Solera y ángulo Plan de clase (1/3) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 1 Secundaria Eje temático: SNyPA Contenido: 7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Intenciones didácticas: Que los alumnos pongan en juego diferentes recursos para convertir fracciones decimales finitas a notación decimal y viceversa (como la división de numerador entre denominador o la obtención de fracciones equivalentes). Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema, pueden auxiliarse de una calculadora. Jorge se dedica a reparar y construir diferentes estructuras metálicas. Para realizar algunos trabajos, envió a su ayudante Juan a comprar los siguientes materiales: 1. Barras de solera de las siguientes medidas: 1 8 1 in, 1 4 1 in y 2 1 in. Al llegar a la ferretería, le muestran un manual donde aparecen las medidas que están disponibles. a) 0.933 in c) 0.5 in e) 1.125 in g) 1.250 in b) 0.4375 in d) 1.375 in f) 1.933 in h) 1.012 in Qué medidas del manual debe pedir Jorge? Por qué? 2. Ángulos de lados iguales con las siguientes medidas: 0.75 x 0.125 in, 0.1875 x 0.375 in, en el catálogo en la ferretería aparecen las siguientes medidas disponibles: a) b) 3 5 3 3 in c) x in 4 16 16 8 3 2 3 1 in d) in 16 8 4 8 Qué medidas del catálogo debe pedir Jorge? Por qué?
Consideraciones previas: Si fuera necesario, se recomienda comentar con los alumnos las características y usos de los materiales mencionados en el problema (soleras y ángulos). Una manera de llegar a la primera respuesta del problema es transformar las fracciones a su escritura decimal, para ello, es muy probable que los alumnos en cada caso dividan el numerador entre el denominador y después busquen el resultado en la tabla. Si bien este procedimiento es correcto y los alumnos lo estudiaron en primaria, se sugiere observar si utilizan otros y si es así, pedir que los compartan con los demás alumnos. Entre los procedimientos que pueden surgir están: a) Utilizar equivalencias conocidas entre fracciones y números decimales, 1 es la mitad, por lo tanto es 0.5 2 1 es la mitad del anterior, es decir, la mitad de 0.5 que es 0.25 4 1 es la mitad del anterior, es decir, 0.125 8 b) Buscar un número que multiplicado por el denominador dé una potencia de 10 (10, 100, 1000, etc.). Si ese número se multiplica también por el numerador, se obtiene una fracción equivalente, 1 5 5 0. 5 2 5 10 1 25 25 0. 25 4 25 100 1 125 125 0. 125 8 125 1000 Si ninguno de estos procedimientos surge en el grupo, se puede preguntar a los alumnos si conocen otras formas de convertir números decimales a notación fraccionaria y presentar el primero como una opción más. Además del procedimiento, vale la pena analizar las escrituras decimales obtenidas y determinar por qué se trata de números decimales finitos. En este plan únicamente se trabajan este tipo de números decimales. Una pregunta interesante que se puede plantear a los alumnos es, sin realizar la división cómo pueden saber que se trata de un decimal finito o de uno infinito? La idea es que puedan anticipar si la fracción dada puede transformarse en una equivalente cuyo denominador sea una potencia de 10 y por consecuencia se trate de un decimal finito.
Es probable que los alumnos aseguren que si se tiene una fracción decimal, es decir, cuyo denominador tiene una potencia de 10, de manera inmediata se sabe que puede convertirse en un número decimal finito y el procedimiento es relativamente sencillo, sin embargo, hay fracciones que no tienen como denominador una potencia de 10 y también pueden transformarse en números decimales finitos, como las empleadas en estos problemas ( 8 1, 4 1, 1 3 3 3,, y ). La razón es que sus denominadores pueden factorizarse utilizando los 2 4 16 8 números 2 y 5. 1 Por ejemplo, el 8 de puede factorizarse como 8 2 2 2, por lo tanto puede representarse con un decimal finito y para lograrlo primero se puede transformar en una fracción equivalente con denominador que sea potencia de 10. 1 1 5 5 5 125 8 8 5 1000 Una forma incipiente de propiciar que los alumnos, a partir de esa idea, averigüen por qué estas fracciones son decimales consiste en invitarlos a convertirlas, a partir de la equivalencia, en fracciones que tengan un denominador que sea potencia de diez y que expliquen cómo lo lograron. Algunas dudas, errores o escrituras pueden ser propicios para comentar con los alumnos cuestiones básicas, como las siguientes: Cuando se expresa en notación decimal una fracción cuyo denominador es una potencia de 10, el número obtenido es igual al numerador de la fracción y la cantidad de cifras decimales que tenga debe ser igual al número de ceros que haya en el denominador. Una manera de comprobar las equivalencias es realizar los procesos inversos, es decir, ahora habrá que convertir el número decimal obtenido a una fracción común y verificar que se trata de la fracción original. Si se multiplica numerador y denominador por un mismo número, se obtiene una fracción equivalente. Si se tiene una fracción decimal, cómo quitar ceros para conseguir un número más fácil de 12500 125 leer y utilizar: =. 100000 1000 Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre
Número descompuesto Plan de clase (2/3) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 1 Secundaria Eje temático: SNyPA Contenido: 7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen la descomposición en factores primos de los denominadores de las fracciones para determinar si éstas son o no decimales (o equivalentes a una fracción decimal). Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente ejercicio, pueden auxiliarse de una calculadora. a) Expresen con notación decimal las siguientes fracciones, dividiendo el numerador entre el denominador. 2 3 1 3 2 5 2 3 5 1 4 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 5 10 3 4 9 11 25 125 12 160 30 b) Clasifiquen las fracciones en dos grupos: el grupo A con las fracciones en las que, al dividir numerador entre denominador, se llega a obtener como residuo cero (tiene un número finito de cifras); y el grupo B con las fracciones que al hacer la división, a partir de cierto momento, se empiezan a repetir algunas cifras del cociente (tiene un número infinito de cifras) y, por tanto, nunca se puede obtener como residuo cero. c) Expresen las fracciones del grupo A como fracciones de denominador 10, 100, 1000, u otra potencia de 10. d) Expliquen por qué no es posible expresar de manera exacta las fracciones del grupo B como las anteriores. e) Expresen los denominadores de las fracciones de los dos grupos, como productos de los números 2, 3 o 5. Por ejemplo, 640 2 2 2 2 2 2 2 5 f) Comparen las descomposiciones de los denominadores de los dos grupos, qué diferencia observan? g) A partir de sus conclusiones, completen la siguiente tabla:
Las fracciones que se pueden convertir en números decimales finitos son Característica común Las fracciones que no se pueden convertir en números decimales son Característica común Consideraciones previas: Con esta actividad los alumnos ponen en juego dos conocimientos: la distinción entre fracciones decimales y no decimales y la descomposición de un número en factores primos. Se trata de que, guiados por una serie de pequeñas tareas, distingan y establezcan qué cualidades de las fracciones permiten anticipar si se pueden convertir en números decimales finitos. Trabajo que de alguna forma se ha iniciado en el plan anterior. Es importante propiciar que los alumnos analicen el procedimiento que se explica para factorizar los denominadores (iniciar con 2 hasta agotar todas las posibilidades, después continuar con 3 de la misma forma hasta terminar con 5). Durante la puesta en común se les puede mencionar el término factorización para referirse a este proceso. Se espera que los alumnos logren desarrollar y concluir algunos de estos aspectos: 1 De la fracción se obtiene el número 0.00625. Su denominador se descompone 160 en 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5. De la fracción 9 2 se obtiene el número 0.2222 Su denominador se descompone en 3 x 3. 2 1 3 Las fracciones,, (entre otras) se pueden convertir en números decimales 25 160 4 finitos y sus características comunes son: a) Son equivalentes a fracciones que tienen por denominador una potencia de diez; b) Si se descomponen sus denominadores, los factores son siempre 2, 5 o una combinación de ellos.
5 2 1 Las fracciones,, (entre otras) no se pueden convertir en números decimales 12 9 3 finitos y sus características comunes son: a) No son equivalentes a fracciones que tienen por denominador una potencia de diez; b) Si se descomponen sus denominadores, los factores son 2, 3, 5 o una combinación de ellos. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre
Perímetros Plan de clase (3/3) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 1 Secundaria Eje temático: SNyPA Contenido: 7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que implican realizar transformaciones entre fracciones y números decimales periódicos (puros o mixtos) y se den cuenta de la necesidad práctica de trabajar con datos aproximados, cuando éstos tienen terminación decimal infinita. Consigna: Organizados en equipos calculen el perímetro de las siguientes figuras, expresen los resultados con números decimales y también con fracciones. Pueden auxiliarse de una calculadora. a) b) 2.80 m 3 6 1 m 3 15 8 m 1 m 3 1.30 m 4.72 m Consideraciones previas: La exigencia adicional de este plan con respecto al anterior es la necesidad de transformar fracciones a número decimal periódico puro (por ejemplo, 0.33333 ) o periódico mixto (por ejemplo, 0.166666 ). Los alumnos podrían proceder de dos maneras: expresar los números decimales con fracciones y sumarlas y expresar con notación decimal; o bien, primero transformar las fracciones con notación decimal y sumar los decimales. Si deciden el segundo camino, se enfrentarán con la necesidad de tomar algunos acuerdos como: con cuántas cifras después del punto es conveniente operar? Ya sea que acuerden dos o tres cifras, será importante que tengan claridad al término del trabajo que solamente trabajaron con una aproximación de la fracción, esto es, que como 3 1 equivale a un número decimal infinito, no se está considerando una parte de dicha cantidad y se trunca de acuerdo con la cantidad de cifras que quieran considerar para operar con ellas, lo cual representó ciertas ventajas al operar. Por lo tanto, el resultado que se obtenga de este
procedimiento será una aproximación al resultado exacto, a diferencia del que se obtiene con el primer camino donde no se dejan cifras sin considerar. Obsérvese el procedimiento en el primer problema: Forma 1 Forma 2 2.80 x 2 = 5.60 6 2 168 20 188 94 4 5 + = + = = = 6 10 3 30 30 30 15 15 1 = 0. 3 3 3 0.33 x 2 = 0.66 0.66 + 5.60 = 6.26 Dado que se pidió que realizaran las operaciones convirtiendo a decimales todas las cantidades y viceversa, es conveniente invitar a los alumnos a que traten de comprobar y explicar por qué ambos resultados no representan lo mismo. Si solamente se presenta uno, se puede proponer el faltante como otro más, justamente para motivar la discusión. Como se mencionó anteriormente se espera que ellos concluyan en que la diferencia se debe a que sólo consideraron una aproximación de la fracción. A raíz del trabajo que se realice con la actividad de este plan de clase, puede establecerse con los alumnos lo que es el periodo de un número decimal y cuándo se dice que éste es puro o mixto. Si se considera pertinente, un aspecto que también se puede abordar con los alumnos es buscar relaciones entre los denominadores de las fracciones que les permitan anticipar si al transformar una fracción en número decimal su periodo será puro o mixto: a) Si en una fracción, escrita en su mínima expresión, el denominador puede factorizarse con 2 o 5 más otros números diferentes, su expresión decimal es un número periódico mixto, por ejemplo: Porque: 6 = 2 x 3 porque: 15 = 5 x 3 porque: 30 = 5 x 2 x 3 b) Si en una fracción, escrita en su mínima expresión, el denominador no puede factorizarse con 2 ni 5, su expresión decimal es un número periódico puro, por ejemplo: Porque: 3 = 3 x 1 porque: 9 = 3 x 3 porque: 7 = 7 x 1 Observaciones posteriores:
1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 14/15