Ejercicios tipo final

Ejercicios tipo final En la primera parte pondremos los enunciados de los ejercicios, en la segunda algunas sugerencias y en la tercera se encuentran las resoluciones 1 Ejercicios 1 Si A R 3x2, B R 2x1 y C R 2x3 un producto de las tres matrices que se puede calcular es CBA ABC ACB CAB 2 El plano Π : x y + z = 2 y la recta L : X = α(1, 1, 1) + (0, 1, 0) se cortan en el punto ( 1 3, 2 3, 1 3 ) (1, 0, 1) (2, 1, 1, ) (2 1, 2) 3 Sea L : X = α(2, 3) + (1, 0) Una ecuación de la recta L que pasa por (3, 5) y es paralela a L es X = ( 1 3, 1 2 ) + (1, 2) X = (3, 2) + (3, 5) y = 2 3 + 3 y = 3 2 x + 5 { x1 + x 4 Dado el sistema S : 3 + x 4 = 4 una solución de S tal que x 2 + x 3 + 2x 4 = 2 x 1 = 0 es (3, 3, 3, 1) (0, 2, 2, 0) (0, 2, 4, 0) (0, 2, 2, 2) 5 Una empresa que fabrica zapatillas tiene un costo fijo de $4200 El costo de producir cada par es de $50 y cada par se vende a $65 El punto de equilibrio es 64 84 280 36 6 Sea S el sistema S : x + 2y + 3z = 4 y 2z = 0 2x + 5y + k 2 z = 8 k R para los cuales S es compatible indeterminado es R { 2, 2} { 2, 2} {2} El conjunto de todos los 1

7 Si A = 1 2 0 2 1 4 y B = 3 2 0 es 16 4 2 8 1 0 1 0 1 2 0 3 4 y C = BA, entonces c 23 ( ) ( 2 5 2 1 8 Sean A = y B = 1 a 0 3 para los cuales AB es inversible es R { 5 2 } {5 2 } R ) El conjunto de todos los a R 9 Si v 1 = (1, 2, 3); v 2 = (2, 1, 5); v 3 = (1, 3, a) y S = v 1 ; v 2 ; v 3, la dimensión de S es 2 para a = 0 2 1 3 { { } 10 Si S = x R 4 x1 + 2x : 2 x 4 = 0 una base de S es x 3 + x 4 = 0 {(1, 0, 1, 1); (0, 0, 1, 1)} {(1, 2, 0, 1); (0, 0, 1, 1)} {(1, 0, 1, 1); (2, 1, 0, 0)} {(1, 0, 1, 1); (2, 1, 0, 0); (1, 1, 1, 1)} 11 El rango de la matriz de coeficientes del sistema es 1 2 3 4 12 Sean la región R : x + y 12 0 x 9 0 y 6 x 2y + 2z = 1 3x + y + z = 2 = 2 x + 5y 3z = 6 y los puntos O = (0, 0), A = (0, 6); B = (0, 12), C = (6, 6); D = (9, 3); E = (12, 0); F = (9, 0) Los puntos esquina de R son OBE OBDF OACE OACDF 13 El determinante de A = 0 6 1 6 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 es 14 Una economía de dos rubros I y II tiene matriz de tecnología C La demanda externa que se puedesatisfacer con una producción de $ α para I y $ paraii es (I C) 1 ( α ) ( α ) ( α (I C) C ) ( α (I C) )

15 En el polígono convexo de vértices (0, 0); (3, 3), (3, 5) y (0, 5), la función f = αx y alcanza el valor mínimo igual -20 para α = 0 α = 17 3 α = 5 ningún α ( ) ( ) 0,1 0,4 0,8 0,6 16 Si C A = y C 0,7 0,2 B = son las matrices de tecnología de las economías A y B, entonces 0,2 0,3 A es productiva y B no B es productiva y A no ni A ni B son productivas A y B son productivas { 0 y 6 17 En R = x 2 la función f = x + y tiene máximo y tiene mínimo tiene máximo pero no tiene mínimo tiene mínimo pero no tiene máximo no tiene máximo ni tiene mínimo 18 Ésta es una tabla simplex de un problema estándar de maximización: 1 0 1 1 0 0 4 0 1 1 0 1 0 6 2 0 0 0 1 1 2 6 0 4 0 8 0 f 48 La solución del problema de máximo se alcanza en P y la solución del problema del mínimo dual asociado se alcanza en Q para P = (0, 6, 0) y Q = (0, 8, 0) P = (1, 6, 0) y Q = (1, 6, 0) P = (1, 6, 0) y Q = (0, 5, 3) P = (1, 6, 3) y Q = (0, 5, 3) 19 Ésta es una tabla simplex de un problema estándar de maximización: 1 6 5 1 0 0 10 0 1 3 0 1 0 2 2 4 4 0 0 1 6 4 8 10 0 0 0 f Si los posibles pivotes de cada columna son, respectivamente, a,b y c, entonces a = 2, b = 4; c = 4 a = 2, b = 4; c = 5 a = 2, b = 6; c = 5 a = 1, b = 1; c = 5 20 El mínimo de f = x y 2z sujeta a x + y 1 y + z 2 x 0, y 0, z 0 es m y se alcanza en el punto P para m = 7 y P = (0, 1, 3) m = 7 y P = (3, 2) m = 1 y P = (1, 0, 0) m = 7 y P = (0, 1, 3)

2 Sugerencias 1 Recordar que el producto de dos matrices M y N est definido cuando la cantidad de columnas de la primera es igual a la cantidad de filas de la segunda Por ejemplo, si quisiéramos calcular ABC, como A R 3x2, B R 2x1, entonces AB R 3x1 tiene una sola columna, luego, no se puede multiplicar con C porque C R 2x3 tiene dos filas Hay que seguir probando así hasta encontrar una en la que se pueda hacer el triple producto 2 Para cada valor de α tenemos un punto de la recta L Hay que buscar para qué valor, ese punto está en el plano ΠEscribir entonces un punto genérico de la recta: X = (α, α+1, α) y ver para qué valor del parámetro ese punto está en el plano 3 L debe ser paralela a L, entonces, una ecuación paramétrica de L debe tener vector dirección a un vector múltiplo de (2, 3), y su ecuación explícita debe tener pendiente 3 2 (Recordar, si (a, b) es el vector dirección de una recta, y a 0, entonces su pendiente es b a ) Dos opciones quedan entonces descartadas Para las dos que quedan, ver cuál verifica que el punto (3, 5) está en la recta 4 Que un punto sea solución de un sistema es ver que verifica todas las ecuaciones del mismo Además, ahora se pide que tenga primera coordenada nula, entonces, la primera opción queda descartada 5 Recordar que el punto de equilibrio es el punto de producción (en este caso, cuántas zapatillas) donde se cubren los costos 6 Recordar que para estudiar la compatibilidad de un sistema debe compararse el rango de la matriz de coeficientes con el rango de la matriz ampliada, y como para estudiar los rangos hay que triangular, primero triangulamos Además, como debe ser indeterminado, al triangular debe desaparecer alguna fila ya que deben quedar más incógnitas que ecuaciones 7 Recordar que X = ( a b c ) y Y = a b c entonces XY = aa + bb + cc, y que el lugar c 23 se obtiene multiplicando la fila 2 de A por la columna 3 de B

8 En general, la manera más sencilla de ver que una matriz es inversible es calcular el determinante: el determinante de una matriz es distinto de cero si y sólo si la matriz es inversible Luego, calculamos el determinante de AB Hay dos maneras: multiplicamos las matrices y calculamos el determinante del producto o usamos la propiedad: det(ab) = det(a)det(b) 9 Como son tres vectores los que generan S, para ver que tiene dimensón dos debe verse que hay un vector que es combinación lineal de los otros dos (que son li) Un método práctico para ver esto es formar la matriz cuyas filas son los vectores v 1, v 2, v 3 y triangular Si al finalizar la triangulación quedan exactamente dos filas no nulas, entonces la dimensión de S es dos 10 Una base de un subespacio es un conjunto de vectores que pertenecen al subespacio, que son linealmente independientes y que lo generan También sabemos que si conocemos la dimensión del subespacio, basta con ver la pertenencia al subespacio y la independencia lineal para que sean una base 11 Basta armar la matriz de coeficientes del sistema, triangular y contar la cantidad de filas no nulas que quedan después de terminar de triangular 12 Una posibilidad es graficar el polígono dado, los puntos esquina son los vértices del mismootra posibilidad es recordar que un punto esquina es un punto de factibilidad (o sea, verifica todas las desigualdades), y está en la intersección de dos lados (entonces, verifica por lo menos dos igualdades) 13 El determinante se calcula desarrollando por una fila o por una columna En general, conviene usar la que tenga más ceros En este caso da lo mismo cualquiera, ya que todas tienen sólo un coeficiente no nulo 14 Recordar que, si notamos: C la matriz de tecnología, X el vector producción y D el vector de la demanda externa, entonces vale que CX +D = X (la demanda ( interna ) más la demanda externa es lo que hay que producir) α Ahora, X = Reemplazar en la ecuación general y despejar D, ya que se pide calcular la demanda externa 15 Como la región dada es un polígono convexo, el máximo y el mínimo de f se alcanzan en los vértices Hay que evaluar f en los vértices y elegir α para que el valor mínimo sea -20

16 Una economía es productiva si la inversa de la matriz de Leontieff: (I C) 1 no tiene ningún coeficiente negativo,(c es la matriz de tecnología)recordar además que hay una condición suficiente: que la suma de los coeficientes de cada fila sea menor que uno, ó que la suma de los coeficientes de cada columna sea menor que uno 17 Estamos en el plano, para calcular máximo y tiene mínimo graficamos la región Si es acotada, evaluamos f en los vértices, si no, trazamos las curvas de nivel de f 18 Para leer las soluciones la tabla debe ser final, esto es, todos los indicadores deben ser negativos o nulos Como no es el caso de la tabla dada, hay que seguir pivoteando hasta tener todos los indicadores negativos o nulos, y recién ahi leer las soluciones 19 Para buscar un pivote primero nos fijamos dónde hay un indicador positivo Supongamos que c i es un indicador positivo En la columna de c i, nos fijamos cuáles son los coeficientes a ij positivos Para ver con cuál de éstos nos quedamos, calculamos el cociente aij b i (b i es el último número de la fila en que estamos) De todos estos cocientes, si ai 0 j b i es el menor, entonces el pivote es a i0j 20 Como el problema tiene más de dos variables no podemos aplicar el método gráfico, hay que hacer simplexes un problema de mínimo, con restricciones del tipo (del mismo tipo que las de un problema de máximo estándar) Luego, planteamos el problema auxiliar: máximizar f = x+y +2z con las restricciones dadas El punto donde se alcanza la solución de ambos problemas es el mismo, el valor m mínimo de f es igual al valor M, donde M es el valor máximo de f 3 Soluciones 1 Si A R 3x2, B R 2x1 y C R 2x3 un producto de las tres matrices que se puede calcular es CBA ABC ACB CAB 2 Si X L, entonces X = (α, α + 1, α), y, si (α, α + 1, α) Π debe ser α ( α + 1) + α = 2 Luego, α = 1 Entonces, reemplazando en X = (α, α + 1, α), tenemos que X = (1, 0, 1) ( 1 3, 2 3, 1 3 ) (1, 0, 1) (2, 1, 1, ) (2 1, 2)

3 La recta X = ( 1 3, 1 2 ) + (1, 2) es paralela a L ya que (1 3, 1 2 ) = 1 6 (2, 3), además, (3, 5) = 6( 1 3, 1 2 ) + (1, 2), con lo cual, también se verifica que (3, 5) L (Otra opción: descartar y = 3 2 x + 5 puesto que 5 3 2 3 + 5) X = ( 1 3, 1 2 ) + (1, 2) X = (3, 2) + (3, 5) y = 2 3 + 3 y = 3 2 + 5 { 0 + 4 + 0 = 4 4 El punto (0, 2, 4, 0) es solución, ya que 2 + 4 + 0 = 2 (3, 3, 3, 1) (0, 2, 2, 0) (0, 2, 4, 0) (0, 2, 2, 2) 5 El costo en función de las zapatillas es y = 4200 + 50, y si se venden x zapatillas, se obtienen $65 Luego, resolvemos 65x = 4200 + 50x 64 84 280 36 1 2 3 4 6 Triangulamos: A : 0 1 2 F 3 2F 1 0 2 5 k 2 8 1 2 3 4 F 3 F 2 1 2 3 4 0 1 2 0 0 1 2 0 Esta última matriz está triangulada Para que el rango de 1 2 3 0 1 k 2 6 0 0 0 k 2 4 0 0 1 2 sea menor 0 0 k 2 4 que 3 (número de incógnitas) debe ser k 2 4 = 0, luego, k = 2 o k = 2 En ambos casos, el rango de la matriz de coeficientes es igual al de la matriz ampliada, ya que el rango de 1 2 3 0 1 2 es 2, y el rango de 0 0 0 1 2 3 4 0 1 2 0 también es 2 (Reemplazamos k2 4 por 0, ya que 0 0 0 0 k = 2 o k = 2) R { 2, 2} { 2, 2} {2} 7 C = BA (recordar que el producto de matrices no es conmutativo), entonces: c 23 = ( 0 1 2 ) 0 4 = 0 + 4 + 0 = 4 0 16 4 2 8

8 det(a) = 2a 5 y det(b) = 3 Como (2a 5)3 0,entonces a 5 2 R { 5 2 } {5 2 } R 9 Triangulamos: 1 2 3 2 1 5 1 3 a 1 2 3 0 5 1 0 0 a 2 F 2 2F 1 ser a 2 = 0, o sea, α = 2 0 2 1 3 1 2 3 0 5 1 1 3 a F 3 F 1 1 2 3 0 5 1 0 5 a 3 F 3 F 2 Entonces, para que la dimensión de S sea dos, debe 10 Los primeros dos conjuntos los descatamos ya que (0, 0, 1, 1) / S pues no verifica la segunda ecuación La última opción la descartamos ya que no es un conjunto li (v 3 = v 1 + v 2 ) Luego, la opción correcta debe ser la tercera (Efectivamente, son dos vectores que están en el subespacio y son li; además, la dimensiíon de S es dos) {(1, 0, 1, 1); (0, 0, 1, 1)} {(1, 2, 0, 1); (0, 0, 1, 1)} {(1, 0, 1, 1); (2, 1, 0, 0)} {(1, 0, 1, 1); (2, 1, 0, 0); (1, 1, 1, 1)} 11 1 2 2 3 1 1 1 5 3 1 2 2 0 7 5 0 0 0 1 2 3 4 F 2 3F 1 1 2 2 0 7 5 1 5 3 F 3 F 1 1 2 2 0 7 5 0 7 5 Como hay dos filas no nulas, el rango es dos F 3 F 2 12 Lo haremos sin dibujar, chequeando uno a uno si es esquina o no Para eso, x + y 12 reemplazaremos las coordenadas de cada punto en el sistema 0 x 9 0 y 6 Para que sea esquina, debe verificar todas las (condición de factibilidad) y por lo menos dos = (esquina)por ejemplo, el (12, 0) no es esquina pues no verifica x 9, ya que su primera coordenada es 12 El (9, 3) es esquina ya que: 3+9 12, 0 9 9 y 0 3 6, y además, 3+9 = 12, 9 = 9Los puntos esquina de R son OBE OBDF OACE OACDF 13 Vamos a calcularlo desarrollando el determinante por la fila dos 0 0 1 desarrollamos por fila 2 Es A = (1) 2+1 3 0 1 0 = 3 0 1 2 0 0 2 0 =

3 2 = 6 (No es obligatorio desarrollar siempre por la misma fila) 0 6 1 6 ( ) α 14 Es CX +D = X, entonces D = X DC = (I C)X Ahora, X = ( ) ( ) ( ) ( ) α α α α (I C) 1 (I C) C (I C) 15 Calculamos f en cada uno de los vértices: f(0, 0) = 0; f(3, 3) = 3α 3, f(3, 5) = 3α 5 y f(0, 5) = 5 La única posibilidad de que f tome el valor -20 es que 3α 3 = 20 o 3α 5 = 20 Como 3α 3 3α 5, despejamos de esta última expresión: 3α 5 = 20, entonces α = 5 (verificar que efectivamente, si α = 5-20 es el valor mínimo de f) α = 0 α = 17 3 α = 5 ningún α ( ) 0,1 0,4 16 C A = es productiva ya que 0,1+0,4 = 0,5 < 1 y 0,7+0,2 = 0,7 0,2 0,9 < 1 Como 0,8 + 0,6 > 1 y 0,8 + 0,2 > 1, para ver si la economía B es productiva hay que recurrir ( a la definición ) Esto es, calcular (I( C) 1 y ver sus ) 0,8 0,6 0,2 0,6 coeficientes Si C B =, entonces I C 0,2 0,3 B = 0,2 0,7 Calculamos su inversa: 0,2 0,6 F 1:=10F 1 1 0 2 6 F 2:=F 2+F 1 10 0 }{{} 0,2 0,7 0 1 F 2:=10F 2 2 7 0 10 2 6 F 1:=F 1+6F 2 10 0 2 0 F 1:= 1 2 70 60 F1 0 1 10 10 0 1 10 10 1 0 35 30 0 1 10 10 ( ) 35 30 Entonces, (I C) 1 = que tiene todos sus coeficientes positivos, luego, la economía B también es productiva 10 10 A es productiva y B no B es productiva y A no ni A ni B son productivas A y B son productivas

6 f=4 f=0 f decrece f crece (2,6) Región no acotada 2 Figura 1: { 0 y 6 17 La región R = no es acotada (ver Figura 1), luego, hay que x 2 trazar las curvas de nivel de f = x + y La curva de nivel que pasa por el punto (2, 6) es 4 = x + y, y es donde f alcanza su máximo No alcanza mínimo Luego: tiene máximo y tiene mínimo tiene máximo pero no tiene mínimo tiene mínimo pero no tiene máximo no tiene máximo ni tiene mínimo 18 Pivoteamos: 1 0 1 1 0 0 4 0 1 1 0 1 0 6 2 0 0 0 1 1 2 6 0 4 0 8 0 f 48 1 0 1 1 0 0 4 0 1 1 0 1 0 6 1 1 1 0 0 0 2 2 1 6 0 4 0 8 0 f 48 F 3:= 1 2 F3 1 0 0 1 1 2 1 2 3 0 1 1 0 1 0 6 1 1 1 0 0 0 2 2 1 0 0 4 0 5 3 f 54 Entonces f(1, 6, 0) = 54 y f (0, 5, 3) = 54 de donde: La solución del problema de máximo se alcanza en P y la solución del problema del mínimo dual asociado se alcanza en Q para P = (0, 6, 0) y Q = (0, 8, 0) P = (1, 6, 0) y Q = (1, 6, 0) P = (1, 6, 0) y Q = (0, 5, 3) P = (1, 6, 3) y Q = (0, 5, 3) 19 a) El primer indicador (4) es positivo Comparamos: 10 1 y 6 2 Como 6 2 es el menor, el posible pivote de esta columna es a = 2 b) El segundo indicador (8) es positivo Comparamos: 10 6, 2 1 y 6 4 Como es el menor, el posible pivote de esta columna es b = 4 6 4 c) En la tercera columna, como hay un sólo coeficiente positivo arriba del indicador, no hay cocientes para comparar, y el posible indicador es c = 5 Si los posibles pivotes de cada columna son, respectivamente, a,b y c, entonces a = 2, b = 4; c = 4 a = 2, b = 4; c = 5 a = 2, b = 6; c = 5 a = 1, b = 1; c = 5

20 Primero resolvemos el problema auxiliar: maximizar de f = x+y+2z x + y 1 sujeta a R : y + z 2 x 0, y 0, z 0 1 1 0 1 0 1 Planteamos la tabla inicial y pivoteamos: 0 1 1 0 1 2 1 1 2 0 0 f 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 2 1 0 1 1 1 3 1 3 0 0 2 f 4 4 0 0 3 2 f 7 El mínimo de f = x y 2z sujeta a R es m y se alcanza en el punto P para m = 7 y P = (0, 1, 3) m = 7 y P = (3, 2) m = 1 y P = (1, 0, 0) m = 7 y P = (0, 1, 3) Fin