-Calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo α en los siguientes casos: a) α I cuadrante; tg α=/4 b) α IV cuadrante; cos α=4/5 c) α I cuadrante; sen α=/5 d) α II cuadrante; cos α=-/ e) α III cuadrante; tg α=/ f) α IV cuadrante; cotg α=-4 g) α III cuadrante: cosec α=-5/4 h) α I cuadrante; tg α= i) α II cuadrante; tg α=- j) α III cuadrante; cosec α=- k) α IV cuadrante; sen α=-4/5 l) α IV cuadrante; sec α=4 -Calcula las razones trigonométricas de α en los siguientes casos: a) α I cuadrante; sen (π-α)=/4 b) α II cuadrante; tg (π+α)=- c) α III cuadrante; sec (π-α)=- d) α II cuadrante; tg(π/-α)=-/4 e) α IV cuadrante; cos(π-α)=-/ f) α IV cuadrante; cosec(π-α)= -Expresar las siguientes razones trigonométricas en función del primer cuadrante: a) sen(-0º) b) cotg(-50º) c) sen 700º d) sec(-5º) e) cos (-0º) f) cosec(4440º) g) tg(-5º) h) cotg 4590º 4-Si tg α=/4, y α está en el primer cuadrante, halla las siguientes razones trigonométricas: a) tg(90º-α) b) sen(70º-α) c) cotg(90º+α) d) cos(70º+α) e) tg(80º-α) f) sec(-α) g) tg(80º+α) h) cosec(70º+α) 5-Averigua sin utilizar tablas el seno, coseno y la tangente de los siguientes ángulos: 0º, 0º, 855º, -5º, -860º, 480º 6-Dibuja en un papel cuadriculado los siguientes ángulos: a) α I cuadrante; sen α=/ b) α II cuadrante; cotg α=-/ c) α III cuadrante; sec α=- d) α IV cuadrante; cos α=4/5 e) α I cuadrante; sec α= f) α I cuadrante; tg α= 7-Comprueba la identidad tg α + cotg α = sec α cosec α 8-Comprueba la identidad sec α + cosec α = sec α cosec α 9-Simplifica las siguientes expresiones: a) sen α + sen α cos α b) cos α + cos α sen α + cos α sen α+ sen α 0-Comprueba si son verdaderas o falsas las siguientes identidades: a) (sen α + cos α) = + tg α cos α b) sen α - cos α = (senα - cosα) tgα + tgβ senα cosα tgα c) = tgα tgβ d) = cotgα + cotgβ cos α - sen α - tg α Página de 9
-Comprueba si son verdad las siguientes identidades: a) cotg α - cos α = cotg α cos α b) senα cos α tgα cotgα sec α cosec α = + tg α tgα - senα cos α c) = d) = cotgα cos α cos α + senα -Simplifica las siguientes expresiones: a) sen α b) sec α + cos α cos α cosec α c) d) tg α sec α - cos α - senα + cotg α sec α sec α e) f) g) (senα + cos α ) + (senα - cos α ) cosec α tgα + tg α -Comprueba las siguientes identidades trigonométricas: a) (senα cos α ) = tgα cos α b) sen α = + cotg α cotg α c) cos α = + cotg α cos α + tgα d) = cotgα + sec α cos α tgα + tgα e) tg α - sen α = tg α sen α f) sen α + cosα = sec α 4-En un triángulo rectángulo isósceles la hipotenusa es igual a 7 cm Cuánto miden los catetos? 5-Un triángulo rectángulo tiene un ángulo B=7º45'8" Calcula el ángulo C 6-En un triángulo rectángulo ABC se conocen la hipotenusa a=5 cm y el ángulo B=0º Halla los restantes elementos Calcula el área 7-En un triángulo rectángulo ABC se conocen el lado b=0'4 m y el ángulo B=55º Resuelve el triángulo 8-La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide a=5 m y el cateto b=0 m Resuelve el triángulo, con el área 9-Los catetos de un triángulo miden b=8 cm y c=4 cm Halla los restantes elementos del triángulo 0-Resuelve el triángulo rectángulo ABC, siendo Â=90º, conocidos: a) a= m, b=5 m b) B=º4', b= m c) a=5 m, C=º5'" π d) a=5m, B= rad 0 e) C=55º, b= cm f) a=5m, c= m g) B=4º'45", a= m h) C= 8 π rad, c= m i) B=º59', a=5 m j) a=4 m, b= m (dar ángulos en radianes) k) B= rad, b= m -Calcula el radio y la apotema de un octógono de lado 0 cm Página de 9
-Halla el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 4'6 m tiene como arco correspondiente uno de 70º -La base de un triángulo isósceles mide 0 m y el ángulo opuesto 50º Halla el área 4-Una moneda de 5 ptas mide '5 cm de diámetro Halla el ángulo que forman las tangentes a dicha moneda desde un punto situado a 6 cm del centro 5-El ángulo de elevación de la veleta de una torre es de 45º5', a una distancia de 7 m de la torre Si el observador se encuentra a '0 metros sobre el suelo, calcula la altura de la torre 6-Se desea calcular la altura de una torre de lanzamiento de cohetes; para ello se hacen dos observaciones desde los puntos A y B, obteniendo como ángulos de elevación 0º y 45º, respectivamente La distancia AB=0 metros Halla la altura de la torre (Las observaciones se realizan desde la izquierda de la torre) 7-Pedro y Ana ven desde las puertas de sus casas una torre de televisión, bajo ángulos de 45º y 60º la distancia entre sus casas es de 6 m y la antena está situada entre sus casas Halla la altura de la torre 8-Dos amigos han creído ver un OVNI, desde dos puntos situados a 800 m, con ángulos de elevación 0º y 75º, respectivamente, Sabrías hallar la altura a la que se encuentra el OVNI? (El OVNI se encuentra entre los dos puntos) 9-Dos personas situadas en dos puntos A y B separados entre sí por una distancia de 4 km ven un avión bajo ángulos de 46º y 5º, respectivamente Calcular la altura a la que se encuentra el avión (El avión está situado entre ambos observadores) 0-Un observador situado en la orilla de un río, ve la copa de un árbol situado en la orilla opuesta bajo un ángulo de 60º Si se aleja 0 m de la orilla lo ve bajo un ángulo de 0º Calcular la altura del árbol y el ancho del río -Un globo está unido al suelo por un hilo de 00 metros que forma con la horizontal del terreno un ángulo de 60º Suponiendo que el hilo esté tirante, halla la altura del globo -Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm y cada rama mide cm Halla el ángulo que forman las ramas del compás -Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 0º y si nos acercamos 0 metros, bajo un ángulo de 60º 4-Desde la orilla de un río, observamos la copa de un arbol situado en la otra orilla bajo un ángulo de 60º Si nos alejamos 5 m de la orilla, el ángulo de observación es de 45º Calcula la altura del árbol y la anchura del río Página de 9
5-La sombra que proyecta una torre cuando los rayos del sol tienen una inclinación de º5' es de '5 metros Calcula la altura de la torre, y después la sombra cuando la inclinación de los rayos es de 5º' 6-Desde una nave espacial se ve la Tierra bajo un ángulo de 0º9'48" Siendo el radio de la Tierra 666 km, halla la distancia de la nave a la superficie terrestre 7-Desde un cierto punto del suelo se ve un árbol bajo un ángulo de 4º Bajo qué ángulo se verá colocándose a distancia doble? Bajo qué ángulo a distancia triple? 8-Una escalera de bomberos de 0 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 0º Halla la anchura de la calle A qué altura se llega con dicha escalera sobre cada una de las fachadas? 9-Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden y 6 m 40-Un hombre que está situado al oeste de una emisora de radio observa que su ángulo de elevación es de 45º Camina 50 m hacia el sur y observa que el ángulo es de 0º Halla la altura de la antena 4- Una antena de 5 m de altura se ha colocado en la terraza de una casa Desde un punto de la calle medimos los ángulos de elevación de la base y de su extremo superior, que son 46º y 50º, respectivamente Qué altura tiene la casa? 4- Halla el lado c del triángulo ABC, sabiendo que b= 0 cm, B=0º y C=6º 4- Halla el ángulo B del triángulo ABC, sabiendo que a=9 cm, b=6 cm y A=6º 44- Halla el lado a del triángulo ABC, si b=0 cm, c= cm y A=6º 45- Halla el ángulo B del triángulo ABC, si a=6 cm, b= cm y c=7 cm 46- Ana, Luis y Pedro van a escalar a una montaña de la que desconocen la altura A la salida del pueblo han medido el ángulo de elevación que mide 0º Han avanzado 00 m hacia la base de la montaña y han vuelto a medir el ángulo de elevación siendo ahora 45º Calcula la altura de la montaña Página 4 de 9
47- Resuelve el triángulo ABC, con los datos que se indican: a) a=6 m, B=45º, C=05º b) a=8 cm, b= cm, C=58º 58 c) a=4 m, b= m, B=0º (0 sol) d) a=8 mm, c=4 mm, C=4º 56 (No tiene) e) a= km, b=8 km, B=60º 4 (s) f) a=5 8 m, b=6 m, A=º 5 ( sol) g) A=4 dm, b= dm y B=40º 5' h) a=5 m, b= m y c=7 m i) A=40º, B=0º y a=0 cm j) A=50º, B=70º y b=0 cm k) b=0 cm, c=7 cm y A=60º l) a=5 cm, b=8 cm y C=98º ll) a=46 cm, b=5 cm, c=6 cm m) a=6 cm, b=9 cm y c= cm n) a=75 cm, b= 4 cm y B=4º ( sol) ñ) a=8 cm, b= cm y B=50º ( sol) o) a=4 m, b= m y c=6 m p) a=6m, b=4 m y A=50º ( sol) q) a=7 m, b =57 m y C=75º47' r) c='78m, A=05º y B=8º47' Calcula el área de alguno de ellos 48- Juan y Rosa se encuentran a ambos lados de la orilla de un río Rosa se aleja hasta una caseta distante 00 metros del punto A, desde la que dirige visuales a los puntos A y B que forman un ángulo de 0º y desde A ve los puntos C y B bajo un ángulo de 0º Qué distancia hay entre A y B? HACE FALTA EL DIBUJO 49- Dos montañeros que han ascendido en fines de semana sucesivos a dos picos querrían saber qué distancia hay entre dichos picos Para ello han medido desde la base del pico A los ángulos α =0º y α =85º, después han caminado hasta la base del pico B y han medido los ángulos β =40º y β =9º La distancia que hay entre dichas bases es 600 m Podrías calcular la distancia entre los dos picos? HACE FALTA EL DIBUJO 50- Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas La distancia AB es de 6 km, la BC es 9 km y el ángulo que forman AB y BC es de 0º Cuánto distan A y C? 5- Sea AB una altura de pie accesible, situado en terreno horizontal Desde el punto E situado a '4 m de A, con un aparato colocado en C a un metro del suelo, se dirige una visual a B, que forma un ángulo de 4º' con la horizontal Cuánto mide la altura AB? 5- Sean A y B dos puntos inaccesibles, pero visibles ambos desde otros puntos accesibles C y D, separados por la longitud 7' m Suponiendo que los ángulos ACD=80º'; BCD=4º'; BDC=º y ADC=º4', determina la distancia AB 5- Se desea saber la altura de un árbol situado en la orilla opuesta de un río La visual del extremo superior del árbol desde un cierto punto forma un ángulo de elevación de 7º Aproximándose 5'9 m hacia la orilla en la dirección del árbol, el ángulo es de º Calcula la altura del árbol 54- Desde la torreta de un faro que está a 50 metros sobre el nivel del agua, se ve un barco bajando el teodolito 40º A qué distancia del faro está el barco? 55- La altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles mide cm y el ángulo desigual del triángulo es de 8º Hallar los otros dos ángulos, el perímetro y el área de dicho triángulo Página 5 de 9
56- Un avión vuela en línea horizontal hacia el Este Desde un punto situado al Sur del avión, se ve éste bajo un ángulo de 45º Cuando el avión ha volado 000 metros, desde ese mismo punto se le ve con un ángulo de elevación de 0º Cuál es la altura del vuelo? 57- Pedro quiere subir hasta el borde de una tapia, para ello ha cogido una escalera, pero no le sirve pues tiene la misma altura que la tapia Como es muy ingenioso ha cogido un cajón de 0 cm de alto y lo ha colocado a m de distancia del pie de la tapia Si al poner sobre el cajón la escalera ésta llega al borde de la tapia, qué altura tiene la tapia? 58- Las visuales a lo alto de una torre desde dos puntos A y B del plano horizontal, separados 00 m entre sí, forman con el segmento AB ángulos de 50º y 45º, respectivamente Calcula la distancia desde lo alto de la torre a los dos puntos 59- Las visuales a la cima de un montículo desde dos puntos A y B del plano horizontal, separados 00 m entre sí, forman con el segmento AB ángulos de 7º y 77º, respectivamente Si el ángulo de elevación de la visual desde B es de 59º, calcula la altura del montículo 60- Calcula las siguientes razones trigonométricas: a) sen 75º b) cos 75º c) cotg 5º d) sen 5º e) tg 05º f) cosec 0º g) sec 5º h) cos 65º i) cosec 00º j) cotg 0º 6- Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos, descomponiéndolos en sumas o diferencias de ángulos, cuyas razones trigonométricas conozcas a) 05º b) 50º c) 0º d) 5º e) 85º f) 40º g) 65º h) 0º 6- Si tg a=/4, halla tg(a+0º) y tg(45º-a) 6- Calcula cos (α-β) si sen α=4/5, sen β=/ y ambos ángulos están en el segundo cuadrante 64- Calcula sen (α-β) si sen α=-/5, cos β=/ y ambos son ángulos del cuarto cuadrante 65- Calcula el sen x en función del sen x 66- Utilizando las fórmulas del ángulo doble, calcula: a) sen 0º b) cos 40º c) cosec 60º d) sec 480º 67- Calcula las razones trigonométricas de º 0' 68- Halla las razones trigonométricas de 5º 69- Sabiendo que sen 5º 0'46, calcula el seno del ángulo de 50º 70- Sabiendo que sen 0º 0'7, calcula las razones trigonométricas del ángulo de 0º Página 6 de 9
7- Si cos α = 0', calcula el seno y el coseno del ángulo (π/-α), con α un ángulo del cuarto cuadrante 7- Sabiendo que tg a =, calcula el valor de sen 4a, con a un ángulo del primer cuadrante 7- Calcula tg (π/8) 74- Si cotg a = 4/, halla cos a, con a un ángulo del primer cuadrante 75- Sea el ángulo α situado en el segundo cuadrante y tal que tg α = -/4, halla las razones trigonométricas del ángulo α/ 76- Calcula las siguientes razones trigonométricas por reducción al primer cuadrante: a) tg 765º b) tg 0º c) cotg5º d) sec660º e) cos (-650º) 77- Calcula cos (x + y + z) 7 78- Si senα=, con α un ángulo del segundo cuadrante, calcula cos(80º-α) 7 79- Si tg(80º+α)= 5, con α un ángulo del cuarto cuadrante, calcula senα 80- Si cosec(60º-α)=-/4, con α un ángulo del segundo cuadrante, calcula sec(80º-α) 8- Si sec(-α)=-5, con α un ángulo del tercer cuadrante, calcula sen(80º+α) 8- Si tg(90º-α)=- con α un ángulo del segundo cuadrante, calcula cosec(60º-α) 8- Sabiendo que sen x = 0'6, halla el valor de tg x, si 0 < x < π/ 84- Si sen 0º 0'4, calcula sen 65º - cos 5º 85- Transforma en suma cos α cos α 86- Calcula sen 75º cos 5º 87- Transforma en producto las siguientes expresiones: a) sen 75º + sen 5º b) sen 75º - sen 5º c) cos 75º + cos 5º d) cos 75º - cos 5º e) tg 75º + tg 5º f) tg 75º - tg 5º g) sen 0º + sen 40º h) cos 46º + cos 44º h) cos 6º - cos 4º i) sen 5º - cos 8º j) sen 48º - sen º k) sen 6º + cos 64º 88- Transforma en suma las siguientes expresiones: a) sen º sen 8º b) sen 4º cos 6º c) cos 54º cos 6º d) sen a sen 5a e) cos 4a sen a f) cos 6a cos a 89- Transforma en suma la expresión: cos a cos a cos a Página 7 de 9
90- Calcula, transformando primero en productos, los valores de: sen75 + sen45 sen60 - sen0 y sen75 - sen45 sen60 + sen0 9- Consigue transformar en producto la expresión + cos x 9- Transforma en suma de funciones sen x sen x 9- Transforma en suma de funciones cos x cos 6x 94- Simplifica sen x + cos x 95- Simplifica cos x + cos y sen (x + y) sen (x - y) 96- Simplifica sen 4a + sen a cos 4a + cos a 97- Comprueba la identidad sen x - sen y = sen (x + y) sen (x - y) 98- Si a, b y c son los tres ángulos de un triángulo, demuestra la siguiente igualdad: tg a + tg b + tg c = tg a tg b tg c 99- Demuestra que si a + b + c = π/, entonces se verifica: tg a tg b + tg b tg c + tg c tg a = 00- Demuestra que cualesquiera que sean los ángulos a, b y c se verifica: sen a sen (b-c) + sen b sen (c-a) + sen c sen (a-b) = 0 0- Demuestra que para todo ángulo tg (π/4 + α) - tg (π/4 - α) = tg α sen α α 0- Demuestra la igualdad = cosα - sen tg α cosα cotg a + tg a 0- Simplifica la expresión - sec a cotg a - tg a 04- Demuestra la igualdad cos 4 x - sen 4 x - cos x + = 0, cualquiera que sea el valor de x sen 5a + sen a 05- Comprueba la identidad =+ cos a sen a - sen a Página 8 de 9
06- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen x = e) tgx = i) sec 4x = b) tgx = f) cos x = j) cosec 9x = c) cos x = g) senx = k) sen 07- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: d) sen x = h) cosx = ( x 0º ) = l) tg( x + º ) = π a) cosx = b) senx = c) cos x d) cos x cot gx + 4 = = e) sen x = senx f) cos x = senx g) sen x + senx = 0 h) cosx = + sen x i) tgx j) tgx sen x k) cos5x cosx 0 l) 4tgx cos x = = = + = ll) cosx + cos x = cosx m) tgx tgx = n) tg x = tgx ñ) tgx + cosx = Página 9 de 9