Cálculo Diferencial: Enero 2016 Selim Gómez Ávila División de Ciencias e Ingenierías Universidad de Guanajuato 9 de febrero de 2016 / Conjuntos y espacios 1 / 21
Conjuntos, espacios y sistemas numéricos Nuestro objeto de estudio son las propiedades de funciones de una variable real. Vamos a discutir primero la segunda parte: qué son los números reales? Para ello, necesitamos algunas nociones elementales. Intuitivamente, un conjunto es una colección de objetos, que llamamos los elementos del conjunto. Cuando x es un elemento del conjunto A, escribimos x A; si no es un elemento, x A. Encontraremos frecuentemente conjuntos cuyos elementos son números de distintos tipos, pero también conjuntos de funciones, e incluso conjuntos cuyos elementos son otros conjuntos. De forma muy general, hay dos maneras de enriquecer la noción de conjunto. Una, es dandole propiedades relacionales para construir espacios La otra, es añadiendo operaciones para construir estructuras algebraicas. (Estas nociones se traslapan un poco). 2 / 21
Operaciones entre conjuntos Hay tres operaciones entre conjuntos 1. La intersección entre conjuntos A y B es el conjunto A B = {a a A a B}. 2. La unión entre conjuntos A y B es el conjunto A B = {a a A a B}. 3. El producto cartesiano de los conjuntos A y B es el conjunto A B = {(a, b) a A b B}. 3 / 21
Las funciones son relaciones entre conjuntos Si tenemos dos conjuntos A y B, una función f de A a B es una regla que le asigna a cada elemento a A un elemento de B. En tal caso, escribimos f : A B. Utilizamos f(a) para referirnos al elemento de B asociado con el elemento a A. Solemos referirnos a A como el dominio de f, y como rango al conjunto de elementos {b B b = f(a) para algún a A}. Esta noción de función, debida a Dirichlet, es mucho más general que la noción de una función como una fórmula. 1, if x Q g(x) = 0, if x Q 4 / 21
Los números naturales Definimos a los números naturales como el conjunto N junto con una función sucesora S(n) con las siguientes propiedades: 1. 1 es un elemento de N. 2. Si n pertenece a N, entonces su sucesor S(n) también pertenece a N. 3. 1 no es el sucesor de ningún elemento de N. 4. Si n y m tienen el mismo sucesor, entonces n = m. 5. Un subconjunto de N que contiene a 1, y que contiene a n + 1 cuando contenga a n, es igual a N. Estos son los axiomas de Peano, que nos permiten probar las propiedades de N. Este es el conjunto de los enteros positivos {1, 2, 3,... }, donde cada número elemento n tiene un sucesor, n + 1. 5 / 21
La adición proviene de la sucesión Vamos a definir la adición como una función Primero, fijamos + : N N N. 1 + n = S(n) Luego, suponemos que k + n está definido para 1 k m. Entonces, definimos S(m) + n = S(m + n). Esto nos permite calcular la suma de números naturales. Mostrar que, bajo esta definición, se cumplen las propiedades usuales de la adición. 6 / 21
La serie de Ackerman El producto es una composición de sumas; esto es, n m = n + n + n + + n. }{{} m veces Podemos igualmente definir la potencia n m = n n n n. }{{} m veces Y hasta podemos extender esta noción n m = n n n n. }{{} m veces 7 / 21
Inducción matemática Los axiomas de Peano proveen las bases base para las pruebas por inducción; si P 1, P 2, P 3,... es una lista de proposiciones, todas ellas serán verdaderas si se cumple que 1. P 1 es verdad. 2. P n+1 es verdad siempre que P n es verdad. Probar que 1 + 2 + + n = 1 2n(n + 1) si n N. Probar que todos los elementos de la forma 5 n 4n 1 son divisibles por 16 si n N. Probar que 1 2 + 2 2 + + n 2 = 1 6n(n + 1)(2n + 1) si n N. Para qué enteros es verdad que 2 n > n 2? Probar. 8 / 21
Un problema con moraleja Sea P n la siguiente afirmación: n 2 + 5n + 1 = un entero par. 1. Pruebe que si P n es verdad, P n+1 lo es. 2. Para qué valores de n es cierto P n? 3. Cuál es la moral de esta historia? 9 / 21
Cómo extender los naturales? Hemos definido la adición (y por extensión, la multiplicación, potencia, y tetración) de números naturales. Como ya probaron ustedes, la adición es asociativa. Este tipo de estructura algebraica (un conjunto con una operación binaria asociativa) se llama un semigrupo. Probar que los naturales bajo multiplicación forman un semigrupo. Para realizar toda la aritmética a la que estamos acostumbrados necesitamos añadir dos conceptos: el del elemento identidad, y el de elemento inverso. Sea S un semigrupo bajo la operación : S S S. 1. Un elemento identidad es un elemento e S e x = x x S. 2. El elemento inverso x 1 a x S es tal que x 1 x = e. Si para cada x S existe un elemento inverso x 1 S entonces S es un grupo. 10 / 21
Resta y división Es tradicional denotar al elemento identidad de la adición como 0, y a los inversos aditivos de los números naturales n como n. Al conjunto que incluye los números naturales, sus inversos aditivos, y la identidad 0 se le llama los números enteros: Z = {n n N} {0}{ n n N} Si queremos hacer la misma extensión pero para la multiplicación, llegamos a los números racionales Q = ß p q p, q Z q 0. Q contiene a todos los decimales que terminan, como 1.67899 = 167899 100000. Probar la ley distributiva bajo nuestras definiciones de suma y multiplicación. 11 / 21
Poniendo orden en los racionales Una de las propiedades más importante de los racionales Q es que tienen una estructura de orden que satisface: 1. Dados a y b, o bien a b o b a. 2. Si a b y b a, entonces a = b. 3. Si a b y b c, entonces a c. 4. Si a b entonces a + c b + c. 5. Si a b y 0 c, entonces a c b c. 12 / 21
A los números racionales les faltan piezas Este es un sistema satisfactorio para muchos propósitos, en donde podemos definir toda nuestra aritmética convencional: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Pero es posible mostrar que en algún sentido los números racionales no son completos. Consideremos por ejemplo la longitud de la diagonal: 1 d =? 1 Por el teorema de Pitágoras, sabemos que esa longitud satisface 1 2 + 1 2 = d 2. Puede d ser un número racional? 13 / 21
La irracionalidad de 2 Teorema: no existe número racional tal que su cuadrado sea 2. Prueba: Un número racional puede escribirse como p/q, en donde p y q son números enteros. Podemos suponer que p y q no tienen factores comunes; si los tienen, podemos eliminarlos y obtener nuevos valores para p y q. Supongamos que en efecto Å ã p 2 = 2. q Entonces se sigue que p 2 = 2q 2, y por tanto p es un número par, que escribimos como p = 2r. Substituyendo y simplificando, obtenemos que 2r 2 = q 2 y por lo tanto q también es un número par, en contradicción con la suposición de que p y q no tienen factores comunes. 14 / 21
La incompletitud de los racionales Definición: Llamamos número algebraico a uno que satisface una ecuación polinomial c n x n + c n 1 x n 1 + + c 1 x + c 0 = 0. en donde los coeficientes {c n } son enteros, y n 1. Los números racionales son siempre números algebraicos; si r = m/n, entonces nr m = 0. Pero hemos mostrado que algunos números algebraicos no pueden ser racionales. El deseo de expandir nuestro sistema numérico para incluir las soluciones a este tipo de ecuaciones nos lleva primero a los números reales, y eventualmente a los complejos. Probar que 3 es irracional. Puede usarse el mismo método para probar que 6 es irracional? Dónde falla nuestra prueba por contradicción si tratamos de mostrar que 4 es irracional? 15 / 21
Los números escalares forman cuerpos Los números a los que estamos acostumbrados son conjuntos F que cumplen las siguientes condiciones: 1. Podemos sumar números: hay una operación conmutativa y asociativa + con inversa 0 tal que α + β F para cualquier par α, β en F. A cada elemento α corresponde una inversa α tal que α + ( α) = 0. 2. Podemos multiplicarlos: hay otra operación, conmutativa y asociativa con identidad 1 tal que α β F para cualquier par α, β en F. A cada elemento distinto de 0 corresponde una inversa α 1 tal que α α 1 = 1. 3. Esas dos operaciones se combinan de modo que, para cualquier terna α, β, γ en F α (β + γ) = α β + α γ. Esta estructura es llamada «campo» o «cuerpo» por los matemáticos. 16 / 21
Usaremos una noción intuitiva de los reales Consideramos a los reales R como una extensión de los números racionales Q que no deja agujeros; intuitivamente, identificamos a los reales con todas las longitudes posibles a lo largo de la recta numérica. Casi todo el desarrollo del cálculo fue hecho la primera mitad de los 1800s (Cauchy, Abel, Bolzano, Dirichlet, Weierstrass, Riemann) utilizando intuiciones sobre la naturaleza de los reales similares a lo que tomaremos como punto de partida; estas intuiciones se formalizaron en los 1870s, cuando se construyeron rigurosamente los reales a partir de los racionales. Trabajo adicional Replicar la construcción de Dedekind de los reales en términos de cortes. 17 / 21
Algunas propiedades de los reales 1. R es un conjunto que contiene a Q 2. Las operaciones (+, ) definidas en Q se extienden a R 3. Por el momento, asumiremos que R es un campo, y que hereda un orden de Q. 18 / 21
Los reales son completos Axioma de Completitud: todo conjunto no vacío de números reales que esta acotado por arriba tiene un supremo. Esta última propiedad requiere las definiciones: Acotado por arriba: Decimos que A R está acotado por arriba si existe un número b R tal que a b a A. Llamos a b la cota superior de A. Un real s es el supremo de un conjunto A R si cumple con los criterios: s es una cota superior de A Si b es otra cota superior de A, entonces s b. Definir, analogamente a la cota superior y el supremo, una cota inferior y un ínfimo. 19 / 21
El ínfimo y el supremo de A pueden no estar en A Un número real a max es un máximo del conjunto A R si a max A y a A, a a max. Similarmente, un mínimo a min A cumple que a A, a a min. Cuáles son los máximos, mínimos, ínfimos y supremos de los siguientes subconjuntos? x R 0 < x < 3 x R 0 x < 17 x R 3 < x 6 x R 0 x 2 Sea s R una cota superior para A R. Enteonces, s = sup A sí y sólo sí, ϵ > 0, a A s ϵ < a. 20 / 21
Algunos ejercicios 1. Sea Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4}, y defina las operaciones de adición y multiplicación módulo 5. (Esto quiere decir, el resultado de a + b y a b es el residuo del resultado, dividido por 5. 1.1 Mostrar que cada elemento x Z 5 tiene un inverso aditivo. 1.2 Mostrar que cada elemento x Z 5 tiene un inverso multiplicativo si x 0. 1.3 Ocurre lo mismo para Z 4? Formule una conjetura sobre los valores de n para los cuáles existen inversos aditivos y multiplicativos. 2. Sea A R acotado por debajo, y defina B = {b R b es una cota inferior de A} Muestre que sup B = inf A. 3. Asuma que A y B son conjuntos no vacíos y que B A. Muestre que sup B A. 4. Pruebe que si a es una cota superior de A, y a A, entonces a = sup A. 5. Si sup A < sup B, pruebe que b B tal que b es una cota superior de A. 21 / 21