TEMA.- ECUACIONES E INECUACIONES 1.- INECUACIONES 1.1.- Repaso De Ecuaciones De Primer Y Segundo Grado Ecuaciones de primer grado x 3 4x 4x 3 x 6 4x 4x 1 x 4 x 5x 7 x 7 3x 14 35x 7 x 7 6 3x 14 3 15x 1 4x 14 18x 84 7 x 49 x 7 Ecuaciones de segundo grado x 0 3x 4x 0 x 3x 4 0 4 3x 4 0 x 3 9 9 3 4x 9 0 4x 9 x x 4 4 x 9 81 40 9 11 5x 9x 0 x 10 10 1 x 5 x 1 x x x 1 6 x 3 x 3 x 6 x 4 4x 3x 6 5x 4x 16 0 4 4 576 30 4 16 x x 5 10 10 x 4 1
Ejercicios: 1.- Resolver las siguientes ecuaciones: a ) x 1 x 1 3x 1 x 3 x 3 6 x 4 9x b) 4 x 4 x 3 x x 4 3x 1 5x 3 x 1 x 3 x c) d) 3 3 6 3.- Al sumar los cuadrados de dos números enteros consecutivos se obtiene 181. Cuáles son dichos números? 3.- Un padre tiene 4 veces la edad de su hija, y dentro de 5 años sólo tendrá el triple. Halla la edad actual de cada uno 4.- Al aumentar el lado de un cuadrado en cm., su área se cuadriplica. Calcula el lado de dicho cuadrado 5.- El producto de dos números naturales consecutivos es 156. Halla dichos números 1..- Ecuaciones Bicuadradas Son ecuaciones que se pueden transformar en una ecuación de segundo grado. Habitualmente, serán ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar. Por ejemplo: 4 x 10 x 9 0 Para resolverlas, hacemos el cambio t x. De esta manera se tiene que reescribir la ecuación como la variable t como incógnita: x t 4, y por tanto podemos t 10t 9 0 Si resolvemos esta ecuación de segundo grado: Y ahora deshacemos el cambio para calcular x: Si t 9 x 9 x 9 3 Si t 1 x 1 x 1 1 10 100 36 10 8 t 9 t t 1 De donde obtenemos en este caso cuatro soluciones para la ecuación que queríamos resolver. La ecuación de segundo grado que obtengamos podrá ser completa o incompleta, y tener ninguna, una o dos soluciones, lo que significa que la ecuación bicuadrada correspondiente podrá tener ninguna, dos o cuatro soluciones (salvo cuando se obtenga como solución el 0, en cuyo caso tendrá una o tres soluciones).
Vemos algunos ejemplos: 4 x x 3 0 Llamando t x se obtiene: Si t 3 x 3 x 3 Si t 1 x 1 4 1 4 t 3 t 1 t t 3 0 t Luego esta ecuación sólo tiene dos soluciones que son 3 y 3 4 4x 9x 0 t 0 Llamando t x se obtiene: 4t 9t 0 t 4t 9 0 9 t 4 Si t 0 x 0 x 0 9 9 9 3 4 4 4 Si t x x Ecuación en este caso con tres soluciones Ejercicio: Resolver las siguientes ecuaciones: 4 4 a) x 5x 4 0 b)3x 4 x c) x x 3 d ) 4 4 4 9x 46 x 5 0 e) x 4x 0 f)4x 17 x 4 0 3x 1 x 3 g) x 1 x 3 x 1 x 1 8 h) x 1 x 3 4 x 4 1.3.- Ecuaciones Factorizables Son ecuaciones del tipo P(x)=0, donde P es un polinomio que se puede descomponer en factores. Las raíces del polinomio serán las soluciones de la ecuación, de modo que para resolverlas simplemente hay que descomponer el polinomio e igualar a cero cada factor. Así, si tenemos el polinomio ya descompuesto: x 0 x x x 3x 3 0 x 3 0 x 3 3 x 3 0 x 3
x 1 0 x 1( solución triple) 3 x 1 x 4 0 x 4 0 x 4( solución doble) Ejemplo 1: Resolver la ecuación 3 3x x 19 x 15 0 Solución: Descomponemos (por Ruffini) el polinomio: x 3 0 x 3 x 3 x 13x 5 0 x 1 0 x 1 5 3x 5 0 x 3 Nota: Si al hacer Ruffini llegamos a un polinomio de segundo grado, debemos calcular las soluciones restantes resolviendo directamente dicha ecuación, pues Ruffini sólo sirve para obtener las soluciones enteras. Ejemplo : Resolver la ecuación 4 3 6 x 13x 8x 17 x 6 0 Solución: De nuevo descomponemos por Ruffini: 6 13-8 -17 6 1 6 19 11-6 6 19 11-6 0 - -1-14 6 6 7-3 0 Hasta ahora la ecuación quedaría factorizada como: Resolvemos la ecuación de segundo grado: x 1 x 6 x 7 x 3 0 4
1 x 7 49 7 7 11 3 1 1 3 x 6 x 7x 3 0 x Luego las soluciones de la ecuación son: 1 3 x 1, x, x, x 3 Ejercicio: Resolver las siguientes ecuaciones: 3 a) x 3 x 7 0 b) x x x 5 0 c) x x 6 x 0 d) 3 3 4 3 x 5x 4x 1 0 e) x x 4x 8 0 f) x x 4x x 4 0 4 3 5 4 3 4 3 g) x 5x 10x 1x 8 0 h) x x 4x 4x 0 i) x 6 x 18x 54x 0 1.4.- Ecuaciones Con Fracciones Algebraicas Quitaremos los denominadores (con el mínimo común múltiplo) y resolvemos la ecuación correspondiente: Ejemplo 1: Resolver la ecuación 6 x 1 6 x x Solución: El m.c.m. es x( x ), y multiplicando la ecuación por él obtenemos: 6 x x x 1 6 x x 6 x 1 x x 6 x 1x x 3 19 361 40 19 11 10 10 4 x 5 5x 19x 1 0 x Ejemplo : Resolver la ecuación x 4 x 1 x 4 Solución: 5
En este caso ni siquiera merece la pena calcular el m.c.m. Basta con multiplicar el cruz: xx 4 4x 1 x 4x 4x 4 x 4 x Ejercicio: Resolver las siguientes ecuaciones: 1 1 3 x x 10 5 x 3 a ) b) c) x x 4 x 1 x 1 3 x x 3 x 6 x 3 x 8 x x 11 x 6 d) e) f) x 3 x 9 x 3 x 3 x x 3 1.5.- Ecuaciones Con Radicales Son ecuaciones en las que la incógnita aparece dentro de una raíz cuadrada: x 3 1 x Los pasos a dar para resolver estas ecuaciones son: 1. Dejar la raíz sola en un miembro de la ecuación. Elevar ambos miembros de la ecuación al cuadrado (ojo a los productos notables) 3. Resolver la ecuación obtenida 4. Comprobar las soluciones en la ecuación original Vamos a dar todos estos pasos con la ecuación anterior: 1. x 3 x 1. x 3 x 1 x 3 x 1 x 4 16 16 3. x 4x 4 0 x 4. Comprobamos: 3 1 1 1 Por tanto la solución de esta ecuación es x = Veamos otro ejemplo: x 5x 10 8 6
5x 10 8 x 5x 10 8 x 5x 10 64 x 16 x x 1x 54 0 x 3 x 18 Y al comprobar las posibles soluciones vemos que la única solución válida es x = 3 Este método es iterativo, es decir, si aparece más de una raíz se deja una de ellas sola en un miembro, se eleva al cuadrado en ambos miembros y se vuelve a aplicar el método anterior: Vemos de nuevo un ejemplo: x 7 x x 7 x x 7 x x 7 4 x 4 x 4 x x 3 x 9(Válida) 4 x x 3 16 x x 9 6 x x 10x 9 0 x 1(Válida) Ejercicios: 1.- Resolver las siguientes ecuaciones: a) x 5x 4 1 x 3 b) x 7 3x 1 c) x 10 x 5 d) x 4 x 1 5 e ) 5x 6 3 x f) x 1 x 3 5 g) x 1 3 1 x h) x 5 x 3 1.- La raíz cuadrada de la edad que tendrá una persona dentro de años es la misma que la edad que tenía hace 10 años. Averigua su edad actual. 7
.- INECUACIONES.1.- Repaso de Intervalos Recordemos que los intervalos y semirrectas son conjuntos de números reales que cumplen una determinada propiedad de orden, y que se podían expresar de tres maneras distintas. 1 x 3 1,3,5 x 5-1 3 5 3 x 1 3,1 3,6 3 x 6, x 4, x 4, 1 x 1, x..- Inecuaciones de primer grado Una inecuación es una desigualdad que se cumple para un intervalo (o semirrecta) de valores de la incógnita. Así, la inecuación x 0 se cumple para todos los valores del intervalo, Por tanto, las soluciones de una inecuación no son números, sino intervalos. Será de primer grado si la expresión algebraica corresponde a un polinomio de primer grado. Para resolver una inecuación de primer grado se despeja la incógnita igual que si de una ecuación de primer grado se tratara. 8
Así: 4x 3 x 6 4x x 6 3 3x 9 x 3 Las soluciones las daremos en forma de intervalo, luego en este caso la solución de la inecuación es el intervalo,3 Así: Ejercicios: Ojo: si en el proceso de despeje hay que cambiar de signo la inecuación, cambiará el sentido de la desigualdad. 3 x x 4 x 1 3x 6 x 4x 4 x 10 x 10 x 5 Luego la solución es el intervalo 5, 1.- Resolver las siguientes inecuaciones: a)3x 7 5 b) x 3 c)7 8x 5 d)1 5x 8 x x 1 x 4 x 4 e) f)1 x g) 1 3 x 8 x x x 3 11 3 x 3 x h)1 x i) x j) 3 5 6 6 3.- En un concurso organizado en la clase, una de las pruebas consistía en tirar una moneda 0 veces. Si le sale cara al jugador se le asignan 10.000 puntos, y si le sale cruz, 6.000. Cuántas caras han podido salir si se sabe que ha ganado menos de 176.000 puntos?.3.- Inecuaciones de segundo grado Son inecuaciones del tipo ax bc x 0 (0,, ) Por ejemplo x 5x 4 0 Para resolver estas inecuaciones hay que dar los siguientes pasos: 1. Igualar a 0 la inecuación. Resolver la ecuación correspondiente 3. Dividir la recta de números reales en intervalos de acuerdo con las soluciones de la ecuación 4. Sustituir un número de cada intervalo y comprobar en cuál o cuáles se cumple la inecuación 9
Lo vemos en el ejemplo: x 5x 4 0 1. x 5x 4 0. x 4 5 5 16 5 3 x 5x 4 0 x x 1 3. A la vista de las soluciones la recta de los números reales queda dividida en tres intervalos: 4. Tomamos un punto de cada intervalo y observamos si al sustituir en el polinomio de segundo grado sale positivo o negativo: 0,1 0 50 4 4 0 1,4 5 4 0 5 4, 5 55 4 4 0 Es decir: Como el igual está incluido en la inecuación los extremos de los intervalos cuentan, luego la solución de la inecuación estará formada por los intervalos: 1 4, o por desigualdades: x 1 x 4 Veamos otro ejemplo: x 1 3x 3 Primero preparamos la inecuación: Igualamos a 0 y resolvemos: x x 1 3x 3 0 x x 0 1 1 8 1 3 x x 1 x x 0 x Dividimos la recta en intervalos: Sustituyendo un valor de cada intervalo:, 1 4 0 0 1, 0 0 0 3, 3 3 4 0 10
Es decir: Y por tanto la solución es el intervalo 1,, o 1 x A veces la ecuación de segundo grado puede tener una o ninguna solución, en cuyo caso dividiremos la recta de los números reales de acuerdo con esto. Ejemplo: x 4x 4 0 Si resolvemos la ecuación: 4 16 16 x 4x 4 0 x Y por tanto la solución es Si la inecuación hubiera sido x 4x 4 0, la solución sería Si la inecuación hubiera sido x 4x 4 0, la solución sería x Si la inecuación hubiera sido x 4x 4 0, no tendría solución Ejercicios: 1.- Resolver las siguientes inecuaciones: a) x 9x 5 0 b) x 4x 0 c)3 x x 1 x d) x x 5 x 3 e) x 5 10 5 x f) x 1 4 8x 11x 3 x 1 1 x g) h) x 3x 6 x 15 3 5.- Deseamos construir un cuadro metálico de forma cuadrada. El interior del cuadro es de acero y vale a 15 el metro cuadrado, mientras que el marco es de cobre y cuesta 3 el metro. Qué longitud tendrá como máximo el lado del cuadrado si no disponemos de más de 61? 11
EJERCICIOS 1.- Resuelve las ecuaciones: x x 1 x 1 5 3x 1 x a) 1 b) x 1 x 3 3 4 6 3 4 6 x x c) 1 x d)3 x 1 x 3 4 x 4 10 6 x -1 x x 3 e )(x - 3 ) - = x f) x 3 x x 3.- Resuelve las ecuaciones: 4 4 a) x 49 50x b) x 4x 7 c) x x x x 3 3x x 1 d) x 3 36 e ) x 1 9x f) x x 1 5 3.- Resuelve las ecuaciones: 4 3 3 3 a) x x 5x x 6 0 b) x x 4 c)6 x 7 x 14x 15 0 3 13x 11x 5x 6 4 5 3 4 d) x x x x e) x x 3x 4 x 3 f ) x 3 3 3 4.- Resuelve las ecuaciones: x - 3 1 1 3 1 a) - = 3x b) 3x c) x 5 x 1 3 x -1 x 1 x 1 x x 4 4 x 1 4 x 3 x 13 3 x d) 3 e) 0 f) x x x 1 3 x 1 6 x 5.- Resuelve las ecuaciones: a) x + x = 30 b) 7-3x - x = 7 c) 3 6 x + 1-5 = x d) 4x + 5-3x + 1 = 1 e) + 3x + 7 = 5 f) 3x + 10 = 1 + 3x + 3 x 6. Resuelve: x x + 5 3 - x a) - - > 0 b) x - 1 - x 3 - x - 1 3 6 3 4 x x + 4 1 - x x - 1 c) + - x + 1 < 0 d) 3x - + 1 3 7 4 e) x + 5 > 1 x + 6 3 f) x - 1 - - x x - 3-1 3 4 1
7. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) x -x-6>0 b) x +6x+4>0 c) x -6x+8>0 d) x +x-8 0 e) x -3x>0 f) x -1 0 8. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado reduciéndolas previamente a la forma general: a) x(x+1)+3x>5x+6 b) (x-1) -(x+3) +x -9x-8 c) x(x -)-(x+1)(x -1)>-4-x d) (x-5) 1 e) 8x 1 x 4 f) x 1 11x 10 x 1 15 3 3 9.- Halla dos números enteros consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados sea 17. 10.- Si de un número se resta 3, y también se le añade 3, el producto de estos resultados es 7. Halla el número 11.- En un examen tipo test cada respuesta correcta vale un punto y cada pregunta en blanco o respondida erróneamente resta 1/3 de punto. Hay un total de 0 preguntas y un estudiante ha obtenido 1 puntos. Cuántas respuestas fueron correctas? 1.- Sabiendo que las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo se diferencian en unidades y que la hipotenusa mide 10, calcular las longitudes de los catetos y el área de dicho triángulo 13.- De un número se sabe que si se le suma 36 y se obtiene su raíz cuadrada, el resultado es el mismo que si a su raíz cuadrada le sumas. Cuál el dicho número? 14.- Un profesor le propone el siguiente problema a un alumno: Yo tengo 58 años. Averigua la edad de mi hijo, sabiendo que si al cuadrado de la edad que tiene ahora le sumas el cuadrado de la edad que tendrá dentro de dos años, el resultado es 10 veces mi edad actual. Podrías ayudar al alumno? 15.- La suma de los cuadrados de tres números naturales es 41. Cuáles son dichos números si el segundo es 5 unidades mayor que el primero y el tercero es el triple del primero? 16.- Hace 3 años la edad de una persona coincidía con la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de tres años. Qué edad tiene ahora? 17.- Alejandro dice que sólo una de estas dos ecuaciones tiene solución: a) x 19 x 1 b) x 19 x 1 Averigua si tiene o no razón. 13
18.- Una fábrica A paga a sus viajantes 1 euro por artículo vendido más una cantidad fija de 500 euros. Otra fábrica B paga 1,5 euros por artículo y 300 euros fijos. Cuántos artículos debe vender el viajante de la fábrica B para ganar más dinero que el de la fábrica A? 19.- Cuáles son los números cuyo cuadrado excede al propio número en más de dos? 0.- Una empresa de alquiler de coches cobra 30 fijos más 60 céntimos por kilómetro recorrido. Otra competidora no tiene canon fijo, pero carga 90 céntimos por kilómetro. A partir de qué distancia nos resulta más económica la primera? 14
Soluciones: 1.-.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7 4 a)5 b)1 c)1,8 d) 3, e) 7, f)1,4 3 1 1 a) 1, 7 b) c) 1 d) 3 e), f) 5 3 a),3 b) c)1,, d)0, e), 3 f)1,3, 3 3 5 5 1 3 4 a)0, b)0, c), d), e) 5,3 f),9 8 3 4 3 1 a)5 b) 3 c)8, d)1,5 e)3, 6 f) 1 1 3 a) x 9 b) x c) x 3 d) x e) x f) x 4 5 4 4 7.- a) (-,-) (3,+ ) b) (-,+ ) c) (-,) (4,+ ) d) (-,-4] [,+ ) e) (-,0) (3,+ ) f) (-,-1] [1,+ ) 8.- a) (-,-) (3,+ ) b) [-1,0] c) (-,5) d) [,3] e) (-,1] [5,+ ) f) (-,0) ( 1 5,+ ) 9.- 8 y 9 10.- 9 11.- 14 1.- Catetos: 8 y 6; Área 4 13.- 64 14.- El hijo del profesor tiene 16 años 15.- 4, 9 y 1 16.- 6 años 17.- Si tiene razón. Sólo tiene solución la ecuación b) 18.- Debe vender al menos 400 artículos 19.- (-,-1) (,+ ) 0.- A partir de 100 km. 15