso 2 a cada uno de los triángulos equiláteros que conforman T 1 para obtener T 2. Recursivamente elimine el triángulo equilátero central de cada uno de los 3 k triángulos que conforman T k para obtener 3 k +1 triángulos (con factor de magnitud 2 k ) que conforman a T k +1. En el límite de este proceso, se obtiene el triángulo de Sierpinski que denotaremos por T. Figura 6: La construcción del triángulo de Sierpinski. En base a la construcción, es fácil ver que T es autosimilar: para cada entero k>0 existen 3 k +1 copias de T y cada copia tiene un factor de magnitud 2 k. No intentaremos probar que T en realidad es una curva en el plano donde cada punto es un punto de ramificación y dejaremos al lector verificar que su dimensión topológica es d=1. 4 Dimensión de Hausdorff En 1918 el matemático Felix Hausdorff publicó una generalización del concepto de dimensión donde d puede ser un número real no negativo, lo que permite hablar de dimensiones con parte fraccionaria. Los objetos con dimensión fraccionaria son llamados conjuntos fractales (formalizaremos esta definición más adelante). Aunque se ha conocido la existencia de conjuntos fractales desde principios del siglo XX, su estudio formal tomó auge a partir de los trabajos de Benoit Mandelbrot en las pasadas décadas de los 70 s y 80 s. Actualmente, la teoría de fractales y la dimension fraccionaria tienen una gama amplia de aplicaciones a la ciencia, como lo son en el estudio de turbulencias, el crecimiento de plantas o el movimiento Browniano de partículas, la distribución de galaxias en el universo, etcétera. Para simplificar la exposición, supongamos lo siguiente: 474

Sea B = {U j } una cubierta abierta (contable) del conjunto S y definamos el tamaño de S por el supremo tomado sobre todos los elementos de la cubierta B. Definimos la medida m-dimensional de Hausdorff H m (S) por donde el ínfimo se toma sobre todas las cubiertas contables B = {U j } de S cuyo tamaño es menor o igual que δ. A medida que δ decrece, el ínfimo no puede decrecer y por lo tanto el límite existe, con lo que 0 H m (S). A partir de la medida m- dimensional de Hausdorff podemos ahora definir la dimensión de Hausdorff de un conjunto S no vacío, como el número real d H (S) que satisface Esto es, d H (S) es el único valor real para el cual, si m < d H (S), entonces la medida H m (S) = (de cierta forma, la escala con la que medimos S es muy fina) mientras que si m > d H (S) entonces H m (S) = 0 (la escala es demasiado grande). Notemos que si d = d H (S), entonces H d (S) puede tomar cualquier valor no negativo, incluyendo. Podemos ahora definir un conjunto fractal como aquel cuya dimensión de Hausdorff es mayor que su dimensión topológica. Cabe notar que en general la dimensión de Hausdorff es difícil de calcular directamente, aunque para los ejemplos dados en la sección anterior esto es posible gracias a la condición de autosimilitud. Si un conjunto A es autosimilar tal que para cada entero n>0 existen P n piezas autosimilares y cada pieza tiene un factor de contracción 0 < M n < 1, entonces la dimensión d H (A) se calcula de la ecuación Para el caso de la curva de Koch, notemos que para cada n>0 existen 4 n subconjuntos tales que pueden magnificarse por un factor de 3 n. Al resolver la ecuación, tenemos 475

iteración de polinomios cuadráticos de la forma Similarmente, para el triángulo de Sierpinski, se tiene donde el polinomio, z y c toman valores complejos. De forma sucinta, podemos definir el conjunto de Mandelbrot por 5 Dimensión de conjuntos de Julia La Dinámica Holomorfa es una rama de las matemáticas que estudia el comportamiento asintótico de puntos en el plano complejo bajo interación de funciones holomorfas (por ejemplo, polinomios, funciones racionales, ciertas funciones trigonométricas, entre otras). Los orígenes de la dinámica holomorfa se remontan a 1920 con los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia, dando los fundamentos de la teoría de iteraciones. En 1982 Benoit Mandelbrot produjo las primeras imágenes de computadora del conjunto ahora conocido como conjunto de Mandelbrot (ver Figura 7), el cual está asociado a la Esto es, M es la colección de todos los valores del parámetro c tal que la órbita del origen no converge a infinito. El conjunto de Julia (o conjunto caótico del polinomio) se define por esto es, la frontera del conjunto de puntos que escapan a infinito bajo iteración. El conjunto de Fatou F c se define como el complemento de J c. Los conjuntos de Julia para polinomios (y para muchas otras funciones holomorfas) son ejemplos de conjuntos fractales: presentan una cierta forma de autosimilitud y su dimensión de Hausdorff es, en la gran mayoría de 476

los casos, mayor que su dimensión topológica (ver Figura 8). Figura 7: El conjunto de Mandelbrot asociado a la familia de polinomios cuadráticos P c. En raras ocasiones se ha logrado calcular explícitamente la dimensión de Hausdorff para ciertos conjuntos de Julia, aunque con ayuda de los ordenadores es posible implementar algoritmos que estimen con gran precisión la dimensión de J c utilizando cubiertas abiertas. Sin embargo, estos cálculos no son suficientes desde el punto de vista matemático: es necesario formalizar dichas estimaciones encontrando (y probando la existencia de) cotas para d H (J c ). Observemos que para cada δ podemos encontrar una cubierta B = {U j } de J c con diam(u j ) < δ y Por lo que, para cada δ, H m (J c ) 1 y por lo tanto d H (J c ) 2, lo que nos dá una cota superior para la dimensión de Hausdorff. La idea es pues encontrar una cotas inferiores. Como muestra del avance logrado para el caso de polinomios cuadráticos, se cuenta con los resultados de David Ruelle y Curt McMullen: si el valor absoluto del parámetro c es pequeño, entonces esto es, la dimensión converge a uno, mientras que si el valor absoluto de c es muy grande. Figura 8: El conjunto de Julia para c 0.2539 + 0.00048i y dimensión de Hausdorff d H 1.405 (figura y cómputos realizados por T. M. Jonassen). 477

Parte de mi investigación realizada en el CIMAT y auspiciada por CONCyTEG a partir de Abril del presente año, es realizar un estudio similar del comportamiento asintótico de la dimensión de Hausdorff para ciertas familias uniparaméticas de funciones racionales dadas por donde el párametro λ toma valores complejos, m>1 y n>0 son enteros positivos dados. Los conjuntos de Julia asociados a estas funciones presentan una autosimilitud y simetrías que generalizan las propiedades del triángulo de Sierpinski: de hecho, si λ 0.5926 y m=2, n=1, entonces el conjunto de Julia asociado es homeomorfo al triángulo de Sierpinski (ver Figura 9). Para otros valores del parámetro y de las potencias, los conjuntos de Julia presentan otras características topológicas: estos pueden ser homeomorfos a la Carpeta de Sierpienski o al conjunto de Cantor ambos ejemplos de conjuntos fractales en el plano cuya dimensión de Hausdorff es conocida. Figura 9: El conjunto de Julia para R λ con λ 0.5926 y m=2, n=1. Figura 10: Conjunto de Julia para λ 0.08713 + 0.378i y m=3, n=2. Las metas principales de este proyecto serán ajustar la teoría de dimensión conocida para polinomios a funciones racionales de tipo hiperbólico y subhiperbólico, implementar ciertos algoritmos computacionales para la familia R λ y finalmente probar la existencia de cotas inferiores para d H. 478

Bibliografía 1. Beardon, A. (1991) Iteration of rational functions. New York: Springer-Verlag. 2. Devaney, R. L. & Moreno Rocha, M. & Siegmund, S. (2007) Rational maps with generalized Sierpinski gaskets as Julia sets. Top. and Appl. 154 11-27. 3. Falconer, K. J. (1985) The geometry of fractal sets. Cambridge: Cambridge University Press. 4. Hocking, J. G. & Young, G. S. (1988) Topology. New York: Dover. 5. Jonassen, T. M. Aspects of computation and fractal dimension. Manuscrito en internet:http://south.rotol.ramk.fi/ias20 05/Tore/hd1.pdf 6. Mandelbrot, B. B. (1982) The fractal geometry of nature. San Francisco: W. H. Freeman & Co. 7. McMullen, C. T. (1998) Hausdorff dimension and conformal dynamics III. Computation of dimension. Amer. J. Math. 120 691-721. 8. McMullen, C. T. (2000) Hausdorff dimension and conformal dynamics II. geometrically finite rational maps. Comment. Math. Helv. 75 535-593. 9. Ruelle, D. (1982) Repellers for real analytic maps. Erg. Th. Dyn. Sys. 2 99-108. 479