Eje: Geometría, FASCÍCULO 12 Transformaciones Rígidas y Homotecias En el Fascículo 11 vimos que podemos pensar que hay 4 clases de transformaciones rígidas clasificadas de la siguiente manera (pensamos las simetrías centrales como un caso particular de rotación): Preserva Orientación Invierte Orientación Con punto fijo Rotaciones Simetría Axial Sin punto fijo Traslaciones Reflexión Deslizante En matemática se conoce con el nombre de grupo a un conjunto que tiene una operación asociativa, con identidad y con inversos. En este sentido, las transformaciones rígidas forman un grupo con la operación de composición. En este fascículo completaremos el análisis de qué resultados obtenemos al componer las diferentes clases de transformaciones rígidas, es decir que estudiaremos, con cierto detalle, las características de este grupo. Como cierre del eje, estudiaremos brevemente algunas propiedades básicas de las homotecias.
Composición de las Transformaciones Rígidas A continuación describiremos algunos aspectos de las 10 composiciones: Rotación con Rotación Rotación con Traslación Rotación con Reflexión Rotación con Reflexión Deslizante Reflexión Deslizante con Reflexión Deslizante Traslación con Traslación Traslación con Reflexión Traslación con Reflexión Deslizante Reflexión con Reflexión Reflexión con Reflexión Deslizante Para experimentar con ellas, encontraremos en el Aula Virtual, un archivo Geogebra por cada una de ellas que realiza la composición. Recordemos que la composición de transformaciones NO es conmutativa en general. Sin embargo, qué tipo de transformación es el resultado no depende del orden en que hagamos la composición. Es por ello que, en la mayoría de los casos, analizaremos cada una de las 10 composiciones eligiendo un orden, dejando a los lectores la tarea de confirmar que si la composición se hace al revés, no cambia el tipo de transformación que obtenemos (a pesar de que el resultado es diferente). 1. Traslación con Traslación. Sean L v una traslación de vector v y L w una traslación de vector w, entonces L v o L w = L w o L v = L v + w, donde v + w es la suma vectorial de v y w. Es decir que la composición de traslaciones entre sí es conmutativa y está en correspondencia con la suma de vectores. El hecho de que la composición de traslaciones entre sí es una traslación puede expresarse diciendo que Las Traslaciones forman un subgrupo del grupo de las Transformaciones Rígidas. 2. Rotación con Traslación. Sean R P, α una rotación de centro P y ángulo α, y L v una traslación de vector v. Entonces R P, α o L v y L v o R P, α son rotaciones de ángulo α (en general R P, α o L v tiene distinto centro que L v o R P, α ). Esta composición fue discutida en el Fascículo 11.
3. Rotación con Rotación. Sean R P, α una rotación de centro P y ángulo α, y R Q, β una rotación de centro Q y ángulo β. Entonces: Si α + β no es múltiplo 360 entonces R P, α o R Q, β es una rotación de ángulo α + β, Si α + β es múltiplo 360 entonces R P, α o R Q, β es una traslación de vector de origen en Q y final en R P, α (Q). Como en este caso el resultado depende de α + β conviene incorporar un Deslizador para cada uno de los ángulos y ver como cambia el resultado a medida que los modificamos. Una vez que fijamos α y β podemos mover el punto A para descubrir si el resultado es rotación o traslación: si la distancia entre A y A'' varía, sabemos que el resultado es una rotación; si se mantiene constante, el resultado es traslación. Tal como habíamos hecho en el Fascículo 11, cuando α + β no es múltiplo 360 es interesante mover el punto A tratando de hacerlo coincidir con A'' para hallar el centro de la rotación. En los puntos 1, 2, 3 y 4 hemos analizado la composición de los Movimientos Rígidos (que eran las transformaciones que preservan la orientación). Los Movimientos Rígidos forman un subgrupo del grupo de las Transformaciones Rígidas. Forman también un subgrupo el conjunto de las Rotaciones? 4. Reflexión con Reflexión. Sean S r una reflexión con respecto a la recta r y S t una reflexión con respecto a la recta t. Entonces: Si r corta a t en el punto P entonces S r o S t es una rotación de centro P ángulo igual al doble del ángulo orientado que forman t y r. Si r es paralela a t entonces S r o S t es una traslación de vector igual al doble del vector correspondiente a la distancia desde la recta t y hasta la recta r.
Este es un caso muy importante pues nos revela que toda rotación y toda traslación pueden ser expresada como composición de dos reflexiones. Es decir que: Dada la rotación R P, α de centro P y ángulo α, si elegimos una recta t que pasa por P, trazamos sobre ella el ángulo α, y luego llamamos r a la bisectriz de α, entonces R P, α = S r o S t. Dada la traslación L v de vector v, llamamos t a la recta perpendicular a v que pasa por el origen de v y llamamos r a la recta perpendicular a v que pasa por el punto medio de v, entonces L v = S r o S t. Finalmente, como las Reflexiones Deslizantes son composición de una traslación y una reflexión ellas resultan composición de tres reflexiones. Así concluimos que: 1 Todas las transformaciones rígidas se expresan como composición de 1, 2 o 3 simetrías axiales. 5. Traslación con Reflexión. Sean S r una reflexión con respecto a la recta r y L v una traslación de vector v. Llamamos: w a la proyección de v sobre r, u a la componente de v perpendicular a r, m a la perpendicular al vector u ubicado con su origen sobre r. Entonces L v o S r = D u,m es una reflexión deslizante con respecto a u ubicado en m. En particular, si v es perpendicular a r, entonces S r o L v es una reflexión con respecto a la mediatriz del vector v cuando está ubicado con su origen sobre r. En qué cambia la respuesta si hacemos la composición en el otro orden: Sr o Lv? Advertencia. Recordemos que las Reflexiones Deslizantes son la composición de una traslación con una reflexión particular, pues la recta de reflexión debe contener al vector de traslación. Por lo tanto no es automático que la composición de una traslación con una reflexión arbitraria dé como resultado una reflexión deslizante (a pesar de que esto es verdad).
6. Rotación con Reflexión. Sean R P, α una rotación de centro P y ángulo α, y S r una reflexión con respecto a la recta r. Para determinar el resultado de S r o R P, α nos conviene expresar la rotación R P, α como composición de dos simetrías axiales (ver punto 4) R P, α = S t1 o S t2 de modo que las rectas t1 y t2 se corten en P y formen un ángulo orientado igual a la mitad de α. Entre todas las posibles elecciones de t1 y t2 con estas propiedades elegimos que t1 sea paralela a r. Si llamamos v al doble del vector que indica la distancia entre t1 y r obtenemos que S r o R P, α = S r o S t1 o S t2 = L v o S t2, es decir que hemos expresado el resultado como una traslación compuesta con una reflexión, y este caso ya fue discutido en el punto 5. Sabemos que el resultado es una reflexión deslizante salvo que v sea perpendicular a t2, en cuyo caso da simetría axial. Cómo deben ser P y r para que S r o R P, α sea una simetría axial (es decir para que v sea perpendicular a t2)? Cómo convendría descomponer la rotación si quisiéramos estudiar la composición R P, α o S r? 7. Traslación con Reflexión Deslizante. Sean L v una traslación de vector v y D w,r = S r o L w = L w o S r una reflexión deslizante con respecto al vector w ubicado en la recta r. Entonces: L v o D w,r = L v o L w o S r = L v + w o S r, D w,r o L v = S r o L w o L v = S r o L v + w, es decir que hemos expresado el resultado como una traslación compuesta con una reflexión. Este caso ya fue discutido en el punto 5, y sabemos que el resultado es una reflexión deslizante salvo que v + w sea perpendicular a r en cuyo caso el resultado es simetría axial.
8. Rotación con Reflexión Deslizante. Sean R P, α una rotación de centro P y ángulo α, y D v,r = S r o L v = L v o S r una reflexión deslizante con respecto al vector v ubicado en la recta r. Entonces, si llamamos Q al centro de la rotación L v o R P, α, obtenemos: D v,r o R P, α = S r o L v o R P, α = S r o R Q, α. Es decir que hemos expresado el resultado como una reflexión compuesta con rotación y este caso ya fue discutido en el punto 6. 9. Reflexión con Reflexión Deslizante. Sean S t una reflexión con respecto a la recta t, y D v,r = S r o L v = L v o S r una reflexión deslizante con respecto al vector v ubicado en la recta r. Entonces: Si r corta a t entonces D v,r o S t es una rotación de ángulo igual al doble del ángulo que forman t y r. Si r es paralela a t entonces D v,r o S t es una traslación. Obtenemos una justificación a partir del hecho que D v,r o S t = L v o S r o S t. Luego sabemos por el punto 4 que S r o S t es una rotación, si t es secante a r, o una traslación, si t es paralela a r. Finalmente sabemos por el punto 2 que la composición de traslación con rotación es rotación y por el punto 1 que la composición de traslación con traslación es traslación. 10. Reflexión Deslizante con Reflexión Deslizante. Sean D u,t = S t o L u = L u o S t una reflexión deslizante con respecto al vector u ubicado en la recta t, y D v,r = S r o L v = L v o S r una reflexión deslizante con respecto al vector v ubicado en la recta r. Entonces: Si r corta a t entonces D u,t o D v,r es una rotación de ángulo igual al doble del ángulo que forman t y r. Si r es paralela a t entonces D u,t o D v,r es una traslación.
Obtenemos una justificación a partir del hecho que D u,t o D v,r = L u o S t o S r o L v. Luego sabemos por el punto 4 que S t o S r es una rotación, si t es secante a r; o una traslación, si t es paralela a r. Finalmente sabemos por 2 que la composición de traslación con rotación es rotación y por 1 que la composición de traslación con traslación es traslación. Homotecias Las Homotecias son las transformaciones del plano que estiran o encogen. Más precisamente, si P es un punto del plano y k es un número real positivo, la homotecia de centro P y razón k, denotada H P,k, es la aplicación que fija el punto P y a cada punto X diferente de P lo transforma en el punto Y que cumple a. Y está en la semirrecta de origen P que pasa por X, b. la distancia de P a Y es k veces la distancia de P a X. Muchas veces conviene considerar homotecias con razón k negativa. En este caso H P,k fija el punto P y a cada punto X diferente de P lo transforma en el punto Y que cumple: a. Y está en la semirrecta opuesta a la semirrecta de origen P que pasa por X, b. la distancia de P a Y es k veces la distancia de P a X. Así resulta que hay dos casos particulares de homotecias que coinciden con una trasformación rígida: si k = 1, entonces H P,k, es la transformación identidad, y si k = 1, entonces H P,k, es una simetría central con respecto a P (es decir una rotación de 180 ). Con Geogebra también podemos experimentar con Homotecias con la herramienta marcada en azul en la imagen.
En particular, podemos utilizar Geogebra para estudiar la composición de dos homotecias, que está descripta por el siguiente resultado: Sean H P1,k1 una homotecia de centro P1 y razón k1 y H P2,k2 una homotecia de centro P2 y razón k2. Definamos k3 = k1 x k2. Entonces: - Si k3 es distinto de 1, entonces H P1,k1 o H P2,k2, es una homotecia de razón k3, Dónde queda ubicado el centro de la homotecia resultante? - Si k3 = 1 entonces H P1,k1 o H P2,k2, es una traslación. Cuál es el vector de la traslación? Como en este caso el resultado depende de k3 es interesante utilizar un Deslizador para cada k1 y k2. Como ya hicimos anteriormente, podemos descubrir si el resultado es rotación o traslación mirando si la distancia entre A y A'' varía o no.