Trabajo Práctico Nº 1 Fundamentos de Lógica Simbólica y Teoría de Conjuntos. TRABAJO PRACTICO Nº 1 FUNDAMENTOS DE LOGICA SIMBOLICA Y TEORIA DE CONJUNTOS FUNDAMENTOS DE LOGICA SIMBOLICA 1) Para describir los diversos restaurantes de la ciudad, denotemos con p la comida es buena ; con q el servicio es bueno y con r es de tres estrellas. Escribir simbólicamente las siguientes proposiciones : a) La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas b) La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas. c) La comida es buena y el servicio no. d) No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres estrellas e) Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de tres estrellas f) No es cierto que ser de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen servicio. 2) Denotemos con p el clima es agradable y con q vamos de día de campo. Traducir las siguientes proposiciones al lenguaje coloquial y, si es posible, simplificar : a) p q b) p q c) q p 3) Construir las tablas de verdad de los siguientes esquemas proposicionales : a) (p q) p b) (p q) p c) p (p q) d) (q p) (p q) e) (p q) ( r) f) (r r) 4) Los valores de verdad de las proposiciones p ; q ; r y s son respectivamente V ; F ; F y V. Obtener los valores de verdad de : i) [(p q) r] s ii) r (s p) iii) (p r) (r s) 5) Determinar en cada caso si la información que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarlo. i) (p q) r ; r es V ii) (p q) ( p q) ; q es V 6) Determinar, si es posible, el valor de verdad de las siguientes proposiciones : 1
Trabajo Práctico Nº 1 - Fundamentos de Lógica Simbólica y Teoría de Conjuntos. a) (p q) q si p q es Falso b) p (p q) si p q es Verdad c) [ (p q) q] q si p es Verdad y q es Verdad 7) Simplificar las siguientes proposiciones : a) ( p q) b) (p q) ( p q) 8) Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas : i) p q r iii) p [ p q ] ii) [ (p q) (q r) ] (p r) 9) Negar los siguientes esquemas proposicionales y obtener expresiones equivalentes i) (p q) r iii) q r ii) p q iv) p (q r) TEORIA DE CONJUNTOS 10) Escribir simbólicamente : a) R es un subconjunto de T d) M no es un subconjunto de S b) x es un elemento de Y e) z no pertenece a A c) El conjunto vacío f) R pertenece a A 12) Escribir por extensión los conjuntos : 2 i) A = { x : x x 2 = 0 } 2 iii) C = {x : x = 9 x 3 = 5 } ii) B = {x es dígito del número 2324} iv) D = {x : x es vocal} 13) Escribir por comprensión los siguientes conjuntos : A = { 1, 2, 4, 8, 16,...} B = { 1, 3, 5, 7, 9,... } D = {1, 4, 9, 16, 25, 36} 14) Escribir por extensión los siguientes conjuntos definidos por comprensión : 2
Trabajo Práctico Nº 1 Fundamentos de Lógica Simbólica y Teoría de Conjuntos. A = { x / x N 3 x 10 } B={ x / x N 5 / x} 15) Sean A = { 1, 2,....., 8, 9 } ; B = { 2, 4, 6, 8 } ; C = {1, 3, 5, 7, 9 } D = { 3, 4, 5 } E = { 3, 5 } Cuáles de estos conjuntos son iguales a X?, si se da la siguiente información: i) X y B son disyuntos iii) X A pero A C ii) X D pero X B iv) X C pero X A 16) Indicar en cada caso si la proposición es verdadera o falsa : i) {1, 4, 3} = {3, 4, 1} iii) 1 {1,2} v) {4} {{4}} ii) {3, 1, 2} {1, 2, 3} iv) {4} {{4}} vi) {{4}} 17) Determine si los conjuntos dados son vacíos: 2 i) X = {x : x = 9 2x = 4 } ii) Y = { x : x x } iii) Z = { x : x + 8 = 8 } 18) Cuales de los conjuntos siguientes son finitos? i) Los meses del año iv) El conjunto Q de los números racionales ii) {1, 2, 3,...., 99, 100} v) El conjunto R de los números reales iii) El número de personas que viven en la tierra. 19) En los siguientes diagramas de Venn, sombree : i) W - V ii) Vc W iii) V Wc iv) Vc Wc 20) Dados tres conjuntos A, B y C cualesquiera y un conjunto D disjunto con los anteriores, dibujar su diagrama de Venn y rayar las siguientes zonas : 3
Trabajo Práctico Nº 1 - Fundamentos de Lógica Simbólica y Teoría de Conjuntos. a) A B b) A B c) (A - C) B d) (A - C) B e) (A B C) D 21) Sean U= {1, 2,...., 8, 9} ; A ={1, 2, 3, 4} ; B={2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar: i) A c ii) A C iii) (A C) c iv) A B v) (B - C) 22) Señalar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones : a) A B A ( A B ) c) C - A = C A b) B A ( A B ) A d) A = B A B = A 23) De 400 alumnos que estudian en una escuela de idiomas, 120 estudian únicamente francés; 200 estudian frabcés e inglés y 50 estudian otros idiomas diferentes. Cuántos estudian solo inglés? 24) De 100 estudiantes, 32 estudian matemáticas ; 20 estudian física ; 45 estudian biología ; 15 estudian matemáticas y biología ; 7 estudian matemáticas y física ; 10 estudian física y biología y 30 no estudian ninguna de estas tres materias. a) Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres materias. b) Encuentre el número de estudiantes que estudian exactamente una de las tres materias. 25) Se sabe que en la Universidad el 60% de los profesores juega tenis, el 50% juega fútbol ; el 70% corre ; el 20% juega tenis y fútbol ; el 30% juega tenis y corre y el 40% juega fútbol y corre. Si alguien afirma que el 20 % de los profesores corre y juega fútbol y tenis, lo creería? porqué? 26) Setenta y cinco niños fueron a un parque de diversiones donde subieron a la rueda de la fortuna, la montaña rusa y al trencito. Se sabe que 20 de ellos subieron a los tres juegos y que 55 subieron al menos a dos de los tres juegos. Cada juego cuesta $ 0,50 y el costo total fue de $ 70. Determine el número de niños que no subió a ninguno de los juegos. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 4
Trabajo Práctico Nº 1 Fundamentos de Lógica Simbólica y Teoría de Conjuntos. FUNDAMENTOS DE LOGICA SIMBOLICA 1) Denotemos con p el material es interesante ; con q los ejercicios son difíciles y con r el curso es agradable. Escribir las siguientes afirmaciones en forma simbólica : a) el material es interesante y los ejercicios son difíciles b) el material no es interesante, los ejercicios no son difíciles y el curso no es agradable. c) Si el material no es interesante y los ejercicios no son difíciles entonces el curso no es agradable. d) Que el material sea interesante significa que los ejercicios son difíciles y viceversa e) O el material es interesante o los ejercicios no son difíciles pero no ambas cosas. 2) Escribir las siguientes afirmaciones en forma simbólica : a) El sol brilla y la humedad no es alta b) Si termino mi tarea antes de la cena y no llueve, entonces iré al partido de fútbol c) Si no me ves mañana significa que habré ido a la playa d) Si el costo de las utilidades crece o se niega la requisición de fondos los adicionales, entonces compraremos una nueva computadora si y solo si podemos mostrar que los recursos de cómputo son, en efecto, insuficientes. 3) a) Escribir una afirmación compuesta que sea verdadera cuando exactamente dos de tres afirmaciones p ; q y r sean verdaderas. b) Escribir una afirmación compuesta que sea verdadera cuando ninguna, o una, o dos de las tres afirmaciones p ; q y r sean verdaderas. 4) Determinar en cada caso si la información que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarlo. i) (p q) (p r) ; p es V y r es F ii) p (q r) ; (p r) es V 5) Simplificar los siguientes esquemas proposicionales : i) ( p q) ii) (p q) q 6) Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas i) p (p q) ii) p (p q) 7) Los valores de verdad de las proposiciones p ; q ; r y s son respectivamente : V ; F ; F y V. Obtener los valores de verdad de : 5
Trabajo Práctico Nº 1 - Fundamentos de Lógica Simbólica y Teoría de Conjuntos. a) [ (p q) r] s b) (r s) (p s) c) (s q) p 8) Demuestre por tablas de verdad las siguientes leyes : i) [ (p q) q ] q ii) (p q) p q iii) (p q) p q 9) Antonio, Miguel y Juan perteneces al club Alpino. Cada miembro del club esquía, escala o ambas cosas. A ningún escalador le gusta la lluvia y a todos los esquiadores les gusta la nieve. A Miguel le disgusta lo que a Antonio le gusta, y le gusta lo que a Antonio le disgusta. A Antonio le gusta la lluvia y la nieve. Hay algún miembro del club Alpino que sea escalador pero no esquiador? 10) Cierto país está habitado por personas que siempre dicen la verdad o que siempre mienten, y que responderán preguntas solo con si o no. Un turista llega a una bifurcación en el camino, una de cuyas ramas conduce a la Capital y la otra no. No hay un letrero que diga qué camino seguir, pero hay un nativo, el señor z, parado en la bifurcación. Qué única pregunta deberá hacerle el turista para determinar qué camino seguir?. TEORIA DE CONJUNTOS 11) Describir por extensión los conjuntos : A = {x / x N, x 8} D = {x / x N, x 8 x 2} B = {x / x2-3 x + 1 = 0} E = x / x Z, x 3} C = {x / x N, x es par} 12) Dados los conjuntos: A = {1, 3} B = {a, b, c} C = {b} D = {1, 3, b, f} Hallar: a) su diagrama de Venn d) (A B) D b) A B C D e) Está A B o C (A D)? c) A B C 13) Dados tres conjuntos A, B, C cualesquiera y un conjunto D disjunto con los anteriores, dibujar su diagrama de Venn y rayar las siguientes zonas : 6
Trabajo Práctico Nº 1 Fundamentos de Lógica Simbólica y Teoría de Conjuntos. a) A B d) (A - C) B b) A B e) (A B C) D c) (A - C) B 14) Señalar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones : a) A B A (A B) b) B A (A B) A c) A = B A B = A 15) El conjunto universal es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, b, f} y los conjuntos A = {1, 3, 4, 5} B = {2, 3, 5, 6} C = {4, 5, 6, 7} D = {b, f}. Hallar : a) Su diagrama de Venn d) [(A C) D] B b) A - (B C) e) (A B) (B C) c) (A B) - C f) Son disjuntos A y D? 16) Dados dos conjuntos M y N no disjuntos, representar en un diagrama de Venn las siguientes zonas : a) M c b) M N c) M N c d) M c N c e) M N c 17) En un club de esparcimiento de 500 socios se van a celebrar unos campeonatos de ajedrez, cartas y dominó. Hay 90 personas que no van a participar, y se sabe que hay un total de 180 apuntados en ajedrez, 200 a cartas y 220 a dominó. Hay 70 apuntados a ajedrez y cartas, 90 a cartas y dominó y 80 a ajedrez y dominó. Se desea saber el número de personas apuntadas a un solo campeonato, a solo dos cualesquiera de ellos y a los tres. 18) Sean V = { d } ; W = {c, d} ; X = {a, b, c} ; Y = {a, b} ; Z = {a, b, d} Determinar si las proposiciones son verdaderas o falsas : i) Y X ii) W Z iii) Z V iv) V X v) X = W vi) W Y 19) Sea U = {a, b, c, d, e} ; A = {a, b, d} ; B = {b, d, e}. Hallar : i) A B iii) B c v) A c B vii) A c B c ix) (A B) c ii) B A iv) A B c vi) A B c viii) B c / A c x) (A B) c 7
Trabajo Práctico Nº 1 - Fundamentos de Lógica Simbólica y Teoría de Conjuntos. 20) De 150 estudiantes de una clase, 26 obtuvieron A en el primer examen y 21 obtuvieron A en el segundo examen. Si 17 estudiantes no obtuvieron A en ninguno de los dos exámenes, Cuántos estudiantes obtuvieron A en ambos exámenes? 8