Unidad 1 ARITMÉTICA MODULAR 9
Capítulo 1 DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS Objetivo general Presentar y afianzar algunos conceptos de la Teoría de Conjuntos relacionados con el estudio de la matemática discreta. Objetivos específicos Reconocer relaciones entre conjuntos. Identificar una relación de equivalencia y clases de equivalencia. Identificar una relación de orden. Comentario inicial En este capítulo se presentan conceptos básicos y notaciones de la Teoría de Conjuntos relacionados con los temas a exponer en este módulo. 10
Lección No. 1: Conjuntos Aunque en matemática no existe una definición para conjunto, tenemos que un rebaño, un enjambre de abejas, un ejército, una familia y otros similares nos dan una idea intuitiva de lo que es un conjunto. Como es usual, pero no regla, los elementos de un conjunto se nombran por letras minúsculas y los conjuntos se nombran con letras mayúsculas. Así, tenemos que a A representa que a es un elemento de A, como también tenemos que b A representa que b no es un elemento de A. Se puede determinar un conjunto de dos formas: por extensión y por comprensión. Por extensión se determina un conjunto dando una lista de todos los elementos que conforman el conjunto. Y por comprensión se determina un conjunto dando una propiedad o condición que deben cumplir los elementos que conforman el conjunto. Usualmente dicha condición tiene la siguiente estructura: xu : x es P y se lee es el conjunto de todos los elementos del conjunto U que satisfacen la propiedad o condición P. El conjunto U usualmente es llamado conjunto referencial o universal. El conjunto representado por es el conjunto vacío o sin elementos. También se puede representar por. Salvo que se indique lo contrario, los conjuntos que se van a considerar en este módulo son finitos, es decir, conjuntos en los que podemos contar sus elementos o en otras palabras, asociarles un número natural que indica la cantidad de elementos que tienen dichos conjuntos. Ejemplo 1: Pensemos en el siguiente conjunto A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9. Como puede apreciarse en el ejemplo, el conjunto A está determinado por extensión, ya que se tiene la lista de 11
los elementos que lo conforman. Sin embargo uno puede escribir el mismo conjunto por comprensión de la siguiente forma: A x N: x es un dígito, donde N es el conjunto de los números naturales. También podemos decir por ejemplo 1 A, 11 A, 3 A 100 A y 9 A, entre otras cosas. Ejemplo 2: Pensemos en los planetas del sistema solar y el siguiente conjunto: son los planetas en los que hay evidencia de vida. Si llamamos B a ese conjunto de planetas, entonces por extensión B La Tierra y por comprensión B x S : x es un planeta con evidencia de vida, donde S es el conjunto de los planetas del sistema solar. También podemos decir por ejemplo, que La Tierra es elemento de B, que Mercurio no es elemento de B y que Plutón no es elemento de B, entre otras cosas. Ejemplo 3: El conjunto de todos los libros de una biblioteca pública es un conjunto finito, porque aunque pueden ser muchos libros, hay un número natural que nos indica cuántos hay. Los conjuntos A y B de los ejemplos 1.2.1 y 1.2.2 son conjuntos finitos. El conjunto vacío es finito y su número de elementos es cero. El conjunto de los números naturales y el conjunto de los enteros son ejemplos de conjuntos no finitos. EJERCICIOS Ejercicio 1: Escriba por extensión los siguientes conjuntos: a. El conjunto de todos los números enteros impares mayores que 0 y menores que 10. Sol: 1,3,5,7,9 b. El conjunto de las letras que son parte de la sigla de la Organización de las Naciones Unidas. 12
Sol: o, n, u Ejercicio 2: Escriba por comprensión los conjuntos del ejercicio 1: Sol: a. x : 0 < x < 10, donde Z es el conjunto de los números enteros. b. x C: x es letra en minúscula de la palabra ONU, donde C es el conjunto de las letras del alfabeto español. Ejercicio 3: Proponga tres ejemplos de conjuntos y para cada uno de ellos haga un desarrollo similar al presentado en los ejemplos 1, 2 3 de la lección 1. Lección No. 2: Partes de un conjunto Qué es un subconjunto? Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B, si todos los elementos de A son elementos de B. La notación de la relación...ser subconjunto de... es A B. Un conjunto A no es un subconjunto de B, si existe al menos un elemento de A que no es elemento de B. La notación de la relación...no es subconjunto de... es A B. Para todo conjunto A, se tiene que A y que A A y son llamados los subconjuntos impropios de A. Se dice que A y B son iguales, notado A B, si y solo si A B y B A. Se dice que A y B no son iguales, notado A B, si y solo si A B o B A. 13
Ejemplo 1: Pensemos en los conjuntos A a, 0, b, 1, c, 2,3 y B a, l, 0, u, b, 1, i, c, s, 2,3, entonces A B porque todos los elementos de A están en B, pero B A ya que por lo menos s B y s A. Ejemplo 2: Si N es el conjunto de los números naturales y Z es el conjunto de los números enteros, entonces N. Ejemplo 3: Si A 1,2,3, a, e, i, o, u y Ba, e, i, o,u,10,1,5,6,8 entonces A B, ya que por lo menos 2 A y 2 A. Ejemplo 4: Si A 1,2,3,4,5 y B 5,3,4, 1,2 entonces A B. Si C a, a, b, c, d, e y Da, b, b, c, d, e entonces C D. En ambos casos se puede confirmar la igualdad, verificando la veracidad de la doble contenencia. Ejemplo 5: Si A 1,2,3,4,5 y B5,3,4,1,2,6,6 entonces A B porque B A y si C 1, b, 3, d,5 y Da, b, c,3,5 entonces, también se cumple que C D porque C D EJERCICIOS Ejercicio 1: Proponga dos subconjuntos para el conjunto B del ejemplo 1 y dos subconjuntos para el conjunto A del ejemplo 2. Proponga dos conjuntos que no sean subconjuntos de A del ejemplo 1 y proponga dos conjuntos que no sean subconjuntos de B del ejemplo 2 correspondientes a la lección 2. Ejercicio 2: Proponga un conjunto de tal forma que pueda sacar tres subconjuntos y que pueda sacar tres no subconjuntos. Ejercicio 3: Proponga dos ejemplos de igualdad entre conjuntos y dos ejemplos en donde no haya igualdad entre conjuntos. 14
Qué son las partes de un conjunto? Dado un conjunto A, el conjunto formado por todos los subconjuntos de A se llama partes del conjunto A. Partes de A se denota usualmente por P (A). Cuando A tiene n elementos, el conjunto P(A) tiene 2 n elementos. Ejemplo 1: Si A 0,1, entonces P (A), 0, 1, A. Ejemplo 2: Si Ba, b, c, entonces B tiene 2 3 8 subconjuntos y P (B), a, b, c, a, b, a,c, b, c, B. Ejemplo 3: Tomando como referencia el conjunto A del ejemplo 1.2.1, tenemos lo siguiente: el conjunto A tiene 2 10 subconjuntos, P (A), 0,1,2 A, 0,1,9,11 0,1,2,4,5,7, P 0,1,2 P (A), 5,6 P 0,2,6, 1,1,2, 2,1, 4,5,6,1 3,7,8,9 y muchas otras más relaciones que se pueden sacar!!!. Ejercicios Ejercicio 1: Considere el conjunto C a, b, c, d. Cuántos subconjuntos de C hay? Por extensión, quién es P(C)? Sol: El conjunto C tiene 2 4 16 subconjuntos. Ejercicio 2: A partir de un conjunto que usted quiera definir, construya 5 ejemplos de ser elemento de partes del conjunto y 5 ejemplos de no ser elemento de partes del conjunto. 15
Lección No. 3: Operaciones entre conjuntos Si consideramos que A y B son subconjuntos de un conjunto U, entonces la siguiente tabla contiene un resumen de las operaciones básicas entre conjuntos: Operación Nombre Definició A Unió n x U : x A x B B A n Intersección x U : x A x B B A-B Diferencia x U : x A x B A c Complemento {x U y xa} Tabla 1.1.1. Resumen operaciones básicas entre conjuntos. Dos conjuntos A y B son disyuntos si A B. Las Leyes de Morgan para A y B son (A B) c A c B c y (A B) c A c B c. Ejemplo 1: Si U a, 1, b, 2, c, 3, d, 4, e, 5, A a, b, 2, d, 4,5 y B a, 1, b, 2, c entonces A Ba,1, b, 2, c, d, 4,5, A Ba,b, 2, A Bd, 4,5 y A c 1, c, 3, e. Ejemplo 2: Si U a, b, c, d, e, A a, b, d y B a, d, e entonces A Ba, b, d, e, A Ba, d, B Ae y B c b, c. Ejemplo 3: Si U 1,10,100,1000,10000, A 100 y B 1, 100, 1000, entonces A c 1,10,1000,10000, A B A y A c B c 1,1000. Ejercicios Ejercicio 1: A partir del ejemplo 1 encontrar B- A, B c, (A B) c, A c B c, (A B) c y A c B c. 16
Sol: B-A1, c, (A B) c 3, e y (A B) c 1, c, 3, d, 4, e,5 Ejercicio 2: Si U 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A 3,7,9, B 1,3,4,5 y C 1, 5,8 encontrar (A B) (BC) -A y C c Sol: A B BC -A1,5} y C c = {2,3,4,6,7,9}. Lección No.4: Relación de equivalencia Qué es una relación entre conjuntos? El producto cartesiano de A y B, notado A X B, es el conjunto a, b : a Ab B, donde a, b se denomina pareja ordenada. Una relación del conjunto A en el conjunto B es una regla R que asigna a elementos del conjunto A uno o varios elementos del conjunto B. Dicha regla se puede escribir como un conjunto de parejas ordenadas, por lo tanto, R es un subconjunto de A X B. En símbolos R A X B. Si a, b es pareja ordenada de la relación R, se escribe a R b y se lee a está relacionado con b mediante R. Ejemplo 1: Si A a, b, c y B 1,2 entonces: pero también se tiene que: A X B (a, 1), ( a, 2), (b, 1), ( b, 2), ( c, 1), ( c, 2) B X A (1, a ), ( 2, a), ( 1, b), ( 2,b), ( 1, c), ( 2, c) Ejemplo 2: Si consideramos el producto cartesiano ejemplo 1.5.1, tenemos que el conjunto R (a,1), ( b,2), ( c,1) es una A X B del 17